四川省资阳市天立学校2024-2025学年高二上学期数学期末复习卷01

资阳天立高二数学上学期期末复习卷01 （时间：120分钟 试卷满分：150分） 审核：高二数学备课组 班级： 姓名： 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列直线中，倾斜角最大的是（    ） A． B． C． D． 2．若样本的平均值是5，方差是3，样本的平均值是9，标准差是b，则（ ） A． B． C． D． 3．如图，空间四边形OABC中，，点M在线段OA上，且，点N为BC中点，则（    ） A． B． C． D． 4．北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式．某校一个数学兴趣小组为了给奥运献礼，从网上查找了鸟巢的有关资料，制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，但扁平程度相同的椭圆，已知小椭圆的长轴长为30cm，短轴长为15cm，大椭圆的长轴长为60cm，则大椭圆的短轴长为（    ）cm A．30 B．20 C． D． 5．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称“甲、乙心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ） A． B． C． D． 6．先后两次掷一枚质地均匀的股子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“第一次掷出的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则（ ） A. A与互斥 B. 与相互独立 C. D. A与互斥 7．已知斜率为的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，又直线与圆交于，两点．若，则的值为 A． B． C． D． 8．设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少3人需使用设备的概率为(　　) A．0.25 B．0.30 C．0.31 D．0.35 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ） A．个球都是红球的概率为 B．个球不都是红球的概率为 C．至少有个红球的概率为 D．个球中恰有个红球的概率为 10．设抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上不同的两点，且，则（　　） A． B．以线段为直径的圆必与准线相切 C．线段的长为定值 D．线段的中点到轴的距离为定值 11．如图，已知在棱长为2的正方体中，点E，F，H分别是，，的中点，点G是上的动点，下列结论正确的是（    ） A．平面ABH B．平面 C．直线EF与所成的角为30° D．三棱锥的体积最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12假设要考察某公司生产的袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数法抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，若从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到的第4个的样本个体的编号是______． （下面摘取了随机数表第7行到第9行） 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 13．平面内一点到直线的距离为：．由此类比，空间中一点到平面的距离为 ． 14．双曲线的左、右焦点分别为，．过作其中一条渐近线的垂线，交双曲线的右支于点P，若，则双曲线的离心率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知圆C的圆心在直线上，且与直线相切于点． (1)求圆C的标准方程； (2)求过点且被圆C截得的弦长为的直线方程． 16．（15分）已知四棱柱的所有棱长都为2，且. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值. 17．某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图.注：分组区间为[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100] (1)若得分大于或等于80认定为优秀，则男、女生的优秀人数各为多少？ (2)在(1)中所述的优秀学生中用分层随机抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率. 18．（17分）.甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为. (1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率； (2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个是一等品的概率． 19．（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为，设点，在中，． (1)求椭圆C的方程； (2)设P，Q为C上异于点A的两动点，记直线AP，AQ的斜率分别为，若，求证：直线PQ过定点 资阳天立高二数学上学期期末复习卷01 参考答案 1【答案】C【详解】直线的斜率为，倾斜角为；直线的斜率为，倾斜角为， 直线的斜率为，倾斜角为；直线的斜率为，倾斜角为， 显然直线的倾斜角最大.故选：C 2．【答案】D 解：设的平均值为，方差为， 因为样本的平均值是5，方差是3， 所以， 因为样本的平均值是9，标准差是b， 所以，，所以. 3．【答案】D 【详解】点M在线段OA上，且， 又， ∵N为BC的中点， .故选：D. 4．【答案】A 【详解】由题设，大小椭圆的离心率相同，又， ∴大、小椭圆的短轴长与长轴长的比值相等， 设大椭圆的短轴长为2b，则有， ∴，即大椭圆短轴长为30cm.故选：A． 5．【答案】D解：记“|a－b|≤1”为事件A，由于a，b∈{1,2,3,4,5,6}， 则事件A包含的样本点有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16个， 而依题意得，样本点总数为36，且每个样本点出现的可能性相等． 因此他们“心有灵犀”的概率P＝＝. 6．【答案】B解：对于选项A：第一次掷出点数为3，第二次掷出点数为3，满足事件A，也满足事件B,因此A与能够同时发生，所以A与不互斥，故选项A错误； 对于选项B：，，，所以，所以与相互独立，即选项B正确； 对于选项C：，故选项C错误； 对于选项D：第一次掷出点数为3，第二次掷出点数为3，满足事件A，也满足事件C,因此A与C能够同时发生，所以A与C不互斥，故选项D错误； 7．【答案】A 【详解】设直线的方程为代入抛物线消去， 整理得：，则， 所以， 圆， 圆心为，半径为， 因为直线过圆心，所以， 因为，所以.故选：A. 8．【答案】C解：设甲、乙、丙、丁需使用设备分别为事件A，B，C，D，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(D)＝0.4，所以同一工作日至少3人需使用设备的概率为P(ABC＋ABD＋ACD＋BCD＋ABCD)＝0.6×0.5×0.5×0.6＋0.6×0.5×0.5×0.4＋0.6×0.5×0.5×0.4＋0.4×0.5×0.5×0.4＋0.6×0.5×0.5×0.4＝0.31. 9．故选：ACD. 解：由题可知，从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是， 则从甲袋中摸出一个不是红球的概率是，从乙袋中摸出一个不是红球的概率是， 对于A选项，个球都是红球的概率为，A选项正确； 对于B选项，个球不都是红球的概率为，B选项错误； 对于C选项，至少有个红球的概率为，C选项正确； 对于D选项，个球中恰有个红球的概率，D选项正确. 10．【答案】AD 【详解】对于A中，由抛物线的准线为，可得，解得， 所以抛物线的焦点为 且，所以A正确； 对于B中，如图，当线段过焦点时，过作， 取的中点作，可得， 此时以线段为直径的圆与准线相切， 因为直线不一定过抛物线的焦点，则不一定成立，故B错误. 对于C中，， 由抛物线得的定义得，所以， 当直线过原点时，设，则，此时，可得， 当直线为时，可得，不妨设，可得， 所以的长不是定值，所以C错误； 对于D中，由，则线段的中点到轴的距离为，所以D正确. 故选：AD. 11．【答案】BCD【详解】 因为为正方体，所以，则，，，四点共面， 即在平面ABH上，故A错； 连接BD，AC，，，， 在正方体中，，面ABCD，平面， ∴， ∵，AC，⊂面，∴BD⊥面， 又⊂面，∴， 又∵，面，平面， ∴． ∵，，⊂面，∴⊥面， ∵平面， ∴， 又，，，BD⊂面， ∴面，故B正确； 取AD中点I，连接FI，EF，EI，， 在中，∵F，I分别为，DA的中点， ∴， 又，∴，∴EF与所成角为∠IFE， 在中，，，， ∴， ∴EF与所成的角为30°，故C正确； 当G位于点时，三棱锥的体积最大， 故，故D正确.故选：BCD. 12．解：068. 13．【答案】 【详解】解：依题意类比可得空间中一点到平面的距离 .故答案为： 14【答案】【详解】如下图，垂直一条渐近线，则， 过作，故，又， ∴，，又在△中，故，， 由双曲线定义知：，则， ∴.故答案为：. 15．【详解】（1）设圆C的标准方程为..................................................（2分） 圆C的圆心在直线上，且与直线相切于点， ，解方程组得；............................................（5分） 所以圆C的标准方程为....................................................................（6分） （2）设直线的方程为：， 圆心到直线l的距离，.................................................................（8分） 所以，解得或，.......................................................................（12分） 所以直线l的方程为或........................................................（13分） 16．【详解】（1）证明：设与的交点为，连接， 因为，，， 所以， 所，................................................................（4分） 又因为是的中点，所以， 另由且， 所以平面，..........................................................（6分） 而平面，所以平面平面..............................（7分） （2）过作直线平面，分别以、、为、、轴，建立如图所示空间直角坐标系，...................................................（8分） 依题意，得，，，，， 所以，，，....................（10分） 设平面的法向量为， 所以，令，则，即， 所以， 即直线与平面所成的角的正弦值为........................................................（15分） 17解：(1)由题可得，男生优秀人数为100×(0.01＋0.02)×10＝30，女生优秀人数为100×(0.015＋0.03)×10＝45. (2)因为样本容量与总体中的个体数的比是＝，所以样本中包含的男生人数为30×＝2，女生人数为45×＝3. 则从5人中任意选取2人共有C＝10种，抽取的2人中没有一名男生有C＝3种，则至少有一名男生有C－C＝7种.故至少有一名男生的概率为P＝，即选取的2人中至少有一名男生的概率为. 18.解：(1)设甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品为事件A，B，C，由题设得 即 由①③，得P(B)＝1－P(C)， 代入②，得27(P(C))2－51P(C)＋22＝0， 解得P(C)＝或P(C)＝(舍去)， 将P(C)＝分别代入③②，可得P(A)＝，P(B)＝， 即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是，，. (2)设“从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个是一等品”为事件D， 则P(D)＝1－P()＝1－P()＝1－(1－P(A))·(1－P(B))(1－P(C))＝1－××＝. 故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个是一等品的概率为. 【详解】（1）由题意知，......................................................................................（2分） 由 ，..........................................................................................................（4分） ， 椭圆方程为；............................................................................................（5分） （2）当直线PQ斜率不存在时，设直线PQ方程为（且） 则 解得，不符合题设；...........................................................................................（9分） 从而可设直线PQ的方程设为， ， 则有..................................................（12分） 由 ， （舍）或，..................................................................（15分） 当且仅当时，， ， ∴PQ直线恒过定点....................................................................（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $$