第十一章 立体几何初步（单元复习 压轴题专练）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（人教B版2019必修第四册）

第十一章 立体几何初步（压轴题专练） 题型一：与直观图还原有关的计算问题 1．若平行四边形是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图.已知，平行四边形的面积为8，则原平面图形中的长度为 . 【答案】 【详解】 如图，过点作于点，则为等腰直角三角形， 由平行四边形的面积为8得， ∵，∴，∴， ∴原平面图形中，，. 故答案为：. 2．如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中 以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体体积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意，所以 ， 如图，原图形 中， ， 所以直角梯形 的边 为轴旋转一周得到的几何体为圆台， ， 故选：D.    3．已知水平放置的正方形的边长为，利用斜二测画法绘制该正方形在水平平面内的直观图四边形，则（    ） A．的最小值小于 B．的最大值小于 C．的最小值大于 D．的最大值大于 【答案】AD 【详解】 对于AB选项，考虑正方形的一条边与轴重合，由斜二测画法的性质， 另一条边与轴重合，如图所示， 由于对称性与旋转可换性，图中与均等价为所求角. 而由斜二测图性质， ， 过作的垂线，则， 即，故的最小值小于，故正确； 过作的垂线，易有，且， 故，则的最大值大于，故B错误； 对于CD选项，设图形绕点逆时针旋转，则 ， 即 ， 其中，则最小值为， 最大值为， 故C错误， D正确. 故选 ：AD. 4．如图，四边形的斜二测直观图为平行四边形，已知，则该图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】平行四边形，由斜二测画法得，在原图矩形中，，为正方形， 故该图形的面积为． 故选：A. 5．如图，为水平放置的的直观图，的面积为，那么的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，则， 如图，作出还原后，则， 故，所以. 故选：C.   6．水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 【答案】B 【详解】由图形知，在原中，，因为，则， 因为，则，所以，即原是一个等边三角形； 故选：B 题型二、简单几何体的表面展开与折叠问题 7．如图，棱长为1的正方体中，为线段的中点，、分别为线段和棱上任意一点，则的最小值为 . 【答案】2 【详解】 在 边上取点，使得，由正方体的对称性可知， 过点作平面的垂线得垂足，连接，则有， ，显然，当三点共线时最小， 即当是中点的时候，，，最小值为2； 故答案为：2. 8．正方体的棱长为是面内一动点，且是棱上一动点，则周长的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】由正方体的结构特征可知，平面， 点M是内一动点，且，所以点在线段上运动， 动线段在内运动，动线段在内运动，动线段在内运动， 以为基准，将和翻折使其与共面，如图所示： 其中翻折至，翻折至， 的周长等于,最小值等于 ， 由余弦定理可求得，所以， 故的周长最小值等于，故选：B. 9．如图，在棱长为2的正方体中，点M为线段上的动点，则取得最小值 ．当M为线段中点时，平面截正方体所得的截面面积为 ．    【答案】 ； . 【详解】将侧面绕着旋转，使得侧面和侧面在同一平面内，如图， 易知，当三点共线时，取得最小值.    当M为线段中点时，记的中点为，的中点为， 由正方体性质可知，，所以为平行四边形，所以， 易知，所以为平行四边形，所以， 所以四点共面，即平面截正方体所得的截面为四边形， 因为，所以四边形为菱形， 所以. 故答案为：；.    10．如图所示，在三棱柱中，平面，，，M为的中点，P是棱上的点，且，则由P沿棱柱侧面到M的最短路线长为 . 【答案】 【详解】因为，所以， 如图，两种方式展开三棱柱的侧面： 故图1中，图2中， 因为，所以最短路线长为.故答案为：. 11．几何体是由一个正方体切剖一个角得到的，其直观图如图所示．已知，M是上一动点．则的最小值为 ． 【答案】 【详解】以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接， 因为，所以，所以三点共线， 在中，根据正弦定理可得， 可得，所以的最小值为. 故答案为：. 12．在正方体中，为棱的中点，分别为上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】将正方体的侧面与展开到同一平面 在同一平面内可知的最小值就是点到的距离， 正方体中，为棱的中点，所以，， 是正方形，所以故答案为： 题型三：点线共面 13．如图所示，在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，则下列说法正确的个数为（    ） ①，，，四点共面； ②平面； ③与的交点一定在直线上. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】依题意，可得，，故，所以，，，四点共面，故①正确； 因为，，所以四边形为梯形，与必相交，设交点，所以不平行平面，故②错误； 因为点在上，故点在平面，同理，点在平面上， 所以点是平面与平面的交点， 又是平面与平面的交线，所以与的交点一定在直线上，故③正确； 故选：C 14．如图，已知直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，分别为，的中点．    (1)求证：直线、、交于一点； (2)若，求多面体的体积． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）连接、， 因为、分别为、的中点，所以且． 因为是直四棱柱，且底面是正方形， 所以，且，即四边形是平行四边形， 所以且，所以，且， 所以四边形为梯形，所以与交于一点，记为， 即，且平面，平面，所以平面，平面， 又因为平面平面，则直线，所以直线、、交于一点. （2）连接，由题意可得：.        15．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC、BD的交点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是（    ）    A．C1、O、A、M四点共面 B．直线C1O与直线A1C为异面直线 C．直线A1A与直线OM相交 D．D1、D、O、M四点共面 【答案】AC 【详解】对于A选项，如图，连接，    因为O为AC、BD的交点，直线A1C交平面C1BD于点M， 所以点在平面与平面的交线上，即三点共线， 则点、、、四点共面，故选项A正确； 对于B选项，由选项A的分析可知三点共线，所以直线与直线相交，故选项B错误； 对于C选项，因为为的中点，点为直线与平面的交点，所以不是的中点， 又因为平面，且与不平行，所以直线与直线相交，故选项C正确； 对于D选项，因为点、、均在平面内，点不在平面内， 且直线与直线没有交点，所以直线与直线异面， 则点、、、四点不共面，故选项D错误， 故选：AC. 16．如图，在正方体中，E，F分别是上的点，且.    (1)证明：四点共面； (2)设，证明：A，O，D三点共线. 【答案】(1)证明见祥解(2)证明见祥解 【详解】（1）证明：如图，连接.    在正方体中，，所以，又，且， 所以四边形是平行四边形，所以，，所以四点共面； （2）证明：由，，又平面，平面， 同理平面ABCD，又平面平面，，即A，O，D三点共线. 17．如图，在正方体中，，分别是的中点，则（  ）    A．四点，，，共面 B．∥ C．与平面相交 D．若，则正方体外接球的表面积为 【答案】BCD 【详解】对于选项，连接和，则∥， 因为在正方体中，是的中点，所以也是的中点，所以 因为是的中点，所以所以点，，在平面中， 因为点平面，则四点，，，不共面，即选项不正确； 对于选项，由选项A可知是的中点，因为是的中点，所以∥， 又因为∥， 所以∥，即选项正确； 对于选项，因为∥，所以点，，都在平面， 因为平面，平面，所以与平面相交， 即与平面相交，所以选项正确； 对于选项，因为为的中位线，且，所以正方体的棱长为， 设正方体外接球的半径为，则， 即，则外接球的表面积为，即选项正确； 故选：BCD    18．如图，在直三棱柱中，D，F分别是AB，的中点． (1)若E为CD的中点，O为侧面的中心，证明：四点共面． (2)若，，，侧面为菱形，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）连接，， 因为O为侧面的中心，且侧面为矩形，所以O是的中点．因为E为CD的中点，所以． 因为D，F分别是AB，的中点，且，， 所以，，所以四边形是平行四边形，所以． 又，所以，所以A，F，O，E四点共面． （2）因为，D是AB的中点，且侧面为菱形，所以． 因为，，所以， 所以的面积．在直三棱柱中，底面ABC， 所以． 题型四：三点共线 19．如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且. (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1）因为E，F分别为AB，AD的中点，所以. 在中，因为，所以，所以，所以. 所以E，F，G，H四点共面. （2）因为，所以. 由已知可得，，，平面ABC，平面ABC， 所以平面ABC，所以平面ABC.同理，平面ADC，平面ADC. 所以为平面ABC与平面ADC的一个公共点.又平面平面，所以， 所以P，A，C三点共线. 20．如图所示，在正方体中，E，F分别是的中点． (1)求证：三线交于点P； (2)在（1）的结论中，G是上一点，若FG交平面ABCD于点H，求证：P，E，H三点共线． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【详解】（1）证明：连接，，正方体中，E，F分别是的中点， ∴且，∵且，∴且，∴EC与相交，设交点为P， ∵PEC，EC平面ABCD，∴P平面ABCD； 又∵，平面，∴平面，∴P为两平面的公共点， ∵平面平面，∴，∴三线交于点P； （2） 在（1）的结论中，G是上一点，FG交平面ABCD于点H， 则FH平面，∴平面，又平面ABCD，∴平面平面ABCD， 同理，平面平面ABCD，平面平面ABCD， ∴P，E，H都在平面与平面ABCD的交线上，∴P，E，H三点共线． 21．在如图所示的七面体中，四边形为边长为2的正方形， 平面，，且，，，分别是，，的中点. (1)求点到平面的距离； (2)若直线交于点，直线交平面于点，证明：，，三点共线. 【答案】(1)(2)证明见解析 【详解】（1）解：记到平面的距离为， 在中，，，∴， （2）证明：∵，∴与确定平面， ∵，平面，且，平面，∴平面平面， ∵平面，∴平面，平面，∴点在直线上，则，，三点共线. 22．以下四个命题中，不正确的命题是（    ） A．不共面的四点中，其中任意三点不共线 B．若点共面，点共面，则共面 C．若直线共面，直线共面，则直线共面 D．依次首尾相接的四条线段必共面 【答案】BCD 【详解】选项：若任意三点共线，则由该直线与第四个点可构成一个平面，则与四点不共面矛盾，则任意三点不共线，正确； 选项：若三点共线，直线与直线异面，此时不共面，错误； 选项：共面，共面，此时可为异面直线，错误； 选项：依次首尾相接的四条线段可构成空间四边形，错误. 故选：BCD 23．如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C与截面DBC1交于O点，AC，BD交于M点，求证：C1，O，M三点共线． 【答案】证明见解析 【详解】证明：如图，因为C1∈平面A1ACC1，且C1∈平面DBC1 ∴C1是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点，又因为M∈AC，所以M∈平面A1ACC1 ∵M∈BD，∴M∈平面DBC1，∴M也是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点 ∴C1M是平面A1ACC1与平面DBC1交线 ∵O是A1C与平面DBC1的交点，∴O∈平面A1ACC1，O∈平面DBC1 ∴O也是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点∴O∈直线C1M，即C1，O，M三点共线． 24．如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．    【答案】证明见解析. 【详解】证明：因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，因为AB∩α＝E，所以E∈平面AC，E∈α，由基本事实3可知，E必在平面AC与平面α的交线上．同理F，G，H都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上． 题型五：三线共点问题 25．如图，在正方体中，分别是的中点，有四个结论： ①与是异面直线； ②相交于一点； ③过A，M，P的平面截正方体所得的图形为平行四边形； ④过A，M，N的平面截正方体所得的图形为五边形； 其中错误的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】对于①，连接，如图所示： 由分别是的中点，可得，可得与共面，故①错误； 对于②，因为平面平面平面， 所以由异面直线的定义可得，与是异面直线，则不相交于一点，故②错误； 对于③，由①知，过A，M，P的平面截正方体所得的图形为四边形， 而，故四边形不是平行四边行，故③错误； 对于④，取， 则过A，M，N的平面截正方体所得的图形为五边形，故④正确. 故选：C 26．如图，在长方体中，，，点，分别是棱的中点． (1)证明：三条直线相交于同一点 (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析；(2)1. 【详解】（1）连接，如图：分别是的中点，，， 且，∴四边形为平行四边形，， 在中，分别是的中点，，，且四点共面， 设，平面，平面，平面，平面， 平面平面，三条直线相交于同一点； （2），三棱锥的高为， 点是棱的中点，， 点分别是棱的中点，，， ． ． 27． 如图，已知空间四边形，E，F分别是AB，BC的中点，G，H分别在CD和AD上，且满足. 求证： (1)，，，四点共面； (2)，，三线共点． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1）因为，分别为，的中点，所以.又因为，所以. 所以，所以E，F，G，H四点在同一平面内，即E，F，G，H四点共面． （2）因为E，F分别为AB，BC的中点，所以，. 由题意知＝，，，所以四边形为梯形，直线和必相交，设交点为M，即，因为平面，所以点平面， 同理可得点平面.又因为平面平面，所以点直线， 所以直线，，三线共点． 28．已知三棱锥中，侧棱和底面边长均为6，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且. (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)设直线EH与FG相交于一点P，证明：点P一定在直线BD上； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3). 【详解】（1）连接，，如图， ，，又分别为AD，CD的中点， ，，故E，F，G，H四点共面. （2），平面，平面， 平面，平面，平面平面，，即点P一定在直线BD上. （3）取的中心，连接，，如上图， 则平面，即是三棱锥的高，在正中，， 所以，所以. 29．如图，在三棱锥中，分别是的中点，点在上，点在上，且有.试判定直线的位置关系. 【答案】直线三线共点 【详解】如图，连接因为分别是的中点，所以为的中位线, 所以且，又 所以,且.由公理4，,且, 所以共面且不平行，因此延长交于.则 且， 又因为面面,所以由公理3 故三线共点 30．已知正方体中，G，H分别是，的中点，求证：，，延长后相交于一点. 【答案】证明见解析 【详解】∵，， ∴，又，∴. ∴G，H，B，D四点共面，且四边形为梯形.延长，后必交于点P，如图. 由，平面，∴平面，同理平面. ∴P在面和面的交线上，又面面，∴. ∴，，延长后相交于一点. 题型六：截面问题 31．如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，给出下列四个结论： ①当时，S为四边形； ②当时，S为等腰梯形； ③当时，S的面积为； ④当时，S与的交点R满足.以上结论正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】①当时，如图（1），是四边形，故①正确； ②当时，如图（2），是等腰梯形，故②正确； ③当时，如图（3），此时截面为菱形，两条对角线的长分别为 所以，③正确. ④当时，如下图，延长至，使，连接交于，连接交于，连接，则，由，可得，所以，故④正确； 故选：D 32．用一个平面去截一个几何体，截面的形状是五边形，则此几何体可能是 （填上所有满足条件的几何体的序号） ①正三棱柱；②正方体；③正三棱锥；④正四棱锥；⑤圆柱；⑥圆锥；⑦圆台 【答案】①②④ 【详解】①正三棱柱的截面可以是五边形，如下图所示： ②正方体的截面可以是五边形，如下图所示： ③正三棱锥的截面最多边数的是四边形，不可能是五边形； ④正四棱锥的截面可以是五边形，如下图所示： 圆柱、圆锥、圆台的截面都不可能是五边形， 故答案为：①②④. 33．在棱长为1的正方体中，E，F分别为棱，的中点，G为棱靠近C点的三等分点，用过点E，F，G的平面截正方体，则截面图形的周长为 . 【答案】 【详解】连接FG并延长交DC延长线于点H，连接EH交BC于点M，连接GM， 取靠近点的三等分点N，连接FN并延长交的延长线于点Q， 连接QE交于点P，连接NP，则六边形EMGFNP即为过点的截面， 由G为棱靠近点C的三等分点，可得，即， 由，知点M为靠近点C的三等分点，即， 由勾股定理得，，同理得， 则截面图形的周长为. 故答案为：. 34．在棱长为的正方体中，点分别为线段的中点，点在线段上，且，则过三点的平面截正方体得到的截面多边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接，取中点，则三点共线，在上取点，满足；在上取点，满足；在上取点，满足；连接； ，，，又， ，五点共面； 同理可得：五点共面， 四边形即为过三点的平面截正方体得到的截面多边形； ，平面，平面， 又平面，，四边形为矩形； ，，， 又，. 故选：B. 35．在正四棱柱中，为线段的中点，一质点从点出发，沿长方体表面运动到达点处，若沿质点的最短运动路线截该正四棱柱，则所得截面的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，把正四棱柱的侧面展开图可得最短距离， （1）  ，（2）  ，（3）   （1），（2），（3）， 所以质点从到的最短距离为， 此时质点从点出发，经过上靠近的三等分点，再到达点， 面截正四棱柱所得截面为五边形，如图， 由，， 所以沿质点的最短运动路线截正四棱柱，    则所得截面的面积为： ． 故选：B 36．如图，在正三棱柱中，，，，分别为棱，，的中点，过，，三点作正三棱柱的截面，则截面与侧面的交线长为 .    【答案】 【详解】如图，延长交的延长线于，连接交于，连接.    因为面，，所以面，又面，所以面， 所以为截面与侧面的交线. 取中点，连接，则，且, 易知，所以，所以为的中点， 所以，则. 故答案为：. 题型七：异面直线所成的角 37．如图所示，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且.已知，则线段的长为（    ） A． B．4 C．6或 D．4或 【答案】C 【详解】过作直线，使得，在直线上取，连接，如下图： 因为，且，所以， 因为，，设，所以， 因为，且，所以，，则， 由图可知，则， 因为异面直线所成的角为，且，所以或， 当时，在中，由余弦定理可得，则， 在中，，解得； 当时，在中，由余弦定理可得，则， 在中，，解得. 故选：C. 38．已知圆柱的母线长为2，底面的半径为，四边形为其轴截面，若点为下底面圆弧的中点，则异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】连接， 与所成角即为或其补角. 为圆弧的中点，，又. 又为等边三角形，. 与所成角为. 故选：D. 39．在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，取的中点，连接分别为的中点， 所以，故. 所以四边形是平行四边形，所以，故（或其补角）就是异面直线与所成的角. 设正方体的棱长为2，则，所以. 又，所以在中，有. 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 40．在四面体ABCD中，，，，M，N分别为棱AB，CD所在直线的点，则线段长度的最小值为 ． 【答案】3 【详解】如图，将四面体放入长方体中，分别为矩形的中心， 设，，， 则，，， 得，，． 由图易知直线与异面，则线段长度的最小值即为求两异面直线距离， 即长方体的二平行平面间的距离. 故答案为：3 41．在三棱锥中，底面是等边三角形，侧面是等腰直角三角形，，，分别取的中点，连接，则直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】作的中点，连接， 因为，所以或其补角为异面直线所成的角， 由已知得，则，所以， 所以，又，， 所以为等腰三角形，所以， 因为，所以， 在中，由余弦定理可知. 故选：B. 42．榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，通过将连接部分紧密拼接，使整个结构能够承受较大的重量，并具有优异的抗震能力.其中，木楔子的运用极大地增加了榫卯连接的牢固性.木楔子是一种简单的机械工具，用于填充器物的空隙，使其更加稳固.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形是正方形，，且，均为正三角形，，则与所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图，取的中点，连接， 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以， 同理可得，所以为异面直线与所成的角或其补角， ，，即， 所以，即与所成角的大小为， 故选：A. 题型八：直线与平面平行的判定 43．如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，是棱上的一个动点，为的中点，为的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求证：平面； (3)若，为的重心，证明平面. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析 【详解】（1）由已知四边形为菱形，又为的中点，所以为的中点， 又为的中点，所以，又平面，平面， 所以平面.    （2）过作交于，连接，. 因为，平面，平面，所以平面， 因为底面是菱形，是的中点，又因为为的中点，所以为的中点， 因为，，所以为的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. 又，平面，所以平面平面，又平面，所以平面. （3）连接，并延长，交于点，连接， 因为为的重心，所以为中点，且.又，所以. 所以，所以，又平面，平面， 所以平面. 44．如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，为棱上一点，且.    (1)求证：平面； (2)若，求绕直线旋转一周所得几何体的表面积. 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）因为，则，连接，因为，则， 可得，且平面平面，所以平面. （2）因为四边形是等腰梯形，，所以， 又因为，可知，所以， 且，即， 在平面中，作，垂足分别为，    则，， 又因为，则，可得， 所以绕直线旋转一周所得几何体的表面积是两个底面半径均为，高均为的圆锥的侧面积之和， 故所得几何体的表面积为. 45．如图，在直三棱柱中，为的中点.    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）连接，设，连接，    在直三棱柱中，四边形为平行四边形，则为的中点， 又因为为的中点，则，因为平面平面，因此平面. （2）因为平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以.在中，为的中点，， 所以.因此. 46．如图，三棱柱中，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)若点在线段上，且平面，求证：点为中点. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1） 证明：取的中点，连接，在三棱柱中， 因为分别为的中点，则，且，为的中点， 则，且，则且， 则四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，则平面. （2） 证明：分别取的中点，连接， 设，则，且，则则四点共面， 因为，又平面，平面 则平面，又平面，平面，则平面，又，则平面平面，又平面， 则平面，又平面平面， 平面平面，则， 又为的中点，则为的中点. 47．如图，四棱锥中，底面为梯形，，点在棱上. (1)求证：平面； (2)若平面，探索平面的哪条线与平行，做出此线，并求的值. 【答案】(1)证明见解析(2)，证明见解析， 【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面； （2）连接交于，连接， 因为平面，且平面，平面平面， 所以，则，可得， 又因为，可知，则，因此，. 48．已知正四面体，M，N分别在棱上，且，，P为棱AC上任意一点（P不与A重合）． (1)求证：直线平面； (2)若正四面体的各棱长均为6．求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析(2)． 【详解】（1）∵，∴，∵， ∴，又平面，平面，∴平面． （2）设G为底面的重心，Q为AC的中点，如图所示 则，，， 所以． 由（1）可知，且平面，平面，故平面， 所以点M与点N到平面的距离相等， 所以三棱锥的体积与三棱锥的体积相等， 又三棱锥的体积与三棱锥的体积相等， 所以， 所以三棱锥的体积为． 题型九：平面与平面平行的判定 49．如图，在正方体中，为的中点. (1)求证：平面； (2)若为的中点，求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1）如图：连接BD，设，连接OM， ∵在正方体中，四边形是正方形，是中点， 是的中点，，平面，平面，平面. （2）如图：连接，NB， 为的中点，为的中点， ，又，∴四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面 由（1）知平面，，平面，平面， ∴平面平面. 50．如图，在三棱柱中，侧面为矩形，M，N分别为AC，的中点．求证：平面平面； 【答案】证明见解析 【详解】因为M，N分别为侧面为矩形的边，的中点， 所以，即四边形是平行四边形， 所以，因为， 所以，即四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为M，N分别为侧面为矩形的边，的中点， 所以，即四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，且，平面，平面， 所以平面平面； 51．如图，已知三棱柱中，与交于点为边上一点，为中点，且平面.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【详解】由题意，因为平面，且平面又因为平面平面， 所以由线面平行的性质得.又因为点为的中点，所以为的中点，即， 因为为的中点，即，又因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面， 所以平面，又平面，，平面，平面， 所以平面平面. 52．如图，四边形与均为平行四边形，，，分别是，，的中点．求证：平面平面．    【答案】证明见解析 【详解】因为，分别为平行四边形的边，的中点，所以, 又平面，平面，所以平面, 又为的中点，为的中点，所以为的中位线，所以． 因为平面，平面， 所以平面，又，面， 所以平面平面.    53．如图，直棱柱中，底面为梯形，，且分别是棱，的中点.证明：平面平面； 【答案】证明见解析 【详解】在中，分别为的中点，则， 而平面平面，因此平面， 又，而， 于是且，四边形为平行四边形，则， 又平面平面，因此平面. 而为平面中两相交直线，所以平面平面. 54．如图，梯形是圆台的轴截面，E，F分别在底面圆，的圆周上，EF为圆台的母线，，已知，，G，H分别为，的中点. (1)证明：平面平面. (2)若三棱锥的体积为，求圆台的侧面积. 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）∵在梯形中，，，∴， 又G为的中点，∴，∴， 故四边形为平行四边形，∴.又平面，平面， ∴平面.∵分别是，的中点，∴. 又平面，平面，∴平面. 又，平面，平面，∴平面平面. （2）设由（1）可知，则为三棱锥的高h. 故，由，可得，∴. 又∵，，∴. 故，∴. 在中，. 故圆台的侧面积. 题型十：直线与平面垂直的判定 55．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面为与的交点． (1)证明：直线平面． (2)若，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）底面为菱形，平面平面， 又平面，平面． （2）． 在中，，因为平面， 所以三棱锥的体积． 56．阳马是我国古代数学对有一侧棱垂直于底面且底面是矩形的四棱锥的统称.如图所示，阳马中，平面，，相交于点，且，，，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）因为，分别为，的中点，所以， 因为平面，所以平面，平面，所以， 因为，分别为，的中点，所以，由得， 又且平面，所以平面， 又，所以平面； （2）因为平面，所以为三棱锥的高， 由，，知，， 则， 所以三棱锥的体积. 57．如图，在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，其中，，为棱上一动点． (1)若为中点，求证：平面； (2)若是棱上靠近的三等分点，求直线和平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【详解】（1）因为，， 所以余弦定理可得， 所以，即， 又平面，平面，故， 平面，故平面，又平面，故, 是中点，故，又平面， 故平面. （2）由（1）知，为中点时，平面，此时， 所以当是棱上靠近的三等分点时，是直线和平面的夹角，且， 所以由余弦定理可得， 所以直线和平面夹角正弦值为. 58．已知三棱锥中，与底面所成角相等，，为中点，点在上且截面.    (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）与底面成相等的角，设点在平面上射影为， 则有，∴且，∴是的外心. 是直角三角形，且是斜边的中点，∴点和点重合，∴平面. （2）法一：由（1）平面，平面，则， 又，，平面， ∴平面，又平面，则①. 且，又， 也是等腰直角三角形，，， 截面，过的平面与平面交于， ，则②， 由①②，都在面内，则平面， ∴点到平面的距离即， ，且由知是中点，∴.点到平面的距离为. ∴平面，∴到平面的距离即为点到面的距离，即为.    法二：截面，过的平面与平面交于， ∴，是中点，则是中点，故， 由（1）平面，又平面， ∴，又，，平面， ∴平面，平面，，且，， ∵，因为是中点，平面，所以点到平面的距离为， 设点到面的距离为，，∴，故， ∵平面，∴到平面的距离即为C点到面的距离，即为. 59．如图，在四棱锥中，平面，底部为菱形，E为的中点. 求证：平面；    【答案】证明见解析 【详解】因为平面，平面，所以， 因为底面是菱形，所以，因为，平面， 所以平面. 60．如图，直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，点，分别是，的中点． (1)若平面，求长度； (2)证明：平面； 【答案】(1)(2)证明见解析 【详解】（1）解：因为平面，即平面，又平面，所以, 设，则，又，解得； （2）如图所示： 取线段AB的中点F，连接EF，FD，因为E，D为中点，所以，， 又平面，平面，所以平面， 又，所以，同理平面，又，所以平面平面， 又平面，所以平面. 题型十一：面面垂直判定定理的应用 61．在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，底面，若为的中点，分别是的中点.    (1)证明：平面； (2)若为线段上的动点，探究平面与平面是否垂直，如果垂直请证明；如果不垂直，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)平面与平面垂直，证明见解析 【详解】（1）连接，如图，    因为分别是的中点，所以，又平面，平面，所以平面. （2）平面与平面垂直，证明如下： 因为底面，底面，所以， 又，平面，所以平面，又平面，所以， 因为为的中点，所以，又平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 62．如图，正三棱柱中，，点为的中点. (1)证明：平面平面 (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析(2)存在， 【详解】（1）在正三棱柱中，因为点为的中点，则， 又平面，平面，则有， 而，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面， （2）在平面内过点作交于点， 因为平面平面，平面，所以平面，则点即为所要找的点， 如下图所示，因为，，所以与相似， 因此， 即有，于是，，所以. 63．如图，棱长1的正方体．    (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)(2)证明见解析 【详解】（1）由正方体的棱长为1，可得 的面积为 ，所以； （2）连接，如图所示：   ， 由平面 ，又平面，∴， 又正方形中，， 且， 且平面，平面，∴平面， 又平面， 所以，平面平面. 64．如图，在三棱锥中，为的中点，平面平面是等腰直角三角形，.证明：. 【答案】证明见解析 【详解】证明：因为是等腰直角三角形，为的中点， 所以， 平面，又因为平面平面，平面平面， 所以平面，因为平面，所以， 又为的中点，所以是等腰三角形，所以. 65．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，是边长为2的等边三角形，. 证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【详解】取的中点，连接，. 因为底面为菱形，是边长为2的等边三角形，则，，， 所以为等边三角形，因为为的中点，所以，. 因为是边长为2的等边三角形，所以， 又，则，所以.又，平面， 所以平面，因为平面，所以平面平面. 66．如图，在斜三棱柱中，侧面是菱形，，在平面中，，且. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【详解】（1）如图所示，取中点，连接，， 由四边形为菱形，且，得，， 又，，，，， 又，且，平面，平面，平面，平面平面. （2）如图所示，过点作，垂足，连接， 由（1）得平面平面，平面平面，，平面， ∴平面.∵平面,，. 又，平面，且，平面.∵平面， 平面平面，所以即为直线与平面所成角， 又，， ，即直线与平面所成角的正弦值为. 2 / 42 2 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十一章 立体几何初步（压轴题专练） 题型一：与直观图还原有关的计算问题 1．若平行四边形是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图.已知，平行四边形的面积为8，则原平面图形中的长度为 . 2．如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中 以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体体积为（   ）    A． B． C． D． 3．已知水平放置的正方形的边长为，利用斜二测画法绘制该正方形在水平平面内的直观图四边形，则（    ） A．的最小值小于 B．的最大值小于 C．的最小值大于 D．的最大值大于 4．如图，四边形的斜二测直观图为平行四边形，已知，则该图形的面积为（    ） A． B． C． D． 5．如图，为水平放置的的直观图，的面积为，那么的面积为（    ）    A． B． C． D． 6．水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 题型二、简单几何体的表面展开与折叠问题 7．如图，棱长为1的正方体中，为线段的中点，、分别为线段和棱上任意一点，则的最小值为 . 8．正方体的棱长为是面内一动点，且是棱上一动点，则周长的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 9．如图，在棱长为2的正方体中，点M为线段上的动点，则取得最小值 ．当M为线段中点时，平面截正方体所得的截面面积为 ．    10．如图所示，在三棱柱中，平面，，，M为的中点，P是棱上的点，且，则由P沿棱柱侧面到M的最短路线长为 . 11．几何体是由一个正方体切剖一个角得到的，其直观图如图所示．已知，M是上一动点．则的最小值为 ． 12．在正方体中，为棱的中点，分别为上的动点，则的最小值为 ． 题型三：点线共面 13．如图所示，在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，则下列说法正确的个数为（    ） ①，，，四点共面； ②平面； ③与的交点一定在直线上. A．0 B．1 C．2 D．3 14．如图，已知直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，分别为，的中点．    (1)求证：直线、、交于一点； (2)若，求多面体的体积． 15．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC、BD的交点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是（    ）    A．C1、O、A、M四点共面 B．直线C1O与直线A1C为异面直线 C．直线A1A与直线OM相交 D．D1、D、O、M四点共面 16．如图，在正方体中，E，F分别是上的点，且.    (1)证明：四点共面； (2)设，证明：A，O，D三点共线. 17．如图，在正方体中，，分别是的中点，则（  ）    A．四点，，，共面 B．∥ C．与平面相交 D．若，则正方体外接球的表面积为 18．如图，在直三棱柱中，D，F分别是AB，的中点． (1)若E为CD的中点，O为侧面的中心，证明：四点共面． (2)若，，，侧面为菱形，求三棱锥的体积． 题型四：三点共线 19．如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且. (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线. 20．如图所示，在正方体中，E，F分别是的中点． (1)求证：三线交于点P； (2)在（1）的结论中，G是上一点，若FG交平面ABCD于点H，求证：P，E，H三点共线． 21．在如图所示的七面体中，四边形为边长为2的正方形， 平面，，且，，，分别是，，的中点. (1)求点到平面的距离； (2)若直线交于点，直线交平面于点，证明：，，三点共线. 22．以下四个命题中，不正确的命题是（    ） A．不共面的四点中，其中任意三点不共线 B．若点共面，点共面，则共面 C．若直线共面，直线共面，则直线共面 D．依次首尾相接的四条线段必共面 23．如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C与截面DBC1交于O点，AC，BD交于M点，求证：C1，O，M三点共线． 24．如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．    题型五：三线共点问题 25．如图，在正方体中，分别是的中点，有四个结论： ①与是异面直线； ②相交于一点； ③过A，M，P的平面截正方体所得的图形为平行四边形； ④过A，M，N的平面截正方体所得的图形为五边形； 其中错误的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 26．如图，在长方体中，，，点，分别是棱的中点． (1)证明：三条直线相交于同一点 (2)求三棱锥的体积． 27． 如图，已知空间四边形，E，F分别是AB，BC的中点，G，H分别在CD和AD上，且满足. 求证： (1)，，，四点共面； (2)，，三线共点． 28．已知三棱锥中，侧棱和底面边长均为6，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且. (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)设直线EH与FG相交于一点P，证明：点P一定在直线BD上； (3)求三棱锥的体积. 29．如图，在三棱锥中，分别是的中点，点在上，点在上，且有.试判定直线的位置关系. 30．已知正方体中，G，H分别是，的中点，求证：，，延长后相交于一点. 题型六：截面问题 31．如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，给出下列四个结论： ①当时，S为四边形； ②当时，S为等腰梯形； ③当时，S的面积为； ④当时，S与的交点R满足.以上结论正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 32．用一个平面去截一个几何体，截面的形状是五边形，则此几何体可能是 （填上所有满足条件的几何体的序号） ①正三棱柱；②正方体；③正三棱锥；④正四棱锥；⑤圆柱；⑥圆锥；⑦圆台 33．在棱长为1的正方体中，E，F分别为棱，的中点，G为棱靠近C点的三等分点，用过点E，F，G的平面截正方体，则截面图形的周长为 . 34．在棱长为的正方体中，点分别为线段的中点，点在线段上，且，则过三点的平面截正方体得到的截面多边形的面积为（    ） A． B． C． D． 35．在正四棱柱中，为线段的中点，一质点从点出发，沿长方体表面运动到达点处，若沿质点的最短运动路线截该正四棱柱，则所得截面的面积为（    ）    A． B． C． D． 36．如图，在正三棱柱中，，，，分别为棱，，的中点，过，，三点作正三棱柱的截面，则截面与侧面的交线长为 .    题型七：异面直线所成的角 37．如图所示，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且.已知，则线段的长为（    ） A． B．4 C．6或 D．4或 38．已知圆柱的母线长为2，底面的半径为，四边形为其轴截面，若点为下底面圆弧的中点，则异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 39．在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 40．在四面体ABCD中，，，，M，N分别为棱AB，CD所在直线的点，则线段长度的最小值为 ． 41．在三棱锥中，底面是等边三角形，侧面是等腰直角三角形，，，分别取的中点，连接，则直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 42．榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，通过将连接部分紧密拼接，使整个结构能够承受较大的重量，并具有优异的抗震能力.其中，木楔子的运用极大地增加了榫卯连接的牢固性.木楔子是一种简单的机械工具，用于填充器物的空隙，使其更加稳固.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形是正方形，，且，均为正三角形，，则与所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 题型八：直线与平面平行的判定 43．如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，是棱上的一个动点，为的中点，为的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求证：平面； (3)若，为的重心，证明平面. 44．如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，为棱上一点，且.    (1)求证：平面； (2)若，求绕直线旋转一周所得几何体的表面积. 45．如图，在直三棱柱中，为的中点.    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 46．如图，三棱柱中，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)若点在线段上，且平面，求证：点为中点. 47．如图，四棱锥中，底面为梯形，，点在棱上. (1)求证：平面； (2)若平面，探索平面的哪条线与平行，做出此线，并求的值. 48．已知正四面体，M，N分别在棱上，且，，P为棱AC上任意一点（P不与A重合）． (1)求证：直线平面； (2)若正四面体的各棱长均为6．求三棱锥的体积． 题型九：平面与平面平行的判定 49．如图，在正方体中，为的中点. (1)求证：平面； (2)若为的中点，求证：平面平面. 50．如图，在三棱柱中，侧面为矩形，M，N分别为AC，的中点．求证：平面平面； 51．如图，已知三棱柱中，与交于点为边上一点，为中点，且平面.求证：平面平面. 52．如图，四边形与均为平行四边形，，，分别是，，的中点．求证：平面平面．    53．如图，直棱柱中，底面为梯形，，且分别是棱，的中点.证明：平面平面； 54．如图，梯形是圆台的轴截面，E，F分别在底面圆，的圆周上，EF为圆台的母线，，已知，，G，H分别为，的中点. (1)证明：平面平面. (2)若三棱锥的体积为，求圆台的侧面积. 题型十：直线与平面垂直的判定 55．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面为与的交点． (1)证明：直线平面． (2)若，求三棱锥的体积． 56．阳马是我国古代数学对有一侧棱垂直于底面且底面是矩形的四棱锥的统称.如图所示，阳马中，平面，，相交于点，且，，，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 57．如图，在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，其中，，为棱上一动点． (1)若为中点，求证：平面； (2)若是棱上靠近的三等分点，求直线和平面夹角的正弦值． 58．已知三棱锥中，与底面所成角相等，，为中点，点在上且截面.    (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离. 59．如图，在四棱锥中，平面，底部为菱形，E为的中点. 求证：平面；    60．如图，直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，点，分别是，的中点． (1)若平面，求长度； (2)证明：平面； 题型十一：面面垂直判定定理的应用 61．在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，底面，若为的中点，分别是的中点.    (1)证明：平面； (2)若为线段上的动点，探究平面与平面是否垂直，如果垂直请证明；如果不垂直，请说明理由. 62．如图，正三棱柱中，，点为的中点. (1)证明：平面平面 (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 63．如图，棱长1的正方体．    (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面平面． 64．如图，在三棱锥中，为的中点，平面平面是等腰直角三角形，.证明：. 65．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，是边长为2的等边三角形，. 证明：平面平面. 66．如图，在斜三棱柱中，侧面是菱形，，在平面中，，且. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 试卷第1页，共3页 2 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$