精品解析：湖南省岳阳市岳阳县第一中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题

2024年高二上学期高二数学期末考试 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 在等比数列中，，．若，则（ ） A. 17 B. 16 C. 14 D. 13 2. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 3. 如图，中，为边上的中线，为的中点，若，则实数对（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线经过点，若点到该抛物线焦点距离为3，则 A. 2 B. C. 4 D. 5. 如图所示，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，是椭圆的顶点，是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 6. 有很多立体图形都体现了数学对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长都相等的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.已知点为线段上一点且，若直线与直线所成角的余弦值为，则 （ ） A B. C. D. 7. 设，是双曲线的左、右焦点，P为双曲线上一点，且，则的面积等于（ ） A. 6 B. 12 C. D. 8. 已知直线恒过抛物线C：的焦点F，且与C交于点A，B，过线段AB的中点D作直线的垂线，垂足为E，记直线EA，EB，EF的斜率分别为，，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题5分，共20分） 9. 已知抛物线C：的焦点为F，点A，B是抛物线C上不同两点，下列说法正确的是（ ） A. 若AB中点M的横坐标为3，则的最大值为8 B. 若AB中点M的纵坐标为2，则直线AB的倾斜角为 C. 设，则的最小值为 D. 若，则直线AB过定点 10. 直线l经过点，且两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是（ ） A. B. C. D. 11. 已知椭圆，，则（为椭圆上的点到两焦点的距离之和，为两焦点之间的距离）为（ ） A. B. C. D. 12. 已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 当取得最大值时， D. 三、填空题（每题5分，共20分） 13. 直线与上任意两点最小距离__________. 14. 若椭圆的弦中点坐标为，则直线的斜率为______. 15. 已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线标准方程为____________________. 16. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左，右焦点分别是，，这两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是_____________． 四、解答题（共70分） 17. 等比数列中，已知． （1）求数列的通项公式； （2）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和． 18. 已知数列满足， （1）求证：数列为等差数列; （2）求数列的通项公式与最大值. 19. 的顶点的垂心（三条高交点）为． （1）求顶点的坐标； （2）求的外接圆方程． 20. 设抛物线，F为C的焦点，过F的直线l与C交于A，B两点． （1）若l的斜率为2，求的值； （2）求证：为定值． 21. 已知数列是正项等比数列，且，，若数列满足，. （1）求数列和的通项公式； （2）已知，记.若恒成立，求实数t的取值范围. 22. 甲，乙两学校进行体育比赛，比赛共设两个项目，每个项目胜方得分，负方得分，平局各得分．两个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在两个项目中获胜的概率分别为，，甲学校在两个项目中平局的概率分别为，．各项目的比赛结果相互独立． （1）求甲学校两场比赛后获得冠军的概率； （2）用表示甲学校两场比赛的总得分，求的分布列与期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年高二上学期高二数学期末考试 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 在等比数列中，，．若，则（ ） A. 17 B. 16 C. 14 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式计算即可. 【详解】设等比数列的公比为q，因为， 所以，解得， 又，所以， 可得． 故选：D． 2. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据递推式得到数列的周期，应用周期性求对应项. 【详解】由，， 得， 所以数列是以为周期的周期数列， 则. 故选：B. 3. 如图，中，为边上的中线，为的中点，若，则实数对（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可 【详解】因为为的中点，且为边上的中线，故，故 故选：A 4. 已知抛物线经过点，若点到该抛物线焦点的距离为3，则 A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据到焦点的距离和抛物线的定义，求得，进而求得，从而求得. 【详解】由于点到该抛物线焦点距离为，根据抛物线的定义可知，所以抛物线的方程为，将代入得，所以. 故选：D 【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题. 5. 如图所示，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，是椭圆的顶点，是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合条件设椭圆方程，并确定各点坐标，根据，得到，列方程化简可得，求离心率可得结论. 【详解】因为椭圆的中心在原点，焦点在轴上， 故可设椭圆方程为， 因为，则点的坐标为， 又，，， 于是，， 因为，所以， 得，即， 所以， 故，． 故选：B. 6. 有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长都相等的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.已知点为线段上一点且，若直线与直线所成角的余弦值为，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量求线线角含参数问题，将该几何体还原成正方体，建立空间直角坐标系，求解. 【详解】将半正多面体补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系. 设半正多面体棱长为，则正方体的棱长为2， 所以，，所以，则， 设直线与直线所成角为， 则， 即，解得或（舍）. 故选：B. 7. 设，是双曲线的左、右焦点，P为双曲线上一点，且，则的面积等于（ ） A. 6 B. 12 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线定义结合已知求出及，再求出焦距即可计算作答. 【详解】双曲线的实半轴长，半焦距，因此，， 因，由双曲线定义得，解得，， 显然有，即是直角三角形， 所以的面积. 故选：A 8. 已知直线恒过抛物线C：的焦点F，且与C交于点A，B，过线段AB的中点D作直线的垂线，垂足为E，记直线EA，EB，EF的斜率分别为，，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将直线与方程联立后得到与横坐标有关韦达定理后结合题意计算或者设出直线与抛物线相交两点坐标，借助三点共线计算得到为定值，即只需计算的范围即可，结合题意由中点公式计算即可得. 【详解】解法一： 因为直线恒过C的焦点F，所以， 则，抛物线C：，把代入C的方程， 得，设，， 则，，所以， 所以，， 则， ，所以，由， 得； 解法二： 因为直线恒过C的焦点F，所以， 则，抛物线C：， 设，， 由A，B，F三点共线得，得， 又，所以， 由直线AB的斜率为t得， 得，则，所以， 由，得. 故选: B. 二、多选题（每题5分，共20分） 9. 已知抛物线C：的焦点为F，点A，B是抛物线C上不同两点，下列说法正确的是（ ） A. 若AB中点M的横坐标为3，则的最大值为8 B. 若AB中点M的纵坐标为2，则直线AB的倾斜角为 C. 设，则的最小值为 D. 若，则直线AB过定点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：利用A，B，F三点的位置与的关系及抛物线的定义求的最大值；对于B：利用点A，B在抛物线上及直线的斜率公式，将斜率转化为A，B两点纵坐标间的关系；对于C：利用点A在抛物线上及两点间的距离公式，将转化为点A纵坐标的代数式，结合二次函数的性质求的最小值；对于D：设直线AB的方程，与抛物线方程联立，转化为关于点A，B纵坐标的一元二次方程，结合及一元二次方程根与系数的关系求解直线AB方程中的参数，确定直线AB所过的定点 【详解】设． 对于选项A：若AB中点M的横坐标为3，则， 可得，当且仅当A，B，F三点共线时，等号成立， 所以的最大值为8，故A正确； 对于选项B：若AB中点M的纵坐标为2，则， 由题意可知直线AB的斜率存在，则， 所以直线AB的倾斜角为，故B正确； 对于选项C：设， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，故C错误； 对于选项D：设直线AB的方程， 代入抛物线，得， 则，可得， 因为，所以 ， 因为，解得，满足， 则直线AB的方程为，所以直线AB过定点，故D正确． 故选：ABD． 10. 直线l经过点，且两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】分截距为零与不为零讨论，不为零时设出截距式，利用点在直线上求出直线方程，逐一判断即可. 【详解】当直线l的截距为0时，直线l的方程为，即．故A正确； 当直线l的截距不为0时，设直线l的方程为，则 解得或 若则直线l的方程为，即；故C正确； 若则直线l的方程为，即．故D正确； 故选：ACD. 11. 已知椭圆，，则（为椭圆上的点到两焦点的距离之和，为两焦点之间的距离）为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】分焦点在轴上还是在轴上讨论确定的值. 【详解】当焦点在x轴上时，，曲线方程为， 则长半轴长为，半焦距为1， 离心率为； 当焦点在y轴上时，时，方程为， 则长半轴，半焦距1， 离心率为 故选:BC. 12. 已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 当取得最大值时， D. 【答案】CD 【解析】 【分析】设出公差，利用等差数列求和公式得到，，，，从而对选项一一判断，得到答案. 【详解】ABD选项，设的公差为， ，故， ，故， 所以，且，，即是递减数列，AB错误，D正确. C选项，由于是递减数列，，，故当取得最大值时，，C正确. 故选：CD 三、填空题（每题5分，共20分） 13. 直线与上任意两点最小距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线的斜率不相等判断两直线相交，即可得最小距离为0. 【详解】直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以两直线相交，故最小距离为0. 故答案为： 14. 若椭圆的弦中点坐标为，则直线的斜率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用点差法即可得解. 【详解】由于，所以点在椭圆内部， 设，，由已知，， 由题意，，两式相减得， . 故答案为：. 15. 已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为____________________. 【答案】 【解析】 【详解】依题意，设所求双曲线的方程为. 点为该双曲线上的点， . 该双曲线的方程为：，即. 故本题正确答案. 16. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左，右焦点分别是，，这两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆和双曲线的定义、椭圆和双曲线的离心率公式，结合等腰三角形的性质，从而可得，进而可得到关于的表达式，构造函数，再根据函数在上的单调情况即可解得的取值范围． 【详解】设椭圆和双曲线的半焦距为，，，， 由于是以为底边的等腰三角形， 由，即有，， 由椭圆的定义可得，由双曲线定义可得， 则，，相减可得， 即，得， 所以，， 显然在上单调递增， 所以， 所以的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：根据题意得到，从而得到关于的表达式，构造函数，再根据函数在上的单调性是解答本题的关键． 四、解答题（共70分） 17. 等比数列中，已知． （1）求数列的通项公式； （2）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和． 【答案】(1) . (2) . 【解析】 【详解】试题分析：（1）本题考查的是求等比数列的通项公式，由已知所给的条件建立等量关系可以分别求出首项和公比，代入等比数列的通项公式，即可得到所求答案． （2）由（1）可得等差数列的第3项和第5项，然后根据等差数列的性质可以求出等差数列的通项，然后根据等差数列的求和公式，即可得到其前项和． 试题解析：（Ⅰ）设的公比为由已知得，解得，所以 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，，则， 设的公差为，则有解得 从而 所以数列的前项和 考点：等差、等比数列的性质 18. 已知数列满足， （1）求证：数列为等差数列; （2）求数列的通项公式与最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2），最大值是 【解析】 【分析】（1）计算，根据等差数列的概念即得结论； （2）由（1）可得，再研究其单调性，计算可得结论． 【小问1详解】 因为 ， 所以数列是以-1为首项，3为公差的等差数列. 【小问2详解】 由（1）可得，即 当时，由反比例函数的性质知单调递减， 所以， 又，，， 所以数列的最大值是 19. 的顶点的垂心（三条高交点）为． （1）求顶点的坐标； （2）求外接圆方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据，结合斜率公式即可得解； （2）设的外接圆方程为，利用待定系数法求出即可. 【小问1详解】 设， 由题意得，， 所以，解得， 所以顶点的坐标为； 【小问2详解】 设的外接圆方程为， 则，解得， 所以的外接圆方程为. 20. 设抛物线，F为C的焦点，过F的直线l与C交于A，B两点． （1）若l的斜率为2，求的值； （2）求证：为定值． 【答案】（1）5 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，利用焦点弦长公式，即可求解； （2）首先设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，并利用韦达定理表示，即可求解. 【小问1详解】 过点，且直线的斜率为2的直线为， 设，， 联立，得，， ； 【小问2详解】 设过点的直线， 联立，得，， 则， . 21. 已知数列是正项等比数列，且，，若数列满足，. （1）求数列和的通项公式； （2）已知，记.若恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设数列的公比为，由，可得，从而可求出公比，进而可得的通项，由题意得，由求出，然后利用累加法可求出的通项公式； （2）由（1）得，然后利用裂项相消求和法可求出，则由，得恒成立，再构造函数，求出其最大值即可. 【小问1详解】 设数列的公比为，由，得， 由，得，所以，即， 解得（舍去），或， 所以， 因为，所以， 由，得，得， 当时， ， 当时，，所以， 【小问2详解】 由（1）得 ， 所以 ， 由恒成立，得，得恒成立， 令，则 ， 当时，，当时，， 当时，，所以， 所以， 所以， 所以，即实数t的取值范围为 【点睛】关键点点睛：此题考查等比数列的基本量计算，考查累加法求通项公式，考查裂项相法求和法，解题的关键是将，化为，从而可求出，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 22. 甲，乙两学校进行体育比赛，比赛共设两个项目，每个项目胜方得分，负方得分，平局各得分．两个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在两个项目中获胜的概率分别为，，甲学校在两个项目中平局的概率分别为，．各项目的比赛结果相互独立． （1）求甲学校两场比赛后获得冠军的概率； （2）用表示甲学校两场比赛的总得分，求的分布列与期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式结合互斥事件概率的加法公式直接计算； （2）确定随机变量的可能情况，再根据独立事件的乘法公式结合互斥事件概率的加法公式计算概率，可得分布列与期望. 【小问1详解】 甲获胜分三种情况：胜胜，胜平，平胜， 则甲获胜的概率为 【小问2详解】 所有可能取值为，，，，，， ， ， ， ， ， ， 其分布列如下表 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $