第十一章 立体几何初步（单元重点综合测试）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（人教B版2019必修第四册）

第十一章 立体几何初步（单元重点综合测试） （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若圆柱、圆锥的底面半径和高都与球的半径相等，则圆柱、圆锥、球的体积之比为（    ） A． B． C． D． 2．沙漏是一种古代计时仪器．如图，某沙漏由上下两个相同圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的，则这些细沙的体积为（    ）    A． B． C． D． 3．如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 4．设a，b为两条直线，，为两个平面，且“，”，则是的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．如图，在长方体，中，，，则异面直线CD与所成的角的大小为（    ）    A． B． C． D． 6．小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为，如图1所示，然后截去以为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（    ）    A．108 B．162 C．180 D．189 7．如图，正三棱柱的底面边长为1，高为3，已知为棱的中点，分别在棱上，，记四棱锥，三棱锥与三棱锥的体积分别为，则（    ） A． B． C． D． 8．已知圆柱的轴截面为矩形为下底面圆的直径，点在下底面圆周上，为的中点，，则（    ） A．该圆柱的体积为 B．该圆柱的表面积为 C．直线与平面所成角为 D．二面角为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列四个命题中，正确的是（    ） A．不共面的四点中任意三点不共线 B．若点，，，共面，点，，，共面，则，，，，共面 C．若直线，共面，直线，共面，则直线，不一定共面 D．依次首尾相接的四条线段必共面 10．如图，是水平放置的的直观图，，则在原平面图形中，有（    ） A． B． C． D． 11．如图，在中，平面，点在平面的同侧，，在平面内的射影的长分别为3，4，则（   ） A．平面 B． C．四棱锥的体积为 D．平面与平面的夹角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风铃可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如下，其中厘米，厘米，厘米，若不考虑铃舌，则风铃的体积为 立方厘米．（保留两位小数） 13．如图，在三棱柱中，已知平面，当底面满足条件 时，有. 14．如图，在棱长为2的正方体中，点为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足平面平面，给出下列四个结论： ①的面积的最大值为； ②满足的面积为2的点有且仅有4个； ③点可能为的中点； ④线段的最大值为3. 其中所有正确结论的序号是 . 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．如图所示，四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，，点是线段的中点，点在线段上，且，求证：平面.    16．如图，四棱锥中，底面为矩形，，且该四棱锥的体积为.    (1)证明：平面底面； (2)求异面直线和所成角的余弦值. 17．如图，多面体是由一个正四棱锥与一个三棱锥拼接而成，正四棱锥的所有棱长均为，且．在棱上找一点，使得平面平面，并给出证明； 18．如图，四边形和四边形都是梯形，，且分别为的中点. (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：四点共面. 19．如图，在正三棱柱中，已知，、分别是、的中点. (1)求正三棱柱的表面积； (2)求证：平面平面； (3)求证：直线平面. 2 / 42 2 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十一章 立体几何初步（单元重点综合测试） （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若圆柱、圆锥的底面半径和高都与球的半径相等，则圆柱、圆锥、球的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设球的半径为， 所以圆柱、圆锥、球的体积之比为. 故选：D. 2．沙漏是一种古代计时仪器．如图，某沙漏由上下两个相同圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的，则这些细沙的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知：这些细沙的体积为. 故选：B. 3．如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设球的半径为，则，解得， 球的体积. 故选：A 4．设a，b为两条直线，，为两个平面，且“，”，则是的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，，且，所以, 又由，，，所以， 所以是的充要条件， 故选:A. 5．如图，在长方体，中，，，则异面直线CD与所成的角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵， ∴是异面直线CD与所成的角或其补角， 在直角中，， ，所以，所以异面直线CD与所成的角是， 故选：A． 6．小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为，如图1所示，然后截去以为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（    ）    A．108 B．162 C．180 D．189 【答案】C 【详解】设此半正多面体模型的体积为， 则. 故选：C. 7．如图，正三棱柱的底面边长为1，高为3，已知为棱的中点，分别在棱上，，记四棱锥，三棱锥与三棱锥的体积分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知：， ， . ，，. 故选：C. 8．已知圆柱的轴截面为矩形为下底面圆的直径，点在下底面圆周上，为的中点，，则（    ） A．该圆柱的体积为 B．该圆柱的表面积为 C．直线与平面所成角为 D．二面角为 【答案】D 【详解】对于A，因为底面，底面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以，又，平面，所以平面，即， 因为为的中点，所以为等腰直角三角形，所以， 又，为底面圆的直径，所以， 所以该圆柱的体积为，故A错误； 对于B，由A可得该圆柱的表面积为，故B错误； 对于C，因为底面，底面，所以， 又，平面，所以平面， 所以直线与平面所成角， 因为，所以，即，故C错误； 对于D，由C可得为二面角的平面角，因为为等腰直角三角形，所以，即二面角为，故D正确； 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列四个命题中，正确的是（    ） A．不共面的四点中任意三点不共线 B．若点，，，共面，点，，，共面，则，，，，共面 C．若直线，共面，直线，共面，则直线，不一定共面 D．依次首尾相接的四条线段必共面 【答案】AC 【详解】不共面的四点中，其中任意三点不共线，故A为真命题； 若点，，，共面，点，，，共面，则，，，，可能不共面， 比如面与面相交于所在直线，而均不在该直线上，故B为假命题； 若直线，共面，直线，共面，则直线，可能不共面， 比如若相交，且、不相交，则此时异面，故C为真命题； 依次首尾相接的四条线段可能不共面，比如空间四边形，故D为假命题； 故选：AC． 10．如图，是水平放置的的直观图，，则在原平面图形中，有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】如图所示，在直观图中，过作于， . 又， 所以利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形，如图： 那么有，故选项B正确； 又因为，故选项A､C错误； 而，故选项D正确. 故选：BD. 11．如图，在中，平面，点在平面的同侧，，在平面内的射影的长分别为3，4，则（   ） A．平面 B． C．四棱锥的体积为 D．平面与平面的夹角的正弦值为 【答案】BC 【详解】对于A选项，由，可得， 则四边形为直角梯形， 可得与不平行，故不平行于平面，故A选项错误； 对于B选项，由， 可得，故B选项正确； 对于C选项，如图，过点作，由， 有， 由于在平面内的射影故平面,平面,故， 又，平面,故平面， 又由四边形的面积为， 可得四棱锥的体积为，故C选项正确； 对于D选项，取的中点，连接，由， 有， 由平面，平面，则， 又由，平面, 平面，平面，可得，故为平面与平面的夹角， 又由，故D选项错误． 故选：BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风铃可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如下，其中厘米，厘米，厘米，若不考虑铃舌，则风铃的体积为 立方厘米．（保留两位小数） 【答案】 【详解】根据题意，风铃的体积约为， 故答案为： 13．如图，在三棱柱中，已知平面，当底面满足条件 时，有. 【答案】 【详解】当底面满足条件时，有. 理由如下：平面，，平面， 面，. ，四边形是正方形，，， 又平面，平面. 平面.平面，. 平面，平面,平面,. 当底面满足条件时，有. 故答案为： 14．如图，在棱长为2的正方体中，点为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足平面平面，给出下列四个结论： ①的面积的最大值为； ②满足的面积为2的点有且仅有4个； ③点可能为的中点； ④线段的最大值为3. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①④ 【详解】取的中点为，连接，由为的中点，得， ，则，，又， 则，于是，又平面，平面， 则，又平面，因此平面， 而平面，则平面平面，又平面平面， 于是的轨迹为线段， 对于①，由图知，当在上时，此时三角形面积最大， ，面积的最大值为，①正确； 对于②，由图可知，当或时，的面积为2， 因此满足使的面积为2的点有且只有2个，②错误； 对于③，由图知，点不可能在线段上，点不可能是的中点，③错误； 对于④, 由图知，当与重合时，此时长度最大，最大值为，④正确. 故答案为：①④ 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．如图所示，四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，，点是线段的中点，点在线段上，且，求证：平面.    【答案】证明见解析 【详解】连接交于，连接，   四边形是矩形,是的中点， 是线段的中点， 是的中位线，， 又平面，平面， 平面. 16．如图，四棱锥中，底面为矩形，，且该四棱锥的体积为.    (1)证明：平面底面； (2)求异面直线和所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：设该四棱锥的高为，则体积 ， 从而， 等腰中，设边的中点为，易知， 在中，，所以，    所以该四棱锥的高为即为，                       即底面，又平面，所以面底面.                            （2）因为，所以即为异面直线和所成的角或其补角；             由（1）知平面底面，且平面底面， 在矩形中，，所以平面， 因为平面，从而，      中，，所以，  同理可得，       中，， 由余弦定理可得， 所以异面直线和所成角的余弦值为. 17．如图，多面体是由一个正四棱锥与一个三棱锥拼接而成，正四棱锥的所有棱长均为，且．在棱上找一点，使得平面平面，并给出证明； 【答案】点为的中点，证明见解析 【详解】当点为中点时，平面平面， 证明如下：连接， 因为四棱锥是正四棱锥，所以，所以. 在正方形中，，所以， 在正方形中，，因为，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 18．如图，四边形和四边形都是梯形，，且分别为的中点. (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：四点共面. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1）因为分别为的中点，则，， 又因为，，则，，所以四边形是平行四边形. （2）因为，，为中点，则，， 可知四边形为平行四边形，则，， 由（1）知：，，可得，， 所以四边形为平行四边形，则，即，所以四点共面. 19．如图，在正三棱柱中，已知，、分别是、的中点. (1)求正三棱柱的表面积； (2)求证：平面平面； (3)求证：直线平面. 【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析 【详解】（1）正三棱柱的侧面积为：，底面积为. 所以正三棱柱的表面积为：. （2）如图： 因为为等边三角形，为的中点，故， 又三棱柱为直三棱柱，故平面平面， 因为平面，平面平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （3）连接，交与点，连接. 因为四边形为正方形，所以为中点， 又为中点，所以，又平面,平面， 所以平面. 2 / 42 2 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$