第05讲 拓展二 第五章 三角函数中的新定义题-【练透核心考点】2024-2025学年高一数学核心题型总结与突破（人教A版2019必修第一册）

第05讲 拓展二 第五章 三角函数中的新定义题 目录 题型一：三角函数中的新定义题（小题） 1 题型二：三角函数中的新定义题（解答题） 3 题型一：三角函数中的新定义题（小题） 1．（23-24高一下·浙江衢州·期末）美国数学家Jack Kiefer于1953年提出0.618优选法，又称黄金分割法，是在优选时把尝试点放在黄金分割点上来寻找最优选择.我国著名数学家华罗庚于20世纪60、70年代对其进行简化、补充，并在我国进行推广，广泛应用于各个领域.黄金分割比，现给出三倍角公式，则与的关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）1551年奥地利数学家､天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用（角）表示.现已知，则该函数的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 3．（23-24高一上·山东临沂·期末）英国数学家泰勒发现了如下公式：，，其中.已知，则下列说法不正确的是（ ） A． B． C． D．无法判断二者大小 4．（23-24高二下·广东揭阳·期末）公元9世纪，阿拉伯计算家哈巴什首先提出正割和余割概念，1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用sec（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用csc（角）表示，则（    ） A． B． C．4 D．8 5．（多选）（23-24高一下·江西南昌·期末）函数是物理中常见的锯齿波函数，其中表示不大于x的最大整数，标准锯齿波波形先呈直线上升，随后陡落，再上升，再陡落，如此反复．下列说法正确的有（   ） A． B．函数的最小正周期为 C．函数的值域为 D．函数为周期函数 6．（多选）（23-24高三上·甘肃天水·阶段练习）函数思想（英文Theory and thought of function），是解决“数学型”问题中的一种思维策略．自人们运用函数以来，经过长期的研究和摸索，科学界普遍有了一种意识，那就是函数思想，在运用这种思维策略去解决问题时，科学家们发现它们都有着共同的属性，那就是定量和变量之间的联系．如果定义“美好函数”满足：定义域为的偶函数，，使，则下列函数中符合“美好函数”条件的是（    ） A． B． C． D． 7．（2023高二下·浙江温州·学业考试）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了“黄金分割”．“黄金分割”是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一，它表现了恰到好处的和谐，其比值为，这一比值也可以表示为．若，则 ． 题型二：三角函数中的新定义题（解答题） 1．（23-24高二下·福建南平·期末）函数的定义域为R，若存在非零实数T，对，都有，则称函数关于T可线性分解，已知（，）． (1)若关于T可线性分解，求，； (2)若，关于3可线性分解． （ⅰ）求函数的零点； （ⅱ）对，，求m的取值范围． 2．（23-24高一下·江西九江·期末）已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质. (1)若一次函数具有性质，且，求的解析式； (2)若函数（其中）具有性质，求的单调递增区间； (3)对于（1）（2）中的函数，求函数在区间上的所有零点之和. 3（2024·新疆喀什·三模）已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质． (1)判断函数，是否具有性质；（直接写出结论） (2)已知函数（，），判断是否存在，，使函数具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由； (3)设函数具有性质，且在区间上的值域为．函数，满足，且在区间上有且只有一个零点．求证：． 4．（23-24高一下·广西钦州·期中）对于分别定义在上的函数以及实数若存在使得则称函数与具有关系 (1)若判断与是否具有关系并说明理由； (2)若与具有关系求实数的取值范围； (3)已知为定义在上的奇函数，且满足： ①在上，当且仅当时，取得最大值1； ②对任意有 判断是否存在实数使得与具有关系若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 5．（23-24高一下·四川绵阳·期中）对于函数，若存在非零常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“函数”；对于函数，若存在非零常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“严格函数”. (1)若函数，是“函数”，求k的取值范围； (2)对于定义域为的函数对任意的正实数，均是“严格函数”，若，求实数a的最小值. 6．（23-24高一下·上海·期中）已知函数．若存在非零常数和非零常数，对于集合内的任意实数，恒有成立，则称是上的周期为的级类增周期函数；若存在非零常数和非零常数，对于集合内的任意实数，恒有成立，则称是上的周期为的级类周期函数． (1)设，已知是上的周期为1的2级类增周期函数，求实数的取值范围； (2)已知是上的周期为1的级类周期函数，且当时，．若函数在上严格增，求实数的取值范围； (3)已知，设．试问：是否存在，使是上的周期为的级类周期函数？若存在，求出和相应的的值；若不存在，说明理由． 7．（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“余弦方差”. (1)若集合，求集合A相对的“余弦方差”； (2)若集合，是否存在，使得相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值？若存在，求出的值：若不存在，则说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 拓展二 第五章 三角函数中的新定义题 目录 题型一：三角函数中的新定义题（小题） 1 题型二：三角函数中的新定义题（解答题） 5 题型一：三角函数中的新定义题（小题） 1．（23-24高一下·浙江衢州·期末）美国数学家Jack Kiefer于1953年提出0.618优选法，又称黄金分割法，是在优选时把尝试点放在黄金分割点上来寻找最优选择.我国著名数学家华罗庚于20世纪60、70年代对其进行简化、补充，并在我国进行推广，广泛应用于各个领域.黄金分割比，现给出三倍角公式，则与的关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意利用诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角公式可求进而解方程即可得解. 【详解】因为， 所以，又 所以，化简得， 可得， 解得（负值舍去），所以. 故选：B. 2．（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）1551年奥地利数学家､天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用（角）表示.现已知，则该函数的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据给定的定义，利用锐角三角函数的定义转化为角的正余弦，即，，所以，利用三角函数的图象与性质即可求解. 【详解】依题意，可视为某直角三角形的内角，由锐角三角函数定义可得，，所以， 所以，其中，， 当，则，而，， 所以； 故选：C 3．（23-24高一上·山东临沂·期末）英国数学家泰勒发现了如下公式：，，其中.已知，则下列说法不正确的是（ ） A． B． C． D．无法判断二者大小 【答案】A 【分析】根据泰勒公式，将代入公式，直接计算近似值再比较即可. 【详解】由题意可知，，所以. 故选：A. 4．（23-24高二下·广东揭阳·期末）公元9世纪，阿拉伯计算家哈巴什首先提出正割和余割概念，1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用sec（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用csc（角）表示，则（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据给定的定义，利用锐角三角函数的定义转化为角的正余弦，再利用二倍角公式、辅助角公式求解作答. 【详解】依题意，角可视为某直角三角形的内角，由锐角三角函数定义及已知得， 所以. 故选：C 5．（多选）（23-24高一下·江西南昌·期末）函数是物理中常见的锯齿波函数，其中表示不大于x的最大整数，标准锯齿波波形先呈直线上升，随后陡落，再上升，再陡落，如此反复．下列说法正确的有（   ） A． B．函数的最小正周期为 C．函数的值域为 D．函数为周期函数 【答案】AB 【分析】令，代入求解即可判断A；求出的周期即可判断B；求出值域即可判断C；根据图象判断D 【详解】令，则， ，而，故A对； ，即， 所以是周期函数，1是一个周期， 设是函数一个周期， 即，所以， 故函数的周期为整数，而1是最小的正整数，故的最小正周期为1， 根据图象的伸缩变换，的图象是由图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，所以函数的最小正周期为，故B对； 由，所以的值域为， 而，又， 即函数的值域为，故C错； 当时，，所以， 当时，，，所以， ， 随增大而增大 故不是周期函数，故D错 故选：AB 6．（多选）（23-24高三上·甘肃天水·阶段练习）函数思想（英文Theory and thought of function），是解决“数学型”问题中的一种思维策略．自人们运用函数以来，经过长期的研究和摸索，科学界普遍有了一种意识，那就是函数思想，在运用这种思维策略去解决问题时，科学家们发现它们都有着共同的属性，那就是定量和变量之间的联系．如果定义“美好函数”满足：定义域为的偶函数，，使，则下列函数中符合“美好函数”条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据“美好函数”的定义逐项判断，即可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，函数是定义域为的偶函数， 由，解得，A满足条件； 对于B选项，函数的定义域为， ，即函数为偶函数， 且对任意的，，B不满足条件； 对于C选项，函数的定义域为， ，即函数为偶函数， 由可得，解得或，C满足条件； 对于D选项，函数的定义域为， ，即函数为偶函数， 对任意的，，D不满足条件. 故选：AC. 7．（2023高二下·浙江温州·学业考试）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了“黄金分割”．“黄金分割”是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一，它表现了恰到好处的和谐，其比值为，这一比值也可以表示为．若，则 ． 【答案】/ 【分析】利用三角函数的诱导公式，平方关系，辅助角公式与倍角公式化简求值即可. 【详解】因为，所以， 故 . 故答案为：. 题型二：三角函数中的新定义题（解答题） 1．（23-24高二下·福建南平·期末）函数的定义域为R，若存在非零实数T，对，都有，则称函数关于T可线性分解，已知（，）． (1)若关于T可线性分解，求，； (2)若，关于3可线性分解． （ⅰ）求函数的零点； （ⅱ）对，，求m的取值范围． 【答案】(1)，； (2)（ⅰ），；（ⅱ）. 【分析】（1）根据给定的定义，赋值计算，. （2）（ⅰ）利用定义求得，再由结合最值确定，进而求出零点；（ⅱ）由的周期为3，则按分类求出，进而求出m的范围. 【详解】（1）若关于可线性分解，则，即， 由，得(*)， 若，则充分大时，将大于2， 而的值域为，故等式(*)不可能成立，所以必有. （2）（i）由（1）知，即，则，， 而，则，，又，则， 此时，不符合题意； 或，，又，则， 此时，满足，符合题意， 因此， 依题意，，则或， 显然不成立，于是， 则，解得，， 所以函数的零点为，. （ii）显然， 又周期为3，则当时，， 当时，， 当时， ， 因此恒成立，则， 所以的取值范围为. 【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答. 2．（23-24高一下·江西九江·期末）已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质. (1)若一次函数具有性质，且，求的解析式； (2)若函数（其中）具有性质，求的单调递增区间； (3)对于（1）（2）中的函数，求函数在区间上的所有零点之和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，利用定义求出可得答案； （2）由定义求出的解析式，再根据正弦函数的单调性可得答案； （3）问题转化为曲线和所有交点的横坐标之和，画出它们的大致图象可得共有8个交点，再根据它们的图象都关于对称可得答案. 【详解】（1）设，则， 由，得， 又， ； （2）由，得， ，又， ， 由，得， 即， ，或， 又， 令，得， 故的单调递增区间为； （3）令，得， 问题转化为曲线和所有交点的横坐标之和， 曲线和均关于成中心对称.. ，， ， 在上单调递减， 画出它们的图象如图所示. 由图象可知曲线和共有8个交点， 设其交点的横坐标从小到大依次为， 则， 故函数在区间上的所有零点之和为. 【点睛】方法点睛：对于以函数为背景的新定义问题的求解策略：1.紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2.用好函数的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的函数的性质的一些因素. 3（2024·新疆喀什·三模）已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质． (1)判断函数，是否具有性质；（直接写出结论） (2)已知函数（，），判断是否存在，，使函数具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由； (3)设函数具有性质，且在区间上的值域为．函数，满足，且在区间上有且只有一个零点．求证：． 【答案】(1)具有性质 (2)存在，， (3)证明见解析 【分析】（1）利用定义直接判断即可； （2）假设函数具有性质，可求出，进而得到，再根据定义验证即可； （3）分析可知函数在的值域为，由在区间上有且仅有一个零点可知时不合题意，再求解当时，与函数是以为周期的周期函数矛盾，由此可得，进而得证． 【详解】（1）因为，则，又， 所以，故函数具有性质； 因为，则，又， ，故具有性质． （2）若函数具有性质，则，即， 因为，所以，所以； 若，不妨设，由， 得（*）， 只要充分大时，将大于1，而的值域为， 故等式（*）不可能成立，所以必有成立， 即，因为，所以， 所以，则，此时， 则， 而，即有成立， 所以存在，使函数具有性质． （3）证明：由函数具有性质及（2）可知，， 由可知函数是以为周期的周期函数，则， 即，所以，； 由，以及题设可知， 函数在的值域为，所以且； 当，及时，均有， 这与在区间上有且只有一个零点矛盾，因此或； 当时，，函数在的值域为， 此时函数的值域为， 而，于是函数在的值域为， 此时函数的值域为， 函数在当时和时的取值范围不同， 与函数是以为周期的周期函数矛盾， 故，即，命题得证． 【点睛】方法点睛：对于以函数为背景的新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好函数的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的函数的性质的一些因素. 4．（23-24高一下·广西钦州·期中）对于分别定义在上的函数以及实数若存在使得则称函数与具有关系 (1)若判断与是否具有关系并说明理由； (2)若与具有关系求实数的取值范围； (3)已知为定义在上的奇函数，且满足： ①在上，当且仅当时，取得最大值1； ②对任意有 判断是否存在实数使得与具有关系若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)与具有关系，理由见解析 (2) (3)不具有关系，理由见解析 【分析】（1）根据题意，求得，结合函数的新定义，即可求解； （2）根据题意，利用三角函数的性质，分给求得的值域，即可求解； （3）根据题意，利用三角函数的对称性和三角函数的值域，得到不存在使得，即可得到答案. 【详解】（1）解：函数与具有关系. 理由如下： 当时；当时，； 当时，；当时，， 此时，所以函数与具有关系. （2）解：由函数， 且， 因为，当时，，所以， 所以，所以，即实数的取值范围为. （3）解：不具有关系. 理由如下： 因为在上，当且仅当时，取得最大值1， 且为定义在上的奇函数， 所以在上，当且仅当时，取得最小值－1， 由对任意有，可得关于点对称， 又，故的周期为， 故的值域为，， 当时，，时，， 若，即，此时有； 当时，时，； 若，则时，有， 因为，所以， 所以不存在使得， 故与不具有关系 【点睛】方法点拨：与函数的新定义有关的问题的求解策略： 1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 3、若数列中涉及到三角函数有关问题时，常利用三角函数的周期性等特征，寻找计算规律求解. 5．（23-24高一下·四川绵阳·期中）对于函数，若存在非零常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“函数”；对于函数，若存在非零常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“严格函数”. (1)若函数，是“函数”，求k的取值范围； (2)对于定义域为的函数对任意的正实数，均是“严格函数”，若，求实数a的最小值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题意，恒成立，化简可得，进而由余弦函数的最值求解即可； （2）由题意可得在上为减函数，再根据单调性求解不等式可得，换元令，再根据同角三角函数的公式求解的最大值即可. 【详解】（1）因为函数，是“函数”， 故 恒成立， 即，即恒成立. 又，故，， 即k的取值范围为. （2）由题意，对任意的，对任意的正实数，都有成立， 故在上为减函数， 又，故， 易得，可令， 则 ， 即，则，故实数a的最小值为. 6．（23-24高一下·上海·期中）已知函数．若存在非零常数和非零常数，对于集合内的任意实数，恒有成立，则称是上的周期为的级类增周期函数；若存在非零常数和非零常数，对于集合内的任意实数，恒有成立，则称是上的周期为的级类周期函数． (1)设，已知是上的周期为1的2级类增周期函数，求实数的取值范围； (2)已知是上的周期为1的级类周期函数，且当时，．若函数在上严格增，求实数的取值范围； (3)已知，设．试问：是否存在，使是上的周期为的级类周期函数？若存在，求出和相应的的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，当时，；当时， 【分析】（1）由题意可知对任意恒成立，整理得，令，由的单调性，求出的最小值即可； （2）由时，，可求得)时，，利用在上单调递增，即可求出的范围； （3）由对一切实数恒成立，得一切实数恒成立．当时，；当时，可得，进而可得答案． 【详解】（1）由题意可知：对任意恒成立， 即对任意恒成立， 整理得：， ∴， 令，则， ∵在上单调递增，∴， ∴． （2）∵时，， ∴当时，， ∴当时，， 即)时，， ∵在上单调递增， ∴且，即. （3）由已知，有对一切实数恒成立， 即一切实数恒成立， 当时，； 当时，∵，∴，， 于是，， 故要使恒成立，只有， 当时，，得到且； 当时，，得到，即， 综上可知：当时，；当时，． 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法： 若在区间上有最值，则 （1）恒成立：；； （2）能成立：；． 若能分离常数，即将问题转化为：（或），则 （1）恒成立：；； （2）能成立：；． 7．（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“余弦方差”. (1)若集合，求集合A相对的“余弦方差”； (2)若集合，是否存在，使得相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值？若存在，求出的值：若不存在，则说明理由. 【答案】(1) (2)存在，；理由见解析 【分析】（1）根据已知，代入公式计算求解，即可得出答案； （2）假设存在，根据定义代入，结合三角恒等变换化简得出.即可得出当成立时，满足.两式平方相加，整理得出.进而结合已知角的范围，得出，即有.代入，整理求解得出的值，进而得出的值. 【详解】（1）因为集合， 所以. （2）假设存在，使得相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值. 由“余弦方差”的定义得： . 要使是一个与无关的定值，应有成立， 则， 即， 整理可得. 又因为， 则，，， 所以， 所以，则， 所以，， 即， 整理可得，. 又因为，所以，， 所以，假设成立，当时，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，定值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$