专题7.4 复数运算的综合应用大题专项训练【五大题型】-2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

专题7.4 复数运算的综合应用大题专项训练【五大题型】 【人教A版（2019）】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 复数的四则运算 1．（23-24高一下·河南郑州·期中）已知复数满足且． (1)求复数； (2)求． 2．（23-24高一下·河南商丘·期中）已知复数，且为纯虚数. (1)求复数； (2)若，求复数及. 3．（24-25高一·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 4．（23-24高一下·山西大同·期中）已知复数满足为纯虚数，． (1)求以及； (2)设，若，求实数的值． 5．（23-24高一下·江苏南京·期中）已知复数是纯虚数，其中是实数. (1)求实数的值; (2)求. 6．（23-24高一下·福建漳州·期中）已知复数，且为纯虚数. (1)求复数； (2)若复数，求复数的模. 7．（23-24高一下·江苏淮安·期中）设复数． (1)若是实数，求 (2)若是纯虚数，求． 题型二 复数的四则运算与复数特征的综合应用 用向量证明线段垂直 用向量证明线段垂直 8．（23-24高二下·江苏无锡·期末）已知复数z使得，其中i是虚数单位. (1)求复数z的共轭复数； (2)若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 9．（23-24高一下·贵州·期中）已知复数的共轭复数为在复平面上对应的点在第一象限，且满足， (1)求复数； (2)求复数的模长． 10．（24-25高二上·重庆·开学考试）已知复数满足，的虚部是2． (1)求复数； (2)设，，在复平面上的对应点分别为，，，若点位于第一象限，求的面积． 11．（23-24高一下·河北唐山·期中）已知复数满足，的虚部为8，在复平面上对应的点在第一象限． (1)求复数； (2)若复数，且是实数，求实数的值． 12．（23-24高一下·福建龙岩·期中）已知复数（，为虚数单位）. (1)若为纯虚数，求实数a的值； (2)若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求a的取值范围. 13．（24-25高一下·全国·课后作业）已知复数（i是虚数单位，），且为纯虚数（是z的共轭复数）． (1)设复数，求； (2)设复数，且复数在复平面内所对应的点在第一象限，求实数a的取值范围． 14．（23-24高一下·山东聊城·期中）已知复数，在复平面上对应的点分别为，． (1)若，求的共轭复数； (2)若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围． 题型三 复数范围内方程的根的问题 15．（23-24高一下·湖北武汉·期中）知复数，复数在复平面内对应的点为 (1)若复数是关于的方程的一个根，，求的值： (2)若复数满足，求复数的共轭复数. 16．（23-24高一下·上海松江·期末）已知为虚数单位，复数． (1)当实数取何值时，是纯虚数； (2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数与的值． 17．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）已知复数（是虚数单位）是方程的根，其中，是实数 (1)求和的值； (2)若是纯虚数，求实数的值 18．（23-24高一下·吉林·期末）已知复数是一元二次方程（）的根. (1)求的值； (2)若复数（其中）为纯虚数，求复数的模. 19．（23-24高一下·上海·期末）设是虚数单位，是关于的方程的两根，且满足. (1)若，求与的值； (2)若，求的值. 20．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）已知复数，（为虚数单位）满足__________. 在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并解答下列问题. (1)若，求复数以及； (2)若是实系数一元二次方程的根，求实数的值. 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分. 21．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知复数，其中是正实数，是虚数单位 (1)如果为纯虚数，求实数的值； (2)如果，是关于的方程的一个复根，求的值. 题型四 复数运算的三角表示 22．（24-25高一下·辽宁大连·阶段练习）设复数， (1)写出的三角形式； (2)复数满足，且在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，，求的代数形式． 23．（24-25高一·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 24．（24-25高一上·上海·课堂例题）设、、在复平面上对应的点分别为A、B、C，.若，，，求四边形的面积. 25．（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数z满足，且. (1)求z的三角形式； (2)记分别表示复数z、、在复平面上的对应点.已知三点成逆时针顺序，且为等边三角形，求的值. 26．（24-25高一下·全国·课后作业）已知是实数，是非零复数，且满足，. （1）求； （2）设，若，求的值. 27．（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，把复数对应的向量绕原点逆时针旋转后所得向量对应的复数为，绕原点顺时针旋转后所得向量对应的复数为 (1)求复数； (2)若复数，求复数. 28．（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）已知：①任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式.②方程（为正整数）有个不同的复数根； (1)求证：； (2)设，求； (3)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合. 题型五 复数综合 29．（24-25高二上·河南焦作·期中）已知向量，，，若函数，且在区间上不具有单调性. (1)求的取值范围； (2)当取最小整数值时，若（其中， ，是虚数单位），求的值. 30．（24-25高一上·河南周口·期末）对任意一个非零复数，定义集合．. (1)设是方程的一个根，试用列举法表示集合； (2)若复数，求证． 31．（24-25高一·江苏·假期作业）设为虚数，为实数． (1)求； (2)设在复平面内对应的点为，以轴的非负半轴为始边，射线为终边的角记为，求证：； (3)若，，求的最小值． 32．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知复数在复平面内对应的点在虚轴的正半轴上，复数 (1)求，的值； (2)求，的值． 33．（24-25高一下·山东菏泽·阶段练习）已知复数，，． (1)若，求角； (2)复数，对应的向量分别是，， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）存在使等式成立，求实数的取值范围． 34．（2024·贵州贵阳·二模）在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点.它们还有如下性质： （1） （2）（当时，为纯虚数） （3） （4） （5）. （6）两个复数和､差､积､商（分母非零）的共轭复数，分别等于两个复数的共轭复数的和､差､积､商. 请根据所学复数知识，结合以上性质，完成下面问题： (1)设.求证：是实数； (2)已知，求的值； (3)设，其中是实数，当时，求的最大值和最小值. 35．（23-24高一下·四川成都·期中）我们知道，复数可以用的形式来表示，与复平面内的点是一一对应的，复数的模，即是复平面内的点到坐标原点的距离．又复数与平面向量也是一一对应的，所以也可以借助与非负半轴为始边，以向量所在射线（射线OZ）为终边的角来刻画的方向，在此基础上再来认识一下复数的乘除法运算． 如：，，角；，，角，由．即：复数，相当于将复数伸长了倍，同时逆时针旋转角后得到． (1)计算，并从模与角度的变化来解释除法运算的几何意义； (2)现将直角坐标平面内任意一点，绕坐标原点逆时针旋转角，并将的长度伸长倍后得到点．请借助以上复数运算的知识，推导点与点伸缩旋转变换的坐标关系； (3)已知反比例函数，现将函数上的点都逆时针旋转后得到点的曲线，求曲线上的点坐标关系式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.4 复数运算的综合应用大题专项训练【五大题型】 【人教A版（2019）】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 复数的四则运算 1．（23-24高一下·河南郑州·期中）已知复数满足且． (1)求复数； (2)求． 【解题思路】（1）设复数，、，由共轭复数的概念、复数的模长公式结合题意列方程组求解即可； （2）根据（1）中的值，利用复数的乘法法则计算求即可． 【解答过程】（1）设复数，、，则，， 由且，得， 解方程得，所以复数或； （2）当时， ； 当时， ， 综上，． 2．（23-24高一下·河南商丘·期中）已知复数，且为纯虚数. (1)求复数； (2)若，求复数及. 【解题思路】（1）根据和为纯虚数列关于的方程组求解，求出复数； （2）求出，求出，求出，求出. 【解答过程】（1）由，所以， 又为纯虚数，所以， 解得，所以复数； （2）由（1）知，所以， 故，. 3．（24-25高一·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【解题思路】（1）（2）（3）（4）（5）根据复数的乘除法运算即可. 【解答过程】（1）. （2）. （3）. （4）. （5） . 4．（23-24高一下·山西大同·期中）已知复数满足为纯虚数，． (1)求以及； (2)设，若，求实数的值． 【解题思路】（1）设复数的代数形式，利用复数的乘法运算化简，根据纯虚数概念求解； （2）利用复数的乘除、乘方化简，再由模的公式建立方程求解. 【解答过程】（1）设，则， 由为纯虚数， 得①，且， 由，得②， 由①②解得，验证知，满足题意. 所以. （2）由（1）可知，， 由，得， 整理，得， 解得或. 故实数的值为1或5. 5．（23-24高一下·江苏南京·期中）已知复数是纯虚数，其中是实数. (1)求实数的值; (2)求. 【解题思路】（1）化简运用纯虚数概念求解即可； （2）化简，结合，周期性质即可解题. 【解答过程】（1）复数，则， 因为是纯虚数，于是，解得 （2）由（1）得到，又， 则，即有， 所以. 6．（23-24高一下·福建漳州·期中）已知复数，且为纯虚数. (1)求复数； (2)若复数，求复数的模. 【解题思路】（1）运用纯虚数概念，结合乘法计算即可； （2）运用模长公式，结合除法和共轭复数知识求解. 【解答过程】（1）由题意得， 是纯虚数， ， ， （2） . 7．（23-24高一下·江苏淮安·期中）设复数． (1)若是实数，求 (2)若是纯虚数，求． 【解题思路】（1）根据复数的分类特征，结合复数加法和乘法的运算性质进行求解即可； （2）根据复数除法的运算法则，结合纯虚数的定义进行求解即可. 【解答过程】（1）， 因为是实数， 所以有， 因此； （2）， 因为是纯虚数， 所以有，所以. 题型二 复数的四则运算与复数特征的综合应用 用向量证明线段垂直 用向量证明线段垂直 8．（23-24高二下·江苏无锡·期末）已知复数z使得，其中i是虚数单位. (1)求复数z的共轭复数； (2)若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）根据复数的除法运算以及加法运算化简复数，即可根据复数的分类求解， （2）根据复数乘法化简，根据第四象限的点的特征即可列不等式求解. 【解答过程】（1）设，∴ ∴ ∴   所以，解得， ∴， ∴； （2）∵m为实数， ∴， 解得 ∴的取值范围是. 9．（23-24高一下·贵州·期中）已知复数的共轭复数为在复平面上对应的点在第一象限，且满足， (1)求复数； (2)求复数的模长． 【解题思路】（1）设，则，结合题意列式求解即可； （2）由（1）可得，进而可得模长. 【解答过程】（1）设，则， 由题意可得，解得， 又因为在复平面上对应的点在第一象限，即，所以. （2）由（1）可知，则， 所以 . 10．（24-25高二上·重庆·开学考试）已知复数满足，的虚部是2． (1)求复数； (2)设，，在复平面上的对应点分别为，，，若点位于第一象限，求的面积． 【解题思路】（1）设，结合条件求即可得z； （2）结合（1）结论，利用复数的四则运算即可得 的对应坐标，进而求它们构成的的面积； 【解答过程】（1）， 则， 由题意得， 且， 解得或， 所以或． （2）因为位于第一象限，所以， ， ， 所以，，， 直线，所以且到的距离为1； ∴. 所以． 11．（23-24高一下·河北唐山·期中）已知复数满足，的虚部为8，在复平面上对应的点在第一象限． (1)求复数； (2)若复数，且是实数，求实数的值． 【解题思路】（1）设，由已知条件列方程求出的值，得复数； （2）由复数的乘法和复数的分类，求实数的值． 【解答过程】（1）设复数，由，的虚部为8，在复平面上对应的点在第一象限， 则有，解得，即. （2）, 是实数，则有，解得. 12．（23-24高一下·福建龙岩·期中）已知复数（，为虚数单位）. (1)若为纯虚数，求实数a的值； (2)若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求a的取值范围. 【解题思路】（1）由复数为纯虚数，列出方程组求解即可得的值； （2）由在复平面上对应的点在第四象限列出不等式组求解即可得的取值范围． 【解答过程】（1）. 因为为纯虚数， ，解得， 所以. （2）由， 由复数在复平面内所对应的点位于第四象限，得，解得． 的取值范围为． 13．（24-25高一下·全国·课后作业）已知复数（i是虚数单位，），且为纯虚数（是z的共轭复数）． (1)设复数，求； (2)设复数，且复数在复平面内所对应的点在第一象限，求实数a的取值范围． 【解题思路】（1）化简，由其为纯虚数求出的值，将代入化简，从而可求出其模； （2）将代入化简，再由复数在复平面内所对应的点在第一象限，列不等式组可求出实数a的取值范围． 【解答过程】（1）， ． 又为纯虚数， ，解得， 所以， ． （2）由（1）知， ． 又复数在复平面内所对应的点在第一象限， ，解得， 即实数a的取值范围是． 14．（23-24高一下·山东聊城·期中）已知复数，在复平面上对应的点分别为，． (1)若，求的共轭复数； (2)若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）可得出：，，然后根据复数的除法运算得出复数，然后即可得出的共轭复数； （2）进行复数的运算得出，然后根据条件得出关于的不等式，然后解出的范围即可． 【解答过程】（1）根据题意知：，， ， ； （2），且在复平面上对应的点在第四象限， ，解答， 实数的取值范围为． 题型三 复数范围内方程的根的问题 15．（23-24高一下·湖北武汉·期中）知复数，复数在复平面内对应的点为 (1)若复数是关于的方程的一个根，，求的值： (2)若复数满足，求复数的共轭复数. 【解题思路】（1）将代入一元二次方程即可得到方程组，解出即可； （2）根据复数的除法和共轭复数的概念即可得到答案. 【解答过程】（1）由题意得， 因为复数是关于的方程的一个根， 所以， ， ， 解得，所以. （2）， . 16．（23-24高一下·上海松江·期末）已知为虚数单位，复数． (1)当实数取何值时，是纯虚数； (2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数与的值． 【解题思路】（1）由是纯虚数得到实部为，虚部不为，解方程组得到的值； （2）将代入方程，实部和虚部均为，解方程组得到和的值. 【解答过程】（1）由是纯虚数得，解得. 所以当时，是纯虚数. （2）当时，， 因为是关于的方程的一个根，所以， 即，整理得， 所以，解得. 17．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）已知复数（是虚数单位）是方程的根，其中，是实数 (1)求和的值； (2)若是纯虚数，求实数的值 【解题思路】（1）根据虚根成对原理可知也为方程的根，利用韦达定理计算可得； （2）根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据其为纯虚数，则实部为，虚部不为得到方程（不等式）组，解得即可. 【解答过程】（1）因为复数（是虚数单位）是方程的根（，是实数）， 所以也为方程的根， 所以，所以； （2）由（1）可知 ， 又是纯虚数， 所以，解得. 18．（23-24高一下·吉林·期末）已知复数是一元二次方程（）的根. (1)求的值； (2)若复数（其中）为纯虚数，求复数的模. 【解题思路】根据是一元二次方程的根得到也是一元二次方程的根，代入列方程组求解即可； （2）求出，根据复数为纯虚数求出即可求出. 【解答过程】（1）因为是一元二次方程的根， 所以也是一元二次方程的根， 故，解得； （2）因为复数为纯虚数， 所以，且， 即，所以复数， 故. 19．（23-24高一下·上海·期末）设是虚数单位，是关于的方程的两根，且满足. (1)若，求与的值； (2)若，求的值. 【解题思路】（1）由，及，得，即可求解； （2）当时，则是关于的方程的两根，则，进行分类讨论，即可求解. 【解答过程】（1）解：由，得， 而，得， 因为是关于的方程的两根， 所以， 得，由，得， 得，则； （2）当时，则是关于的方程的两根， 则， 当时，则，不满足， 当时，得 得， 由得， 得， 得， 得， 当时，不成立，当时，得， 当时，得， 不妨记， 由得， 得， 故的值为：或. 20．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）已知复数，（为虚数单位）满足__________. 在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并解答下列问题. (1)若，求复数以及； (2)若是实系数一元二次方程的根，求实数的值. 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分. 【解题思路】（1）选条件①，利用共轭复数的意义及复数乘法运算求出，再利用复数除法运算及模的意义求解；选条件②，利用复数乘法运算及复数的意义求出，再利用复数除法运算及模的意义求解. （2）利用实系数一元二次方程的虚根成对出现，再借助韦达定理计算即得. 【解答过程】（1）选条件①，，由，得， 因此，即，又，解得， 所以，. 选条件②，，由 得，因此，解得， 所以，. （2）是实系数一元二次方程的根，则也是该方程的根， 于是，则实数， 所以实数的值为. 21．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知复数，其中是正实数，是虚数单位 (1)如果为纯虚数，求实数的值； (2)如果，是关于的方程的一个复根，求的值. 【解题思路】（1）先利用复数的四则运算求得，再利用复数的分类即可得解； （2）先利用复数的四则运算化简，从而得到题设方程的两个复根，再利用韦达定理即可得解. 【解答过程】（1）因为，所以， 因为为纯虚数，所以，解得（负值舍去）， 所以. （2）因为，所以， 则， 因为是关于的方程的一个复根， 所以与是的两个复根， 故，则， 所以. 题型四 复数运算的三角表示 22．（24-25高一下·辽宁大连·阶段练习）设复数， (1)写出的三角形式； (2)复数满足，且在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，，求的代数形式． 【解题思路】（1）根据公式，即可直接得出答案； （2）设，根据三角恒等变换表示出，然后根据已知得出的值，代入即可得出答案. 【解答过程】（1）由已知可得，， 所以，. （2）由已知可设， 则. 所以， . 由已知可得，所以， 所以，. 又，所以. 所以，. 23．（24-25高一·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【解题思路】（1）（2）（3）（4）（5）利用三角形式的复数乘法、除法、乘方运算法则求解即得. （6）把复数化成三角形式，再利用三角形式的复数运算计算即得. 【解答过程】（1）. （2）. （3） . （4）. （5）. （6） . 24．（24-25高一上·上海·课堂例题）设、、在复平面上对应的点分别为A、B、C，.若，，，求四边形的面积. 【解题思路】写出复数的三角形式，根据三角形式几何意义得到，且，，且，利用三角形面积公式得到，相加后得到答案. 【解答过程】，得，由， 得. 因为，所以，即，且. 因为，所以，即，且. 设四边形的面积为， 则 . 25．（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数z满足，且. (1)求z的三角形式； (2)记分别表示复数z、、在复平面上的对应点.已知三点成逆时针顺序，且为等边三角形，求的值. 【解题思路】（1）解方程结合辐角范围得到复数，再表示为三角形式即可. （2）利用旋转的性质求出z、，最后利用辐角的性质求解即可. 【解答过程】（1）由，解得. ∵，∴应舍去， ∴. （2）由题意得，：，：. ∵，位置成逆时针顺序，又， ∴把按逆时针方向旋转即得， ∴， 将代入上式，解得， 由点在第三象限知. 26．（24-25高一下·全国·课后作业）已知是实数，是非零复数，且满足，. （1）求； （2）设，若，求的值. 【解题思路】（1）根据辐角，设出复数，再根据等量关系待定系数即可； （2）由（1）中所求复数代入（2）中的模长计算公式，即可化简求得. 【解答过程】（1），可设， 将其代入， 化简可得， ∴，解得， ∴. （2） . ∵，∴， 化简得. ∵， ∴， 即. 27．（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，把复数对应的向量绕原点逆时针旋转后所得向量对应的复数为，绕原点顺时针旋转后所得向量对应的复数为 (1)求复数； (2)若复数，求复数. 【解题思路】(1)根据复数的三角形式旋转后可得新复数； (2)根据复数三角形式的除法运算律求解即可. 【解答过程】（1）复数逆时针旋转后得, 顺时针旋转后得. （2）由（1）得. 28．（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）已知：①任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式.②方程（为正整数）有个不同的复数根； (1)求证：； (2)设，求； (3)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合. 【解题思路】（1）根据题意，由复数的四则运算代入计算，即可证明； （2）根据题意，将复数化为复数的三角形式，然后结合三角形式的运算，代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由复数的三角形式的运算代入计算，结合终边相同的角的集合，即可得到结果. 【解答过程】（1）证明： . （2）依题意，， 所以 . （3）设，则， 因此，解得， 由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为， 因此对应的依次为， 所以所求的集合是. 题型五 复数综合 29．（24-25高二上·河南焦作·期中）已知向量，，，若函数，且在区间上不具有单调性. (1)求的取值范围； (2)当取最小整数值时，若（其中， ，是虚数单位），求的值. 【解题思路】（1）利用数量积公式和三角恒等变换得到，求出，根据不单调得到不等式，求出； （2），根据复数相等得到方程，求出，，结合角的范围得到，，根据凑角法得到答案. 【解答过程】（1）函数， 由，得， 由函数在区间上不具有单调性，得，解得， 故的取值范围是. （2）依题意，得，，， 所以，， 所以，. 由，得， 所以， 由，得. 由，得， 同理，. 所以 . 30．（24-25高一上·河南周口·期末）对任意一个非零复数，定义集合．. (1)设是方程的一个根，试用列举法表示集合； (2)若复数，求证． 【解题思路】（1）求解方程得，，再由有理指数幂及的运算性质可得，同理求得，则可求； （2）由，可知存在，使得，则对任意，有，结合是正奇数，得，即． 【解答过程】（1）由，得， ，， 当时，，， ， 当时，，， ． 综上，. （2）， 存在，使得． 于是对任意，， 由于是正奇数，， . 31．（24-25高一·江苏·假期作业）设为虚数，为实数． (1)求； (2)设在复平面内对应的点为，以轴的非负半轴为始边，射线为终边的角记为，求证：； (3)若，，求的最小值． 【解题思路】（1）设，化简复数，通过为实数，推出或，然后求解复数的模． （2）依题意，结合（1）知，．证明． （3）由（1）知，，化简复数，求解复数的模，利用基本不等式转化求解即可． 【解答过程】（1）设， 则． 因为为实数，所以，所以或， 又为虚数，故，从而，所以． （2）证明：依题意，结合（1）知，． 则 ． （3）由（1）知，，， 则， 因为，所以，所以， 所以 （当且仅当，即时，等号成立）， 所以的最小值为1． 32．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知复数在复平面内对应的点在虚轴的正半轴上，复数 (1)求，的值； (2)求，的值． 【解题思路】（1）根据题意结合复数的相关概念以及几何意义可得和，即可得结果； （2）根据（1）中结果，利用两角和差公式分析求解，注意角之间的关系. 【解答过程】（1）因为复数在复平面内对应的点在虚轴的正半轴上， 则，可得； 又因为复数， 则，可得. （2）由（1）可知：，， 所以； . 33．（24-25高一下·山东菏泽·阶段练习）已知复数，，． (1)若，求角； (2)复数，对应的向量分别是，， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）存在使等式成立，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）利用复数相等的性质和特殊角的三角函数值，结合角度的范围即可求解； （2）（ⅰ）利用向量的数量积结合两角差的正弦公式，再由角度的范围即可求出的取值范围； （ⅱ）利用向量数量积的坐标运算化简等式，转化为和三角函数得表达式，求出三角函数的整体范围，进而计算的取值范围. 【解答过程】（1） ，，且， ，，即，， 又，故. （2）（ⅰ）由复数的坐标表示可得，，， ， 又，则. 当时，取最大值为，当时，取最小值为， 的取值范围为； （ⅱ） ，， ， 又，则， 化简得，， ，由小问（ⅰ）的结论可知， ，解得或， 综上所述，的取值范围为：. 34．（2024·贵州贵阳·二模）在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点.它们还有如下性质： （1） （2）（当时，为纯虚数） （3） （4） （5）. （6）两个复数和､差､积､商（分母非零）的共轭复数，分别等于两个复数的共轭复数的和､差､积､商. 请根据所学复数知识，结合以上性质，完成下面问题： (1)设.求证：是实数； (2)已知，求的值； (3)设，其中是实数，当时，求的最大值和最小值. 【解题思路】（1）根据复数和共轭复数的性质即可证明； （2）设，则，由已知，，列等式即可求解； （3）设复数设的三角形式，利用三角函数值域即可求解. 【解答过程】（1）设， ，，且， 是实数； （2）设，则， ，， ，① 又， ②， 联立①②，解得， ； （3），设， 则， ，， . 35．（23-24高一下·四川成都·期中）我们知道，复数可以用的形式来表示，与复平面内的点是一一对应的，复数的模，即是复平面内的点到坐标原点的距离．又复数与平面向量也是一一对应的，所以也可以借助与非负半轴为始边，以向量所在射线（射线OZ）为终边的角来刻画的方向，在此基础上再来认识一下复数的乘除法运算． 如：，，角；，，角，由．即：复数，相当于将复数伸长了倍，同时逆时针旋转角后得到． (1)计算，并从模与角度的变化来解释除法运算的几何意义； (2)现将直角坐标平面内任意一点，绕坐标原点逆时针旋转角，并将的长度伸长倍后得到点．请借助以上复数运算的知识，推导点与点伸缩旋转变换的坐标关系； (3)已知反比例函数，现将函数上的点都逆时针旋转后得到点的曲线，求曲线上的点坐标关系式． 【解题思路】（1）先由复数的除法运算化简，再结合向量间的关系得出复数除法的几何意义. （2）设出点对应的复数为，坐标原点逆时针旋转角，并将的长度伸长倍，即，从而可得出答案. （3）由（2）知：，解出，代入方程从而得出答案. 【解答过程】（1）令，，，则，，，，， 复数相当于将复数缩短了倍，顺时针旋转了得到 （2）设点对应的复数为：，设：， 点对应的复数为，则 所以 （3）由（2）知：，， 代入反比例函数得到，化简得：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$