辽宁省丹东市2024-2025学年高二上学期期末教学质量监测数学试卷

丹东市 2024~2025学年度（上）期末教学质量监测 高二数学试题评分参考 一、选择题 1．C 2．A 3．D 4．C 5．B 6．A 7．A 8．B 二、选择题 三、填空题 12． 2或14 13． 285 14． 2 3 ， 2 0x y = （其中 14 题第一空 2 分，第二个空 3 分） 四、解答题 15．解： （1）因为 (0,2) 是椭圆短半轴的一个顶点，则 2b = ， 1 2 4 2F F = ，则 2 2c = ， …………3 分 由 2 2 2 12a b c= + = ，则 2 3a = ，所以C 的方程为 2 2 1 12 4 x y + = ． …………6 分 （2）由椭圆的定义及 1 2 90F PF = 可得 1 2 4 3PF PF+ = ……① 2 2 2 1 2 1 2PF PF F F+ = ……② …………8 分 联立①②得 1 2 8PF PF = ， …………10 分 则△ 1 2PF F 的面积为 1 2 1 4 2 PF PF = 因为△ 2OPF 的面积是△ 1 2PF F 的面积为 1 2 ，所以△ 2OPF 的面积为 2． …………13 分 （本题使用二级结论且没有证明的只给结果分） 16．解： 解法 1： （1）因为 2 2 2PC BC PB+ = ,所以 BC PC⊥ ． 因为 BC CD⊥ ，CD∩PC＝C，所以 BC⊥平面 PCD． 因为 BC⊂平面 ABCD，所以平面 PCD⊥平面 ABCD． 9．BC 10．BCD 11．AC 高二数学参考答案 第 1 页（共 5 页） P A C D B E …………6 分 （2）因为 //BC AD，由（1）可知 AD⊥平面 PCD． 在平面 PCD内过 D作 DE⊥PC，垂足为 E，连结 AE， 由三垂线定理可得 AE⊥PC，因此∠AED是二面角 A－PC－D的平面角． …………10 分 在等边△PCD中， 3DE = ， 7AE = ，所以 cos∠AED＝ 21 7 DE AE = ． …………13 分 于是二面角 A－PC－D的余弦值为 21 7 ． …………15 分 解法 2： （1）因为 2 2 2PC BC PB+ = ,所以 BC PC⊥ ． 因为 BC CD⊥ ，CD∩PC＝C，所以 BC⊥平面 PCD． 因为 BC⊂平面 ABCD，所以平面 PCD⊥平面 ABCD． …………6 分 （2）以 D 为坐标原点，DA的方向为 x 轴正方向，建立如图 所示的空间直角坐标系 D-xyz，由（1）可知 z 轴在平面 PCD内． 则 A(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，1， 3 )， AC ＝(－2，2， 0)， AP ＝(－2，1， 3 )． 设平面 APC的法向量 m＝(x，y，z)，由 0 0 AP AC   =   = m m 可得 2 2 0 2 3 0 x y x y z − + =  − + + = ,可取 m＝( 3 ， 3 ，1)． …………10 分 又 n＝(1，0，0)是平面 PCD的法向量，故|cos<m，n>|＝| m·n |m||n| |＝ 21 7 ． …………13 分 因为二面角 A－PC－D的平面角为锐角，所以二面角 A－PC－D的余弦值为 21 7 ． …………15 分 17．解： （1）设点 ( , )M x y ，则根据题意可得 2 2( 2) 2 4x y x− + + = + 整理得 2 8y x= ，所以C 的方程为 2 8y x= ． …………6 分 P A C D B z x y 高二数学参考答案 第 2 页（共 5 页） （2）设 2 1 1( , ) 8 y P y ， 2 2 2( , ) 8 y Q y ，很显然 1 2y y ，直线 AP ， AQ 的斜率之和为0 则有 1 2 2 2 1 2 4 4 0 2 2 8 8 y y y y − − + = − − ，得 1 2 8y y+ = − …………10 分 直线 1l 的斜率 1 2 2 2 1 2 1 2 8 1 8 8 y y k y y y y − = = = − + − 所以直线 1l 的斜率为 1− ． …………15 分 18．解： 解法 1： （1）以{ , , }AB AD AP 为基底，则 0AB AD = ， 2AB AP = ， 2AD AP = ． …………2 分 因为 2 2 AB AD AP EF EA AC CF + − = + + = ． …………4 分 因此 2( 2 ) 2 AB AD AP EF + − = 2 2 2 4 4 2 4 2 4 16 4 0 4 16 3 2 AB AD AP AB AD AB AP AP AD+ + +  −  −  = + + + − − = = …………8 分 （2）因为 ( 2 ) ( ) 2 AB AD AP AD AB EF BD + −  −  = 2 2 2 2 2 AB AD AD AP AD AB AD AB AP AB + −  − −  +  = 0 8 2 4 0 2 2 2 + − − − + = = ． …………12 分 而 | | 2 2BD = ，所以 2 6 cos 6| || | 2 6 EG BD EF BD EG BD    = = = ， 于是 EF与 BD所成的角的余弦值为 6 6 ． …………17 分 解法 2： （1） 过点 P 作 PQ ⊥平面 ABCD，垂足为Q ，连接 , ,QB QD QA 由 PAB = PAD = 60º， 2PA AD AB= = = ， 所以 PB PD= 在Rt PQB ，Rt PQD 中，得QB QD= 高二数学参考答案 第 3 页（共 5 页） 有 ABQ ADQ   ，则 BAQ DAQ = ，即 AQ 是 BAD 的平分线 …………4 分 以 A 为坐标原点， AB 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz， 由 cos cos cosPAB PAQ BAQ =    ，得 2 cos 2 PAQ = 所以 (1,1, 2)P ， (2,0,0)B ， (2,2,0)C ， (0,2,0)D 则 1 1 2 ( , , ) 2 2 2 E ， (1,2,0)F …………6 分 所以 2 2 2 1 1 2 ( 1) ( 2) ( 0) 3 2 2 2 EF = − + − + − = …………8 分 （2）由（1）知 1 3 2 ( , , ) 2 2 2 EF = − ， ( 2,2,0)BD = − 所以 2 6 cos , 6| || | 2 6 EG BD EF BD EG BD   = = = ， 于是 EF与 BD所成的角的余弦值为 6 6 ． …………17 分 19．解： （1）由题意知双曲线的渐近线方程为 2 0x y+ = ， 1 2 b a = ，即 2a b= ， …………3 分 且过点 (4, 3)， 2 2 16 3 1 4b b − = ，则 1b = ， 2a = ，所以 C的方程为 2 2 1 4 x y− = ． …………6 分 （2）当过点 (2,0)A 的直线与 x轴垂直时，不合题意， 设过点 (2,0)A 的直线为 ( 2)y k x= − ，即 2 0kx y k− − = 则 B ： 2 2 2( 2)x y r+ − = 与直线相切，得 2 2 2 1 k r k + = + A P B C D E F x y z A P B C D E F Q 高二数学参考答案 第 4 页（共 5 页） …………8 分 平方整理得 2 2 2(4 ) 8 4 0r k k r− + + − = ，当 2r = 时，不合题意，所以 2r  设直线 AM ， AN 的斜率分别为 1k ， 2k ，则有 2 1 2 2 4 1 4 r k k r −  = = − 设 1 1( , )M x y ， 2 2( , )N x y ，由 1 2 2 ( 2) 1 4 y k x x y = −   − =  得 2 2 2 21 1 1(1 4 ) 16 16 4 0k x k x k− + − − = 则有 2 1 1 2 1 16 4 2 1 4 k x k − − = − ， 2 1 1 2 1 8 2 4 1 k x k + = − ， 11 2 1 4 4 1 k y k = − 同理 2 2 2 2 2 8 2 4 1 k x k + = − ， 22 2 2 4 4 1 k y k = − 则直线MN 的斜率 1 2 1 2 1 2 5 4( ) y y k x x k k − = = − + …………12 分 所以直线MN ： 2 1 1 2 2 1 1 2 1 4 8 25 ( ) 4 1 4( ) 4 1 k k y x k k k k + − = − − + − 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 8 2 4 4( )5 ( ) 4( ) 4 1 4 1 5 k k k k y x k k k k + + = − +  + − − 2 1 2 1 2 1 6(4 1)5 ( ) 4( ) 5(4 1) k x k k k − = − + − 1 2 5 6 ( ) 4( ) 5 x k k = − + 所以直线MN 必过 6 ( ,0) 5 故此光线屏蔽器所在位置的坐标为 6 ( ,0) 5 ． …………17 分 高二数学参考答案 第 5 页（共 5 页） 丹东市2024~2025学年度（上）期末教学质量监测 高二数学 总分150分 时间120分钟 命题：杨晓东郭欣葛冰阮征石婧 审核：杨晚东 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案 写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.已知向量a=(√3，-3)是直线1的一个方向向量，则直线1的倾斜角为 A.30° B.60 C.120 D.150 2.抛物线y2=x的准线方程为 A.x=- 4 B.x=- C.y=1 4 3.圆0：x2+y2+2x=0与圆02：x2+y2+4y=0的位置关系是 A.内含 B.内切 C.外切 D.相交 4.一个口袋里装有大小不同的2个红球和4个白球，从中取3个球，则至少含有1 个红球和1个白球的取法有 A.35种 B.32种 C.16种 D.14种 5.在四面体O-ABC中，OA=a,OB=b,OC=c,点D满足BD=xBC,E为 AD的中点，且OB=4+b+2c,则x= 23 6 A. B C. 2 6.将甲乙丙丁戊5名志愿者全部分配到A,B,C三个地区参加公益活动，要求每 个地区都要有志愿者且最多不超过2人，则不同的分配方案有 A.90种 B.180种 C.60种 D.120种 高二数学第1页（共4页） 7.在三棱锥O-ABC中，OA,OB,OC两两互相垂直，E为OC的中点，且 OB=OC=2OA,则直线AE与平面ABC所成角的正弦值为 5 A. B. 5 C. 6 D. 6 6 12 6 8、已知椭圆C:三+若=1a>6>0,过点@，利的直线1与C交于，B两点。 若AB的中点坐标为(4,2)，则C的离心率为 A B.3 . D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.在(3x-的展开式中，则 2x A.x的系数为135 B.第4项的二项式系数为10 C.无常数项 D.所有项的系数之和为125 10.已知直线1：y-1=k(x-3)与圆C:(x-2)2+(y-1)2=1交于A,B两点，则 A.直线1恒过定点(3，-1) B.圆C与x轴相切 C.AB最大值为2 D.△C4B的面积最大值为； 11.已知正三棱柱ABC-AB,C中，A4=AB,且满足BD=元BC(0≤1≤1)， BE=4BB(0≤4≤1)，则 A.当元=4=时，ME与CD所成角的余弦值为号 2 B.当2=H=时，平面ADE平面4AC C.存在，4∈[0,1]，使平面ADE⊥平面CDE D.存在元，4∈[0，]，使二面角E-AC-D为钝角 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知5，B是双曲线。二=1的左右焦点，点P在双曲线上，若P58, 97 则PF= 13.计算：C+C+C+…+C品=·（结果用数字作答） 高二数学第2页（共4页） 14.已知椭圆C: 3+广=1的左右焦点为R,F,双曲线D:令-少 a2尔=1 (a>O,b>0)的左右顶点分别为E,E,C与D在第一、第二象限的交点为P, Q,则F+FQ=一：若直线FP,E0的斜率之积为-}则D的渐 近线方程为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤。 15.(13分) 知，乃是椭圆C:二+片1a>b>0)的焦点，5=42，且过 (0,2). (1)求C的方程： (2)若点P在C上，∠FPF,=90°，求△OPF的面积. 16.(15分) 如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是正方形，△PCD是边长为2的等 边三角形，PB=2√2. (1)证明：平面PCD⊥平面ABCD: (2)求二面角A一PC一D的余弦值. 高二数学第3页（共4页） 17.(15分) 已知点M到定点F(2,0)的距离比它到直线1：x+4=0的距离小2，记动点M 的轨迹为C. (1)求C的方程： (2)直线L交C于P,Q两点，点A(2,4),直线AP,AQ的斜率之和为0，求 直线l的斜率。 18.(17分) 如图，四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是正方形，PA=AD=2,∠PAB= ∠PAD=60°，E、F分别是线段PA,CD的中点. (1)求EF: (2)求直线EF与BD所成的角的余弦值. 19.(17分) 某核磁实验基地建设两条电磁辐射隔离带，两条电磁辐射隔离带的形状可近似 的看成双曲线。记双曲线C: 之-2=1(@>0，b>0,其渐近线方程为y=±， 且过点(4，√5). (1)求C的方程： (2)在点B(0,2)处存在一个强辐射中心，并释放着一个近似圆形的高能粒子 团，记为⊙B,其半径r可变（⊙B范围不超过隔离带），控制中心为更好的监测 高能粒子区域，在点A(2,0)发射两条与⊙B相切的伽马射线，两条切线与电磁辐 射隔离带分别交于M,N两点（异于点A).若经过M点反射的光线不经过N 点，则系统才能正常工作，为使系统正常运行，需要摆放一个光线屏蔽器，求此 光线屏蔽器所在位置的坐标. 高二数学第4页（共4页）