第十章 复数（单元复习 压轴题专练）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（人教B版2019必修第四册）

第十章 复数（压轴题专练） 题型一：复数相等的充要条件（求参） 1．已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（ ） A． B． C．2 D．3 2．已知，其中、．求x、y的值． 3．已知为虚数单位，为实数，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．已知，其中，i为虚数单位，则以为根的一个一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 5．已知复数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知a，，复数，（i为虚数单位），若，则（    ） A．1 B．2 C．－2 D．－4 题型二：复数与复平面内的点的关系（象限问题） 7．已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是 ． 8．复数，在复平面上所对应的点在第四象限，求m的取值范围. 9．若复数（其中为虚数单位），当对应的点在第三象限时，则实数的取值范围为 ． 10．已知复数，则下列命题正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若为实数，则 C．若在复平面内对应的点在直线上，则 D．在复平面内对应的点不可能在第三象限 11．已知复数z所对应的点在第四象限，且，的虚部为，则复数（    ） A． B． C． D． 12．已知复数的虚部与的实部均为2，则下列说法正确的是（    ） A．是虚数 B．若，则 C．若，则与对应的点关于x轴对称 D．若是纯虚数，则 题型三：共轭复数概念与计算（象限问题） 13．已知非零复数满足，则的虚部为 ． 14．已知复数，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．是的充要条件 C．是的必要不充分条件 D．，，，则 15．已知复数，则（    ） A．的虚部为 B． C． D．在复平面内对应的点在第三象限 16．若复数（为虚数单位），则下列结论正确的有（    ） A． B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第二象限 17．已知复数在复平面上对应的点为，则（    ） A．的虚部为 B． C． D．是纯虚数 18．若复数z满足，则z的一个可能值是（    ） A． B． C． D． 题型四：根据复数对应点存在位置求参数范围 19．已知复数，其中为实数，为虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A．若为虚数，则或 B．若复平面内表示复数的点位于第二象限，则 C．若，则 D．若且，则 20．已知复数，． (1)若，求的值； (2)z在复平面内对应的点能否位于直线上，若能，求此时的值；若不能，请说明理由． 21．已知复数． (1)若复数为纯虚数，求； (2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围. 22．已知复数，，为虚数单位. (1)若复数为纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面上对应的点在第一象限，求的取值范围. 23．已知i为虚数单位. (1)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求m的取值范围； (2)若复数z满足，求复数z. 24．已知复数，，是虚数单位. (1)若复数是纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围. 题型五：求复数的模及其参数 25．记是虚数单位，设复数且，则复数的虚部为 . 26．若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 27．已知复数的实部为正数，虚部为1，，则（    ）． A． B． C． D． 28．已知复数（），且，则实数的取值范围是 . 29．复数（）在复平面上对应的点在第四象限，，则 . 30．若，则（    ） A．1 B． C． D．2 题型六：复数代数形式的除法运算 31．若复数满足，则可以是（    ） A． B． C． D． 32．已知为实数，并且的实部与虚部相等，求的值. 33．已知复数是方程的解， (1)求； (2)若，且（，为虚数单位），求． 34．已知复数满足，若为纯虚数，则的值为（    ） A． B． C．4 D．3 35．已知，复数（i是虚数单位），若，则 ， . 36．若复数（，为虚数单位）的实部和虚部相等，则（    ） A． B． C． D． 题型七：在复数范围内解方程 37．若复数z满足（i为虚数单位），则下列结论正确的是（    ） A． B． C．z的共轭复数 D．z是方程的一个根 38．已知（其中为虚数单位）是关于的方程的一个根，则在复平面内，所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 39．已知为虚数单位，设.若是实系数一元二次方程的一个虚根，则 . 40．已知，方程一个虚根为，则 . 41．已知复数，则（   ） A．的虚部为 B． C．在复平面内的对应点位于直线上 D．为方程的一个根 42．已知虚数是方程的两个不同的根，则（    ） A． B． C． D． 2 / 42 2 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章 复数（压轴题专练） 题型一：复数相等的充要条件（求参） 1．已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】因为的实部与虚部相等， 所以，解得， 故选：C. 2．已知，其中、．求x、y的值． 【答案】或或或 【详解】解：， 且， 解得：或且或， 或或或． 3．已知为虚数单位，为实数，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】由题意， 所以，解得，所以. 故选：D. 4．已知，其中，i为虚数单位，则以为根的一个一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以，所以， 因此所选方程的两根为，仅有符合要求， 故选：A. 5．已知复数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】复数，且， 所以，则 因为，所以，当时，，当时， 所以的取值范围是. 故选：B. 6．已知a，，复数，（i为虚数单位），若，则（    ） A．1 B．2 C．－2 D．－4 【答案】B 【详解】解：由得 ， ，，解得，． 故选：B． 题型二：复数与复平面内的点的关系（象限问题） 7．已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】∵复数在复平面内对应的点在第四象限， ∴，解得， 即实数a的取值范围是． 故答案为：． 8．复数，在复平面上所对应的点在第四象限，求m的取值范围. 【答案】. 【详解】根据题意，得，解得. 所以实数m的取值范围是. 9．若复数（其中为虚数单位），当对应的点在第三象限时，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题意得，解得， 故答案为： 10．已知复数，则下列命题正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若为实数，则 C．若在复平面内对应的点在直线上，则 D．在复平面内对应的点不可能在第三象限 【答案】BD 【详解】复数的实部为，虚部为， 复数在复平面内对应的点的坐标为， 对于A：若为纯虚数，则，解得，故A错误； 对于B：若为实数，则，解得，则，故B正确； 对于C：若在复平面内对应的点在直线上， 所以，解得或，故C错误； 对于D：令，即，不等式组无解， 所以在复平面内对应的点不可能在第三象限，故D正确. 故选：BD. 11．已知复数z所对应的点在第四象限，且，的虚部为，则复数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则，所以， ，， 复数z所对应的点在第四象限，所以，，， ，， 所以，解得，则. 故选：A. 12．已知复数的虚部与的实部均为2，则下列说法正确的是（    ） A．是虚数 B．若，则 C．若，则与对应的点关于x轴对称 D．若是纯虚数，则 【答案】ACD 【详解】可设复数， A选项：根据虚数定义可知A正确； B选项：，所以，则， 所以，，所以，故B不正确； C选项：若，所以，所以，， 所以，对应的点分别为和，则关于x轴对称，故C正确； D选项：因为， 且是纯虚数，所以，所以，，则， 所以，故D正确． 故选：ACD. 题型三：共轭复数概念与计算（象限问题） 13．已知非零复数满足，则的虚部为 ． 【答案】 【详解】设，则， 因为，，所以，解得或（舍去）， 所以，则的虚部为. 故答案为： 14．已知复数，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．是的充要条件 C．是的必要不充分条件 D．，，，则 【答案】CD 【详解】对A，若，则，但，故A错误； 对B，复数不能比较大小，故B错误； 对C，若，则，但， 若，则，此时. 故是的必要不充分条件，故C正确； 对D，如图，在复平面内，，则因为，则， 故为正三角形，故，故D正确. 故选：CD 15．已知复数，则（    ） A．的虚部为 B． C． D．在复平面内对应的点在第三象限 【答案】C 【详解】复数的虚部为，故A不正确； ，故B不正确； ，故C正确； 在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故D不正确. 故选：C. 16．若复数（为虚数单位），则下列结论正确的有（    ） A． B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第二象限 【答案】AC 【详解】因为，所以，故A正确； 的虚部为，故B错误； ，所以，故C正确； 在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D错误. 故选：AC 17．已知复数在复平面上对应的点为，则（    ） A．的虚部为 B． C． D．是纯虚数 【答案】CD 【详解】对于A，由复数在复平面上对应的点为，得，其虚部为，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，为纯虚数，D正确. 故选：CD 18．若复数z满足，则z的一个可能值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 由，得，即，整理得， 显然选项ACD不满足要求，B符合要求. 故选：B 题型四：根据复数对应点存在位置求参数范围 19．已知复数，其中为实数，为虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A．若为虚数，则或 B．若复平面内表示复数的点位于第二象限，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】BC 【详解】由复数，其中为实数，为虚数单位， 对于A中，若为虚数，则满足，解得且，所以A不正确； 对于B中，若复平面内表示复数的点位于第二象限，则满足， 解得，所以B正确； 对于C中，若，可得，解得，所以C正确； 对于D中，当且，可得为虚数，为虚数，而，所以，所以D不正确. 故选：BC. 20．已知复数，． (1)若，求的值； (2)z在复平面内对应的点能否位于直线上，若能，求此时的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)3(2)能， 【详解】（1）∵，∴，且， 解得（舍去）或， 此时，故． （2）z在复平面内对应的点为， 若该点位于直线上，则，解得， 故能在直线上，此时． 21．已知复数． (1)若复数为纯虚数，求； (2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）若复数是纯虚数， 则，解得， 则，所以； （2）由复数的几何意义可知， ，得. 22．已知复数，，为虚数单位. (1)若复数为纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面上对应的点在第一象限，求的取值范围. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）复数，的实部为，虚部为， 因为复数为纯虚数，则，解得； （2）因为复数在复平面上对应的点为，位于第一象限， 所以，解得或， 即的取值范围为. 23．已知i为虚数单位. (1)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求m的取值范围； (2)若复数z满足，求复数z. 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）依题意，，解得， 所以m的取值范围是. （2）设，由，得， 则，解得， 所以. 24．已知复数，，是虚数单位. (1)若复数是纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围. 【答案】(1)2(2) 【详解】（1）因为，所以， 从而. （2）因为，所以， 从而. 题型五：求复数的模及其参数 25．记是虚数单位，设复数且，则复数的虚部为 . 【答案】 【详解】因为，，则，得到， 又，所以，则复数的虚部为， 故答案为：. 26．若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，得到， 所以或，解得或， 故选：A. 27．已知复数的实部为正数，虚部为1，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】复数的实部为正数，虚部为1，故， 又因为可得，故，． 故选：A． 28．已知复数（），且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】则解得 故答案为： 29．复数（）在复平面上对应的点在第四象限，，则 . 【答案】 【详解】复数（）在复平面上对应的点在第四象限， 所以，又，解得（舍去）或. 故答案为： 30．若，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】设，则, 又，则， 解得，即，故. 故选：A. 题型六：复数代数形式的除法运算 31．若复数满足，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则， 即，即， 故选：A. 32．已知为实数，并且的实部与虚部相等，求的值. 【答案】. 【详解】∵， ∴ ∵的实部与虚部相等， ∴， 解得. 33．已知复数是方程的解， (1)求； (2)若，且（，为虚数单位），求． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由，即， 可得，解得， 即 （2）由（1）知，， 因为，所以，， 所以， 所以，解得，， 所以. 34．已知复数满足，若为纯虚数，则的值为（    ） A． B． C．4 D．3 【答案】D 【详解】∵，， 因为为纯虚数， 故选：D 35．已知，复数（i是虚数单位），若，则 ， . 【答案】 【详解】， 因为，故，得， 故. 故答案为：；. 36．若复数（，为虚数单位）的实部和虚部相等，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，， 因为复数的实部和虚部相等， 所以，解得， 所以． 故选：C． 题型七：在复数范围内解方程 37．若复数z满足（i为虚数单位），则下列结论正确的是（    ） A． B． C．z的共轭复数 D．z是方程的一个根 【答案】D 【详解】A：设，则， 可得解得所以，故A错误； B：，故B错误； C：，故C错误； D：解方程，即， 解得或，故D正确. 故选：D 38．已知（其中为虚数单位）是关于的方程的一个根，则在复平面内，所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】方法一：代入，得到方程组，求出，得到，求出所在象限； 方法二：求出的解，从而得到，求出，得到，求出所在象限. 【详解】方法一：依题意，， 故，解得， 则在复平面内对应的点为，位于第一象限； 方法二：易知方程的解为，则， 即，解得， 则在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 39．已知为虚数单位，设.若是实系数一元二次方程的一个虚根，则 . 【答案】 【详解】因为是的一个虚根，所以， 化简可得，所以，即， 故答案为：. 40．已知，方程一个虚根为，则 . 【答案】 【详解】因为方程一个虚根为， 则其另一个虚根为， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 41．已知复数，则（   ） A．的虚部为 B． C．在复平面内的对应点位于直线上 D．为方程的一个根 【答案】BCD 【详解】对于A，，故，其虚部为，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由复数的几何意义可知在复平面内的对应点位于直线上，故C正确； 对于D，易得，故D正确. 故选：BCD. 42．已知虚数是方程的两个不同的根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由，得，则， 则. 故选：AC 试卷第1页，共3页 2 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$