第六章 平面向量及其应用自学检测卷-2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 第六章 平面向量及其应用自学检测卷 （时间：120分钟，满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，则（   ） A．12 B． C．8 D． 3．平面上三个力作用于一点且处于平衡状态.，，与的夹角为150°，则（    ） A．1N B． C． D． 4．在中，若，，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为（   ） A． B．2 C． D． 5．如图所示，两射线与交于O，则下列选项中向量的终点落在阴影区域内（不含边界）的有（    ） ①；②；③；④. A．①② B．①②④ C．①②③ D．③④ 6．在△中，内角的对边分别为，已知向量共线，则△的形状为（    ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．有一个内角是的直角三角形 D．等腰直角三角形 7．已知是单位向量，向量满足，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．3 D．1 8．设是边长为1的正三角形，是所在平面上的一点，且满足，则当取最小值，的值为（    ） A． B．3 C． D．2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9．下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 10．在△中，内角所对边分别为，若，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 11．在中，、、分别是内角、、的对边，为的外心，且满足，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则 . 13．某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点A和B．某日两个观测点的林场人员都观测到C处出现火情．在A处观测到火情发生在北偏西方向，而在B处观测到火情在北偏西方向．已知B在A的正东方向处，那么火场C与A距离约为 ．（结果精确到） 14．如图所示，四边形内接于圆，，则四边形的面积为 ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知向量，，． (1)求； (2)若向量，试用表示； (3)若，求实数的值． 16．如图，在平行四边形中，点为中点，点，在线段上，满足，设. (1)用表示向量； (2)若，求. 17．记的内角、、的对边分别为、、，且. (1)求； (2)若边上的高为，且，求. 18．在梯形ABCD中，，P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足，，Q为边AD上的一个动点． (1)求证：； (2)的最小值． 19．在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求周长的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 第六章 平面向量及其应用自学检测卷 （时间：120分钟，满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】向量，， 所以， 故选：A 2．已知，则（   ） A．12 B． C．8 D． 【答案】B 【详解】易知，即， 又可得； 所以. 故选：B 3．平面上三个力作用于一点且处于平衡状态.，，与的夹角为150°，则（    ） A．1N B． C． D． 【答案】A 【详解】平面上三个力作用于一点且处于平衡状态，则， ，，与的夹角为150°， 故. 故选：A. 4．在中，若，，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】由题设有，故，故， 由余弦定理可得， 故，故三角形外接圆的半径为， 故选：B. 5．如图所示，两射线与交于O，则下列选项中向量的终点落在阴影区域内（不含边界）的有（    ） ①；②；③；④. A．①② B．①②④ C．①②③ D．③④ 【答案】A 【详解】依题意，在题图中的阴影区域内任取点E，连接交于点F， 则有，其中，. 因为， 所以①，满足条件； ②，满足条件； ③，不满足条件； ④，不满足条件. 故选：A. 6．在△中，内角的对边分别为，已知向量共线，则△的形状为（    ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．有一个内角是的直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【详解】因为向量，共线， 则，由正弦定理可得：， 则， 因为，则，可知，，，均不为， 可得，则，即； 同理由向量，共线可得：； 综上所述：. 所以的形状为等边三角形. 故选：A 7．已知是单位向量，向量满足，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．3 D．1 【答案】B 【详解】 设，因为， 即，即， 所以点在以为圆心，3为半径的圆上， 又是单位向量，则， 故最大值为，即的最大值为4. 故选：B. 8．设是边长为1的正三角形，是所在平面上的一点，且满足，则当取最小值，的值为（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【详解】因为，， 所以，得， 所以，， ， 所以， ， 设，则， 当，即，也就是时， 取得最小值. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9．下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BD 【详解】对A，因为为零向量，所以不能作为基底，A错误； 对B，因为，所以不共线，可以作为基底，B正确； 对C，因为，所以共线，不能作为基底，C错误； 对D，因为，所以不共线，可以作为基底，D正确； 故选：BD. 10．在△中，内角所对边分别为，若，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为，由正弦定理可得， 所以，即，故A正确； 由余弦定理，即， 又，所以，即，故B错误； 因为，由正弦定理可得， 所以，故C正确； 因为，，所以 ，故D正确. 故选：ACD 11．在中，、、分别是内角、、的对边，为的外心，且满足，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由已知，由已知可得， 所以，，即，所以，故A错误； 因为，即，可得， 所以，故B正确； 同理，可得， 所以，故C正确； 所以， 所以， 由外心的性质有， 所以， 所以，即， 由正弦定理有：，故D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：考查利用向量的数量积的运算以及向量的夹角公式的应用，分析问题与解决问题的能力，运算求解能力. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则 . 【答案】 【详解】由得， 因为向量在向量方向上的投影向量的坐标为， 所以，即，所以， 所以. 故答案为：． 13．某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点A和B．某日两个观测点的林场人员都观测到C处出现火情．在A处观测到火情发生在北偏西方向，而在B处观测到火情在北偏西方向．已知B在A的正东方向处，那么火场C与A距离约为 ．（结果精确到） 【答案】14.6 【详解】由题意可得，，，，则， 在中，由正弦定理可得， 即， 所以， 故答案为：14.6. 14．如图所示，四边形内接于圆，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【详解】 在延长线上取点，使，取AB中点， 又因为，所以， 由，可得，所以直线MN过圆心， 在中，，，所以，， 所以梯形高为，， 所以梯形面积为． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：通过向量的线性运算与点共线的判断方法，求得梯形的高与上底，从而求得面积，其中向量的线性运算是关键. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知向量，，． (1)求； (2)若向量，试用表示； (3)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，， 所以， 所以. （2）由题可知与不共线，故设()， 即， 所以，解得，． 因此. （3）由题意得． 因为， 所以， 解得. 16．如图，在平行四边形中，点为中点，点，在线段上，满足，设. (1)用表示向量； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ； （2）， ， 又， 所以， ， 所以. 17．记的内角、、的对边分别为、、，且. (1)求； (2)若边上的高为，且，求. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）解法一：由及正弦定理得， 所以， 即，即， 因为、，则， 所以，所以； 解法二：由及余弦定理得， 所以，即，所以， 又，所以. （2）记边上的高为，则， 由（1）得，所以， 所以由余弦定理可得， 所以，所以，所以或（舍），故. 18．在梯形ABCD中，，P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足，，Q为边AD上的一个动点． (1)求证：； (2)的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）连接，如图 ∵，∴ 由得 即. （2）∵，∴ 则四边形为平行四边形，∥， . 由，得， ∴，∴， 由得，，即 所以 19．在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在锐角中，因为， 所以由正弦定理得，故， 得到，化为， 故得，化简得， 即，由余弦定理得， 因为，所以. （2）因为，由正弦定理得， 所以，且设周长为， 所以， ， ， 因为在锐角中，所以， 所以，解得， 综上可得，所以， 故，则， 得到，即， 故周长的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$