专题01 幂的运算重难点题型专训（16大题型+15道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版2024）

专题01 幂的运算重难点题型专训（16大题型+15道提优训练） 题型一 同底数幂相乘 题型二 同底数幂乘法的逆用 题型三 用科学记数法表示数的乘法 题型四 幂的乘方运算 题型五 幂的乘方的逆用 题型六 积的乘方运算 题型七 积的乘方的逆用 题型八 同底数幂的除法运算 题型九 同底数幂除法的逆用 题型十 幂的混合运算 题型十一 零指数幂 题型十二 负整数指数幂 题型十三 幂的运算等于1的情况 题型十四 用科学记数法表示绝对值小于1的数 题型十五 由幂的运算确定字母的关系 题型十六 新定义幂的运算 知识点一．同底数幂的乘法 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==． 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． 知识点二．幂的乘方 （1）幂的乘方的意义： 幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n个am相乘，读作a的m次幂的n次方． （2）幂的乘方法则： 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 【拓展】 （1） 幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）． （2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 知识点三．积的乘方 （1）积的乘方的意义： 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等． （积的乘方的意义） =（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交换律、结合律） =a3b3． 积的乘方法则： 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 知识点四．同底数幂的除法 同底数幂的除法法则： 一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【拓展】 （1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质， 例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）． （2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 知识点5：零指数 a0=1 (a≠0) 知识6：科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 知识点7：负整数幂 当n 是正整数时，（，n是正整数） 【经典例题一 同底数幂相乘】 【例1】（24-25八年级上·上海浦东新·阶段练习）下列各题能用同底数幂乘法法用进行计算的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法的法则进行分析即可，熟练掌握同底数幂的乘法法则并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：A、的底数不一样，不能用同底数幂的乘法的法则运算，故A不符合题意； B、，底数一样，能用同底数幂的乘法的法则运算，故B符合题意； C、只能用合并同类项的法则运算，故C不符合题意； D、，底数不一样，不能用同底数幂的乘法的法则运算，故D不符合题意； 故选：B． 1．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，由得，进而由同底数幂的乘法即可求解，掌握同底数幂的乘法运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习） ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，解题的关键的是掌握：同底数的幂相等，底数不变，指数相加；乘方符号的规律：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．据此解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知，求的值． 【答案】． 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，首先根据同底数幂相乘底数不变指数相加，得到，可以得到关于的方程，解方程求出，把代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， ． 【经典例题二 同底数幂乘法的逆用】 【例2】（23-24八年级上·河南安阳·期末）已知，，，则的值为（     ）． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，将与同底数幂的乘法法则建立联系是解答本题的关键，同底数幂的乘法的逆运算是指 ,将，，，三式相乘,即可得到答案． 【详解】解： ，，， ， ， 故选：A． 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算、同底数幂的乘法，首先逆用同底数幂的乘法法则，得到原式，再提公因数得到，经计算得到结果． 【详解】解： ． 故选：B． 2．（2024七年级上·上海·专题练习）已知，则x的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法运算以及提取公因式法分解因式，熟练并正确掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故， 解得： 故答案为：3． 3．（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）下面是小明完成的一道作业题．小明的作业： 计算： 解：原式． 知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： ①； ②． 知识拓展：若，求的值． 【答案】①1 ②，知识拓展： 【分析】(1)根据同底数幂的乘法的逆运算进行计算即可． (2)根据同底数幂的乘法的逆运算，再按照分数乘法计算即可． (3)根据同底数幂的乘法的逆运算进行计算即可． 【详解】①， ②， 知识拓展：， ． 【点睛】此题考查了同底数幂乘法的逆运算，解题的关键是熟悉同底数幂的乘法． 【经典例题三 用科学记数法表示数的乘法】 【例3】（2023·四川达州·模拟预测）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：，，则兆用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法、同底数幂的乘法．根据可得，根据可得，根据同底数幂相乘底数不变指数相加可得． 【详解】解：， ， ． 故选：B ． 1．（2024·河北邯郸·模拟预测）迄今为止，神舟号飞船已经将多位宇航员送入了中国空间站，已知中国空间站绕地球运行的速度约为，则中国空间站绕地球运行走过的路程（m）用科学记数法可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，掌握是解题的关键．根据路程速度时间列出代数式，根据单项式乘单项式的法则计算，最后结果写成科学记数法的形式即可． 【详解】解： （米）． 故选：D． 2．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）科学家发现某种细菌的分裂能力极强，这种细菌每分钟可由1个分裂成2个．现将1个这种细菌放在培养瓶中，经过8分钟就能分裂满一瓶．如果将8个这种细菌放入同样的一个培养瓶中，那么经过 分钟就能分裂满一瓶． 【答案】5 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，解一元一次方程．先计算出装满一瓶的细菌个，设将8个细菌放入同样的培养瓶中经过x分钟就能分裂满一瓶，则，求解即可． 【详解】解：设将8个细菌放入同样的培养瓶中经过x分钟就能分裂满一瓶， 则， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）废旧电池是危险的固体废弃物之一，如果处理不当，不但会严重污染土壤和水源，还将直接危害人体健康. 一粒纽扣电池可使6×105kg水受到污染，相当于一个人一生的饮水量！我国每年约有8000万粒纽扣电池报废，如果处理不当，每年将会有多少水受到污染(请用科学记数法表示)？ 【答案】4.8×1013kg. 【分析】先列式计算，再用科学记数法表示. 【详解】解：由题意，得 6×105×80000000 =6×105×8×107 =48×1012 =4.8×1013(kg). 答案为：4.8×1013kg. 【点睛】本题考查用科学记数法表示大数．用科学记数法表示数的关键是确定a与10的指数n，确定a时，要注意范围，n等于原数的整数位数减1. 【经典例题四 幂的乘方运算】 【例4】（2024八年级上·全国·专题练习）已知，则x的值为（　　） A．17 B．16 C．15 D．14 【答案】A 【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方、同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方与同底数幂的乘法法则进行解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 1．（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较和幂的乘方，先根据幂的乘方进行变形，再比较即可，能正确根据幂的乘方进行变形是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级上·福建厦门·期中）若，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了幂的运算，熟练的掌握幂的运算法则对题干进行适当变形是解决本题关键． 根据幂的运算即可解答出． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故答案为：6． 3．（23-24八年级上·四川眉山·阶段练习）解答下列问题： (1)若，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值； (3)若，，用含的代数式表示． 【答案】(1)27； (2)32； (3)． 【分析】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方的运算法则是解此题的关键． （1）由题意可得，再将式子变形为，整体代入计算即可得解； （2）将式子变形为，整体代入计算即可得解； （3）由题意可得，代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴． 【经典例题五 幂的乘方的逆用】 【例5】（24-25八年级上·四川眉山·期中）已知，，，，则 a、b、c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数乘方的应用，解决本题的关键是熟记有理数的乘方法则．应先将化为指数都为11的乘方形式，再比较底数的大小，即可确定出的大小． 【详解】解：， ， 故选：A 1．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）已知，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方等知识点，掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则是解答本题的关键． 先根据幂的乘方和积的乘方的运算法则变形，然后将的值代入计算即可． 【详解】解： ． 故选C． 2．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）我们定义：三角形，四边形；若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新运算、幂的乘方、积的乘方、整体代入法求代数式的值．首先根据规定的新运算可得，从而可得：，根据幂的乘方和积的乘方的运算法则整理可得：，然后再整体代入计算可得原式． 【详解】解：， ， ． 故答案为： ． 3．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）计算 (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）逆用幂的乘方法则变形求解.     （2）利用同底数乘法的逆运算解答． 此题考查了逆用幂的乘方，同底数乘法的逆运算，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则． 【详解】（1）解：， （2）解：∵， ∴． ∴． 【经典例题六 积的乘方运算】 【例6】（23-24八年级上·四川绵阳·周测）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本考查了积的乘方、同底数幂相乘，科学记数法等知识，先根据积的乘方法则计算，然后根据乘法交换律和结合律以及同底数幂相乘法则计算即可． 【详解】解∶原式 ， 故选∶C． 1．（2024七年级下·江苏·专题练习）若，则 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方等知识点，灵活运用所学知识进行变形成为解题的关键． 将等式两边分别整理成以10为底的幂，然后再对比其指数作答即可． 【详解】解： ． ， ， ． 故选：D． 2．（24-25七年级上·上海宝山·期中）通过探究，当为正整数时，，那么根据这一结论，请计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，正确将所求式子变形为是解题的关键． 所求式子可以变形为，根据积的乘方计算法则继续变形得到，由此根据题意求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）675；（2）200 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘法的逆用、幂的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先根据幂的乘方的逆用求出和，再根据同底数幂的乘法的逆用计算即可得； （2）先计算积的乘方与幂的乘方可得，再根据幂的乘方的逆用计算即可得． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∴； （2）∵， ∴ ． 【经典例题七 积的乘方的逆用】 【例7】（24-25八年级上·黑龙江·期末）计算的结果为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂相乘逆用，先把，然后根据积的乘方，同底数幂相乘逆用即可求解，掌握积的乘方，同底数幂相乘法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 1．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）已知，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．2000 D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方运算以及同底数幂相乘，积的乘方，由已知证明可得，进而求得代数式的值． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴； ∴， ． 故选B． 2．（24-25八年级上·福建厦门·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方与幂的乘方运算法则，熟练掌握积的乘方与幂的乘方运算法则的逆用是解题的关键． 先逆用幂的乘方法则将化成，再逆用积的乘方法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山西临汾·期中）下面是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算： 解：原式 计算： (1) (2)若，请求出n的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，以及幂的乘方的逆用； （1）根据积的乘方及幂的乘方的运算法则得到正确结果； （2）根据已知可得，进而得出，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：∵， ∴ ∴， ∴， 解得 【经典例题八 同底数幂的除法运算】 【例8】（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）已知，求的值是（   ） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的除法，根据幂的乘方法则和同底数幂的除法法则，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选A． 1．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）已知，，，则的值为（    ） A．1 B．3 C．729 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，幂的乘方的逆运算，同底数幂乘除法计算，先根据幂的乘方计算法则求出，，再由同底数幂乘除法计算法则求出，则． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴，， ∴ ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级上·天津和平·期末）若，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法，利用同底数幂乘除法法则求出m的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 3、（23-24八年级上·全国·单元测试）阅读下列材料： 若（且，是整数），由于两个幂相等，且底数相同，因此它们的指数相等，即有．根据这一结论我们可以解简单的方程： 若，求的值． 解：根据指数运算法则有： ， ∴，∴，∴． 利用上面知识解决下面的问题： (1)已知，求x的值； (2)如果，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同底数幂的运算、幂的乘方运算、积的乘方的逆用、解一元一次方程等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）将原式整理为，进而可得，求解即可； （2）将原式整理为，进而可得，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即， 则，解得； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 【经典例题九 同底数幂除法的逆用】 【例9】（23-24八年级上·福建泉州·期中）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．根据同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用可得，代入计算即可得． 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：B． 1．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若，，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂除法的逆运算．熟练掌握幂的乘方的逆运算，同底数幂除法的逆运算是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 2．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如果，那么称为的“拉格数”，记为，由定义可知：．例如，因为，所以，．若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查同底数幂的乘除法的实际应用，掌握同底数幂的乘除法法则是解题的关键． 结合定义，利用同底数幂的乘除法的逆运算得出，，进行计算即可． 【详解】解：由题意，设， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ， ， ∵． ， ， 故答案为：4． 3．（23-24七年级下·江苏南京·期末）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用请运用幂的运算法则的逆用解决下列问题： (1)________； (2)已知，请把用“<”连接起来：________； (3)若，求的值； 【答案】(1) (2) (3)18 【分析】本题考查幂的运算的逆用： （1）逆用积的乘方，进行求解即可； （2）将化为同指数幂的形式，比较底数的大小即可； （3）逆用同底数幂的乘除法，幂的乘法，进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； 故答案为：； （2）， ∵， ∴； 故答案为：． （3）∵， ∴． 【经典例题十 幂的混合运算】 【例10】（23-24七年级下·江西萍乡·期中）计算下列各式①(a3)2÷a5=1；②(-x4)2÷x4=x4；③(x-3)0=1(x≠3)；④(-a3b)3÷=-2a4b正确的有（    ）题 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据整数指数幂的运算法则解答即可． 【详解】解：①(a3)2÷a5=a6÷a5=a，故原式错误； ②(-x4)2÷x4=x8÷x4=x4，故原式正确； ③因为x≠3，所以x-3≠0，(x-3)0=1，故原式正确； ④(-a3b)3÷a5b2=-a9b3÷a5b2=-2a4b，故原式正确. 所以正确的有3个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了整数指数幂的运算，熟记法则是解决此题的关键. 1．（23-24七年级·全国·课后作业）计算的结果为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算积的乘方进行运算后，再利用同底数幂的除法法则运算即可 【详解】解： 故选A 【点睛】本题考查了积的乘方、同底数幂的除法，记住并运用法则是解决本题的关键． 2．（23-24·山东临沂·一模）观察等式：；；；….已知按一定规律排列的一组数：，，，…，….若，用含的式子表示这组数的和是 ． 【答案】 【分析】由题意可得＋＋＋…＋＋＝（1＋2＋22＋…＋229＋230）＝（1＋231−2）＝（×2−1），再将＝m代入即可求解． 【详解】∵，， ∴2＋22＋23＋…＋2n＝2n＋1−2 ∵， ∴＋＋＋…＋＋ ＝（1＋2＋22＋…＋229＋230） ＝（1＋231−2） =（×2−1） ＝m（2m−1） =． 故答案为：． 【点睛】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：2＋22＋23＋…＋2n＝2n＋1−2． 3．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的混合计算，积的乘方计算，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）先算幂的乘方，再算乘除即可； （2）先算积的乘方，再算乘法，最后算加法． 【详解】（1）解： ； （2） 【经典例题十一 零指数幂】 【例11】（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）若，，，，则，，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂，先根据有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算法则求出各数，再比较即可得解． 【详解】解：，，，， ∵， ∴， 故选：C． 1．（2025七年级下·全国·专题练习）若，，则下列关于的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查有理数的大小比较，负整数指数幂、零指数幂以及乘方，计算出的大小是解题的关键． 先分别计算出，再比较大小即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 2．（24-25八年级上·北京·期中）若，则x需要满足的条件是 ． 【答案】 【分析】根据非0数的零次幂等于1，即可得出结论． 本题考查零指数幂的定义．熟记非0数的零指数幂为0是解题关键． 【详解】解：若，则， 解得． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·湖南湘西·期末）计算： 【答案】732 【分析】本题考查了含有乘方的有理数的混合运算，零指数幂的运算，熟练掌握含有乘方的有理数的混合运算是解题的关键．先进行小括号内的乘方运算，同时进行剩余三个乘方运算，然后进行带有小括号的乘方运算，再进行乘除运算，最后计算有理数的加法即得答案． 【详解】解： ． 【经典例题十二 负整数指数幂】 【例12】（24-25八年级上·河南商丘·期中）计算的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方运算及负整数幂的运算，利用积的乘方和幂的乘方运算及负整数幂的运算法则计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 1．（2024·河北·模拟预测）若，则n的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方逆应用，同底数幂的乘法及负整数幂的逆应用，根据已知，正确变形计算即可． 【详解】解： ， ， 故选：A． 2．（2025七年级下·江苏徐州·专题练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，负整数指数幂的意义，根据同底数幂的乘法法则把变形得，，由幂的乘方得，从而可得，代入所给代数式求解即可． 【详解】解：因为， 所以，， 所以，， 所以，即， 所以， 所以． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·上海闵行·期末）计算：．（结果不含负整数指数幂） 【答案】 【分析】本题主要考查幂的混合运算， 先计算负整数幂和整数幂的计算，然后再计算乘除法即可． 【详解】解： 【经典例题十三 幂的运算等于1的情况】 【例13】（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）若，则的值为(    ) A． B．1或 C．或1或3 D．或1 【答案】B 【分析】本题考查零指数幂公式，和1的n次方的结果等知识，可按当时与当时两种情况讨论，掌握乘方结果是的三种情况：即①底数不为0，指数是0，②底数是1，③底数是，指数为偶数是解题的关键． 【详解】解：①当，即时，，即 ∴； ②当，即时，则有(i)；(ii)且为偶数； (i)由解得：， (ii)解得：，此时，为奇数，不合题意， ∴； 综上所述：或， 故选：B． 1．（23-24七年级上·上海青浦·期末）关于代数式，下列说法正确的是（    ） A．的值一定是0 B．的值一定是1 C．当时，的值是1 D．当时，的值是1 【答案】D 【分析】根据当时，有意义，且，即判断即可． 【详解】解：有意义的条件是： ， 解得， 即当时， 故选：D． 【点睛】本题考查了0次幂有意义的条件；熟练掌握0次幂有意义的条件是解题的关键． 2．（24-25八年级上·辽宁营口·期中）观察等式，其中的值是 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了零指数幂，乘方，熟练掌握零指数幂是解题的关键．根据题意分三种情况进行分类讨论即可． 【详解】解：当时，，解得； ②当时，； 当为偶数时，，解得． 故答案为：或或． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）基本活动：______；______；______；______；______；_______． （2）结论总结：若n表示整数，分别求出和的值． （3）综合应用：求满足等式的x的值． 【答案】（1）1，1，1，，1，1；（2）．当n为奇数时，；当n为偶数时，；（3）x的值为或或． 【分析】本题考查了乘方的意义，零指数幂的意义． （1）根据乘方的意义计算即可； （2）根据（1）中的计算结果总结即可； （3）分3种情况求解：当指数为0且底数不为0时；当底数是1时；当底数是且指数是偶数时． 【详解】解：（1）；；；；；． 故答案为：1，1，1，，1，1； （2）由（1）可知，．当n为奇数时，；当n为偶数时，； （3）当指数为0且底数不为0时， ，∴，此时，符合题意； 当底数是1时； ，∴； 当底数是且指数是偶数时． ，∴，此时，符合题意； 综上可知，x的值为或或． 【经典例题十四 用科学记数法表示绝对值小于1的数】 【例14】（24-25八年级上·湖北随州·期末）红外线是太阳光线中众多不可见光线中的一种，且应用广泛，某红外线遥控器发出的红外线波长约为，用科学记数法表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，理解科学记数法的定义是解题的关键．根据用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可得到答案． 【详解】解： 故选：B． 1．（23-24八年级上·北京·期中）中国女药学家屠呦呦获诺贝尔医学奖，她的突出贡献是创制新型抗疟药青蒿素和双氢青蒿素，已知显微镜下的某种疟原虫平均长度为0.0000015米，0.0000015用科学记数法表示为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查用科学记数法表示较小的数．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.0000015用科学记数法表示为：． 故选：A． 2．（24-25八年级上·江西南昌·期末）“九章”是中国科学技术大学潘建伟院士领衔的陆朝阳教授课题组与中科院上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作自主研发的光量子计算原型机．根据官方数据，“九章三号”在过二十亿年才能完成，其中0.000001用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：将数据0.000001用科学记数法表示为； 故答案为：． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）一块正方体铁块的棱长为． (1)这块正方体铁块的体积是多少立方米（用科学记数法表示）？ (2)如果有一种小正方体铁块的棱长为，那么需要多少块这样的小正方体铁块才可以摆成棱长为的大正方体铁块? 【答案】(1)立方米 (2)块 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用，科学记数法，积的乘方的应用，同底数幂的除法的应用，准确理解题意，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据正方体的体积公式列式计算即可； （2）先算出小正方体的体积，用大正方体的体积除以小正方体的体积即可． 【详解】（1）解：（立方米）， 答：这块正方体铁块的体积是立方米； （2）解：（立方米）， （个）， 答：需要1000块这样的小正方体铁块． 【经典例题十五 由幂的运算确定字母的关系】 【例15】（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知，，，那么、、之间满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据可得，再根据得到，最后根据同底数幂的乘法可得出结论．熟练掌握它们的运算法则及性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 1．（2022·河北唐山·一模）已知，，，那么，，之间满足的等量关系不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂的运算法则，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； B、，， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； C、， ∴， ∴，故C正确，不符合题意； D、由B可得，，故D不成立，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的运算法则，解题的关键是掌握同底数幂相乘（除），底数不变，指数相加（减）；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每个因式分别乘方． 2、（2024七年级下·江苏·专题练习）若，，，则a、b、c之间满足的等量关系成立的是 ①；②；③；④ 【答案】①②③ 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用、同底数幂的乘法，解答本题的关键是熟练掌握“同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加”． ②可根据同底数幂乘法法则判断；①可根据幂的乘方的逆用，同底数幂除法法则判断；③可根据同底数幂乘法的逆用判断． 【详解】解：，, ， ， ，②关系成立； ， ，①关系成立； ， ，③关系成立； 则①②③成立， 故答案为：①②③． 3．（24-25八年级上·湖南·阶段练习）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较的大小； (3)比较与的大小； (4)已知，，．求之间的等量关系． 【答案】(1)C (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方运算，同底数幂乘法计算： （1）根据幂的乘方的逆运算法则判断即可； （2）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，，据此可得答案； （3）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，据此可得答案； （4）根据得到，进而得到，则． 【详解】（1）解：由题意得，上述求解过程中，逆用了幂的乘方计算法则， 故答案为：C； （2）解：∵，，，且， ∴； （3）解：∵，，且， ∴． （4）解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【经典例题十六 新定义幂的运算】 【例16】（2024八年级上·全国·专题练习）对于任意正整数定义一种新运算：．比如，则．如果，那么的结果是（   ） A．2024 B． C． D．1012 【答案】C 【详解】，，． 1．（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）如果，那么称b为n的“拉格数”，记为，由定义可知：．如，则，给出下列关于“拉格数”的结论：①，②，③，④，⑤．其中，正确的结论有（    ） A．①③④ B．②③④ C．②③⑤ D．②④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘除法的实际应用，掌握同底数幂的乘除法法则是解题的关键． 结合定义，利用同底数幂的乘除法的逆运算进行计算即可． 【详解】解：由题意，∵ ，故①错误； ∵ ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； 设， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴，故④正确； ∴， ∵ ∴ ∴， 那么正确的有②③④． 故选：B． 2．（23-24七年级下·上海·阶段练习）如果，那么称为的“拉格数”，记为由定义可知：．如，则，给出下列关于“拉格数”的结论： ①，②，③，④，⑤ 其中正确的结论有 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查同底数幂的乘除法的实际应用，掌握同底数幂的乘除法法则是解题的关键．结合定义，利用同底数幂的乘除法的逆运算进行计算即可． 【详解】解：由题意，∵ ，故①错误； ∵ ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； 设， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴，故④正确； ∴， ∵ ∴ ∴，故⑤错误； 那么正确的有②③④． 故答案为：②③④． 3．（24-25八年级上·吉林·期末）阅读材料． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若（，），那么x叫做a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质为（，，，）．理由如下： 设，，则，， ∴， 由对数的定义，得， 又∵， ∴． 请你仔细阅读上面的材料之后，解答下列问题． (1)将指数式转化为对数式为 ． (2)计算： ． (3)求证：（，，，）． (4)直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题是新定义试题，主要考查幂的运算性质、新定义对数与指数之间的关系； （1）根据对数式的定义转化即可； （2）根据对数式的定义进行计算，即可求解； （3）先设，，根据对数的定义可表示为指数式为：，，计算的结果，类比所给材料的证明过程可得结论； （4）根据公式：和的逆用，计算可得结论． 【详解】（1）解：将指数式转化为对数式为， 故答案为：． （2）解：∵， ∴ （3）证明：设，，则，， ∴，由对数的定义得， 又∵， ∴； （4） 1．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）下列计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂乘法、幂的乘方、同底数幂的除法等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 运用合并同类项、同底数幂乘法、幂的乘方、同底数幂的除法逐项判断即可． 【详解】解：A． 与不是同类项，不能合并，不符合题意；     B． ，不符合题意； C． ，符合题意；     D． ，不符合题意． 故选C． 2．（24-25七年级上·上海虹口·期中）若、均为正整数，且满足，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法解题的关键是掌握以上运算法则． 根据，，列出等式即可解答． 【详解】解：， ， ∵，、均为正整数， ∴， 故选：D． 3．（24-25八年级上·江西南昌·期中）若，，则的值为（   ） A．11 B．10 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用幂的乘方的法则，同底数幂的除法的法则进行运算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选：D． 4．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）杨辉三角是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示是一种变异的“杨辉三角”，按箭头方向依次记为：，，，，，，，则等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字的变化规律，根据图中的数据，可以发现数字的变化特点，从而可以计算出的值． 【详解】解：∵，，，，，，， ∴当为偶数时，，当为奇数时，， ∴ ， 故选：C． 5．（23-24七年级下·四川巴中·期中）已知，，，则a、b、c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把a、b、c三个数变成指数相同的幂，通过底数可得出a、b、c的大小关系． 【详解】解：∵a＝（35）11＝24311，b＝（44）11＝25611，c＝（53）11＝12511， 又∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，解答本题关键是掌握幂的乘方法则，把各数的指数变成相同． 6．（24-25八年级上·全国·期末）用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·天津西青·期末）已知，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查幂的混合运算，根据幂的运算法则得到，进而得到，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：4． 8．（24-25八年级上·广东广州·期中）如果， 那么我们规定． 例如：因为， 所以． 根据上述规定，若， 且满足， 则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方等知识．熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方是解题的关键．由题意知，，，，由，可得，即，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，，， ∵， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·全国·阶段练习）阅读题：根据乘方的意义，得：，请你试一试，完成下列题目： （1）( )； （2）归纳、概括：( )； （3）如果，运用以上的结论计算 ． 【答案】 5 / 20 【分析】本题主要考查了有理数乘法、乘方、同底数幂相乘等知识点，掌握逆用同底数幂相乘的法则成为解题的关键． （1）根据有理数的乘法以及乘方求解即可； （2）根据有理数的乘法以及乘方求解即可； （3）根据有理数的乘法以及逆用同底数幂相乘的运算法则即可． 【详解】解：（1）． 故答案为5． （2）． 故答案为：． （3）． 故答案为：20． 10．（23-24七年级上·四川眉山·期末）阅读材料，回答下列问题： 材料一：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 即：． 材料二：等式成立 试求：（1） ． （2） ． 【答案】 220 333300 【分析】（1）根据将变形为，再利用进行计算即可得到答案； （2）先利用将变形为，再利用进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1）， ， 原式 ， 故答案为：220； （2）， ， 原式 ， 故答案为：333300． 【点睛】本题主要考查了积的乘方，熟练掌握的积的乘方的运算法则，能准确利用题中所给的公式是解题的关键． 11．（2025七年级下·全国·专题练习）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，解一元一次方程，熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方法则是解答本题的关键． （1）先根据同底数幂的乘法，幂的乘方法则变形，得出关于x的一元一次方程求解； （2）先根据同底数幂的乘法，幂的乘方法则变形，得出关于x的一元一次方程求解． 【详解】（1）解：原方程可化为， 整理，得， 所以， 解得． （2）解：原方程可化为， 整理，得，即， 所以， 解得． 12．（24-25八年级上·福建福州·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么，例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：_______，_______． (2)证明：． (3)小明在研究这种运算时提出：，你觉得这个结论正确吗？请说明理由． 【答案】(1)3；0 (2)见解析 (3)成立，理由见解析 【分析】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方，零指数幂，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据规定的运算规则即可求解． （2）设，，则，，可得，则，即可证得结果． （3）设，则，即，则，即，即可求证． 【详解】（1）解：， ． ， ． 故答案为：3；0． （2）证明：设，， 则，， ， ， ∴ （3）解：成立，理由如下， 设，则，即， ，即， ∴． 13．（24-25八年级上·福建厦门·期中）若（且是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握幂的相关运算法则，正确的列出方程是解题的关键： （1）先将等式左边化为底数为2的同底数幂的运算，根据题干给的结论得到关于的方程，进行求解即可； （2）逆用积的乘方法则，再根据题干给的结论进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 14．（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作如果．那么，例如：因为．所以． (1)根据上述规定，填空： ________，　________， ____， (2)小明在研究这种运算时发现一个现象，小明给出了如下的证明： 设，则，即，所以，即，所以． 请你尝试运用这种方法解决下列问题： 证明： 【答案】(1)2；0；； (2)见解析． 【分析】本题考查有同底数幂的乘法，零指数幂，解题的关键是理解应用新定义解决问题． （1）根据定义直接可得答案； （2）设，则，可得，再求证即可． 【详解】（1）解：， ∴． ， ∴． ， ∴， 故答案为：2；0；； （2）证明：设，则， ∴， ∴， 则：， ∴． 15．（23-24七年级下·广西贵港·期中）阅读理解：我们在学习了幂的有关知识后，对两个幂与（都是正数，都是正整数）的大小进行比较，并归纳总结了如下两个结论： ①若，则．（底数相同，指数大的幂大） ②若，则．（指数相同，底数大的幂大） 尝试应用：试比较与的大小． 解：因为， ，……（第1步） 又， 所以……（第2步） 问题解决： (1)在尝试应用的解题过程中，第1步的思路是将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为_______；第2步的依据是_______． (2)请比较下面各组中两个幂的大小： ①与； ②与． 【答案】(1)指数相同的两个幂；指数相同，底数大的幂大 (2)① ；② 【分析】本题考查了幂的大小比较，熟练掌握比较大小的基本方法是解题的关键． （1）根据题意，先将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为指数相同的两个幂；根据指数相同，底数大的幂大解答即可． （2）①化成，，根据底数相同，指数大的幂大解答即可； ②，根据指数相同，底数大的幂大解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，先将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为指数相同的两个幂；根据指数相同，底数大的幂大， 故答案为：指数相同的两个幂；指数相同，底数大的幂大． （2）解：①∵，， 根据底数相同，指数大的幂大 ∴， ∴． ②解：∵， 根据指数相同，底数大的幂大， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 幂的运算重难点题型专训（16大题型+15道提优训练） 题型一 同底数幂相乘 题型二 同底数幂乘法的逆用 题型三 用科学记数法表示数的乘法 题型四 幂的乘方运算 题型五 幂的乘方的逆用 题型六 积的乘方运算 题型七 积的乘方的逆用 题型八 同底数幂的除法运算 题型九 同底数幂除法的逆用 题型十 幂的混合运算 题型十一 零指数幂 题型十二 负整数指数幂 题型十三 幂的运算等于1的情况 题型十四 用科学记数法表示绝对值小于1的数 题型十五 由幂的运算确定字母的关系 题型十六 新定义幂的运算 知识点一．同底数幂的乘法 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==． 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． 知识点二．幂的乘方 （1）幂的乘方的意义： 幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n个am相乘，读作a的m次幂的n次方． （2）幂的乘方法则： 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 【拓展】 （1） 幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）． （2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 知识点三．积的乘方 （1）积的乘方的意义： 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等． （积的乘方的意义） =（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交换律、结合律） =a3b3． 积的乘方法则： 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 知识点四．同底数幂的除法 同底数幂的除法法则： 一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【拓展】 （1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质， 例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）． （2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 知识点5：零指数 a0=1 (a≠0) 知识6：科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 知识点7：负整数幂 当n 是正整数时，（，n是正整数） 【经典例题一 同底数幂相乘】 【例1】（24-25八年级上·上海浦东新·阶段练习）下列各题能用同底数幂乘法法用进行计算的是（  ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习） ． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知，求的值． 【经典例题二 同底数幂乘法的逆用】 【例2】（23-24八年级上·河南安阳·期末）已知，，，则的值为（     ）． A．7 B．8 C．9 D．10 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·上海·专题练习）已知，则x的值为 ． 3．（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）下面是小明完成的一道作业题．小明的作业： 计算： 解：原式． 知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： ①； ②． 知识拓展：若，求的值． 【经典例题三 用科学记数法表示数的乘法】 【例3】（2023·四川达州·模拟预测）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：，，则兆用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·河北邯郸·模拟预测）迄今为止，神舟号飞船已经将多位宇航员送入了中国空间站，已知中国空间站绕地球运行的速度约为，则中国空间站绕地球运行走过的路程（m）用科学记数法可表示为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）科学家发现某种细菌的分裂能力极强，这种细菌每分钟可由1个分裂成2个．现将1个这种细菌放在培养瓶中，经过8分钟就能分裂满一瓶．如果将8个这种细菌放入同样的一个培养瓶中，那么经过 分钟就能分裂满一瓶． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）废旧电池是危险的固体废弃物之一，如果处理不当，不但会严重污染土壤和水源，还将直接危害人体健康. 一粒纽扣电池可使6×105kg水受到污染，相当于一个人一生的饮水量！我国每年约有8000万粒纽扣电池报废，如果处理不当，每年将会有多少水受到污染(请用科学记数法表示)？ 【经典例题四 幂的乘方运算】 【例4】（2024八年级上·全国·专题练习）已知，则x的值为（　　） A．17 B．16 C．15 D．14 1．（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建厦门·期中）若，则 ． 3．（23-24八年级上·四川眉山·阶段练习）解答下列问题： (1)若，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值； (3)若，，用含的代数式表示． 【经典例题五 幂的乘方的逆用】 【例5】（24-25八年级上·四川眉山·期中）已知，，，，则 a、b、c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）已知，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）我们定义：三角形，四边形；若，则 ． 3．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）计算 (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【经典例题六 积的乘方运算】 【例6】（23-24八年级上·四川绵阳·周测）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 1．（2024七年级下·江苏·专题练习）若，则 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级上·上海宝山·期中）通过探究，当为正整数时，，那么根据这一结论，请计算 ． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 【经典例题七 积的乘方的逆用】 【例7】（24-25八年级上·黑龙江·期末）计算的结果为（  ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）已知，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．2000 D． 2．（24-25八年级上·福建厦门·期中）计算： ． 3．（24-25八年级上·山西临汾·期中）下面是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算： 解：原式 计算： (1) (2)若，请求出n的值 【经典例题八 同底数幂的除法运算】 【例8】（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）已知，求的值是（   ） A．9 B．8 C．6 D．5 1．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）已知，，，则的值为（    ） A．1 B．3 C．729 D．9 2．（24-25八年级上·天津和平·期末）若，则 ． 3、（23-24八年级上·全国·单元测试）阅读下列材料： 若（且，是整数），由于两个幂相等，且底数相同，因此它们的指数相等，即有．根据这一结论我们可以解简单的方程： 若，求的值． 解：根据指数运算法则有： ， ∴，∴，∴． 利用上面知识解决下面的问题： (1)已知，求x的值； (2)如果，求的值． 【经典例题九 同底数幂除法的逆用】 【例9】（23-24八年级上·福建泉州·期中）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若，，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如果，那么称为的“拉格数”，记为，由定义可知：．例如，因为，所以，．若，则 ． 3．（23-24七年级下·江苏南京·期末）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用请运用幂的运算法则的逆用解决下列问题： (1)________； (2)已知，请把用“<”连接起来：________； (3)若，求的值； 【经典例题十 幂的混合运算】 【例10】（23-24七年级下·江西萍乡·期中）计算下列各式①(a3)2÷a5=1；②(-x4)2÷x4=x4；③(x-3)0=1(x≠3)；④(-a3b)3÷=-2a4b正确的有（    ）题 A．4 B．3 C．2 D．1 1．（23-24七年级·全国·课后作业）计算的结果为（    ）. A． B． C． D． 2．（23-24·山东临沂·一模）观察等式：；；；….已知按一定规律排列的一组数：，，，…，….若，用含的式子表示这组数的和是 ． 3．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【经典例题十一 零指数幂】 【例11】（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）若，，，，则，，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 1．（2025七年级下·全国·专题练习）若，，则下列关于的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·北京·期中）若，则x需要满足的条件是 ． 3．（24-25七年级上·湖南湘西·期末）计算： 【经典例题十二 负整数指数幂】 【例12】（24-25八年级上·河南商丘·期中）计算的正确结果是（   ） A． B． C． D． 1．（2024·河北·模拟预测）若，则n的值为（    ） A． B． C．0 D．1 2．（2025七年级下·江苏徐州·专题练习）已知，则 ． 3．（23-24七年级上·上海闵行·期末）计算：．（结果不含负整数指数幂） 【经典例题十三 幂的运算等于1的情况】 【例13】（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）若，则的值为(    ) A． B．1或 C．或1或3 D．或1 1．（23-24七年级上·上海青浦·期末）关于代数式，下列说法正确的是（    ） A．的值一定是0 B．的值一定是1 C．当时，的值是1 D．当时，的值是1 2．（24-25八年级上·辽宁营口·期中）观察等式，其中的值是 ． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）基本活动：______；______；______；______；______；_______． （2）结论总结：若n表示整数，分别求出和的值． （3）综合应用：求满足等式的x的值． 【经典例题十四 用科学记数法表示绝对值小于1的数】 【例14】（24-25八年级上·湖北随州·期末）红外线是太阳光线中众多不可见光线中的一种，且应用广泛，某红外线遥控器发出的红外线波长约为，用科学记数法表示正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·北京·期中）中国女药学家屠呦呦获诺贝尔医学奖，她的突出贡献是创制新型抗疟药青蒿素和双氢青蒿素，已知显微镜下的某种疟原虫平均长度为0.0000015米，0.0000015用科学记数法表示为（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江西南昌·期末）“九章”是中国科学技术大学潘建伟院士领衔的陆朝阳教授课题组与中科院上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作自主研发的光量子计算原型机．根据官方数据，“九章三号”在过二十亿年才能完成，其中0.000001用科学记数法表示为 ． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）一块正方体铁块的棱长为． (1)这块正方体铁块的体积是多少立方米（用科学记数法表示）？ (2)如果有一种小正方体铁块的棱长为，那么需要多少块这样的小正方体铁块才可以摆成棱长为的大正方体铁块? 【经典例题十五 由幂的运算确定字母的关系】 【例15】（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知，，，那么、、之间满足的关系是（    ） A． B． C． D． 1．（2022·河北唐山·一模）已知，，，那么，，之间满足的等量关系不成立的是（　　） A． B． C． D． 2、（2024七年级下·江苏·专题练习）若，，，则a、b、c之间满足的等量关系成立的是 ①；②；③；④ 3．（24-25八年级上·湖南·阶段练习）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较的大小； (3)比较与的大小； (4)已知，，．求之间的等量关系． 【经典例题十六 新定义幂的运算】 【例16】（2024八年级上·全国·专题练习）对于任意正整数定义一种新运算：．比如，则．如果，那么的结果是（   ） A．2024 B． C． D．1012 1．（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）如果，那么称b为n的“拉格数”，记为，由定义可知：．如，则，给出下列关于“拉格数”的结论：①，②，③，④，⑤．其中，正确的结论有（    ） A．①③④ B．②③④ C．②③⑤ D．②④⑤ 2．（23-24七年级下·上海·阶段练习）如果，那么称为的“拉格数”，记为由定义可知：．如，则，给出下列关于“拉格数”的结论： ①，②，③，④，⑤ 其中正确的结论有 ． 3．（24-25八年级上·吉林·期末）阅读材料． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若（，），那么x叫做a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质为（，，，）．理由如下： 设，，则，， ∴， 由对数的定义，得， 又∵， ∴． 请你仔细阅读上面的材料之后，解答下列问题． (1)将指数式转化为对数式为 ． (2)计算： ． (3)求证：（，，，）． (4)直接写出的值． 1．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）下列计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海虹口·期中）若、均为正整数，且满足，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江西南昌·期中）若，，则的值为（   ） A．11 B．10 C． D． 4．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）杨辉三角是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示是一种变异的“杨辉三角”，按箭头方向依次记为：，，，，，，，则等于（   ）    A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·四川巴中·期中）已知，，，则a、b、c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·全国·期末）用科学记数法表示为 ． 7．（24-25八年级上·天津西青·期末）已知，则的值为 ． 8．（24-25八年级上·广东广州·期中）如果， 那么我们规定． 例如：因为， 所以． 根据上述规定，若， 且满足， 则 ． 9．（24-25七年级上·全国·阶段练习）阅读题：根据乘方的意义，得：，请你试一试，完成下列题目： （1）( )； （2）归纳、概括：( )； （3）如果，运用以上的结论计算 ． 10．（23-24七年级上·四川眉山·期末）阅读材料，回答下列问题： 材料一：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 即：． 材料二：等式成立 试求：（1） ． （2） ． 11．（2025七年级下·全国·专题练习）解下列方程： (1)； (2)． 12．（24-25八年级上·福建福州·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么，例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：_______，_______． (2)证明：． (3)小明在研究这种运算时提出：，你觉得这个结论正确吗？请说明理由． 13．（24-25八年级上·福建厦门·期中）若（且是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 14．（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作如果．那么，例如：因为．所以． (1)根据上述规定，填空： ________，　________， ____， (2)小明在研究这种运算时发现一个现象，小明给出了如下的证明： 设，则，即，所以，即，所以． 请你尝试运用这种方法解决下列问题： 证明： 15．（23-24七年级下·广西贵港·期中）阅读理解：我们在学习了幂的有关知识后，对两个幂与（都是正数，都是正整数）的大小进行比较，并归纳总结了如下两个结论： ①若，则．（底数相同，指数大的幂大） ②若，则．（指数相同，底数大的幂大） 尝试应用：试比较与的大小． 解：因为， ，……（第1步） 又， 所以……（第2步） 问题解决： (1)在尝试应用的解题过程中，第1步的思路是将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为_______；第2步的依据是_______． (2)请比较下面各组中两个幂的大小： ①与； ②与． 学科网（北京）股份有限公司 $$