四川省资阳市天立学校2024-2025学年高二上学期数学期末复习卷02

资阳天立高二数学上学期期末复习卷02 （时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： \第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设直线的倾斜角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．若m，n，l为三条不同的直线，，为两个不重合的平面，则下列命题正确的是（    ） A．如果，，则 B．如果，，，，则 C．如果，，则 D．如果，，，则 3．若两个非零向量的夹角为，且满足，则（    ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的中心是坐标原点，是椭圆的焦点.若椭圆上存在点，使是等边三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点满足，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 6．为了弘扬体育精神，学校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲进行了8组投篮，得分分别为10，8，a，8，7，9，6，8，如果学生甲的平均得分为8分，那么这组数据的75百分位数为（ ） A．8 B．9 C．8.5 D．9.5 7．阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等．尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则 A． B． C． D． 8．已知是面积为的等边三角形，其顶点均在球的表面上，当点在球的表面上运动时，三棱锥的体积的最大值为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 随着互联网的飞速发展，网上购物已成为了流行的消费方式．某网店第三季度的服装产品的销售总额和其中某款服装的销售额占当月服装产品销售总额的百分比如图所示： 下列结论不正确的是(　　) A．该款服装这3个月的销售额逐月递减 B．该款服装这3个月的销售总额为23.69万元 C．该款服装8月份和9月份的销售额相同 D．该款服装8月份和9月份的销售总额大于7月份的销售额 10．某学校为了调查学生在一周内生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在区间[50，60)的学生有60人，则下列说法正确的是(　　) A．样本中支出在区间[50，60)的频率为0.03 B．样本中支出不少于40元的人数为132 C．n的值为200 D．若该校有2 000名学生，则一定有600人支出在区间[50，60)内 11．已知空间中三点，，，则（    ） A． B．方向上的单位向量坐标是 C．是平面ABC的一个法向量 D．在上的投影向量的模为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若圆：与圆内切，则 13．已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点，则当实数变化时，的最小值为 14．.某网络销售平台销售某县农产品．根据2020年全年该县农产品的销售额(单位：万元)和农产品销售额占总销售额的百分比，绘制了如图的双层饼图．根据双层饼图(季度和月份后面标注的是销售额或销售额占总销售额的百分比)，下列说法正确的是________．(填序号) ①2020年的总销售额为1 000万元； ②2月份的销售额为8万元； ③4季度的销售额为280万元； ④12个月的销售额的中位数为90万元． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）若圆C经过点和，且圆心在x轴上，则： (1)求圆C的方程． (2)直线与圆C交于E、F两点，求线段的长度． 16．（15分）.某小学对在校学生开展防震减灾教育，进行一段时间的展板学习和网络学习后，学校对全校学生进行问卷测试（满分分）．现随机抽取了部分学生的答卷，得分的频数统计表和对应的频率分布直方图如图所示： 得分 人数 （1）求，的值，并估计全校学生得分的平均数； （2）根据频率分布直方图，估计样本数据的和分位数． 17.（15分）袋子中有红、白色球各1个，每次任取一个，有放回地摸三次，写出试验的样本空间，并计算下列事件的概率：(1)三次颜色恰有两次同色；(2)三次颜色全相同；(3)三次摸到的红球多于白球． 18．（17分）如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于的母线． (1)证明：平面； (2)若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值． 19．（17分）双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于、两点，且是直角三角形． (1)求双曲线的方程； (2)、是右支上的两动点，设直线、的斜率分别为、，若，求点到直线的距离的取值范围． 高二数学上学期期末复习卷02 参考答案 1．【答案】C 【解析】由题意可知：直线的斜率，则，可得，且， 又因为，可得，由可知，所以. 2．【答案】C 【解析】A：当时，才能由，，得到，所以本选项命题是假命题； B：只有当，时才能由，，得到，所以本选项命题是假命题； C：根据面面平行的性质可知本选项命题是真命题； D：因为，，，所以直线m，n没有交点，因此m，n可以平行也可以异面，所以本选项命题是假命题，故选：C 3．【答案】A【解析】因为，所以，所以，所以， 所以.故选:A. 4．【答案】A 【解析】设点为椭圆上位于第一象限内的点，设为椭圆的左焦点， 因为是等边三角形，则，， ，所以，，， 所以，，由椭圆的定义可得， 因此，椭圆的离心率为. 5．【答案】D 6.【答案】C 【解析】由题意，得，即，所以抛物线方程为.故选：D. 6解：由题意可得：，解得：， 将这组数据从小到大的顺序排列为， 因为为整数， 所以这组数据的75百分位数为.故选：C. 7.【答案】B 【解析】设，，，由题意知，，，所以，，，所以，又，所以，解得，所以．故选B． 8．【答案】A【解析】如图所示，  设点M为外接圆的圆心，当点三点共线时，且分别位于点的异侧时，三棱锥的体积取得最大值. 因为的面积为，所以边长为3， 由于三棱锥的体积的最大值为，得， 易知SM⊥平面ABC，则三棱锥为正三棱锥， 的外接圆直径为，所以, 设球O的半径为R，则, 解得, 所以球的表面积为.故选：A. 9．【答案】ABC 解：由题意可知，该款服装7月份、8月份、9月份的销售额分别是50×24%＝12万元，40×15%＝6万元，48×12.5%＝6万元， 则这3个月的销售总额为24万元， 故选项A，B，D错误，C正确．故选：ABC. 10【答案】AC解：样本中支出在区间[50，60)的频率为1－(0.01＋0.024＋0.036)×10＝0.3，故A错误；样本中支出不少于40元的人数为×60＋60＝132，故B正确；n＝＝200，故n的值为200，故C正确；若该校有2 000名学生，则可能有0.3×2 000＝600人支出在区间[50，60)内，故D错误．故选：AC 11．【答案】BC 【解析】对于A：，则，A错误； 对于B：方向上的单位向量坐标是，B正确； 对于C：，， 又与不平行，故是平面ABC的一个法向量，C正确； 对于D：在上的投影向量的模为，D错误.故选：BC. 12．【答案】【解析】因为两圆内切，所以圆心距等于半径之差的绝对值，所以， 解得.故答案为：. 13．【答案】6 【解析】点在直线：上，圆心关于直线对称点， 圆：关于直线对称圆： 如图： 连接与圆交直线于点，连接交圆于， 此时最小，，故的最小值为6. 14.①③解：对于①，根据双层饼图得3季度的销售额为300万元，3季度的销售额占总销售额的百分比为30%，所以2020年的总销售额为＝1 000(万元)，故①正确； 对于②，2月份销售额为 1 000×＝50(万元)，故②错误； 对于③，4季度销售额为1 000×28%＝280(万元)，故③正确； 对于④，根据双层饼图得12个月的销售额从小到大为(单位：万元)：50,50,60,60,60,80,90,100,100,110,120,120，所以12个月的销售额的中位数为×(80＋90)＝85(万元)，故④错误． 15．【解析】（1）因为和，线段的中点为，且， 则的垂直平分线为， ...................................（3分） 由圆的性质可知，圆心在该直线上， 又已知圆心在轴上，令，得， 故圆心为，半径， ...................................（5分） 则圆C的方程为. ...................................（6分） 由圆心到直线的距离， ...................................（9分） . ...................................（13分） 16．解：(1)由频率分布直方图可知， 得分在的频率为， 故抽取的学生答卷数为， 由，得． 所以， 得分的平均数估计值为： ． (2)由图可知，内的比例为， 内的比例为，内的比例为， 内的比例为． 因此，分位数一定位于． 由， 可以估计样本数据的分位数为． 类似的，由， 可以估计样本数据的分位数为． 17.解：试验的样本空间Ω＝{(红，红，红)，(红，红，白)，(红，白，红)，(白，红，红)，(红，白，白)，(白，红，白)，(白，白，红)，(白，白，白)}．样本点总数n＝8. (1)记事件A为“三次颜色恰有两次同色”． 因为A中含有的样本点数m1＝6， 所以P(A)＝＝0.75. (2)记事件B为“三次颜色全相同”． 因为B中含有的样本点数m2＝2， 所以P(B)＝＝＝0.25. (3)记事件C为“三次摸到的红球多于白球”． 因为C中含有的样本点数m3＝4， 所以P(C)＝＝0.5. 18．（17分）． 【解析】（1）证明：如图，连接，由题意知为的直径，所以． 因为是圆柱的母线，所以且， 所以四边形是平行四边形． ...................................（3分） 所以，所以．因为是圆柱的母线， 所以平面， ...................................（5分） 又因为平面，所以．又因为， 平面，所以平面． ...................................（6分） 由（1）知是三棱锥底面上的高， 由（1）知，所以，即底面三角形是直角三角形． 设，则在中有：，...................................（8分） 所以， ...................................（9分） 当且仅当时等号成立，即点E，F分别是，的中点时， 三棱锥的体积最大， ...................................（10分） 解法二：等积转化法： 易得当F与距离最远时取到最大值， 此时E、F分别为、中点）...................................（12分） 下面求二面角的正弦值： 法一：由（1）得平面， 因为平面，所以． 又因为， 所以平面． 因为平面， 所以，所以是二面角的平面角， 由（1）知为直角三角形，则．...................................（15分） 故， 所以二面角的正弦值为．...................................（17分） 法二：由（1）知两两相互垂直，如图，以点E为原点，所在直线 为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则． ...................................（11分） 由（1）知平面，故平面的法向量可取为． 设平面的法向量为， 由， ...................................（12分） 得，即，即，取， 得． ...................................（13分） 设二面角的平面角为， ， ...................................（15分） 所以二面角的正弦值为 ...................................（17分） 19．（17分）【解析】（1）依题意，，焦半径， ...................................（1分） 由，得，得，...................................（2分） 解得：（其中舍去）， ...................................（3分） 所以， 故双曲线的方程为； ...................................（5分） 显然直线不可能与轴平行， 故可设直线的方程为， ...................................（6分） 联立，消去整理得， ...................................（8分） 在条件下，设，， 则，， ...................................（9分） 由，得， ...................................（10分） 即， ...................................（11分） 整理得， ...................................（12分） 代入韦达定理得，， ..............................（13分） 化简可消去所有的含的项，解得：或（舍去）， ...................................（14分） 则直线的方程为，得， ...................................（15分） 又都在双曲线的右支上，故有，， 此时，， ...................................（16分） 所以点到直线的距离的取值范围为. ...................................（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $$