专题7.2 幂的运算（压轴题综合测试卷）-2024-2025学年七年级数学下册压轴题专项讲练系列（苏科版2024）

幂的运算 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（3分）（2024·河南·模拟预测）下列各式中，计算结果为的是（     ） A． B． C． D． 2．（3分）（23-24七年级下·山东菏泽·期中）新定义：（均为正整数），例如：．若，，则的值为（　　） A．18 B．24 C．36 D．63 3．（3分）（23-24七年级下·浙江杭州·期末）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．（3分）（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）已知，，，则的值为（  ） A． B． C． D． 5．（3分）（2024七年级下·浙江·专题练习）已知，则代数式的值为（　　） A． B． C．1 D．2 6．（3分）（24-25八年级上·贵州遵义·期末）若，，且，则x的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（3分）（23-24七年级下·浙江宁波·期末）若，都是绝对值不大于2的整数，且，则代数式值不可能是（    ） A．5 B． C． D． 8．（3分）（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）已知，，均为正整数，且满足，则的取值不可能是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 9．（3分）（23-24七年级·江苏·阶段练习）设m，n是正整数，且，若与的末两位数字相同，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 10．（3分）（23-24七年级下·河北石家庄·期中）已知：，，，甲、乙、丙的判断如下，则正确的是（    ） 甲：；乙：；丙： A．只有甲和乙 B．只有甲和丙 C．只有乙和丙 D．甲、乙、丙 评卷人 得 分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（3分）（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）已知为正整数，且，求的值为 ． 12．（3分）（23-24七年级下·全国·期中）已知，则m的值为 13．（3分）（23-24七年级下·福建宁德·期中）已知，，，现给出，，之间的四个关系式：①；②；③；④．其中正确的关系式是 ．（填序号） 14．（3分）（23-24七年级下·江苏镇江·阶段练习）现有若干张卡片，分别写有1，，4，，16，，……，小明从中取出三张卡片，要满足三张卡片上的数字乘积为，其中三数之和的最大值记为A，最小值记为B，则的值等于 ． 15．（3分）（23-24七年级下·河北石家庄·期中）我们定义：三角形，五角星； （1）＝ ； （2）若，则＝ ． 评卷人 得 分 三、解答题（本大题共9小题，满分55分） 16．（8分）（23-24七年级下·江苏镇江·阶段练习）计算： （1） （2） （3） （4） 17．（4分）（2025七年级下·全国·专题练习）解下列方程： （1）； （2）． 18．（6分）（23-24九年级下·河北石家庄·期末）新华书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元本、10元本．现购进m本甲种书和n本乙种书，共付款Q元． （1）用含m，n的代数式表示Q； （2）若共购进本甲种书及本乙种书，用科学记数法表示Q的值； （3）在（2）的条件下，若，求的值．（结果用科学记数法表示） 19．（6分）（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）一般的，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可转化为指数式，根据以上材料，解决下列问题： （1）计算： ， ， ； （2）观察（1），猜想： （且，，）； （3）已知，求的值（且） 20．（6分）（24-25七年级上·重庆·阶段练习）已知 （1）求的值． （2）若用含x的代数式表示y值． （3）求 21．（6分）（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算： (其中m、n为正整数)；例如，若，则． （1）若，则：① ； ② 当 ； （2）若，化简：． 22．（6分）（23-24七年级下·江苏连云港·期中）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设① 则② ②①得，． 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）______； （2）求______； （3）求的和；（请写出计算过程） （4）求的和（其中且）．（请写出计算过程） 23．（6分）（23-24八年级上·湖北十堰·期中）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，......，观察规律，，∵的末尾数字是1，∴的末尾数字是1，∴的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7．解答下列问题： （1）的末尾数字是 ，的末尾数字是 ； （2）求的末尾数字； （3）求证：能被5整除． 24．（7分）（23-24八年级上·湖北荆州·期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． （1）______ ；若，则______ ； （2）已知，，，若，求的值； （3）若，，令． ①求的值； ②求的值． 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 幂的运算 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（3分）（2024·河南·模拟预测）下列各式中，计算结果为的是（     ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题主要考查合并同类项以、同底数幂的乘除法、积的乘方等知识，分别根据运算法则计算后再进行判断即可 【解题过程】 解：A．，故选项不符合题意； B．，故选项符合题意； C. ，故选项不符合题意； D. ，故选项不符合题意； 故选：B． 2．（3分）（23-24七年级下·山东菏泽·期中）新定义：（均为正整数），例如：．若，，则的值为（　　） A．18 B．24 C．36 D．63 【思路点拨】 本题主要考查新定义运算，幂的乘方和积的乘方逆运算，根据新运算法则求出，再把变形为，再代入计算即可 【解题过程】 解：∵（均为正整数）， ∴ ∴ ∴， 故选：D 3．（3分）（23-24七年级下·浙江杭州·期末）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键． 先化简得，代入数值即可解答． 【解题过程】 解：， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 4．（3分）（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）已知，，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【思路点拨】 先根据同底数幂的除法求出，运用同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方的逆运算等知识再化简计算，问题即可得解． 【解题过程】 解：∵，，， ∴， ∴， 则， ∵ ， ∴， ∴ 故选：A． 5．（3分）（2024七年级下·浙江·专题练习）已知，则代数式的值为（　　） A． B． C．1 D．2 【思路点拨】 本题考查幂的乘方与积的乘方，熟练掌握其运算法则是本题的关键． 分别将和的两边次方、次方，得和，将这两个等式的左边和右边分别相乘，得，从而得到，计算即可． 【解题过程】 解：， ，， ， ， ． 故选：C． 6．（3分）（24-25八年级上·贵州遵义·期末）若，，且，则x的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】 本题主要考查了同底数幂的乘除法的逆用，幂的乘方的逆用等知识点，根据同底数幂的乘除法和幂的乘方运算法则进行计算即可得解，熟练掌握同底数幂的乘除法和幂的乘方运算法则是解决此题的关键． 【解题过程】 解：∵， 又∵，， ∴， ∴， 化简得， ∴， 故选：C． 7．（3分）（23-24七年级下·浙江宁波·期末）若，都是绝对值不大于2的整数，且，则代数式值不可能是（    ） A．5 B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了绝对值的意义，有理数的乘方计算，根据题意可得的值可能为，再结合选项选择适合的值，逐项判断即可． 【解题过程】 解：，都是绝对值不大于2的整数， 的值可能为：， 当，时，，故A不符合题意； 当，时，，故B不符合题意； 当，时，，故C不符合题意； 在a，b的可取范围内，代数式值不可能是，故D符合题意， 故选：D． 8．（3分）（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）已知，，均为正整数，且满足，则的取值不可能是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【思路点拨】 本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，将原方程化为，得到，，再根据a，b，c均为正整数，求出a，c的值，进而求出答案． 【解题过程】 解：∵ ∴， ∴， ∵，，均为正整数， ∴当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， ∴的取值不可能为7． 故选A 9．（3分）（23-24七年级·江苏·阶段练习）设m，n是正整数，且，若与的末两位数字相同，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【思路点拨】 由题意可知是100的倍数，从而分析得到的末尾数字是01，设（t为正整数），由，分析判断即可得到正确答案． 【解题过程】 解：由题意知，是100的倍数 ∵与100互质 ∴是100的倍数 ∴的末尾数字是01 ∴的数值一定是偶数，且m，n是正整数， 设：（t为正整数） 则： ∵的末尾两位数字为61，的末尾两位数字为41，的末尾两位数字为21，末尾两位数字为01 ∴t的最小值为5， ∴的最小值为10 故答案为：B 10．（3分）（23-24七年级下·河北石家庄·期中）已知：，，，甲、乙、丙的判断如下，则正确的是（    ） 甲：；乙：；丙： A．只有甲和乙 B．只有甲和丙 C．只有乙和丙 D．甲、乙、丙 【思路点拨】 将变形为，根据即可判断甲；根据即可判断乙；根据，，即可判断丙． 【解题过程】 解：∵， 又∵， ∴，故甲正确； ∵， ∴，故乙正确； ∵， ， 又∵， ∴， 即，故丙正确； 综上分析可知，正确的是甲、乙、丙，故D正确． 故选：D． 评卷人 得 分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（3分）（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）已知为正整数，且，求的值为 ． 【思路点拨】 本题主要考查了幂的乘方计算，积的乘方计算，先根据幂的乘方计算法则求出，，再由积的乘方计算法则和幂的乘方计算法则得到，据此代值计算即可． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ， ， 故答案为：． 12．（3分）（23-24七年级下·全国·期中）已知，则m的值为 【思路点拨】 本题考查幂的乘方的逆用，同底数幂的乘法和除法运算，根据相应运算法则，求解即可． 【解题过程】 解：∵ 又∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 13．（3分）（23-24七年级下·福建宁德·期中）已知，，，现给出，，之间的四个关系式：①；②；③；④．其中正确的关系式是 ．（填序号） 【思路点拨】 本题主要考查了同底数幂乘除法的逆运算，幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法计算，根据，即可判断①④；根据，，即可判断②；根据，，即可判断③； 【解题过程】 解：∵，，， ∴， ∴ ∴，故①正确，④错误； ∵，， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③错误； 故答案为：①②． 14．（3分）（23-24七年级下·江苏镇江·阶段练习）现有若干张卡片，分别写有1，，4，，16，，……，小明从中取出三张卡片，要满足三张卡片上的数字乘积为，其中三数之和的最大值记为A，最小值记为B，则的值等于 ． 【思路点拨】 由题意知，卡片数字为，，，，，，……，则使三数之和最大的三个数为，，，即，使三数之和最小的三个数为，，，即，然后代入计算求解即可． 【解题过程】 解：由题意知，卡片数字为，，，，，，…… ∵三张卡片上的数字乘积为， ∴使三数之和最大的三个数为，，， ∴， ∴使三数之和最小的三个数为，，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 15．（3分）（23-24七年级下·河北石家庄·期中）我们定义：三角形，五角星； （1）＝ ； （2）若，则＝ ． 【思路点拨】 此题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）按照规定的运算顺序进行计算即可； （2）先根已知条件和规定的运算得到，再利用规定的运算得到算式利用同底数幂的乘法和幂的乘方变形为，整体代入即可得到答案． 【解题过程】 解：（1）由题意得：， 故答案为：27； （2）∵＝4， ∴， ∴， ∴ 故答案为：32． 评卷人 得 分 三、解答题（本大题共9小题，满分55分） 16．（8分）（23-24七年级下·江苏镇江·阶段练习）计算： （1） （2） （3） （4） 【思路点拨】 （1）利用幂的乘方和同底数幂的乘除法求解即可； （2）先利用同底数幂的乘法和积的乘方运算法则计算，再合并同类项即可求解； （3）先进行有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算，再进行加减运算即可； （4）可根据积的乘方和同底数幂的乘法的逆运算进行简便运算即可求解． 【解题过程】 （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 17．（4分）（2025七年级下·全国·专题练习）解下列方程： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，解一元一次方程，熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方法则是解答本题的关键． （1）先根据同底数幂的乘法，幂的乘方法则变形，得出关于x的一元一次方程求解； （2）先根据同底数幂的乘法，幂的乘方法则变形，得出关于x的一元一次方程求解． 【解题过程】 （1）解：原方程可化为， 整理，得， 所以， 解得． （2）解：原方程可化为， 整理，得，即， 所以， 解得． 18．（6分）（23-24九年级下·河北石家庄·期末）新华书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元本、10元本．现购进m本甲种书和n本乙种书，共付款Q元． （1）用含m，n的代数式表示Q； （2）若共购进本甲种书及本乙种书，用科学记数法表示Q的值； （3）在（2）的条件下，若，求的值．（结果用科学记数法表示） 【思路点拨】 （1）根据题意即可直接列出代数式； （2）将，代入代数式求值，并将结果用科学记数法表示即可； （3）将，代入代数式求值，并将结果用科学记数法表示即可． 【解题过程】 （1）解：根据题意可得： ； （2）解：当，时， ； （3）解：，， ． 19．（6分）（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）一般的，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可转化为指数式，根据以上材料，解决下列问题： （1）计算： ， ， ； （2）观察（1），猜想： （且，，）； （3）已知，求的值（且） 【思路点拨】 本题考查整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系． （1）根据，，写成对数式； （2）设，，根据对数的定义可表示为指数式为：，，据此计算即可； （3）由，得，再根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【解题过程】 （1）解：，，， ；； 故答案为：2；4；6； （2）设，， 则，， ， 根据对数的定义，， 即； 故答案为：． （3）由，得， ， 根据对数的定义，． 20．（6分）（24-25七年级上·重庆·阶段练习）已知 （1）求的值． （2）若用含x的代数式表示y值． （3）求 【思路点拨】 本题考查了同底数幂相除的逆运用，幂的乘方，积的乘方，同底数幂相乘等运算法则，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理，再分别代入进行计算，即可作答． （2）运用幂的乘方得出，再代入，进行化简，即可作答． （3）先整理出，，然后得出，即，再结合，把代入求值，即可作答． 【解题过程】 （1）解：∵ ∴ ． （2）解：∵ ∴ （3）解：∵ ∴， 即， ∵ ∴ 即， ∴，得， 即， ∴， ． 21．（6分）（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算： (其中m、n为正整数)；例如，若，则． （1）若，则：① ； ② 当 ； （2）若，化简：． 【思路点拨】 本题考查了乘方及同底数幂的乘法，新定义，理解新定义的规则是解题的关键． （1）①按照新定义的运算规则有，再代入值进行计算即可； ②由，则，即可求得n的值； （2）由，再由同底数幂的运算法则计算即可． 【解题过程】 （1）解：①由于， 而， 所以； 故答案为：125； ②， ， ， ， ， 故答案为：2； （2）解：， ，，，，……，， ． 22．（6分）（23-24七年级下·江苏连云港·期中）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设① 则② ②①得，． 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）______； （2）求______； （3）求的和；（请写出计算过程） （4）求的和（其中且）．（请写出计算过程） 【思路点拨】 （1）根据阅读材料可得：设s＝①，则2s＝22＋23＋…＋220＋221②，②−①即可得结果； （2）设s＝①，s＝②，②−①即可得结果； （3）设s＝①，-2s＝②，②−①即可得结果； （4）设s＝①，as＝②，②−①得as-s=-a-，同理：求得-，进而即可求解． 【解题过程】 解：根据阅读材料可知： （1）设s＝①， 2s＝22＋23＋…＋220＋221②， ②−①得，2s−s＝s＝221−2； 故答案为：221−2； （2）设s＝①， s＝②， ②−①得，s−s＝-s＝-1， ∴s＝2-， 故答案为：2-； （3）设s＝① -2s＝② ②−①得，-2s−s＝-3s＝+2 ∴s＝； （4）设s＝①， as＝②， ②-①得：as-s=-a-， 设m=-a-③， am=-④， ④-③得：am-m=a-， ∴m=， ∴as-s=+， ∴s=+． 23．（6分）（23-24八年级上·湖北十堰·期中）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，......，观察规律，，∵的末尾数字是1，∴的末尾数字是1，∴的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7．解答下列问题： （1）的末尾数字是 ，的末尾数字是 ； （2）求的末尾数字； （3）求证：能被5整除． 【思路点拨】 （1）根据阅读材料中的结论可知的末尾数字；根据阅读材料中提供的方法，可得的末尾数字是4，的末尾数字是6，于是得解； （2）先将化成，再利用的末尾数字是6，从而得出结论； （3）分别证明的末尾数字为6和的末尾数字9，则命题即可得证． 【解题过程】 （1）解： ， 的末尾数字为3； 的末尾数字是4，的末尾数字是6，的末尾数字是4，… 的末尾数字是4，的末尾数字是6， 的末尾数字是6； 故答案为：3，6； （2）解：， ∵的末尾数字是6， ∴的末尾数字是4； （3）证明：∵的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，… 的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6， 的末尾数字为6； 同理可得： 的末尾数字7，的末尾数字9，的末尾数字3，的末尾数字1； 的末尾数字9， ∴的末尾数字是5， ∴能被5整除． 24．（7分）（23-24八年级上·湖北荆州·期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． （1）______ ；若，则______ ； （2）已知，，，若，求的值； （3）若，，令． ①求的值； ②求的值． 【思路点拨】 （1）由，可直接得出；由，可得出； （2）由题意可得出，，．根据，得出，即，进而即可求出； （3）①由题意可得出，，再根据，，即可求出；②根据，即得出，结合题意可得出．由①知，即得出，进而得出，即说明，代入中求值即可． 【解题过程】 （1）解：， ； ，且， ． 故答案为：，； （2）解：，，，若， ，，． ， ，即， ； （3）解：①，， ，， ，， ； ② ， ， ． 由①知：， ， ， ， ． 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $$