第五章 二元一次方程组（3易错+5压轴）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（北京版2024）

第五章 二元一次方程组易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　同解问题 1 易错题型二　定义新运算 1 易错题型三　整数解问题 2 压轴题型一　二元一次方程组和不等式综合含参问题 2 压轴题型二　错解还原 3 压轴题型三　换元法 3 压轴题型四　整体代入 4 压轴题型五　应用题方案问题 5 02 易错题型 易错题型一　同解问题 例题：若关于、的方程组与的解相同，则的值为（    ） A．2 B．7 C．1 D．0 巩固训练 1．如果方程组的解与方程组的解相同，则，的值是（    ） A． B． C． D． 2．已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为（　　） A． B．0 C．1 D．2023 3．方程组的解与方程组的解相同，则a、b的值是（    ） A． B． C． D． 易错题型二　定义新运算 例题：对于实数，定义新运算：，其中，为常数．已知，，则的值为（） A．14 B．15 C．13 D．11 巩固训练 1．对于非零的两个有理数m、n，定义一种新运算，规定．若，，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 2．对于有理数x、y，定义新运算：，其中是常数，例：．已知，，那么（   ） A． B． C． D． 3．对x，y定义一种新运算“※”，规定：（其中m，n均为非零常数），若，．则的值是（     ） A．3 B．5 C．9 D．11 易错题型三　整数解问题 例题：若关于的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的值的和为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 巩固训练 1．若整数a使关于x、y的方程组的解为整数，且使方程是关于m的一元一次方程，则满足条件的所有a的值的和为（    ） A．9 B．8 C．7 D．5 2．已知关于的二元一次方程组的解为整数，且关于的方程的解为非负数，求满足条件的所有整数的和为（    ） A．2 B．4 C．9 D．11 3．若关于x、y的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数a的值的和为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 03 压轴题型 压轴题型一　二元一次方程组和不等式综合含参问题 例题：若关于，的二元一次方程组的解满足不等式，则的取值范围是 ． 巩固训练 1．若x，y满足方程组也满足不等式，则a的取值范围是 ． 2．若关于，的二元一次方程组的解满足不等式，则的取值范围是 ． 3．若关于x、y的方程组的解中x与y互为相反数，则关于t的不等式的解集为 ． 压轴题型二　错解还原 例题：解方程组时，由于粗心，看错了方程组中的，得解为，看错了方程组中的，得解为． (1)把错看成了什么？把错看成了什么？ (2)求出原方程组的解． 巩固训练 1．甲、乙两位同学在解方程组时，甲看错了a，解得 ，乙将一个方程中的b写成了相反数，解得求正确a ，b 值． 2．在解方程组时，甲由于粗心看错了方程组中的，求得方程组的解为；乙看错了方程组中的，求得方程组的解为；甲把看成了什么？乙把看成了什么？求出原方程组的正确解． 3．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为；乙看错了方程组中的b，得解为． (1)甲把a错看成了什么？乙把b错看成了什么？ (2)求出原方程组的正确解． 压轴题型三　换元法 例题：利用换元法解下列方程组： (1) (2) 巩固训练 1．利用换元法解下列方程组： (1)； (2)． 2．利用换元法解下列方程组： (1)； (2)． 3．用换元法解二元一次方程组： (1) (2) 压轴题型四　整体代入 例题：【数学问题】解方程组 【思路分析】小明观察后发现可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的． (1)【完成解答】请你按照小明的思路，完成解方程组的过程． (2)【迁移运用】请你按照小明的方法，解方程组 巩固训练 1．在某数学课上，小云和小辉在讨论李老师出示的一道利用方程组的解求字母取值范围的问题：已知关于x，y的二元一次方程组，若，求m的取值范围． 小云认为：“可以先解方程组，用含m的式子分别表示x和y，再代入不等式求m的取值范围．” 小辉认为：“直接，可以更简便地求出m的取值范围．” (1)请同学们按照小云的方法求，______，______（含m的式子表示）； (2)李老师说小辉的方法体现了我们数学思想中的“整体代入”思想，值得同学们学习，请同学们根据小辉的思路求出m的取值范围． 2．阅读材料：善于思考的小强同学在解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形：，即，把方程①代入③得：，，把代入方程①，得，所以方程组的解为 ，请你解决以下问题 (1)模仿小强同学约“整体代换”法解方程组 (2)已知x、y满足方程组求的值； 3．学习完“代入消元法”解二元一次方程组后，老师在黑板上写下一个方程组． 让同学们解答，爱动脑筋的小敏想到一种新的方法： 解：将②变形为，③ 把①代入③，得，解得． 把代入①，解得． 方程组的解为． 这种把某个式子看成一个整体，从而使问题得到简化的方法叫做“整体代换”法，请你模仿小敏的“整体代换”法解方程组 压轴题型五　应用题方案问题 例题：随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某公司计划购进一批新能源汽车，通过调查，将获取的相关数据整理如下表： 购买数量（单位：辆） 总费用（单位：万元） 甲型汽车 乙型汽车 2 1 60 3 4 115 (1)求甲、乙两种型号的汽车每辆分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用150万元购进甲、乙两种型号的汽车若干辆（两种型号汽车均购买），请直接写出该公司的购买方案． 巩固训练 1．随着我国网球名将郑钦文在巴黎奥运会中获得网球女子单打冠军，全国各地掀起了一股网球热，与网球有关的用品销量剧增，某厂家计划生产甲、乙两种品牌的网球拍共5000个，两种品牌的网球拍的成本和售价如下表所示： 甲 乙 成本（元/个） 180 320 售价（元） 230 400 (1)该厂家计划用118万元资金全部生产甲、乙两种品牌的网球拍，则生产这两种品牌的网球拍各多少个？ (2)经过市场调研，该厂家决定在原计划的基础上增加生产甲网球拍百个，乙网球拍百个（均为正整数），且两种品牌的网球拍售完后所获得的总利润为40万元，请问该厂家有几种生产方案？该厂家最少需投资多少万元？ 2．根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某玩具商店购进若干蛋仔派对盲盒和蛋仔派对儿童手表．已知蛋仔派对盲盒的进价8元/个，蛋仔手表的进价为18元/个，如表是近两周的销售情况： 销售时段 蛋仔派对盲盒/个 蛋仔手表/个 销售收入/元 第一周 4 3 123 第二周 5 5 185 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本） 素材2 该玩具商店准备用不超过800元的金额再采购蛋仔派对盲盒和蛋仔手表共50个． 问题解决： 任务1 请尝试求出蛋仔派对盲盒、蛋仔手表的销售单价； 任务2 该商店至少采购蛋仔派对盲盒多少个？ 任务3 请结合素材2中的信息，帮助该玩具商店设计采购方案，使这50个玩具所获得的利润不低于314元，在这些采购方案中，哪个方案商店获利最高？ 3．某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金70元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金180元． (1)甲、乙两种材料每千克分别是多少元？ (2)现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过12100元，且生产B产品不少于48件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？ / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 二元一次方程组易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　同解问题 1 易错题型二　定义新运算 3 易错题型三　整数解问题 5 压轴题型一　二元一次方程组和不等式综合含参问题 7 压轴题型二　错解还原 9 压轴题型三　换元法 13 压轴题型四　整体代入 17 压轴题型五　应用题方案问题 20 02 易错题型 易错题型一　同解问题 例题：若关于、的方程组与的解相同，则的值为（    ） A．2 B．7 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解一元二次方程．掌握二元一次方程组的解的定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解是关键．把代入，得出关于a和b的二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得：， ∴． 故选A． 巩固训练 1．如果方程组的解与方程组的解相同，则，的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两方程组的解相同，可得出方程组的解为，代入后可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意方程组的解与方程组的解相同，则有 ， 解得：， 将，代入得， ， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”是解题的关键． 2．已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为（　　） A． B．0 C．1 D．2023 【答案】B 【分析】联立不含与的方程组成方程组，求出方程组的解得到与的值，进而求出与的值，即可求出所求． 【详解】解：联立得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 把，代入得：， 解得：， 则原式． 故选：B． 3．方程组的解与方程组的解相同，则a、b的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由于两个方程组的解相同，所以这个相同的解是，把代入方程中其余两个方程，得关于a、b的方程组，解答即可． 【详解】解：由于两个方程组的解相同，所以这个相同的解是， 把代入方程中其余两个方程得， 解得，． 故选：B． 【点睛】题考查了对方程组解的理解，另外此题还有一巧办法，把两个方程相加得． 易错题型二　定义新运算 例题：对于实数，定义新运算：，其中，为常数．已知，，则的值为（） A．14 B．15 C．13 D．11 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义和解二元一次方程组及代数式求值，解题关键是理解新定义的含义．根据已知条件和新定义，列出关于a，b的方程组，解方程组求出a，b，再代入求解即可． 【详解】解：， 化简为： 得：， 把代入②得：， ， 故选：B． 巩固训练 1．对于非零的两个有理数m、n，定义一种新运算，规定．若，，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义运算，根据题意列出方程组求解是解题的关键．根据新定义运算的公式，列出x，y的方程组计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 两式相加得：， ∴． 故选：C． 2．对于有理数x、y，定义新运算：，其中是常数，例：．已知，，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是得出关于a、b的方程组，难度一般，根据题意求出，即可求解． 【详解】由题意得：，解得 ∴ 故选：C． 3．对x，y定义一种新运算“※”，规定：（其中m，n均为非零常数），若，．则的值是（     ） A．3 B．5 C．9 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．根据题意联立二元一次方程组，解出m，n的值，再代入运算中即可求解． 【详解】解：由题意得：， 整理得， 得：， 把代入得：， ∴， 则， 故选：C． 易错题型三　整数解问题 例题：若关于的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的值的和为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查由二元一次方程组解得情况求参数，涉及解二元一次方程组，先由加减消元法解得，，再由题意，分类讨论即可得到答案，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 由②①得，解得； 将代入①得； 若关于的方程组的解为整数， 当取时满足题意， 当，解得，则，符合题意； 当，解得，则，符合题意； 当，解得，则，符合题意； 当，解得，则，符合题意； 满足条件的所有整数的值的和为， 故选：C． 巩固训练 1．若整数a使关于x、y的方程组的解为整数，且使方程是关于m的一元一次方程，则满足条件的所有a的值的和为（    ） A．9 B．8 C．7 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，一元一次方程的定义．先把a看作已知数求出，然后结合方程组的解为整数即可求出a的值，对于方程整理得，则题意得，进而计算可得答案． 【详解】解：对方程组， ，得， ∴， ∵关于x、y的方程组的解为整数， ∴，即或1或3或4， 方程，整理得， 方程是关于m的一元一次方程， ∴， ∴， ∴满足条件的所有a的值的和为． 故选：D． 2．已知关于的二元一次方程组的解为整数，且关于的方程的解为非负数，求满足条件的所有整数的和为（    ） A．2 B．4 C．9 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了已知二元一次方程组和一元一次方程的解，求解参数.正确求解方程或方程组是解题关键． 【详解】解： 得：， 解得： 将代入②得：， 解得： ∴原二元一次方程组的解为： 解方程得： ∵关于的方程的解为非负数， ∴， ∴ ∵关于的二元一次方程组的解为整数， ∴ 综上所述： ∴满足条件的所有整数的和为： 故选：A 3．若关于x、y的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数a的值的和为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】先把a看作已知数求出，然后结合方程组的解为整数即可求出a的值，进而可得答案． 【详解】解：对方程组， ②－①×2，得， ∴， ∵关于x、y的方程组的解为整数， ∴，即， ∴满足条件的所有a的值的和为． 故选：B． 03 压轴题型 压轴题型一　二元一次方程组和不等式综合含参问题 例题：若关于，的二元一次方程组的解满足不等式，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式，二元一次方程组的解，先利用整体的思想求出，可得，进而可得，然后按照解一元一次不等式的步骤求解即可．熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【详解】解：， ①＋②，得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴的取值范围是． 故答案为：． 巩固训练 1．若x，y满足方程组也满足不等式，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，先解二元一次方程组求出，再根据得到关于a的一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解： ①②得，即， 又∵， ∴， 解得 故答案为：． 2．若关于，的二元一次方程组的解满足不等式，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解．先利用整体的思想求出，从而可得，进而可得，然后按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：， ①②得：， 解得：， ， ， 解得：， 故答案为：． 3．若关于x、y的方程组的解中x与y互为相反数，则关于t的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】把两个方程相减，可得，根据x与y互为相反数，可求出k的值，再解不等式即可求得答案． 【详解】解：把两个方程相减，可得， ∵x与y互为相反数， ∴，解得：， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解二元一次方程组，掌握解一元一次不等式知识点是解题的关键． 压轴题型二　错解还原 例题：解方程组时，由于粗心，看错了方程组中的，得解为，看错了方程组中的，得解为． (1)把错看成了什么？把错看成了什么？ (2)求出原方程组的解． 【答案】(1)把错看成了，把错看成； (2) 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组等知识，熟练求解二元一次方程组是解题得关键． （1）将代入，得 ，将代入，得得即可； （2）分别将两组解代入方程组，求出正确的与的值，将正确的与的值代入方程组，确定出方程组，求出解即可． 【详解】（1）解：将代入，可得 解得 ， 将代入，得 可得； ∴把错看成了，把错看成； （2）解：将代入，可得 解得， 将代入，可得 解得， ∴原方程组为：， 解方程组可得：． 巩固训练 1．甲、乙两位同学在解方程组时，甲看错了a，解得 ，乙将一个方程中的b写成了相反数，解得求正确a ，b 值． 【答案】， 【分析】此题考查的是二元一次方程组的解，解答此题先要根据题意列出方程，然后求解．甲看错了第一个方程，把他解的答案代入第二个方程，乙将一个方程中的写成了相反数，把他解得答案代入方程，求、的值． 【详解】解：由题意得： 把代入 得：， 解得：， 方程组为， 因为乙将一个方程中的写成了相反数， 所以把代入方程组得：， 把代入方程得：． 2．在解方程组时，甲由于粗心看错了方程组中的，求得方程组的解为；乙看错了方程组中的，求得方程组的解为；甲把看成了什么？乙把看成了什么？求出原方程组的正确解． 【答案】甲把看成了，乙把看成了，原方程组的正确解为． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，把代入方程可得的错误值，把代入方程可得的错误值，再把代入方程可得的正确值，把代入方程可得的正确值，即可得到方程组，再解方程组即可求出正确解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：把代入方程得，， ∴， ∴甲把看成了； 把代入方程得，， ∴， ∴乙把看成了； 把代入方程得，， ∴， 把代入方程得，， ∴， ∴方程组为， 得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴原方程组的正确解为． 3．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为；乙看错了方程组中的b，得解为． (1)甲把a错看成了什么？乙把b错看成了什么？ (2)求出原方程组的正确解． 【答案】(1)甲把错看成了1；乙把错看成了1 (2) 【分析】 此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组等知识． （1）分别将两组解代入方程组，求出正确的与的值，以及错误与的值即可； （2）将正确的与的值代入方程组，确定出方程组，求出解即可． 【详解】（1） 解：将，代入方程组得 ， 解得：， 将，代入方程组得 ， 解得：， ∴甲把错看成了1；乙把错看成了1； （2） 解：根据（1）得正确的，， 则方程组为， 解得：． 压轴题型三　换元法 例题：利用换元法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，换元法，灵活运用换元法是解题的关键． （1）令，，原方程组化为，解出和的值代入，，即可求出和的值； （2）令，，原方程组化为，解出和的值代入，，即可求出和的值． 【详解】（1）解：令，， 原方程组化为， 解得， 把代入，， 得， 解得，， 原方程组的解为； （2）解：令，， 原方程组化为， 解得， 将代入，， 得， 解得， 原方程组的解为． 巩固训练 1．利用换元法解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整体代换法解二元一次方程组的解法． （1）设，利用加减消元法求得，即，再利用加减消元法即可求解； （2）设，利用加减消元法求得，即，再利用加减消元法即可求解． 【详解】（1）解：， 设， 则原方程组可化为， 得，解得， 将代入②，得，解得， 解得， 即， 解得； （2）解：， 设， 则原方程组可化为， 得，解得， 将代入②，得，解得， 解得， 即， 解得． 2．利用换元法解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整体代换法解二元一次方程组的解法． （1）设，利用加减消元法求得，即，再利用加减消元法即可求解； （2）设，利用加减消元法求得，即，再利用加减消元法即可求解． 【详解】（1）解：， 设， 则原方程组可化为， 得，解得， 将代入②，得，解得， 解得， 即， 解得； （2）解：， 设， 则原方程组可化为， 得，解得， 将代入②，得，解得， 解得， 即， 解得． 3．用换元法解二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查换元法解二元一次方程组，观察方程组， （1）中都含有，，考虑运用换元法解原方程组，理解换元的意义是正确解答的关键； （2）中都含，，考虑运用换元法解原方程组，理解换元的意义是正确解答的关键． 【详解】（1）解：， 设，， 则， 解这个方程组得， 则， 解这个方程组得， 原方程组的解为． （2）解：， 设，， 则， 解这个方程组得， 则， 解这个方程组得， 原方程组的解为． 压轴题型四　整体代入 例题：【数学问题】解方程组 【思路分析】小明观察后发现可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的． (1)【完成解答】请你按照小明的思路，完成解方程组的过程． (2)【迁移运用】请你按照小明的方法，解方程组 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解三元一次方程组、解二元一次方程组； （1）把①代入②，求出x的值，再把x的值带入①，求出y的值； （2）先把①代入③，求出c的值，再把c的值代入②，求出a的值，最后把a的值代入①，求出b的值，即可． 【详解】（1）解： 把①代入②，得， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解： 把①代入③得：，解得：， 把代入②得：，解得：， 把代入①得：，解得：， ∴原方程组的解为． 巩固训练 1．在某数学课上，小云和小辉在讨论李老师出示的一道利用方程组的解求字母取值范围的问题：已知关于x，y的二元一次方程组，若，求m的取值范围． 小云认为：“可以先解方程组，用含m的式子分别表示x和y，再代入不等式求m的取值范围．” 小辉认为：“直接，可以更简便地求出m的取值范围．” (1)请同学们按照小云的方法求，______，______（含m的式子表示）； (2)李老师说小辉的方法体现了我们数学思想中的“整体代入”思想，值得同学们学习，请同学们根据小辉的思路求出m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组以及解一元一次不等式等知识点， （1）解关于的方程组，解之即可得出的值； （2）利用，可得出，结合，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的范围， 熟练掌握（1）解含的二元一次方程组，求出的值；（2）两方程作差结合，得出关于m的一元一次等式，是解决此题的关键． 【详解】（1）， 得： 化简得：， 将代入①得：， 化简得： ∴原方程组的解为，， 故答案为：，； （2）将得：， ， ， ， 解得 2．阅读材料：善于思考的小强同学在解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形：，即，把方程①代入③得：，，把代入方程①，得，所以方程组的解为 ，请你解决以下问题 (1)模仿小强同学约“整体代换”法解方程组 (2)已知x、y满足方程组求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是理解题意，掌握整体思想． （1）根据题干提供的信息，解二元一次方程组即可； （2）求出，得出答案即可． 【详解】（1）解：， 将方程②变形：，即③， 把方程①代入③得：， 解得， 把代入方程①，得， 所以方程组的解为； （2）解：原方程组化为， ，得， ∴． 3．学习完“代入消元法”解二元一次方程组后，老师在黑板上写下一个方程组． 让同学们解答，爱动脑筋的小敏想到一种新的方法： 解：将②变形为，③ 把①代入③，得，解得． 把代入①，解得． 方程组的解为． 这种把某个式子看成一个整体，从而使问题得到简化的方法叫做“整体代换”法，请你模仿小敏的“整体代换”法解方程组 【答案】 【分析】本题考查的是代入法解方程组，先把方程②化为，再利用代入法解方程组即可． 【详解】解：， 由②得：③， 把①代入③得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为； 压轴题型五　应用题方案问题 例题：随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某公司计划购进一批新能源汽车，通过调查，将获取的相关数据整理如下表： 购买数量（单位：辆） 总费用（单位：万元） 甲型汽车 乙型汽车 2 1 60 3 4 115 (1)求甲、乙两种型号的汽车每辆分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用150万元购进甲、乙两种型号的汽车若干辆（两种型号汽车均购买），请直接写出该公司的购买方案． 【答案】(1)甲万元，乙万元 (2)共有种购买方案： 方案：甲辆，乙辆 方案：甲辆，乙辆 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）设甲型汽车的单价是x万元，乙型汽车的单价是y万元，根据“总价单价数量”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）设购买m辆甲型汽车，n辆乙型汽车，根据“总价单价数量”，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设甲型汽车的单价是x万元，乙型汽车的单价是y万元， 根据题意得：， 解得：， 答：甲型汽车的单价是25万元，乙型汽车的单价是10万元； （2）解：设购买m辆甲型汽车，n辆乙型汽车， 根据题意得：， ∴，，， 又∵m，n均为正整数， ∴或， ∴该公司共有2种购买方案， 方案1：购买4辆甲型汽车，5辆乙型汽车； 方案2：购买2辆甲型汽车，10辆乙型汽车． 巩固训练 1．随着我国网球名将郑钦文在巴黎奥运会中获得网球女子单打冠军，全国各地掀起了一股网球热，与网球有关的用品销量剧增，某厂家计划生产甲、乙两种品牌的网球拍共5000个，两种品牌的网球拍的成本和售价如下表所示： 甲 乙 成本（元/个） 180 320 售价（元） 230 400 (1)该厂家计划用118万元资金全部生产甲、乙两种品牌的网球拍，则生产这两种品牌的网球拍各多少个？ (2)经过市场调研，该厂家决定在原计划的基础上增加生产甲网球拍百个，乙网球拍百个（均为正整数），且两种品牌的网球拍售完后所获得的总利润为40万元，请问该厂家有几种生产方案？该厂家最少需投资多少万元？ 【答案】(1)生产甲品牌的网球拍3000个，生产乙品牌的网球拍2000个 (2)有两种，厂家最少需投资152万元 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用； （1）设生产甲品牌的网球拍个，生产乙品牌的网球拍个，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）根据题意列出二元一次方程，根据整数解求得的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：设生产甲品牌的网球拍个，生产乙品牌的网球拍个， 根据题意得：， 解得， 答：生产甲品牌的网球拍3000个，生产乙品牌的网球拍2000个； （2）根据题意得： ， 整理得：， ， 又都为正整数，为5的正整数倍， 或， 当时，， 需投资：（元）， 当时， ， 需投资：（元）， 又， 最少投资1520000元， 答：厂家生产方案有两种：生产甲网球拍4000个，乙网球拍2500个；生产甲网球拍3200个， 乙网球拍3000个；厂家最少需投资152万元． 2．根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某玩具商店购进若干蛋仔派对盲盒和蛋仔派对儿童手表．已知蛋仔派对盲盒的进价8元/个，蛋仔手表的进价为18元/个，如表是近两周的销售情况： 销售时段 蛋仔派对盲盒/个 蛋仔手表/个 销售收入/元 第一周 4 3 123 第二周 5 5 185 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本） 素材2 该玩具商店准备用不超过800元的金额再采购蛋仔派对盲盒和蛋仔手表共50个． 问题解决： 任务1 请尝试求出蛋仔派对盲盒、蛋仔手表的销售单价； 任务2 该商店至少采购蛋仔派对盲盒多少个？ 任务3 请结合素材2中的信息，帮助该玩具商店设计采购方案，使这50个玩具所获得的利润不低于314元，在这些采购方案中，哪个方案商店获利最高？ 【答案】任务1：蛋仔派对盲盒的销售单价为元，蛋仔手表的销售单价为元 任务2：个 任务3：见解析；采购蛋仔派对盲盒个，蛋仔手个表时，商店获利最高 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找准等量关系，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式是解题的关键． 任务1：设蛋仔派对盲盒的销售单价为元，蛋仔手表的销售单价为元，可列出关于的二元一次方程组，解方程组即可得到答案； 任务2：设该商店采购蛋仔派对盲盒个，则采购蛋仔手表个，可列出关于的一元一次不等式，解不等式即可得到答案； 任务3：根据题意可列出关于的一元一次不等式，解不等式即可得到的取值范围，结合，且为正整数，可得出采购方案，再分别求出各采购方案可获得的总利润，比较后即可得到结论列出关于的一元一次不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解：任务1：设蛋仔派对盲盒的销售单价为元，蛋仔手表的销售单价为元， 根据题意得：， 解得， 答：蛋仔派对盲盒的销售单价为元，蛋仔手表的销售单价为元； 任务2：设该商店采购蛋仔派对盲盒个，则采购蛋仔手表个， 根据题意得：， 解得， 答：该商店至少采购蛋仔派对盲盒个； 任务3：，， 根据题意得， 解得， ∵，且为正整数， ∴可以为， ∴该纪念品商店共有3种采购方案， 方案1：采购蛋仔派对盲盒个，蛋仔手表个，全部售出后可获得总利润为：； 方案2：采购蛋仔派对盲盒个，蛋仔手表个，全部售出后可获得总利润为：； 方案3：采购蛋仔派对盲盒个，蛋仔手表个，全部售出后可获得总利润为：； ∵， ∴在这些采购方案中，采购蛋仔派对盲盒个，蛋仔手表个时，商店获利最高． 3．某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金70元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金180元． (1)甲、乙两种材料每千克分别是多少元？ (2)现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过12100元，且生产B产品不少于48件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？ 【答案】(1)甲种材料每千克30元，乙种材料每千克40元 (2)三种，方案1：A产品12个，B产品48个，方案2：A产品11个，B产品49个，方案3：A产品10个，B产品50个． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元，依题意，列式，再解出，即可作答． （2）设生产B产品a件，生产A产品件，依题意，列式，然后解出，再结合a的值为非负整数，即可作答． 【详解】（1）解：设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元， 依题意得：， 解得． 答：甲种材料每千克30元，乙种材料每千克40元． （2）解：设生产B产品a件，生产A产品件． 根据题意，得． 解得：． ∵a的值为非负整数， ∴， 则分别等于12、11、10． ∴共有三种符合生产条件的方案：方案1：A产品12个，B产品48个；方案2：A产品11个，B产品49个；方案3：A产品10个，B产品50个． / 学科网（北京）股份有限公司 $$