精品解析：甘肃省白银市第八中学2024-2025学年高三上学期1月阶段性考试数学试题

白银市第八中学2025届高三1月阶段性考试试卷 科目：数学 命题人：张德刚 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由一元二次函数性质求出集合B，再由交集定义计算即可得解. 【详解】因为， 所以 ，又， 所以. 故选：B. 2. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及同角公式计算得解. 【详解】由，则， 得. 故选：D 3. 已知a，b，c成等差数列，直线与圆交于A，B两点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解. 【详解】因为成等差数列，所以，， 代入直线方程得， 即，令，得， 故直线恒过，设，该点在圆内， 画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小， ，，此时. 故选：C. 4. 已知关于x的函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性及对数函数的定义域求解即可. 【详解】由题意，在上单调递减， 则函数在上单调递减， 且对于恒成立， 则，解得. 故选：A. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用全概率和条件概率公式，结合对立事件概率求解即可. 【详解】，则. 由于，则. 则， 则. 故选：B． 6. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，在下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 向量与的夹角是 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行六面体的向量运算、向量的模、向量的夹角，数量积等概念和公式.通过向量运算法则分别对每个选项进行分析判断. 【详解】对于A，在平行六面体中，根据向量加法的三角形法则，， 由于，，所以，选项A正确. 对于B，已知以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是. ，则 .所以，选项B正确. 对于C，， ， 因为，所以，选项C正确. 对于D，，设向量与的夹角为 ， ， 所以，选项D错误. 故选：D. 7. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，判断与的大小关系，结合幂函数的单调性即可确定的关系. 【详解】， ， 因为单调递增，所以， 因为单调递减，所以， 所以，综上, 故选：D. 8. 过椭圆上的点作圆的两条切线，切点分别为.若直线在轴，轴上的截距分别为，若，则椭圆离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出点的坐标，借助向量垂直的坐标表示求出切线方程，进而求出直线，并求出横纵截距，再求出离心率. 【详解】设，则， 令坐标原点为，由切圆于， 得，则，于是， 同理，因此直线的方程为， 则，即， 所以椭圆离心率. 故选：D 二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法命题正确的是（ ） A. 在空间直角坐标系中，已知点，，，则三点共线 B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 已知，，则在上的投影向量为 D. 已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据空间向量共线的充要条件计算可判定A，利用空间向量研究线面关系可判定B，根据数量积的几何意义计算投影向量可判定C，利用四点共面的推论可判定D. 【详解】对于A，易知，显然，所以不共线，即A错误； 对于B，由题意可知，所以不垂直，即B错误； 对于C，在上的投影向量为，即C正确； 对于D，由于四点共面，则，所以，即D正确. 故选：CD 10. 下图是函数的部分图象，则下列结论正确的是（ ） A. B. 将图象向右平移后得到函数的图象 C. 在区间上单调递增 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，利用五点法作图求出，再结合正弦型函数图象与性质逐项分析判断. 【详解】对于A，观察图象，，的最小正周期，解得， 由，得，，而，则，， 所以，故A正确； 对于B，将图象向右平移后得到函数，故B错误； 对于C，当时，， 而正弦函数在上单调递增， 因此在区间上单调递增，故C正确． 对于D，因为，取，满足条件， 此时，故D错误． 故选：AC. 11. 已知为坐标原点，抛物线上有异于原点的，两点，为抛物线的焦点，以为切点的抛物线的切线分别记为，，则（ ） A. 若，则三点共线 B. 若，则三点共线 C. 若，则三点共线 D. 若，则三点共线 【答案】BC 【解析】 【分析】设方程，联立抛物线方程，利用韦达定理表示，.AB：结合所给的条件即可判断；C：分别求出切线、的方程，由斜率之积为可得即可判断；D：结合抛物线的定义化简计算即可判断. 【详解】设直线的方程为，代入抛物线方程得， 则，，， 所以， . 选项A：若，则，得， 故直线：，不一定经过焦点，三点不一定共线，故A错误. 选项B：若，则，得， 故直线：，经过焦点，三点共线，故B正确. 选项C：设在点处的切线方程为：，即， 与抛物线方程联立得， ，即，解得， 所以：，即， 即切线的方程为，同理切线的方程为， 由，得，得，由B知直线经过焦点，故C正确. 选项D：因为， 则， 整理得，则，故直线：， 不一定经过焦点，三点不一定共线，故D错误. 故选：BC 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，抛物线的焦点为F，为上一点，若，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据题意，即，利用数量积的坐标运算和点在抛物线上求得，最后再由抛物线的定义求解. 【详解】由题可知，，， 因为，所以， 又，所以，解得， 所以，所以. 故答案为：5. 13. 二项式的展开式中，项的系数为______. 【答案】80 【解析】 【分析】利用二项式定理计算得到答案. 【详解】的展开式的通项为： ， 令，解得， 所以项的系数为. 故答案为：80. 14. 已知正实数满足则当 取得最小值时，______ 【答案】 【解析】 【分析】设出点之间的距离，由基本不等式求出最值，利用点和圆的位置关系确定自变量取值，代入求解即可. 【详解】设点与点之间的距离为，则， 易知的几何意义是点与点之间的距离的平方， 点在以为圆心，半径为的圆上，又，则， 设点与点之间的距离为，则， 故，当且仅当时取等， 此时取得最小值，由点与圆的位置关系得，此时， 代入得，. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是利用基本不等式找到关于的取值．再利用点与圆的位置关系确定此时也取得最小值，然后将代入目标式，得到所要求的结果即可． 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.） 15. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求证：； （2）若，且，求的面积． 【答案】（1） 证明：由可得， 根据正弦定理可得. （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式以及正弦定理计算可得结果； （2）利用余弦定理以及各边长度代入解方程可得，再由三角形面积公式计算可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由可得， 整理可得，即； 解得或； 当时，由，可得，与矛盾，舍去； 可得，代入，可得， 解得，所以； 由可得，即； 所以的面积为 16. 记为数列的前项和，已知． （1）证明：是等差数列； （2）若成等比数列，求的最大值． 【答案】（1） 证明：数列中，由，得， 当时，， 两式相减得，即， 因此，所以是等差数列. （2）90. 【解析】 【分析】（1）利用与的关系结合等差数列的定义即可证明. （2）利用等差数列的通项公式与等比中项的性质求出，从而得到，再借助单调性及等差数列前项和公式求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知数列的公差为， 由成等比数列，得，解得， 于是，由，得， 数列是首项为正，公差为负的递减等差数列，前9项为正，第10项为0，从第11项起为负， 所以数列前9项或前10项和最大，的最大值为. 17. 如图（1），在平面四边形中，，， 过点作，垂足为．如图（2），把沿折起，使得点A到达点处，且． （1）证明：． （2）若点为的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 证明：依题意，，而，平面， 则平面，又平面，则， 由，，得，， 连接，则，而，平面PCE， 因此平面，又平面， 所以． （2）. 【解析】 【分析】（1）先证明平面，可得，连接，再证明平面，进而可得； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，代入空间线面角公式计算即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 18. 近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活.现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”.某市社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示： 喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计 年龄不超过45岁的市民 40 10 50 年龄超过45岁的市民 20 30 50 合计 60 40 100 （1）试根据的独立性检验，分析社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关？ （2）M社区的市民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，如果周一选每平台买菜，那么周二选择平合买菜的概率为，求小张周二选择平台买菜的概率； （3）用频率估计概率，现从M社区随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为随机变量，并记随机变量，求、的期望和方差. 参考公式：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式及数据：，其中. 【答案】（1）有关 （2） （3），，， 【解析】 【分析】（1）由独立性检验相关知识可得答案； （2）由题结合全概率公式可得答案； （3）由题可得，后由期望与方差性质可得答案. 【小问1详解】 假设：M社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄无关. 由给定的列联表，得：. 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为是否喜欢网上买菜与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于. 【小问2详解】 设表示周在A平台买菜，表示周在B平台买菜， 由题可得， 由全概率公式，小张周二选择平台买菜的概率为： ； 【小问3详解】 依题意，喜欢网上买菜的概率为：. 从M社区随机抽取20名市民，其中喜欢网上买菜的市民人数服从二项分布：，所以，. 又，所以，. 19. 已知，分别是椭圆的左、右顶点，P（异于点A，B）是C上的一个动点，面积的最大值为2． （1）求椭圆C的方程； （2）记直线PA，PB的斜率分别为，，求的值； （3）直线l交椭圆C于M，N两点（异于A，B两点），直线AM，AN的斜率分别为，，且，证明：直线MN过定点． 【答案】（1） （2） （3） 由题意知直线l的斜率不为0，设l的方程为，，． 由得， ， ∴，， ∴，， ∵，∴，即， ∴， 解得或（舍）． 当时，满足，此时MN的方程为，故直线MN过定点． 【解析】 【分析】（1）根据条件可知当点在椭圆上、下顶点处时，面积的最大，由此可计算椭圆标准方程. （2）设，表示，利用点在椭圆上可求结果. （3）设l的方程为，与椭圆方程联立，利用可计算出的值，即可证明结论. 【小问1详解】 由题意得，. 当点在椭圆上、下顶点处时，面积的最大，此时面积为， ∴，∴椭圆C的方程为． 【小问2详解】 设，则，即， ∴． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 白银市第八中学2025届高三1月阶段性考试试卷 科目：数学 命题人：张德刚 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知a，b，c成等差数列，直线与圆交于A，B两点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 4. 已知关于x的函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，在下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 向量与的夹角是 7. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 过椭圆上的点作圆的两条切线，切点分别为.若直线在轴，轴上的截距分别为，若，则椭圆离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法命题正确的是（ ） A. 在空间直角坐标系中，已知点，，，则三点共线 B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 已知，，则在上的投影向量为 D. 已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则 10. 下图是函数的部分图象，则下列结论正确的是（ ） A. B. 将图象向右平移后得到函数的图象 C. 在区间上单调递增 D. 若，则 11. 已知为坐标原点，抛物线上有异于原点的，两点，为抛物线的焦点，以为切点的抛物线的切线分别记为，，则（ ） A. 若，则三点共线 B. 若，则三点共线 C. 若，则三点共线 D. 若，则三点共线 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，抛物线的焦点为F，为上一点，若，则______． 13. 二项式的展开式中，项的系数为______. 14. 已知正实数满足则当 取得最小值时，______ 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.） 15. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求证：； （2）若，且，求的面积． 16. 记为数列的前项和，已知． （1）证明：是等差数列； （2）若成等比数列，求的最大值． 17. 如图（1），在平面四边形中，，， 过点作，垂足为．如图（2），把沿折起，使得点A到达点处，且． （1）证明：． （2）若点为的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活.现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”.某市社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示： 喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计 年龄不超过45岁的市民 40 10 50 年龄超过45岁的市民 20 30 50 合计 60 40 100 （1）试根据的独立性检验，分析社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关？ （2）M社区的市民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，如果周一选每平台买菜，那么周二选择平合买菜的概率为，求小张周二选择平台买菜的概率； （3）用频率估计概率，现从M社区随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为随机变量，并记随机变量，求、的期望和方差. 参考公式：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式及数据：，其中. 19. 已知，分别是椭圆的左、右顶点，P（异于点A，B）是C上的一个动点，面积的最大值为2． （1）求椭圆C的方程； （2）记直线PA，PB的斜率分别为，，求的值； （3）直线l交椭圆C于M，N两点（异于A，B两点），直线AM，AN的斜率分别为，，且，证明：直线MN过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $