精品解析：四川省成都市邛崃市第一中学校2024-2025学年高一上学期1月期末调研考试数学试题

成都市邛崃一中2024-2025学年度上期高一年级调研考试 数 学 本试卷满分150分，考试时间150分钟. 注意事项: 1．答卷前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5．考试结束后，只将答题卡交回. 第I卷（选择题） 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 已知集合，若，则集合可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据子集的定义即可判断. 【详解】因为，所以. 故选：C 2. 已知命题 ，命题 ， ，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分析命题的真假，进而分析选项，可得答案. 【详解】当 时，，所以是假命题，则是真命题， 若，则或， 当时，且，所以是假命题，则是真命题， 故选：D. 3. 已知，，则为（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式化简即可根据象限角的性质求解. 【详解】由，可得，， 故为第三象限角， 故选：C 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合等式的性质判断得解. 【详解】由，得，而当时，还可以有， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 已知函数的图象关于点对称，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算出，，故A正确，BCD错误. 【详解】ABC选项， ， 故函数的图象关于中心对称，A正确，BC错误； D选项，，故不关于中心对称，D错误. 故选：A 6. 已知奇函数在上为增函数，又，则不等式的解集为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的单调性和奇偶性求得正确答案. 【详解】依题意，奇函数在上为增函数，又， 所以在上单调递增，且， 由此画出的大致图象如下图所示， 由图可知，不等式的解集. 故选：B 7. 已知是函数图像上不同的两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】举反例判断A，B，利用对数函数的性质结合基本不等式判断C，D即可. 【详解】由题意不妨设，因为是增函数， 所以，即． ， 当且仅当时取等，则， 即，故C正确，D错误． 取，则，故A错误， 取，则，故B错误． 故选：C 8. 函数在区间上的零点个数为（ ） A. 1个 B. 4个 C. 2个 D. 0个 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数零点意义得，变形为，并探讨和的最值即可得解. 【详解】当时，由得即， 当时，恒成立，而恒成立， 因此不成立， 所以函数在区间上的零点个数为0. 故选：D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“，”的否定是“，” C. 若，则 D. 若，，且，则的最小值为9 【答案】AD 【解析】 【分析】利用充分不必要条件的定义判断A；利用全称量词命题的否定判断B；举例说明判断C；利用“1”的妙用求出最小值判断D. 【详解】对于A，，而，则或，因此“”是“”的充分不必要条件，A正确； 对于B，命题“，”是全称量词命题，其否定是，，B错误； 对于C，当时，，C错误； 对于D，依题意，， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：AD 10. 函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象关于y轴对称 B. 在[0，+）上单调递减 C. 的值域为 D. 有最大值 【答案】AD 【解析】 【分析】对选项A，根据函数为偶函数即可判断A正确，对选项B，根据定义域为，即可判断B错误，对选项C，根据的值域为，即可判断C错误，根据的值域为，即可判断D正确. 【详解】对选项A，，定义域为， ，所以函数为偶函数， 图象关于轴对称，故A正确. 对选项B，因为定义域为， 所以在上单调递减错误，故B错误. 对选项C，， 因为，所以，且， 所以的值域为，故C错误. 对选项D，因为的值域为，所以的最大值为，故D正确. 故选：AD 11. 对于函数，若存在大于零的常数和非零常数，使得当取定义域中的每一个值时，都有，那么称为“类周期函数”，叫做“类周期”.下列四个命题正确的是（ ） A. 函数是以为“类周期”的“类周期函数” B. 函数是“类周期函数” C. 函数是以2为“类周期”的“类周期函数” D. 设函数是周期为的周期函数，当函数在上的值域为时，在上的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题干中的“类周期函数”定义，逐项判断. 【详解】对于A，由是以为周期的周期函数， 而， 由题意可知函数是以为“类周期”的“类周期函数”，A正确； 对于B，函数定义域为，若函数是“类周期函数”， 因为，而， 要使对恒成立，就要对恒成立， 即对恒成立， 所以当且仅当时，上式成立， 则不存在常数使得对取内每一个值时， 都有等式恒成立， 所以函数不是“类周期函数”，B错误； 对于C，， 所以（非零常数） 所以函数是以2为“类周期”的“类周期函数”，C正确； 对于D，， 所以是类周期函数，且， 设满足，由得， ， 又，知道在上的最小值是上获得的， 而，所以在上的最小值为， 由，得， 由此可知，， 又， 知道在上的最大值是在上获得的，而， 所以在上的最大值为23,故值域为,D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：对于D，设满足，根据“类周期函数”的定义，求函数的值域. 第II卷（非选择题） 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 定义运算，若集合，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定运算，利用列举法计算即得. 【详解】依题意，由，当时，，则， 当时，，则，当时，，则， 所以. 故答案为： 13. 已知是奇函数，在区间上是增函数，又，那么的解集是 _________ 【答案】或 【解析】 【分析】根据函数的奇函数，单调性与特殊点函数值等特征，求的解集即可. 【详解】解：因为是奇函数，，且在上是增函数， 所以，且在内是增函数， 因为， 所以①当时，原不等式可化为， 又在内是增函数，所以， ②当时，原不等式可化为， 又在区间上是增函数，所 ③当时，，与矛盾， 所以不是不等式的解， 综上，的解集是或. 故答案为：或. 14. 已知函数，若方程有3个实数根，则实数k的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为与有3个交点，根据分段函数解析式确定的区间性质，结合函数图象判断交点情况，进而求k的范围. 【详解】由题意，方程有3个实数根，即为与有3个交点， 由的解析式知：当时，；当时，对称轴为且；图象如下图示： ∴当且仅当时，与有3个交点，即有3个实根. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：转化为函数图象的交点问题，根据分段函数的性质，应用数形结合的方法确定参数的范围. 四、解答题;本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）或. （2） 【解析】 【分析】（1）解二次不等式得到集合，再由集合的并集得到结果； （2）由必要不充分条件得到集合的关系，从而建立不等式求得实数的取值范围. 【小问1详解】 ∵，∴或，即或， 当时，， 或. 【小问2详解】 若“”是“”的必要不充分条件，则是的真子集， 当时，，解得，符合题意； 当时，或，解得或； 综上， 16. 已知数． （1）求的最小正周期和对称轴方程； （2）求在的最大值和最小值． 【答案】（1）最小正周期为，对称轴方程为，， （2）的最小值，最大值. 【解析】 【分析】（1）由三角函数恒等变换化简，由周期公式即可求得最小正周期；利用整体法求得对称轴方程， （2）先求出的范围，再由正弦函数的性质求最值． 【小问1详解】 ， 所以函数的最小正周期为． 令，，解得，， 所以函数图象的对称轴方程为，， 【小问2详解】 当时，，则，进而可得， 当时，即时，取最小值，时，即时，取最大值. 17. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性并证明. （3）求的值域. 【答案】（1） （2） 在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则 ， 因为，所以， 又在上单调递增，故， 又， 故， 所以， 故在上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）根据得到方程，求出，检验满足在上为奇函数； （2）定义法证明函数单调性，其步骤为：取点，作差，变形定号，下结论； （3）变形得到，故，解不等式求出答案. 【小问1详解】 是定义在上的奇函数，故， 故，解得， 所以， 由于，故满足在上为奇函数， 故； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 故，即，解得， 故的值域为. 18. 某洗发水厂商为扩大销量，拟开展广告促销活动．根据前期调研，该款洗发水的月销售量a万瓶与投入的广告费用x万元满足关系式（k为常数），若不进行广告宣传，该产品的月销售量为16万瓶．已知该产品每一万瓶需要投入成本30万元，厂商将每瓶洗发水的销售价格定为元，且每月该产品都能销售完．设该产品的月销售利润为y万元．（注：销售利润＝销售收入－投入成本－广告费用） （1）求出k的值，并将y表示为x的函数； （2）求投入的广告费用为多少万元时，该产品的月销售利润最大？最大为多少？ 【答案】（1）， （2）所以当投入广告的费用为6万元时，该产品的月利润最大，最大利润为162万元. 【解析】 【分析】（1）先由已知条件求出待定系数，写出促销费用关系式，计算销售收入、投入成本，再表达利润即可； （2）将函数关系式作配凑变形，利用基本不等式求最值. 【小问1详解】 由题知，时，， 于是，，解得. 所以，.根据题意， 即 所以 【小问2详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以当促销费用为6万元时，该产品的利润最大，最大利润为162万元. 19. 已知函数与. （1）请用定义法证明函数的单调性; （2）当时,求在区间上的值域; （3）对于函数和,设,若存在α,β,使得,则称函数和互为“零点相邻函数”.若函数与是“零点相邻函数”,求实数a的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数单调性的定义直接证明即可； （2）当时，令，，函数化为，结合二次函数的性质，即可求得值域； （3）根据题中条件知，在上单调递增,且,据此可知，进而求得，又根据题意在上有解，换元后，根据对勾函数的性质即可求解. 【小问1详解】 任取,且, 则 , 因为, 所以, 所以,即， 所以函数在上单调递增. 【小问2详解】 当时,. 又,令,则， 函数的图象开口向上且对称轴为直线, 由， ， 得， 故在区间上的值域为. 【小问3详解】 由(1)知函数在上单调递增, 且,据此可知. 结合“零点相邻函数”的定义可得， 据此可知函数在区间上存在零点, 即方程在区间上存在实数根, 整理得， 令,则，. 根据对勾函数的性质, 函数在区间上单调递减,在上单调递增, 又， 所以，即， 故实数a的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都市邛崃一中2024-2025学年度上期高一年级调研考试 数 学 本试卷满分150分，考试时间150分钟. 注意事项: 1．答卷前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5．考试结束后，只将答题卡交回. 第I卷（选择题） 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 已知集合，若，则集合可以为（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题 ，命题 ， ，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 3. 已知，，则为（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数的图象关于点对称，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 已知奇函数在上为增函数，又，则不等式的解集为 （ ） A. B. C. D. 7. 已知是函数图像上不同的两点，则（ ） A. B. C. D. 8. 函数在区间上的零点个数为（ ） A. 1个 B. 4个 C. 2个 D. 0个 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“，”的否定是“，” C. 若，则 D. 若，，且，则的最小值为9 10. 函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象关于y轴对称 B. 在[0，+）上单调递减 C. 的值域为 D. 有最大值 11. 对于函数，若存在大于零的常数和非零常数，使得当取定义域中的每一个值时，都有，那么称为“类周期函数”，叫做“类周期”.下列四个命题正确的是（ ） A. 函数是以为“类周期”的“类周期函数” B. 函数是“类周期函数” C. 函数是以2为“类周期”的“类周期函数” D. 设函数是周期为的周期函数，当函数在上的值域为时，在上的值域为 第II卷（非选择题） 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 定义运算，若集合，则______. 13. 已知是奇函数，在区间上是增函数，又，那么的解集是 _________ 14. 已知函数，若方程有3个实数根，则实数k的取值范围是________. 四、解答题;本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. 已知数． （1）求的最小正周期和对称轴方程； （2）求在的最大值和最小值． 17. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性并证明. （3）求的值域. 18. 某洗发水厂商为扩大销量，拟开展广告促销活动．根据前期调研，该款洗发水的月销售量a万瓶与投入的广告费用x万元满足关系式（k为常数），若不进行广告宣传，该产品的月销售量为16万瓶．已知该产品每一万瓶需要投入成本30万元，厂商将每瓶洗发水的销售价格定为元，且每月该产品都能销售完．设该产品的月销售利润为y万元．（注：销售利润＝销售收入－投入成本－广告费用） （1）求出k的值，并将y表示为x的函数； （2）求投入的广告费用为多少万元时，该产品的月销售利润最大？最大为多少？ 19. 已知函数与. （1）请用定义法证明函数的单调性; （2）当时,求在区间上的值域; （3）对于函数和,设,若存在α,β,使得,则称函数和互为“零点相邻函数”.若函数与是“零点相邻函数”,求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $