云南省玉溪市2024-2025学年高二上学期期末教学质量检测数学试题

【考试时间：1月14日08：30~10：30】 玉溪市2024~2025学年秋季学期期末高二年级教学质量检测 数学试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第【卷第1页至第2 页，第Ⅱ卷第3页至第4页。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分， 考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1,答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、准考证号、考场 号、座位号在答题卡上填写清楚， 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只 有一项是符合题日要求的)】 1.已知集合A={x2x>1|,B={xx2<4:,则A∩B= A（2,2 B.(-2,2) c习 D.(2,+o) 2.若z-i=√2+i,则|z= A.2+√2 B.8+4v2 C.6 D.6 3.已知等比数列an}满足a1+a2=9,a2+a=18,则a3+a4= A.9 B.36 C.54 D.72 、 、4.已知椭圆25+。三1与双曲线是8=1具有相同的焦点、了 则该双曲线的渐近线方程为 3 2/17 21 A,y=±x B.y=±3 C.y=± 17 D.y=± 21 5.在三棱锥P-ABC中，M在PA上，N在BC上，且PM=3MA,BV=2NC,则 A.Mm=-1pi+pi+2p元 B.M=-3p+PB+2P元 C.N--P- n.Mm=-3pi-pB+p元 3 高二数学·第1页（共4页） 6.某学校组织学生开展环保知识测试活动，现把100名 频半 学生的成绩绘制成了如图1所示的频率分布直方图， 组距型 0.030 根据图中数据得 0.024 A.a=0.2,此样本数据的66%分位数为82.5 0.016 B.a=0.02,此样本数据的66%分位数为82.5 0.006 C.u=0.2.此样本数据的66%分位数为85 0.004 405060708090100成绩/分 ).a=0.02,此样木数据的66%分位数为85 图1 7.已知cos(a+B)=2m,tanatanB=3,则cos(a-B)= A.-4m C. D.4m 8.如果向量a,的夹角为6，我们就称a×b为向量与b的“向量积”，a×i还是一个向 量，它的长度为i×万1=|a|·b|siA.在棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D1中， 则AD,×DR引= A.-43 B.-4 C.4 D.43 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有 多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知圆的一般方程为x2+y2+3x-2y-3=0,则 人该圆圆心坐标为3- B该圆心坐标为刂 C.该圆半径为5 D.该圆半径为2 10.已知函数f(x)的定义域为R,f(2)=4,f(x-1)是偶函数，x1,x2∈[-1，+∞)， 且x1≠2， f孔x)f(）0,则 x1-x2 A.f-4)=4 B.f(-3)=4 C.f(0)>4 D.f(3)<4 11.设函数f(x)=cos(wx+p)(w>0,0<p<T)的图象大致如图2，则 Ap-日 3m B.= 4 C.(x)向右平移π个单位后得到一个偶函数 图2 .向右平移个单位后得到-个偶函数 高数学·第2真（共4页） 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.抛物线y=6x2的焦点坐标为 13.已知向量a=(0,1),b=(2,x),若|b-3=√5，则x= 14.已知等边三角形ABC内一点0到边AB,BC,AC的距离分别为2,3,4，则AB= 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）》 15.(本小题满分13分)》 已知函数f(x)=x2+ax-2b+1,不等式f八x)<0的解集为(-2,3) (1)求实数a,b的值： (2)若对Hx∈[1,2]，f(x)-2+3k≥0恒成立，求实数k的取值范. 16.(本小题满分15分) 已知等差数列1an的前n项和为S.,且a2=5,a2n=2an+1. (1)求数列{an}的通项公式： (2)设b,=2“+a。,求数列{bn的前nJ项和T. 高数学·第3贝（共4项） 17.(本小题满分15分) 如3，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AD∥BC,PA=AC=4,AD=I,AB =BC=22 (1)证明：AD⊥平面PAB: (2)求PB与平面ACP所成角的正弦值 图3 18.(本小题满分17分) xy 已知双曲线C:。~尽1(>0，b>0)的左、右焦点分捌为B,B,过点F的直线 与C的左支相交于P,Q两点，满足PQ⊥PF2,且12PQ=5IPF2,PF2I- PF,=10 (1)求双曲线C的方程： (2)过点(5,0)与直线PQ平行的直线l与双曲线C交于A,B两点，求△ABF2的 面积. 19.(本小题满分17分】》 设n次多项式Pn(x）=anx+a-1x-+…+ax2+a1x+ao(n≠0)，若其满足Pn(cosx)= cosx,则称这些多项式P,(x)为切比雪夫多项式.例如：由cos0=cos0可得切比雪夫 多项式P,(x)=x(x∈[-1,1门) (1)求P(x): (2)若切比当夫多项式P,(x)=ax+bx2+cx+d,求u+2b+3c+4d的值： (3)已知函数f(x)=8x-6x-1在(-1,1)上有3个不同的零点，分别记为，2， ,求x++x的值 高二数学·第4贞（共4页）玉溪市2024~2025学年秋季学期期末高二年级教学质量检测 数学参考答案 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 题号 1 3 4 6 7 8 答案 C C B A B B A D 【解析】 1.由题意可得， 4=8=2<<2,所以4n8=<2斗， 故选C 2.由z-i=√2+i,得z=√2+2i,z=√2+4=√6，故选C. 3.因为数列{a}为等比数列，设等比数列的公比为q,则a2+a=ag+a9=(a,+a2)9,解得 9=2,a+a=a29+a9=(a2+a)g=36,故选B. 4。由椭圆5+号-1，易知其右焦点坐标为40，∴双曲线 28 =1的右焦点为(4,0)， 259 0=16-8,六双曲线的渐近线为y=士2=，放选A 5.M在A上，N在BC上，且PM=3MA,BN=2NC,M=M+AB+B趴=P+AB+ 4 C=P+(-Pm+C-m=Pm+历+Pc,故选B 4 6.由频率分布直方图得：(0.004+0.006+a+0.030+0.024+0.016)×10=1,解得a=0.020, 数据在[40,80)的颜率为(0.004+0.006+0.020+0.030)×10=0.6，数据在[4090)的频率为 0.84,因此此样本数据的66%分位数m∈(80,90)，由0.6+(m-80)×0.024=0.66,解得 m=82.5,所以估计此样本数据的66%分位数为82.5，故选B. 高二数学参考答案·第1页（共7页） cosa cos B-sin asin B=2m, 7.因为cos(a+)=2m,tana tan B=3,所以 sinasinB=3. 解得 cosa cos B cos a cos B=-m. sinasin B=-3m, 因此cos(a-)=cosa cosB+sinasin B=-4m,故选A. 8.在正方体中，因为BD∥B,D，且∠ADB=60°，所以(AD,DB)=120°，所以 1D×D丽HADDB1sim(A,DB=2N2×2N2×5=4N5,故选D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 BD ACD BC 【解析】 9.圆++3-2-3=0转化为列+引+0-=得，其圆心坐标为侵小 半径 为，故选BD. 10.因为%，无+四，且*5，有)-)<0，所以f在-h+四上单调 -x2 递减，又f(x-I)是偶函数，则f(x-1)的图象关于x=0对称，所以f(x)的图象关于x=-I 对称，则f(-4)=f(2)=4,故A正确：f(-3)=f)>f(2)=4,故B不正确： f(0)>f(2)=4,故C正确：f(3)<f(2)=4,故D正确，故选ACD. 1,由图知f0=-5,os0=-巨 2 pe0动，“p=经，故A不正确，B正确： =0,受o+证-akeZ,a=4h-l,又：a2 42 T>,正>，0<0 24 4 <4,0-3,向右平移子个单位后得到-m千-到-cm3x,故C 正确 ∫(x)向右平移 3π 个单位后得到 )=ox-}买=cos3x-}-sn3x,故D不正确，故选BC 高二数学参考答案·第2页（共7页） 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 2或4 6N5 【解析】 12。根据题意，抛物战p=6的标准方程为-名，其焦点在)轴上，且2印=名，则p 121 期能物线的焦点坐标为口》 13.由题意，得6-3a=(2,x-3),则16-3ā=V4+(x-3)2=√5，解得x=2或4. 14.连接O40B,0C,设B=m,则S=Sm+Sm+Sam,5m_亿+3+m 4 解得m=65· 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 解：(1)因为f(x)=x2+a-2b+1的解集为(-2,3)， 所以x2+ax-2b+1=0的两根为-2和3， …(2分) -a=(-2)+3=1, 所以 -2h+1=(-2)·3=-6 …(4分) a=-l, 解得 7 D-2 …(6分) (2)由(1)得f(x)=x2-x-6, x∈[l,2],f(x)-2+3k≥0，即f(x)m-2+3k≥0， …(8分） 因为当x∈[1,2]时，f(x)单调递增，…(10分) 高二数学参考容案·第3页（共7页） 所以f(x)m=f0)=6,即3k≥8， 解得公8 …(13分) 16.(本小题满分15分) 解：(1)设等差数列an的公差为d,由an=2an+1,得a2=2a,+1, …(2分) 解得=2，d=2一日，=3，…(4分) 所以an=41+(n-1)d=3n-1.…(7分) (2)bn=2+0n=2”+(3n-1),…(9分) 于是有T-20-22+2m+3m-) 1-2 2 T=21+3n+2.…(15分) 22 17.(本小题满分15分) (I)证明：因为PA⊥平面ABCD,ADC平面ABCD,所以PA⊥AD, …(2分) 因为AB=BC=2√2，AC=4,AB2+BC2=AC2,所以BC⊥AB, …(4分) 因为AD∥BC,所以AD⊥AB,… …(5分) 因为PA∩AB=A,ABC平面PAB,PAC平面PAB, 所以AD⊥平面PAB,…(7分) (2)解：由(1)，以A为原点，分别以AB,AD,AP为x,y,z轴，建立空间直角坐标 系，则A(0,0,0),B2N2,0,0),C(22,22,0),P0,0,4), …(9分) 设平面ACP的一个法向量m=(:,), 高二数学参考容案·第4页（共7页） 因为AC=(22,22,0),AP=(0,0,4), AC·m=0, 所以由 [2W2.x+22y=0, AP.m=0, 14z1=0, 可取m=(1,-1,0): t。t+ …(1分) 又BP=(-22,0,4), …(12分) 设PB与平面ACP成角B, sin=cos(m,PB)=- m·PB1.25 6 m-PB1√2V246 所以PB与平面ACP所成角的正弦值为 …(15分） 6 18.(本小题满分17分) 解：(1)解法一：由12PQ=51PF, 设1PQ=5m,|PF=12m, 由PQ⊥PF,得引OF=13m, (2分) 则1PF上12m-2a,1QF上13m-2a, 而PE1+OFHPOI,解得m=号 …(4分) 因此P听，PR1 …(6分) 令FB卡2c,在△PFB中，由PRP+1 PEF-REP,得g+14a =4c2, 25 25 …(8分) 则e=e-37 5 由|PF|-|PF=2a=10, 所以双曲线方程为C x2 y2 2512=1, ……(10分) 高二数学参考答案·第5页（共7页） 解法二：由题意，设1PF=121,PQ=5t, 所以|Qf3仁13，…(2分) 设1PF=m,则12t-m=10①，1QF=51-m, 所以51-m+10=13t②， 由①②解得1=1，m=2,… …(4分) 又因为引PFP+|PF=4c2, 所以c=√37，… (6分) 因为2aPF2|-|PF=10, 所以a=5,g2=25,… …(8分) 所以b2=12, 所以双曲线方程为C。上 =1 …(10分) 2512 (2)由（a)得am∠PF5=PE=6, PFI 结合对称性，图中P,Q位置可互换，则直线PQ的斜率为士6，故直线I的斜率为6， 设点A(x另)，B(x2)，… …(13分) y=6(x-5) 当直线1的方程为y=6(x-5)时，联立 2512 =1, 可得-32x+15x-38=0, 25 190 30 解得x=5,=37，为=37 因此5m=号91-5h15-5 130 …(16分) 37 结合对称性，当直线I的方程为y=-6(x-5)时，结果不变， 综上：△AB5的面积为15V37-75 …(17分) 37 高二数学参考答案·第6页（共7页） 19.(本小题满分17分) 解：(1)因为cos20=2c0s20-1, …(2分) 可得切比雪夫多项式P(x)=2x2-1(x∈[-1，]).… (4分) (2)因为P(cos0)=cos30=cos(20+) =cos 20cos0-sin 20sin0 =(2cos20-1)cos0-2sin20cos0 =2cos0-cos0-2(1-cos20)cos0=4cos0-3cos0, …(8分) 因此B(x)=4xr3-3x(c[-l,),即ax3+bx2+cx+d=4x23-3x, 则a=4,b=d=0,c=-3, 所以a+2b+3c+4d=-5.… …(10分) (3)函数fx)=8x-6x-1在(-1，)上有3个不同的零点x,x,, 即方程-3x=在》上有3个不同的尖银。 …(11分) 令x=cos0,0∈(0，π)， 由(2)知os0分面30e@3动划。 则30=或30.5或30=7 …(13分) 3 于是x=cos2, 7元 9 π 5π 4π 2n 则x+2+,=cos。+c0 +c0s 9 9 9 -cos- 9 3π，π） 3rπ】 9 99 =2cosc0s。 =cos g' 所以++=0,…(15分) +呢+写=+出++居君 33 4 …(17分) 高二数学参考容案·第7页（共7页）