专题7.3 复数的三角表示【七大题型】-2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

专题7.3 复数的三角表示【七大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 复数的三角表示】 2 【题型2 求辅角主值】 2 【题型3 三角表示下复数的乘方与开方】 3 【题型4 复数的代数形式与三角形式的互化】 4 【题型5 三角表示下复数的几何意义】 6 【题型6 复数乘、除运算的三角表示】 7 【题型7 复数乘、除运算的几何意义的应用】 8 【知识点1 复数的三角表示式】 1．复数的三角表示式 (1)复数的三角表示式 如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角θ来表示复数z. 一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式. 概念名称 概念的说明 模r r是复数z的模，) 辐角θ θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，且 三角形式 r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式，该式的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连 (2)辅角的主值 显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，复数i的辐角是 ，其中k可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通常记作argz，即0argz<2π. (3)三角形式下的复数相等 每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等. 【题型1 复数的三角表示】 【例1】（24-25高一上·上海·课后作业）的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024高一下·全国·专题练习）复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·湖北·二模）复数与下列复数相等的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高三上·吉林·期末）若复数（，），则把这种形式叫做复数z的三角形式，其中r为复数z的模，为复数z的辐角，则复数的三角形式正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 求辅角主值】 【例2】（2024高一下·全国·专题练习）复数的辐角的主值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024高一下·全国·专题练习）设复数的辐角的主值是，则的辐角的主值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二上·辽宁·开学考试）（i是虚数单位），则z的辐角主值（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高一下·浙江·期末）若复数（a，b为实数）都可以表示为的形式，其中r是复数z的模，是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数的辐角，规定在范围内的辐角的值为辐角主值，通常记作．例如的三角形式为，则，已知复数，则z的辐角主值为（    ） A． B． C． D． 【题型3 三角表示下复数的乘方与开方】 【例3】（24-25高一·全国·课后作业）计算：（    ）． A．； B．； C．； D．． 【变式3-1】（24-25高二下·广西·阶段练习）若，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式3-2】（23-24高二下·广东佛山·期末）在复平面内，复数对应向量为（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转所得的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2024·湖北恩施·模拟预测）任意一个复数都可以表示成三角形式，即．棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667－1754年）创立的，指的是：设两个复数，，则，已知复数，则（    ） A． B． C． D．1 【题型4 复数的代数形式与三角形式的互化】 【例4】（24-25高一上·全国·课后作业）请将以下复数表示为三角形式（辐角取主值）： (1)； (2)； (3)-1 【变式4-1】（2025高三·全国·专题练习）分别指出下列复数的模和辐角的主值，并将复数表示成代数形式． (1)； (2) 【变式4-2】（2024高一下·江苏·专题练习）把下列复数的三角形式化为代数形式： (1)； (2). 【变式4-3】（2024高一下·全国·专题练习）画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式： (1)； (2)； (3)； (4). 【知识点2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义】 1．复数乘法运算的三角表示及其几何意义 (1)复数乘法运算的三角表示 根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到 ， 即. 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. (2)几何意义 两个复数z1，z2相乘时，可以像图那样，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量 绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.这是复数乘法的几何意义. 2．复数除法运算的三角表示及其几何意义 (1)复数除法运算的三角表示 设，，且，因为，所以根据复数除法的定义，有. 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐 角减去除数的辐角所得的差. (2)几何意义 如图，两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按 顺时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商.这是复数除法的几何意义. 【题型5 三角表示下复数的几何意义】 【例5】（23-24高一下·上海浦东新·期末）设复数满足条件，则对应复平面上的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式5-1】（2024·河南信阳·模拟预测）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量在上的投影向量对应复数是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，把复数对应的向量绕原点逆时针旋转后所得向量对应的复数为，绕原点顺时针旋转后所得向量对应的复数为 (1)求复数； (2)若复数，求复数. 【变式5-3】（24-25高一下·辽宁大连·阶段练习）设复数， (1)写出的三角形式； (2)复数满足，且在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，，求的代数形式． 【题型6 复数乘、除运算的三角表示】 【例6】（24-25高一·全国·课后作业）已知为虚数单位，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24高一下·福建泉州·期末）已知i为虚数单位，若i，i， ，i，则i.特别地，如果i，那么ii，这就是法国数学家棣莫佛(1667~1754年)创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题正确的是（    ） A．若i，则i B．若i，则i C．若i，i，则i D．若i，i，则i 【变式6-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）计算，并用复数的代数形式表示计算结果： (1)； (2)． 【变式6-3】（23-24高一·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)． 【题型7 复数乘、除运算的几何意义的应用】 【例7】（23-24高一下·江苏南京·期末）在复平面内，常把复数和向量进行一一对应.现把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高一下·湖北武汉·期中）设复数对应的向量分别为为坐标原点，且，若把绕原点顺时针旋转，把绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2024高一下·全国·专题练习）设复数对应的向量为，，为坐标原点，且，若把绕原点逆时针旋转，把绕原点顺时针旋转，所得两向量恰好重合，求复数. 【变式7-3】（24-25高一下·福建泉州·阶段练习）在复平面内，点A对应的复数是，向量绕着点O按逆时针方向旋转120°得到向量. (1)求点C对应的复数； (2)已知点B对应的复数z满足，且，求复数z. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.3 复数的三角表示【七大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 复数的三角表示】 2 【题型2 求辅角主值】 3 【题型3 三角表示下复数的乘方与开方】 5 【题型4 复数的代数形式与三角形式的互化】 6 【题型5 三角表示下复数的几何意义】 10 【题型6 复数乘、除运算的三角表示】 12 【题型7 复数乘、除运算的几何意义的应用】 15 【知识点1 复数的三角表示式】 1．复数的三角表示式 (1)复数的三角表示式 如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角θ来表示复数z. 一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式. 概念名称 概念的说明 模r r是复数z的模，) 辐角θ θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，且 三角形式 r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式，该式的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连 (2)辅角的主值 显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，复数i的辐角是 ，其中k可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通常记作argz，即0argz<2π. (3)三角形式下的复数相等 每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等. 【题型1 复数的三角表示】 【例1】（24-25高一上·上海·课后作业）的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】合理化简原复数，表示为三角形式即可. 【解答过程】由题意得，故D正确. 故选：D. 【变式1-1】（2024高一下·全国·专题练习）复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由复数的三角形式定义以及诱导公式即可求解. 【解答过程】. 故选：D. 【变式1-2】（2024·湖北·二模）复数与下列复数相等的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】应用复数的除法化简，结合复数的三角表示、各项的形式判断正误即可. 【解答过程】由题设，，故A、C、D错误； 而，故B正确. 故选：B. 【变式1-3】（23-24高三上·吉林·期末）若复数（，），则把这种形式叫做复数z的三角形式，其中r为复数z的模，为复数z的辐角，则复数的三角形式正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据复数的三角形式的定义直接判断. 【解答过程】复数的模为1，辐角为， 所以复数的三角形式为. 故选：A. 【题型2 求辅角主值】 【例2】（2024高一下·全国·专题练习）复数的辐角的主值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据辐角主值的定义求解. 【解答过程】 . ∵，∴，， ∴. ∵辐角的主值的取值范围为， ∴复数z的辐角的主值为. 故选：C. 【变式2-1】（2024高一下·全国·专题练习）设复数的辐角的主值是，则的辐角的主值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据复数的除法运算及复数的辐角的主值的定义即可得解. 【解答过程】因为， 所以的辐角的主值为. 故选：D. 【变式2-2】（24-25高二上·辽宁·开学考试）（i是虚数单位），则z的辐角主值（    ） A． B． C． D． 【解题思路】复数可以写成 的形式，即可求得复数的辐角主值. 【解答过程】， 所以复数的辐角主值. 故选：A. 【变式2-3】（23-24高一下·浙江·期末）若复数（a，b为实数）都可以表示为的形式，其中r是复数z的模，是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数的辐角，规定在范围内的辐角的值为辐角主值，通常记作．例如的三角形式为，则，已知复数，则z的辐角主值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意得复数在复平面内对应的点为，且在第四象限，进而设，则，，再根据三角函数关系化简整理即可得其关系，进而求解. 【解答过程】解：复数在复平面内对应的点为， 因为，所以，所以在第四象限， 如图所示，设， 则，即， 因为，， 所以，所以，所以 所以z的辐角主值为. 故选：D. 【题型3 三角表示下复数的乘方与开方】 【例3】（24-25高一·全国·课后作业）计算：（    ）． A．； B．； C．； D．． 【解题思路】首先写成复数的三角形式，再利用乘方公式，即可化简求值. 【解答过程】设， 所以 . 故选：D. 【变式3-1】（24-25高二下·广西·阶段练习）若，则（    ） A．1 B． C． D． 【解题思路】首先用三角形式表示复数，利用复数三角形式的乘方运算求得，，再求出目标式的值. 【解答过程】由， 所以，， 综上，. 故选：A. 【变式3-2】（23-24高二下·广东佛山·期末）在复平面内，复数对应向量为（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转所得的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先将表示为三角形式，然后结合棣莫弗定理求得正确答案. 【解答过程】由题意，得当时，，， ∴ ． ∵， ∴， 故选：D. 【变式3-3】（2024·湖北恩施·模拟预测）任意一个复数都可以表示成三角形式，即．棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667－1754年）创立的，指的是：设两个复数，，则，已知复数，则（    ） A． B． C． D．1 【解题思路】将化为三角形式，根据棣莫弗定理可求得的值，即可求得答案. 【解答过程】由题意可得， 故， 所以 . 故选：B. 【题型4 复数的代数形式与三角形式的互化】 【例4】（24-25高一上·全国·课后作业）请将以下复数表示为三角形式（辐角取主值）： (1)； (2)； (3)-1 【解题思路】求出模及幅角，即可将复数的代数形式化为三角形式． 【解答过程】（1）因为，，，所以， 于是． （2）因为，，，所以， 于是． （3）因为，，，所以， 于是． 【变式4-1】（2025高三·全国·专题练习）分别指出下列复数的模和辐角的主值，并将复数表示成代数形式． (1)； (2) 【解题思路】根据复数的相关概念即可求得模和辐角主值，化简计算即可求得复数的代数形式. 【解答过程】（1）的模为4，辐角主值为， ； （2）， 故的模为2，辐角主值为， . 【变式4-2】（2024高一下·江苏·专题练习）把下列复数的三角形式化为代数形式： (1)； (2). 【解题思路】 运用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可. 【解答过程】（1）. （2）. 【变式4-3】（2024高一下·全国·专题练习）画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式： (1)； (2)； (3)； (4). 【解题思路】（1）（2）（3）（4）根据复数的模长公式求解模长，即可根据复数所对应的点所在的象限求解角，即可由三角表示求解. 【解答过程】（1）复数对应的向量如图所示， 则 因为与对应的点在x轴， 所以 于是 （2）复数对应的向量如图所示， 则 因为与对应的点在y轴， 所以 于是 （3）复数对应的向量如图所示， 则 因为与对应的点在第一象限， 所以 于是 （4）复数对应的向量如图所示， 则 因为与对应的点在第三象限， 所以 于是 【知识点2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义】 1．复数乘法运算的三角表示及其几何意义 (1)复数乘法运算的三角表示 根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到 ， 即. 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. (2)几何意义 两个复数z1，z2相乘时，可以像图那样，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量 绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.这是复数乘法的几何意义. 2．复数除法运算的三角表示及其几何意义 (1)复数除法运算的三角表示 设，，且，因为，所以根据复数除法的定义，有. 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐 角减去除数的辐角所得的差. (2)几何意义 如图，两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按 顺时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商.这是复数除法的几何意义. 【题型5 三角表示下复数的几何意义】 【例5】（23-24高一下·上海浦东新·期末）设复数满足条件，则对应复平面上的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】设出复数的三角形式，利用复数的运算法则化简求解，即可判断出对应点所在的象限即可. 【解答过程】复数满足条件，所以可设 所以 所以 因为，所以，所以， 所以对应复平面上的点位于第四象限. 故选：D. 【变式5-1】（2024·河南信阳·模拟预测）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量在上的投影向量对应复数是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由复数的几何意义可得旋转后的向量所对应的复数为并化简 ，再结合投影向量的定义求解． 【解答过程】因为把复数对应的向量按顺时针方向旋转， 所以旋转后的向量所对应的复数为， 所以旋转后的向量， 又因为，， 所以向量在上的投影向量是，即对应复数是. 故选：D. 【变式5-2】（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，把复数对应的向量绕原点逆时针旋转后所得向量对应的复数为，绕原点顺时针旋转后所得向量对应的复数为 (1)求复数； (2)若复数，求复数. 【解题思路】(1)根据复数的三角形式旋转后可得新复数； (2)根据复数三角形式的除法运算律求解即可. 【解答过程】（1）复数逆时针旋转后得, 顺时针旋转后得. （2）由（1）得. 【变式5-3】（24-25高一下·辽宁大连·阶段练习）设复数， (1)写出的三角形式； (2)复数满足，且在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，，求的代数形式． 【解题思路】（1）根据公式，即可直接得出答案； （2）设，根据三角恒等变换表示出，然后根据已知得出的值，代入即可得出答案. 【解答过程】（1）由已知可得，， 所以，. （2）由已知可设， 则. 所以， . 由已知可得，所以， 所以，. 又，所以. 所以，. 【题型6 复数乘、除运算的三角表示】 【例6】（24-25高一·全国·课后作业）已知为虚数单位，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 利用复数三角形式乘法运算法则计算即可. 【解答过程】， . 故选：D. 【变式6-1】（23-24高一下·福建泉州·期末）已知i为虚数单位，若i，i， ，i，则i.特别地，如果i，那么ii，这就是法国数学家棣莫佛(1667~1754年)创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题正确的是（    ） A．若i，则i B．若i，则i C．若i，i，则i D．若i，i，则i 【解题思路】A. i i，所以该选项正确； B. i，所以该选项错误； C. i，所以该选项错误； D. ii.所以该选项错误. 【解答过程】A. 若i，则i i，所以该选项正确； B. 若i，则i，所以该选项错误； C. 若i，i，则i，所以该选项错误； D. i，i，则ii.所以该选项错误. 故选：A. 【变式6-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）计算，并用复数的代数形式表示计算结果： (1)； (2)． 【解题思路】（1）（2）运用复数的三角形式表示，并按照乘除规则计算即可. 【解答过程】（1） ． （2） ． 【变式6-3】（23-24高一·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)． 【解题思路】利用三角形式的复数乘法、除法、乘方运算法则，并结合特殊角的三角函数值求解即可. 【解答过程】（1） ； （2） ； （3） . 【题型7 复数乘、除运算的几何意义的应用】 【例7】（23-24高一下·江苏南京·期末）在复平面内，常把复数和向量进行一一对应.现把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由复数乘法的几何意义可知，根据复数的三角表示可得顺时针旋转后对应的复数为. 【解答过程】根据题意可知， 复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转可得， 即所得的向量对应的复数为. 故选：A. 【变式7-1】（23-24高一下·湖北武汉·期中）设复数对应的向量分别为为坐标原点，且，若把绕原点顺时针旋转，把绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】把化为复数的三角形式，根据复数对应的向量旋转所得向量，求解即可. 【解答过程】由已知得， 所以绕原点顺时针旋转得 ， 由绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合得， 所以. 故选：B. 【变式7-2】（2024高一下·全国·专题练习）设复数对应的向量为，，为坐标原点，且，若把绕原点逆时针旋转，把绕原点顺时针旋转，所得两向量恰好重合，求复数. 【解题思路】根据复数的三角表示的几何意义及运算法则计算即可. 【解答过程】依题意得， 所以 . 【变式7-3】（24-25高一下·福建泉州·阶段练习）在复平面内，点A对应的复数是，向量绕着点O按逆时针方向旋转120°得到向量. (1)求点C对应的复数； (2)已知点B对应的复数z满足，且，求复数z. 【解题思路】（1）利用复数的几何意义和复数的乘法运算求解； （2）根据题意，由向量对应的复数或求解. 【解答过程】（1）解：因为点A对应的复数是，向量绕着点O按逆时针方向旋转120°， 所以； （2）因为点B对应的复数z满足，且， 所以向量对应的复数， 或， ∴或， ∴或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$