第五章 二元一次方程组知识归纳与题型突破（10题型清单）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（北京版2024）

第五章 二元一次方程组知识归纳与题型突破（10题型清单） 01 思维导图 1．二元一次方程的定义02 知识速记 （1）二元一次方程的定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． （2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程． 2．二元一次方程的解 （1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． （2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解． （3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． 3．解二元一次方程 二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． 4．二元一次方程组的定义 （1）二元一次方程组的定义： 由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． （2）二元一次方程组也满足三个条件： ①方程组中的两个方程都是整式方程． ②方程组中共含有两个未知数． ③每个方程都是一次方程． 5．二元一次方程组的解 （1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． （2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数． 6．解二元一次方程组 （1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解． （2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示． 7.二元一次方程（组）的实际应用 （1）基本步骤： ①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。 ②设未知数——根据问题与等量关系直接或间接设未知数。 ③列方程：根据等量关系与未知数列出二元一次方程组。 ④解方程组——按照解二元一次方程组的步骤解方程。 ⑤检验作答——检验方程的解是否满足实际情况，然后作答。 （2）基本等量关系： ①行程问题基本等量关系： 路程=时间×速度；时间=路程÷速度；速度=路程÷时间。 顺行：顺行速度＝自身速度＋风速（水速）；逆行速度＝自身速度－风速（水速） ②工程问题： 工作总量=工作时间×工作效率。 注意实际工作情况与计划工作情况之间的关系。 ③商品销售问题： 利润＝售价－成本；售价＝标价×0.1折扣；利润率＝利润÷进价×100% 常见的建立方程的方法： ①基本等量关系建立方程。 ②同一个量的两种不同表达式相等。 03 题型归纳 题型一　二元一次方程的解 例题： 1．已知是方程的一个解，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程的解，解题的关键是掌握使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．根据题意将代入求解即可． 【详解】解：是方程的一个解， ， 解得：， 故选：A． 巩固训练 2．已知是关于x，y的方程的一个解，则k的值为（   ） A． B．1 C．2 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，解一元一次方程，熟知方程的解是使方程两边相等的未知数的值是解题的关键．把二元一次方程的解代入方程得到k的一次方程，然后解关于k的一次方程即可． 【详解】解：把代入方程， 得， 解得． 故选：B． 3．是下面哪个二元一次方程的解（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解．把代入各个选项中，看是否满足方程成立的符合条件，即可． 【详解】解：A、把代入得：，不是该二元一次方程的解，故本选项不符合题意； B、把代入得：，是该二元一次方程的解，故本选项符合题意； C、把代入得：，不是该二元一次方程的解，故本选项不符合题意； D、把代入，不是该二元一次方程的解，故本选项不符合题意； 故选：B． 4．下列各组x、y的值中不是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把各项中与的值代入方程检验即可． 【详解】解：A、把代入方程得：左边，右边，左边右边，是方程的解； B、把代入方程得：左边，右边，左边右边，是方程的解； C、把代入方程得：左边，右边，左边右边，是方程的解； D、把代入方程得：左边，右边，左边右边，不是方程的解， 故选：D． 5．已知是关于的二元一次方程的一个解，则k的值是（    ） A． B．0 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的解，把代入方程，求解即可． 【详解】解：把代入方程，得：， ∴； 故选C． 题型二　二元一次方程组定义 例题： 6．下列是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的判断，根据二元一次方程组的定义：两个一次方程，共含有2个未知数，组成的方程组叫做二元一次方程组，进行判断即可． 【详解】解：A、是二元一次方程组，符合题意； B、是二元二次方程组，不符合题意； C、含有3个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意； D、是二元二次方程组，不符合题意； 故选A． 巩固训练 7．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，解题时需要掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．据此进行解答即可． 【详解】解：A、含有3个未知数，不是二元一次方程组，不合题意； B、含有二元二次方程，不是二元一次方程组，不合题意； C、含有3个未知数且含有二次方程，不是二元一次方程组，不合题意； D、符合二元一次方程组的定义，故该选项符合题意． 故选：D． 8．下列不是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的识别．熟记定义，是解题的关键．共含有2个未知数的两个一次方程，组成的方程组叫做二元一次方程组，根据二元一次方程组的定义判断即可． 【详解】解：A、该方程组中的第一个方程是分式方程，所以不是二元一次方程组，符合题意； B、该方程组是二元一次方程组，不符合题意； C、该方程组是二元一次方程组，不符合题意； D、该方程组是二元一次方程组，不符合题意． 故选：A． 9．下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组；二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程；②方程组中共含有两个未知数；③每个方程都是一次方程；据此进行判断即可． 【详解】解：A、方程组含有三个未知数，故本选项不符合题意； B、中第二个方程的次数为2，故本选项不符合题意； C、中的次数为2，故本选项不符合题意； D、符合二元一次方程组的定义，故本选项符合题意． 故选：D． 10．下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟记定义是解题的关键．方程组中含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程组是二元一次方程组，二元一次方程组中的各个方程应是整式方程，根据定义解答． 【详解】解：A．，方程组中含有三个未知数，不是二元一次方程组，故不符合题意； B．，是二元一次方程组，故符合题意； C．，含有二次项，不是二元一次方程组，故不符合题意； D．，不是整式方程，不是二元一次方程组，故不符合题意． 故选：B． 题型三　用未知数表示另一个未知数 例题： 11．已知，用含x的代数式表示y可得（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程．根据已知条件，把含有x的项和常数项移到等号右边即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 巩固训练 12．已知二元一次方程，用含x的代数式表示y是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程中用含有一个未知数的代数式表示另外一个未知数，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型．根据等式的性质即可求出答案． 【详解】解：， ∴， ∴， 故选：B． 13．把变形成用x表示y的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了等式的性质，解题的关键是将x看做已知数求出y．把x看做已知数，根据减数=被减数-差可以求出y． 【详解】解：把方程写成用含x的代数式表示y的形式是 故选：A 14．已知二元一次方程，用含的代数式表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用一个字母的代数式表示另一个字母，会将该字母看作常数，用解方程的步骤求解是解题的关键． 【详解】解：移项得：， 系数化为得：； 故选：A． 15．把代数式改写成用含x的式子表示y的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解二元一次方程．把x看作已知数求出y即可． 【详解】解：把代数式改写成用含x的式子表示y的形式是． 故选：D 题型四　代入消元法 例题： 16．在解方程组的过程中，将②代入①可得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了代入法解二元一次方程组，理解代入时将（）看作整体是解题的关键． 【详解】解：将②代入①可得 ； 故选：C． 巩固训练 17．用代入消元法解方程组比较合理的变形是（    ） A．由①得 B．由①得 C．由②得 D．由②得 【答案】D 【解析】略 18．用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了代入法解二元一次方程组的关键一步“代入消元”，通过这一步，使二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程来解答，典型地体现了数学转化思想．将方程①代入②，然后去括号即可． 【详解】解： 把①代入②得：， 去括号得：， 故选：D． 19．用“代入消元法”解方程组时，把②代入①后，整理可得（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把②代入①，把当作一个整体，移项后即可得出答案． 【详解】解：， 把②代入①，得：， 移项，得：， 故选：A． 【点睛】本题考查解二元一次方程组—代入消元法：把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法.理解和掌握代入消元法的定义是解题的关键． 20．用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照题干思路直接作答即可． 【详解】， 方程①代入②中，得：， 去括号为：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了代入消元的知识，细心计算是关键．去括号时，若括号前是负号，去括号后，括号内的各项均要变号． 题型五　加减消元法 例题： 21．用加减法解方程组，由②①消去未知数y，所得到的一元一次方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了加减法解一元二次方程，由②①即可求解；掌握解法是解题的关键． 【详解】解：②①得： ， 故选：B． 巩固训练 22．解方程组时，将①+②×2消去y，得到的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，①+②×2消去y 得，即可求解；掌握二元一次方程组的解法是解题关键． 【详解】解： ， 故选：D． 23．利用加减消元法解方程组时，下列说法正确的是（    ） A．要消去y，可以将①② B．要消去x，可以将①② C．要消去y，可以将①② D．要消去x，可以将①② 【答案】C 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法解二元一次方程组的方法是解题的关键．根据加减消元法解二元一次方程组，观察字母系数，化为相同或者互为相反数再使用减法或者加法消元即可． 【详解】解： 要消去y，可以将， 要消去x，可以将， 故选C． 24．用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中能消元的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的知识，解题的关键是掌握解二元一次方程法解法，加减消元法，即可． 【详解】A、得，，不符合题意； B、得，，不符合题意； C、得，，不符合题意； D、得，，符合题意； 故选：D． 25．已知二元一次方程组，用加减消元法解方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法和加减消元法． 方程组利用加减消元法变形，判断即可． 【详解】解：用加减消元法解方程组，用可以消去，用可以消去，选项A，B，C无法消去方程组中的未知数． 故选：D． 题型六　同类项与二元一次方程组 例题： 26．已知与是同类项，则的值为 ． 【答案】4 巩固训练 27．已知与是同类项，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项的定义和二元一次方程组的解法，掌握同类项的定义是解题的关键．根据同类项的定义：字母相同，相同字母的指数也要相同，得到关于和的方程组，计算方程组的解，即可得出结果． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 故答案为：，． 28．若与是同类项，则 ， ． 【答案】 6 【分析】本题考查了同类项的定义，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据同类项的定义相同字母的指数相同，既而求出、． 【详解】解：， 解得：， 故答案为：6，． 29．如果单项式与是同类项，则 ． 【答案】 【分析】利用同类项的定义列出方程组，求解可得到m与n的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】∵单项式与是同类项， ∴，， ∴． 故答案为：． 30．单项式与是同类项，则 ． 【答案】1 【分析】两个单项式中，所含的字母相同，相同字母的指数也相等，则成为同类项，据此解题． 【详解】解析：∵单项式与是同类项， ∴ ，解得， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查同类项定义，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 题型七　同解问题 例题： 31．若二元一次方程组和同解，则可通过解方程组 求得这个解． 【答案】 【分析】找到两个不含参数的方程，组成新的方程组即可． 【详解】解：因为两方程组有相同的解， 所以方程组的解必然适合两方程组． 故答案为：． 【点睛】本题考查同解方程组．解题的关键是找到两个不含参数的方程，组成新的方程组． 巩固训练 32．关于x、y的方程组与有相同的解，则 【答案】-8 【分析】先联立仅含有字母的方程，求出方程组的解，将方程组的解代入含有字母的方程组中求解即可． 【详解】解：由题意联立方程组得： ①②得：，即， 把代入①得：， 将x，y值代入 解得：， 则 故答案为． 33．已知方程组与方程组的解相等，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，代数式求值，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．根据题意，先解方程组，得出，的值，然后再把，的值代入方程组，得出关于，的二元一次方程组，解方程组求出，的值，最后把，的值代入计算即可． 【详解】解：方程组与方程组的解相等， 两个方程组的解与方程组的解相等， ①②，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， 方程组的解为， 即相等的解为． 把，代入方程组，得， ①②，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ． 故答案为：． 34．已知关于、的方程组 和 有相同的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，求出第一个方程组的解，然后将第一个方程组的解代入第二个方程组求出，再代入求出即可． 【详解】解：解方程组得， 把代入方程组得， 解得：，则 ∴， 故答案为：． 35．已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，先分别解两个方程组得到，，再根据两个方程组的解相同得到，解方程组求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：解方程组得， 解方程组得， ∵关于x，y的二元一次方程组和的解相同， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 题型八　看错题问题 例题： 36．已知关于的二元一次方程组的解为，小强因看错了系数，得到的解为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．根据题意把代入二元一次方程组可得的值，根据小强看错系数得到解为，由此可得新的方程组，运用加减消元法可求出的值，代入计算即可求解． 【详解】解：把代入二元一次方程组得， ， ∴由得，， ∵小强看错了系数得到， ∴， ∴， ①②得，， 解得，， 把代入②得，， 解得，， ∴， 故答案为：11． 巩固训练 37．小明在解关于x，y的二元一次方程组 时，只抄对了 ，，求出的解为 ，他核对时发现所抄的c比原方程组的c值小1，则原方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的错解复原，把代入可得，再进一步解题即可. 【详解】解：由题意可得：， 方程组的解为：， ∴， 解得：， ∴原方程组为：， ②①得：， 把代入①得：， ∴原方程组的解为：； 故答案为：． 38．解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把c写错而得到，则 ， ， ． 【答案】 0.25/ 0.75/ 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键．首先根据题意，可得：，据此求出c的值，然后根据乙同学因把c写错而得到，可得，所以，应用加减消元法，求出a、b的值即可． 【详解】解：∵解方程组时，甲同学正确解得， ∴， 解得， ∵乙同学因把c写错而得到， ∴， ∴， ，可得， 解得， 把代入②，可得：， 解得， ∴原方程组的解是， ∴． 故答案为：0.25，0.75，． 39．解关于x，y的方程组时，正确的解是，由于看错了系数c得到的解是，则的值是 ． 【答案】26 【分析】此题实际上是考查解二元一次方程组的能力．本题要求学生理解方程组的解的定义，以及看错系数的含义：即方程组中除了系数看错以外，其余的系数都是正确的． 根据方程的解的定义，把代入，可得一个关于、的方程，又因看错系数解得错误解为，即、的值没有看错，可把解为，再次代入，可得又一个关于、的方程，将它们联立，即可求出、的值，进而求出的值． 【详解】解：解方程组时，正确的解是，由于看错了系数得到的解是， 把与代入中得：， 得：， 把代入①得：， 把代入中得：， 解得：， 则； 故答案为：26． 40．解方程组时，甲正确解得乙因把c写错解得，求a、b的值 ． 【答案】 【分析】把甲的解代入方程组，乙的解代入方程组第一个方程，分别求出a，b的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】由题意知：和都满足方程， ∴ 得： 把代入①，得, ∴ 故答案为： 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握解方程组的方法是解题关键． 题型九　计算题 例题： 41．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法． （1）利用加减消元法进行求解即可； （2）利用加减消元法进行运算即可． 【详解】（1）解： 得，， 解得：， 将代入①得，， ∴原方程组的解为：； （2）解：原方程组可变形为， 得：， 解得：， 将代入得：． 则该方程组的解为：． 巩固训练 42．解方程组 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握利用加减消元法解二元一次方程组． （1），消去y，得到关于x的一元一次方程，解方程求出x，再把x的值代入①，求出y即可； （2）把，消去y，求出x，再把求出的x的值代入①，求出y即可． 【详解】（1）解：， ，可得， 解得， 把代入①，可得：， 解得， ∴原方程组的解是． （2）解：， ，可得， 解得， 把代入①，可得：， 解得， ∴原方程组的解是． 43．解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，灵活运用加减消元法和代入消元法是解题的关键． （1）直接用代入消元法求解即可； （2）用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 把②代入①，得，解得 把代入②得= 所以，方程组的解是； （2） ，得， 把代入①，得 ， 解得， 所以，方程组的解是． 44．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的解法， （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）先对式子①变形为：，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：①+②×2得：， 解得：， 把代入②得：， 得：， ∴原方程组的解是：； （2）①×12得：， 得：， 把代入得：，解得 ∴原方程组的解是：． 45．解下列方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）根据代入消元法即可得到答案； （2）根据加减消元法即可得到答案． 【详解】（1）解：， 由①，得③ 把③代入②，得．解得， 把代入③，得， 原方程组的解为； （2）解： ①②，得，解得， 把代入①，得，解得， 原方程组的解为． 题型十　应用题 例题： 46．甲、乙两地相距74千米，途中有上坡、平路和下坡．一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，6点48分返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡分别是多少千米？ 【答案】甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，上坡路是16千米，下坡路是28千米． 【分析】设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，上坡路是y千米，则下坡路是千米，再根据去与返回的时间建立方程组求解即可． 【详解】解：从下午1点到下午3点30分共2.5小时，从下午4点到下午6点48分共2.8小时． 设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，上坡路是y千米，则下坡路是千米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， ∴． 答：甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，上坡路是16千米，下坡路是28千米． 巩固训练 47．某旅游景点的门票价格规定如表所示： 团体购票人数 1～50人 51～100人 100人以上 每人门票价（团体价） 13元 11元 a元 学校七年级（1）（2）两个班共104人去旅游，其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，有50多人，经估算，如果两个班都以班为单位分别购票，一共应付款1240元． (1)问两班各有学生多少名？ (2)若两班联合起来，作为一个团体购票，可节省304元，试求a的值． 【答案】(1)(1)班有48人，2班有56人 (2)的值为9 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用等知识点， (1)设(1)班有x人，2班有y人，根据总人数为104人，共花费1240元购票，列方程组求解； (2)根据题意，列出方程求解的值即可； 解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． 【详解】（1）解：设(1)班有x人，2班有y人， 由题意得，， 解得：， 答：(1)班有48人，2班有56人； （2）解：由题意得，， 解得：， 即的值为9． 48．某电器商场销售进价分别为120元、190元的A，B两种型号的电风扇，如下表所示是近两周的销售情况(进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本)： 销售时段 销售数量 销售收入 A 种型号 B 种型号 第一周 5 6 2310 第二周 8 9 3540 (1)求A，B两种型号的电风扇的销售单价． (2)若商场再购进这两种型号的电风扇共120台，并且全部销售完，该商场能否实现这批电风扇的总利润恰好为8040元的目标？ 若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)A，B两种型号的电风扇的销售单价分别为 150 元、260元 (2)该商场能实现这批电风扇的总利润恰好为8040 元的目标，采购方案为：购进9台A 种型号的电风扇，111 台 B种型号的电风扇 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）设A种型号的电风扇的销售单价为x元/台，B种型号的电风扇的销售单价为y元/台，根据总价单价数量结合近二周的销售情况统计表，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设再购进A种型号的电风扇m台，则购进B种型号的电风扇n台，根据利润销售收入进货成本，即可得出关于m、n的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设A种型号的电风扇的销售单价为x元，B种型号的电风扇的销售单价 为y元， 依题 意， 得 ，解得 ， 答：A，B两种型号的电风扇的销售单价分别为 150 元、260元． （2）解：设再次购进A种型号的电风扇m台，B种型号的电风扇n台， 依题意，得 ， 解得 ， 答：该商场能实现这批电风扇的总利润恰好为8040元的目标，采购方案为：购进9台A 种型号的电风扇，111台B种型号的电风扇． 49．“灯笼高高照，春联对对妙”，挂灯笼、贴春联是春节的传统习俗．临近春节，全都超市计划购进春联和灯笼这两种商品销售．据了解1个灯笼和2副春联的进价共计60元；5个灯笼和3副春联的进价共计195元． (1)每个灯笼和每副春联的进价各是多少元？ (2)如果该超市计划购进10个灯笼和40副春联，准备1000元够吗？ 【答案】(1)每个灯笼的进价是30元，每副春联的进价是15元 (2)准备1000元够 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设每个灯笼的进价是x元，每副春联的进价是y元，根据“1个灯笼和2副春联的进价共计60元；5个灯笼和3副春联的进价共计195元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用总进价=进货单价×购进数量，可求出总进价，再将其与1000元比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每个灯笼的进价是x元，每副春联的进价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每个灯笼的进价是30元，每副春联的进价是15元； （2）解： （元）． ∵， ∴准备1000元够． 50．2024年家电“以旧换新”促消费活动正火热进行中，凡购买一级能效家电可获得的财政补贴，小张购买了一台甲品牌的一级能效家电，小刘购买了一台乙品牌的一级能效家电，两人一共得到财政补贴1120元，且乙品牌比甲品牌售价多400元． (1)购买的甲、乙品牌的一级能效家电售价各是多少元？ (2)小张和小刘除财政补贴外实际各需付款多少元？ 【答案】(1)甲，乙品牌一级能效家电的售价分别为2600元和3000元 (2)小张实际付款2080元，小刘实际付款2400元． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题关键是找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）设甲品牌的一级能效家电售价为元，乙品牌的一级能效家电的售价为元，根据购买了一台乙品牌的一级能效家电，两人一共得到财政补贴1120元，且乙品牌比甲品牌售价多400元列二元一次方程组求解即可； （2）用售价减补贴即可得解． 【详解】（1）解：设甲品牌的一级能效家电售价为元，乙品牌的一级能效家电的售价为元， 根据题意，得， 解得， 答：甲，乙品牌一级能效家电的售价分别为2600元和3000元； （2）解：（元）， （元）； 答：小张实际付款2080元，小刘实际付款2400元． 试卷第42页，共43页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 二元一次方程组知识归纳与题型突破（10题型清单） 01 思维导图 1．二元一次方程的定义02 知识速记 （1）二元一次方程的定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． （2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程． 2．二元一次方程的解 （1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． （2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解． （3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． 3．解二元一次方程 二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． 4．二元一次方程组的定义 （1）二元一次方程组的定义： 由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． （2）二元一次方程组也满足三个条件： ①方程组中的两个方程都是整式方程． ②方程组中共含有两个未知数． ③每个方程都是一次方程． 5．二元一次方程组的解 （1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． （2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数． 6．解二元一次方程组 （1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解． （2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示． 7.二元一次方程（组）的实际应用 （1）基本步骤： ①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。 ②设未知数——根据问题与等量关系直接或间接设未知数。 ③列方程：根据等量关系与未知数列出二元一次方程组。 ④解方程组——按照解二元一次方程组的步骤解方程。 ⑤检验作答——检验方程的解是否满足实际情况，然后作答。 （2）基本等量关系： ①行程问题基本等量关系： 路程=时间×速度；时间=路程÷速度；速度=路程÷时间。 顺行：顺行速度＝自身速度＋风速（水速）；逆行速度＝自身速度－风速（水速） ②工程问题： 工作总量=工作时间×工作效率。 注意实际工作情况与计划工作情况之间的关系。 ③商品销售问题： 利润＝售价－成本；售价＝标价×0.1折扣；利润率＝利润÷进价×100% 常见的建立方程的方法： ①基本等量关系建立方程。 ②同一个量的两种不同表达式相等。 03 题型归纳 题型一　二元一次方程的解 例题： 1．已知是方程的一个解，那么的值是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 2．已知是关于x，y的方程的一个解，则k的值为（   ） A． B．1 C．2 D．7 3．是下面哪个二元一次方程的解（  ） A． B． C． D． 4．下列各组x、y的值中不是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 5．已知是关于的二元一次方程的一个解，则k的值是（    ） A． B．0 C．4 D． 题型二　二元一次方程组定义 例题： 6．下列是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 7．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 8．下列不是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 9．下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 10．下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 题型三　用未知数表示另一个未知数 例题： 11．已知，用含x的代数式表示y可得（   ） A． B． C． D． 巩固训练 12．已知二元一次方程，用含x的代数式表示y是（　　） A． B． C． D． 13．把变形成用x表示y的形式为（    ） A． B． C． D． 14．已知二元一次方程，用含的代数式表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 15．把代数式改写成用含x的式子表示y的形式是（    ） A． B． C． D． 题型四　代入消元法 例题： 16．在解方程组的过程中，将②代入①可得（    ） A． B． C． D． 巩固训练 17．用代入消元法解方程组比较合理的变形是（    ） A．由①得 B．由①得 C．由②得 D．由②得 18．用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 19．用“代入消元法”解方程组时，把②代入①后，整理可得（    ） A． B． C． D． 20．用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 题型五　加减消元法 例题： 21．用加减法解方程组，由②①消去未知数y，所得到的一元一次方程是（　　） A． B． C． D． 巩固训练 22．解方程组时，将①+②×2消去y，得到的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 23．利用加减消元法解方程组时，下列说法正确的是（    ） A．要消去y，可以将①② B．要消去x，可以将①② C．要消去y，可以将①② D．要消去x，可以将①② 24．用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中能消元的是（    ） A． B． C． D． 25．已知二元一次方程组，用加减消元法解方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 题型六　同类项与二元一次方程组 例题： 26．已知与是同类项，则的值为 ． 巩固训练 27．已知与是同类项，则 ， ． 28．若与是同类项，则 ， ． 29．如果单项式与是同类项，则 ． 30．单项式与是同类项，则 ． 题型七　同解问题 例题： 31．若二元一次方程组和同解，则可通过解方程组 求得这个解． 巩固训练 32．关于x、y的方程组与有相同的解，则 33．已知方程组与方程组的解相等，则的值为 ． 34．已知关于、的方程组 和 有相同的解，则的值为 ． 35．已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，则 ． 题型八　看错题问题 例题： 36．已知关于的二元一次方程组的解为，小强因看错了系数，得到的解为，则 ． 巩固训练 37．小明在解关于x，y的二元一次方程组 时，只抄对了 ，，求出的解为 ，他核对时发现所抄的c比原方程组的c值小1，则原方程组的解为 ． 38．解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把c写错而得到，则 ， ， ． 39．解关于x，y的方程组时，正确的解是，由于看错了系数c得到的解是，则的值是 ． 40．解方程组时，甲正确解得乙因把c写错解得，求a、b的值 ． 题型九　计算题 例题： 41．解方程组： (1) (2) 巩固训练 42．解方程组 (1)； (2)． 43．解方程组 (1) (2) 44．解方程组： (1)； (2)． 45．解下列方程组 (1) (2) 题型十　应用题 例题： 46．甲、乙两地相距74千米，途中有上坡、平路和下坡．一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，6点48分返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡分别是多少千米？ 巩固训练 47．某旅游景点的门票价格规定如表所示： 团体购票人数 1～50人 51～100人 100人以上 每人门票价（团体价） 13元 11元 a元 学校七年级（1）（2）两个班共104人去旅游，其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，有50多人，经估算，如果两个班都以班为单位分别购票，一共应付款1240元． (1)问两班各有学生多少名？ (2)若两班联合起来，作为一个团体购票，可节省304元，试求a的值． 48．某电器商场销售进价分别为120元、190元的A，B两种型号的电风扇，如下表所示是近两周的销售情况(进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本)： 销售时段 销售数量 销售收入 A 种型号 B 种型号 第一周 5 6 2310 第二周 8 9 3540 (1)求A，B两种型号的电风扇的销售单价． (2)若商场再购进这两种型号的电风扇共120台，并且全部销售完，该商场能否实现这批电风扇的总利润恰好为8040元的目标？ 若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 49．“灯笼高高照，春联对对妙”，挂灯笼、贴春联是春节的传统习俗．临近春节，全都超市计划购进春联和灯笼这两种商品销售．据了解1个灯笼和2副春联的进价共计60元；5个灯笼和3副春联的进价共计195元． (1)每个灯笼和每副春联的进价各是多少元？ (2)如果该超市计划购进10个灯笼和40副春联，准备1000元够吗？ 50．2024年家电“以旧换新”促消费活动正火热进行中，凡购买一级能效家电可获得的财政补贴，小张购买了一台甲品牌的一级能效家电，小刘购买了一台乙品牌的一级能效家电，两人一共得到财政补贴1120元，且乙品牌比甲品牌售价多400元． (1)购买的甲、乙品牌的一级能效家电售价各是多少元？ (2)小张和小刘除财政补贴外实际各需付款多少元？ 试卷第42页，共43页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$