第十一章 立体几何初步知识归纳与题型突破（单元复习 重点16类题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（人教B版2019必修第四册）

第十一章 立体几何初步知识归纳与题型突破（题型清单） 知识1．用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤 （1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°（或135°），它们确定的平面表示水平面． （2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段． （3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来地一半． 知识2．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 （1）画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可． （2）画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线（与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可），连线成图． （3）擦去辅助线，被遮线用虚线表示． 知识3．斜二测画法保留了原图形中的三个性质 ①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变． 知识4．棱柱的结构特征 1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．在棱柱中，两个相互平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点．棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线．过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面． 2、棱柱的分类：底面是三角形、四边形、五边形、……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 3、棱柱的表示方法： ①用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如下图，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分别表示为、、； ②用棱柱的对角线表示棱柱，如上图，四棱柱可以表示为棱柱或棱柱等；五棱柱可表示为棱柱、棱柱等；六棱柱可表示为棱柱、棱柱、棱柱等． 4、棱柱的性质：棱柱的侧棱相互平行． 知识5．棱锥的结构特征 1、定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面．有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面．各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱； 2、棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥 ……；S S D D C C B B A A E C B A S 3、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥． 知识6．圆柱的结构特征 1、定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴．垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面．平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线． 2、圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆柱 知识7．圆锥的结构特征 1、定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．旋转轴叫做圆锥的轴． 垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线． 2、圆锥的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆锥． 知识8．棱台和圆台的结构特征 １、定义：用一个平行于棱锥（圆锥）底面的平面去截棱锥（圆锥），底面和截面之间的部分叫做棱台（圆台）；原棱锥（圆锥）的底面和截面分别叫做棱台（圆台）的下底面和上底面；原棱锥（圆锥）的侧面被截去后剩余的曲面叫做棱台（圆台）的侧面；原棱锥的侧棱被平面截去后剩余的部分叫做棱台的侧棱；原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分叫做圆台的母线；棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点；圆台可以看做由直角梯形绕直角边旋转而成，因此旋转的轴叫做圆台的轴． 2、棱台的表示方法：用各顶点表示，如四棱台； 3、圆台的表示方法：用表示轴的字母表示，如圆台； （1）棱台必须是由棱锥用平行于底面的平面截得的几何体．所以，棱台可还原为棱锥，即延长棱台的所有侧棱，它们必相交于同一点． （2）棱台的上、下底面是相似的多边形，它们的面积之比等于截去的小棱锥的高与原棱锥的高之比的平方． （3）圆台可以看做由圆锥截得，也可以看做是由直角梯形绕其直角边旋转而成． （4）圆台的上、下底面的面积比等于截去的小圆锥的高与原圆锥的高之比的平方． 知识9．特殊的棱柱、棱锥、棱台 特殊的棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱；垂直于底面的棱柱称为直棱柱；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱；底面是矩形的直棱柱叫做长方体；棱长都相等的长方体叫做正方体； 特殊的棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形，那么这样的棱锥称为正棱锥；侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为正四面体； 特殊的棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台； 知识10．简单组合体的结构特征 1、组合体的基本形式：①由简单几何体拼接而成的简单组合体；②由简单几何体截去或挖去一部分而成的几何体； 2、常见的组合体有三种：①多面体与多面体的组合；②多面体与旋转体的组合；③旋转体与旋转体的组合． ①多面体与多面体的组合体 由两个或两个以上的多面体组成的几何体称为多面体与多面体的组合体．如下图（1）是一个四棱柱与一个三棱柱的组合体；如图（2）是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体；如图（3）是一个三棱柱与一个三棱台的组合体． ②多面体与旋转体的组合体 由一个多面体与一个旋转体组合而成的几何体称为多面体与旋转体的组合体如图（1）是一个三棱柱与一个圆柱组合而成的；如图（2）是一个圆锥与一个四棱柱组合而成的；而图（3）是一个球与一个三棱锥组合而成的． ③旋转体与旋转体的组合体 由两个或两个以上的旋转体组合而成的几何体称为旋转体与旋转体的组合体．如图（1）是由一个球体和一个圆柱体组合而成的；如图（2）是由一个圆台和两个圆柱组合而成的；如图（3）是由一个圆台、一个圆柱和一个圆锥组合而成的． 知识11．几何体中的计算问题 几何体的有关计算中要注意下列方法与技巧： （1）在正棱锥中，要掌握正棱锥的高、侧面、等腰三角形中的斜高及高与侧棱所构成的两个直角三角形，有关证明及运算往往与两者相关． （2）正四棱台中要掌握其对角面与侧面两个等腰梯形中关于上、下底及梯形高的计算，有关问题往往要转化到这两个等腰梯形中．另外要能够将正四棱台、正三棱台中的高与其斜高、侧棱在合适的平面图形中联系起来． （3）研究圆柱、圆锥、圆台等问题的主要方法是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中，易找到所需有关元素之间的位置、数量关系． （4）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开是把立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段之一． （5）圆台问题有时需要还原为圆锥问题来解决． （6）关于球的问题中的计算，常作球的一个大圆，化“球”为“圆”，应用平面几何的有关知识解决；关于球与多面体的切接问题，要恰当地选取截面，化“空间”为平面． 知识12．平面的基本概念 1、平面的概念： “平面”是一个只描述而不定义的原始概念，常见的桌面、黑板面、平静的水面等都给我们以平面的形象．几何里的平面就是从这些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的． （1）“平面”是平的（这是区别“平面”与“曲面”的依据）； （2）“平面”无厚薄之分； （3）“平面”无边界，它可以向四周无限延展，这是区别“平面”与“平面图形”的依据． 2、平面的画法： 通常画平行四边形表示平面． （1）表示平面的平行四边形，通常把它的锐角画成，横边长是其邻边的两倍； （2）两个相交平面的画法：当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，把被遮住的部分的线段画为虚线或者不画； 3、平面的表示法： （1）用一个希腊字母表示一个平面，如平面、平面、平面等； （2）用表示平面的平行四边形的四个字母表示，如平面； （3）用表示平面的平行四边形的相对两个顶点的两个字母表示，如平面或者平面； 4、点、直线、平面的位置关系： （1）点A在直线a上，记作；点A在直线a外，记作； （2）点A在平面上，记作；点A在平面外，记作； （3）直线在平面内，记作；直线不在平面内，记作． 知识13．平面的基本性质 平面的基本性质即书中的三个公理，它们是研究立体几何的基本理论基础． 1、公理1： （1）文字语言表述：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内； （2）符号语言表述：，，，； （3）图形语言表述： 公理1是判断直线在平面内的依据．证明一条直线在某一平面内，只需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内．“直线在平面内”是指“直线上的所有点都在平面内”． 2、公理2： （1）文字语言表述：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面； （2）符号语言表述：、、三点不共线有且只有一个平面，使得，，； （3）图形语言表述： 公理2的作用是确定平面，是把空间问题化归成平面问题的重要依据．它还可用来证明“两个平面重合”．特别要注意公理2中“不在一条直线上的三点”这一条件． “有且只有一个”的含义可以分开来理解．“有”是说明“存在”，“只有一个”说明“唯一”，所以“有且只有一个”也可以说成“存在”并且“唯一”，与确定同义． （4）公理2的推论： ①过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；②过两条相交直线，有且只有一个平面； ③过两条平行直线，有且只有一个平面． （5）作用：确定一个平面的依据． 3、公理3： （1）文字语言表述：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线； （2）符号语言表述：且； （3）图形语言表述： 知识14．点线共面的证明 所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题． 1、证明点线共面的主要依据： （1）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（公理1）；②经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（公理2及其推论）． 2、证明点线共面的常用方法： （1）证明几点共面的问题可先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证明其余各点都在这个平面内； （2）证明空间几条直线共面问题可先取两条（相交或平行）直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平面内． 知识15．证明三点共线问题 所谓点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同—条直线上． 1、证明三点共线的依据是公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．也就说一个点若是两个平面的公共点，则这个点在这两个平面的交线上． 对于这个公理应进一步理解下面三点：①如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线；②如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线；③如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上． 2、证明三点共线的常用方法 方法1：首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点．根据公理3知，这些点都在交线上． 方法2：选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在其上． 知识16．证明三线共点问题 所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点． 1、证明三线共点的依据是公理3． 2、证明三线共点的思路：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题． 知识17．异面直线 1、定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． 2、画法： 3、两异面直线所成角的常用方法 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 知识18．空间两条直线的位置关系 位置关系 共面情况 有无公共点 相交 在同一平面内 有且只有一个公共点 平行 在同一平面内 没有公共点 异面 不同在任何一个平面内 没有公共点 知识19．直线与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线a在平面α内 有无数个公共点 直线a与平面α相交 有且只有一个公共点 直线a与平面α平行 无公共点 知识20．平面与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两平面平行 无公共点 两平面相交 有无数个公共点，这些点在一条直线上 知识21．平行线的传递性 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 符号表示：a∥b，b∥c⇒a∥c． 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 文字语言：直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．简记为：线线平行，则线面平行． 图形语言： 符号语言：、，． （1）用该定理判断直线a与平面平行时，必须具备三个条件： ①直线a在平面外，即；②直线b在平面内，即；③直线a，b平行，即a∥b． 这三个条件缺一不可，缺少其中任何一个，结论就不一定成立． 知识22．两平面平行的判定 文字语言：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． 图形语言： 符号语言：若、，，且、，则． （1）定理中平行于同一个平面的两条直线必须是相交的． （2）定理充分体现了等价转化的思想，即把面面平行转化为线面平行，可概述为：线面平行面面平行． 知识23．判定平面与平面平行的常用方法 1、利用定义：证明两个平面没有公共点，有时直接证明非常困难，往往采用反证法． 2、利用判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行于另一个平面，于是这两个平面平行，或在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行． 3、平面平行的传递性：即若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面互相平行． 知识24．直线和平面平行的性质 文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．简记为：线面平行则线线平行． 符号语言：若，，，则． 图形语言： 直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行，则线线平行”．可以用符号表示：若a∥，，，则a∥b．这个性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理，用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：（1）直线a和平面平行，即a∥；（2）平面和相交，即； （3）直线a在平面内，即．三个条件缺一不可，在应用这个定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内一切直线”的错误． 知识25．平面和平面平行的性质 文字语言：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 符号语言：若，，，则． 图形语言： （1）面面平行的性质定理也是线线平行的判定定理． （2）已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线（否则将导致这两个平面有公共点）． 知识26．异面直线所成的角 （1）定义：已知两条异面直线，，经过空间任一点作直线，，则与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）． （2）异面直线所成的角的取值范围：． （3）如果两条异面直线，所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作． 知识27．直线与直线垂直的定义 两条直线垂直的定义：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直． 空间中两直线垂直可能是相交垂直，也可能是异面垂直，即两条直线互相垂直时可能没有垂足． 直线与平面垂直的定义与判定 1、直线和平面垂直的定义 如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作．直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离． （1）定义中的“任何直线”与“所有直线”是同义语，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直． （2）直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式． （3）如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直，简述之，即“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法．画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示．符号语言描述：． （4）在平面几何中，我们有命题：经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，在本节中，也有类似的命题． 命题1：过一点有且只有一条直线和已知平面垂直．命题2：过一点有且只有一个平面和已知直线垂直． 2、直线和平面垂直的判定定理 文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 图形语言： 符号语言： 特征：线线垂直线面垂直 （1）判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视． （2）要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要． 相关的重要结论 ①过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条． ②如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直． ③如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直，那么另一个也与这条直线垂直． 知识28．直线与平面所成的角 （1）如图，一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． （2）一条直线垂直于平面，称它们所成的角是直角；一条直线在平面内或一条直线和平面平行，称它们所成的角是的角，于是，直线与平面所成的角的范围是． 知识29．直线与平面垂直的性质 1、基本性质 文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线． 符号语言： 图形语言： 2、性质定理 文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．符号语言： 图形语言： 知识30．平面与平面垂直的定义与判定 1、平面与平面垂直定义 定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直． 表示方法：平面与垂直，记作． 画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直．如图： 2、平面与平面垂直的判定定理 文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 符号语言： 图形语言： 特征：线面垂直面面垂直 平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直．通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”．因此，处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题．以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面内的一条直线垂直即可． 知识31．平面与平面垂直的性质 1、性质定理 文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 符号语言： 图形语言： 面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到．这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法． 2、平面与平面垂直性质定理的推论 如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内． 题型一：几何体的直观图画法 1．若把一个高为10cm的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应画成（    ）． A．平行于轴且大小为10cm B．平行于轴且大小为5cm C．与轴成且大小为10cm D．与轴成且大小为5cm 【答案】A 【详解】平行于z轴（或在z轴上）的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致， 所以圆柱的高应画成平行于轴且大小为10cm. 故选：A 2．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m、5 m、10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶1 000的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为（　　） A．4 cm，1 cm，2 cm，1，6 cm B．4 cm，0，5 cm，2 cm，0，8 cm C．4 cm，0，5 cm，2 cm，1，6 cm D．2 cm，0，25 cm，1 cm，0，8 cm 【答案】D 【详解】由比例可知，所画长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为2cm，0.5cm，1cm和0.8cm， 又因为斜二测画直观图的画法： 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于，保持长度不变； 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，长度变为原来的一半； 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，保持长度不变. 所以该建筑物按的比例画出它的直观图， 直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为2cm，0.25cm，1cm和0.8cm． 故选：D. 巩固训练 3．已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20m，5m，10m，四棱锥的高为8m．如果按的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为（    ） A．4cm，1cm，2cm，1.6cm B．4cm，0.5cm，2cm，0.8cm C．4cm，0.5cm，2cm，1.6cm D．4cm，0.5cm，1cm，0.8cm 【答案】C 【详解】由比例可知，所画长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4cm，1cm，2cm和1.6cm， 又因为斜二测画直观图的画法： 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于，保持长度不变； 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，长度变为原来的一半； 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，保持长度不变. 所以该建筑物按的比例画出它的直观图的相应尺寸分别为4cm，0.5cm，2cm和1.6cm． 故选：C. 4．下列空间图形画法错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】D选项：遮挡部分应画成虚线． 故选:D. 题型二：与直观图还原有关的计算问题 5．如图，是水平放置的的直观图，，则在原平面图形中，有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】如图所示，在直观图中，过作于， . 又， 所以利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形，如图： 那么有，故选项B正确； 又因为，故选项A､C错误； 而，故选项D正确. 故选：BD. 6．如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中2，则原图形是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【答案】C 【详解】因为矩形中， 所以直观图还原得， 四边形为平行四边形，， 则，所以， ， ， 所以，故原图形为菱形. 故选：C. 巩固训练 7．如图是一个水平放置的平面图形的直观图，它是一个底角为，腰和上底均为1，下底为的等腰梯形，那么原平面图形的面积为 .    【答案】 【详解】平面图形的直观图是一个底角为，腰和上底长均为1的等腰梯形， 平面图形为直角梯形，且直角腰长为2，上底边长为1， 梯形的下底边长为平面图形的面积. 故答案为：. 8．如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由斜二测画法规则知，正方形的原实际图形是平行四边形， 如图，其中， 因此有， 所以原图形的周长为. 故选：B. 题型三：简单几何体的结构特征 9．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（    ） A．四棱台 B．四棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱 【答案】C 【详解】记水面与三棱柱四条棱的交点分别为，如图所示， 由三棱锥性质可知，和是全等的梯形， 又平面平面， 平面分别与平面和相交于， 所以，同理， 又，所以互相平行， 所以盛水部分的几何体是四棱柱. 故选：C 10．如图，是长方体的一条棱，这个长方体中与平行的棱的条数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】长方体中与平行的棱分别是共3条. 故选：A. 巩固训练 11．已知正四棱台中，的中点为，若，则正四棱台的上、下底面边长之比为 ． 【答案】/ 【详解】如图，设正四棱台的高为，，    则， 因为的中点为， 所以， 又， 所以，解得，所以， 故正四棱台上、下底面的边长之比为． 故答案为：. 12．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻空间的弯白性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定:多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，正四面体在各顶点的曲率为 ;若某多面体满足:顶点数一棱数面数.该多面体的总曲率为 . 【答案】 【详解】（1）正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是， 所以正四面体在各顶点的曲率为. （2）设多面体的顶点数为，棱数为，面数为， 每个面分别记为边形， 则所有面角和为， 则多面体的总曲率为， 故答案为：（1）（2） 题型四：几何体中的基本计算 13．如图，正方体的棱长为2，若，分别是线段，的中点，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】 连接，由为 的中点，可得为 的中点, 又是线段的中点， 所以， 故答案为： 14．在棱长为1的正方体中，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图，连接，由正方体的性质可得，， 故到的距离为， 故选：C. 巩固训练 15．在长方体中，若，则它的体对角线 . 【答案】 【详解】因为在长方体中，是共顶点的三条棱， 又， 所以它的体对角线. 故答案为：. 16．如图所示，在棱长为2的正方体中，点在该正方体的表面上运动，且，记点的轨迹长为，则 ， .    【答案】 【详解】当时，点P在正方体表面正方形上动动， 其轨迹是以B为圆心，2为半径的三段弧，； 当时，点P在正方体表面正方形上运动， 记该点为，若其在正方形内时，易得，得， 因此点的轨迹为正方形内以为圆心，2为半径的圆弧，弧长为， 同理在正方形内的轨迹长度都为，所以. 故答案为：；    题型五、简单几何体的组合体 17．如图，等腰三角形在平面上方，，若以为旋转轴旋转，形成的旋转体在平面内的投影可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】若以为旋转轴旋转，形成的旋转体是一个由两个相同的圆锥底面重合形成的组合体，如图所示： 若，则旋转体在平面内的投影如选项D所示； 若，则旋转体在平面内的投影为正方形； 若与所成的角在时，则旋转体在平面内的投影如B所示； 若与所成的角在时，则旋转体在平面内的投影如A所示； 所以综上可知ABD有可能是旋转体在平面α内的投影. 故选：ABD． 18．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点在同一个平面内，如果是边长为的正方形，则这个八面体的外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设，八面体有外接球，且关于面对称， 则球体半径必为正方形对角线的一半，为2， 所以这个八面体的外接球的表面积为. 故选：A 巩固训练 19．如图，圆台内有一个表面积为1的球，该球与圆台的侧面和底面均相切，则该圆台的表面积的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不妨设圆台的下底面半径为，上底面半径为，球的半径为， 如图，作出圆台的轴截面，过点作于点， 由题意知圆与梯形的四条边均相切，则， 又， 故，化简可得， 设圆台与球的表面积分别为， 则，（，故取不到等号） 故．由于，，都不大于，，故圆台的表面积的可能取值为． 故选：A. 20．在中，，将绕直线旋转一周后，所得几何体的表面积为 . 【答案】 【详解】在中，， 由余弦定理得， 作于，由，得， 绕直线旋转一周后所得几何体是共底面的两个圆锥组合而成，底面圆半径为， 所以所求表面积. 故答案为： 题型六、简单几何体的表面展开与折叠问题 21．如图，是正三棱锥且侧棱长为a，E，F分别是SA，SC上的动点，的周长的最小值为，则侧棱SA，SC的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将三棱锥的侧面沿着剪开，如图所示： 因为的周长的最小值为， 所以当四点共线时，的周长最小，即， 又因为，所以，即， 又因为三棱锥是正三棱锥， 所以，即侧棱SA，SC的夹角为. 故选：A 22．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体为鳖臑. 如图，在鳖臑中，平面，，，，分别为棱上一点，则的最小值为 . 【答案】 【详解】平面，平面，，， ，，平面，平面， 又平面，； 将侧面沿展开，得到展开图如下图所示， 则当，时，取得最小值； ，，，， ，， ， . 故答案为：. 巩固训练 23．如图，在正四棱锥中，是棱上的动点，一只蚂蚁从A点出发，经过E点，爬到C点，则这只蚂蚁爬行的路程的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，如图，将平面和平面展开到同一个平面， 连接，与交于点，则的长就是蚂蚁爬行的路程的最小值， 设，则， 又由得，则， 则有， 故， 则，即这只蚂蚁爬行的路程的最小值是. 故选：C. 24．如图， 四棱锥 截取自边长为1 的正方体.其中 平面且 是线段 上靠近 的三等分点， 是线段 上最靠近 B的四等分点，M，N 分别是棱 和 上的动点且恒有， 垂足为H， 则 的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】先把及展开在一个平面上， 当过点做的垂线垂足为,，当三点共线时即得的最小值， 因为是取自边长为1的正方体，易知，且面，面， 所以， ， ， ， 在，等面积法得， 因为是靠近的三等分点， 所以，所以. 故选：C.    题型七：点线共面 25．如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A：显然、、在正方体的上底面，且三点不共线，不在正方体的上底面， 所以、、、四点不共面，故A错误； 对于B： 如图，，即、、、四点共面，即、、三点共面，且三点不共线， 又平面，所以、、、四点不共面，故B错误； 对于C：显然、、在正方体的下底面，且三点不共线，不在正方体的下底面， 所以、、、四点不共面，故C错误； 对于D： 如图，连接，则，又，所以， 所以、、、四点共面，故D正确. 故选：D 26．下列命题 （1）若空间四点共面，则其中必有三点共线； （2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； （3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； （4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】对于（1），四点共面不一定得到三点共线，比如平面四边形，故（1）错误， 对于（2），若空间四点中有三点共线，则此四点必共面；（2）正确， 对于（3）,若空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面；比如平面四边形，（3）错误， 对于（4），若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 假若其中三个点共线，则第四个点要么与这三点在一条直线上，要么在直线外 ，根据直线和直线外一点可确定一个平面可知，这四点共面，矛盾，故任意三点不共线，（4）正确 故选：B 巩固训练 27．如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 【答案】(1)证明见详解；(2)证明见详解. 【详解】（1）如图，连结.    ∵点分别是的中点，∴.∵四边形为平行四边形，∴， ∴，∴四点共面，即和共面． （2）证明：正方体中，∵点分别是的中点，∴且 ∵四边形为平行四边形，∴，且∴∥且 ∴与相交，设交点为P，∵，平面，∴平面； 又∵，平面，∴平面， ∵平面平面，∴， ∴三线交于点P. 28．下列命题中正确的是（    ） A．两个平面可以有且仅有一个公共点 B．三条相互平行的直线必在同一个平面内 C．两两相交的三条直线一定共面 D．过不在一直线上的三点有且仅有一个平面 【答案】D 【详解】在A中，两个平面有一个公共点时，这两个平面交于一条直线，故A错误； 在B中，在正方体中，AB、DC、三条直线互相平行，但不共面， 故三条互相平行的直线可以在不同的平面内，故B错误； 在C中，在正方体中，两两相交的三条直线AB、AD、不共面， 故两两相交的三条直线不一定共面，故C错误； 在D中，过不在一直线上的三点有且仅有一个平面，定理正确，故D正确.      故选：D. 题型八：三点共线 29．如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. (1)求证：点在直线上； (2)作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹） 【答案】(1)证明见详解(2)图形见详解 【详解】（1）平面平面,由于平面所以平面, 同理平面,所以平面，所以,即点在直线上. （2）如图所示，取的中点，连接，因为，，所以，故共面.则即为所求截面. 30．在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，E是棱PA的中点，F在棱BC上，满足，G在棱PB上，满足D，E，F，G四点共面，则的值为 ． 【答案】/0.75 【详解】 如图，延长DF，交AB的延长线于点Q，连接EQ，EQ与PB的交点即为G. 理由如下：设D，E，F共面，因，则平面， 又因平面，故三点共线，即. 取AB的中点M，连接EM，因，由可得, 因,则,又E是棱PA的中点，则,则得, 故有，又，所以，故． 巩固训练 31．如图，在长方体中，    (1)设AC与BD的交点为O，O必为平面______与平面______的公共点（答案不唯一）； (2)画出平面与平面的交线． 【答案】(1)必为平面与平面的公共点，（答案不唯一）．(2) 【详解】（1）在长方体中， 如图所示：    设与的交点为，必为平面与平面的公共点，（答案不唯一）． （2）如图：平面与平面的交线为． 32．如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，点的位置关系是 ．    【答案】共线 【详解】∵，平面，∴平面， ∵为中点，∴为中点， ∴，平面，∴平面. ∴是平面和平面的公共点； 同理可得，点和都是平面和平面的公共点， ∴三点，，在平面与平面的交线上， 即，，三点共线.      题型九：三线共点问题 33．如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，分别为的中点.在答题卡的图中作出平面截四棱锥所得的截面，写出作法（不需说明理由）；    【答案】答案见解析 【详解】所作截面如图1所示.    作法：延长交于点，连接交于，连接， 延长交于点，连接交于，连接， 则截面是五边形. 理由如下：不妨设截面为，由作法知，,因交于点，则, 因交于，,则，又平面, 故即平面与四棱锥的侧面的交线， 同理可得即平面与四棱锥的侧面的交线, 于是，即平面分别与四棱锥的侧面，的交线, 故可得，截面是五边形. 34．在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且．求证： (1)四边形EFGH为梯形； (2)直线EH，BD，FG相交于一点． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1）由题意，作图如下： 连接、，因为空间四边形中，分别是的中点， 所以，且， 又因为，所以，且，所以，且，故四边形为梯形. （2）由（1）知四边形为梯形，且是梯形的两腰， 所以相交于一点.设交点为，因为平面，所以平面， 同理平面，而平面平面，所以， 故点是直线的公共点，即直线相交于一点. 巩固训练 35．如图，在正四棱台中，分别为棱，，，上的点.已知，，，，正四棱台的高为6.证明：直线，，相交于同一点. 【答案】证明见解析 【详解】在正四棱台中，因为，，，，所以四边形，均为梯形， 则直线与必相交，与必相交. 延长，，，设的延长线与的延长线交于点，的延长线与的延长线交于点． 在正四棱台中，，， 则，，得，所以点重合， 即直线，，相交于同一点. 36．如图，已知分别是正方体的棱、、、的中点，且与相交于点．求证：点在直线上．    【答案】证明见解析 【详解】平面平面， 由于平面，平面， 所以，也即点在直线上.    题型十：截面问题 37．如果棱台的两底面积分别是，，中截面的面积是，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设棱台的高为，棱台上面截去的棱锥的高为， 则，， 所以，即． 故选：A． 38．在三棱台中，截面与底面平行，若，且三棱台的体积为1，则三棱台的体积为（    ） A．5 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】将三棱台补成三棱锥， 因为，所以， 设，三棱锥的体积为，三棱台的体积为b， 则所以．故选：B． 巩固训练 39．已知球O的半径为R，正四棱台ABCD－A1B1C1D1的两底面边长分别为2和4，高为h，则（    ） A．对任意h>0，都存在R>0，使点O到该棱台所有面的距离都等于R B．对任意h>0，都存在R>0，使该棱台的所有顶点都在球O的球面上 C．若点O到该棱台所有面的距离都等于R，则 D．若该棱台所有顶点都在球O的球面上，且，则 【答案】BCD 【详解】 由题意，正四棱台的俯视图如图所示， 若点到棱台所有顶点距离都相同，则点必位于正方形对角线交线的垂线上， 由于可取直线上的任意一点，故B正确； 当时，，则，解得，故D正确； 对选项A，若成立，则取过的剖面图如图所示， 由全等关系可得，， 所以，此时，所以，故A错误，C正确. 故选:BCD 40．用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截得的棱台上、下底面积之比为，已知截去的棱锥的顶点到其底面的距离为3，则棱台的上、下底面的距离为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】D 【详解】∵截去小棱锥的高为3，设大棱锥的高为h， 根据截面与底面为相似多边形，面积比为相似比的平方， 则，∴， ∴棱台的高是，即棱台的上、下底面的距离为3. 故选：D． 题型十一：异面直线所成的角 41．在正方体中，点是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，取中点，连接，取中点，连接， 则， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以或其补角是异面直线与所成角，设正方体棱长为2，则， 在等腰中，是中点，所以， 所以，即异面直线与所成角的正弦值为. 故选：C 42．若为正方体，则异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接，，如下图： 易知，所以为异面直线与所成的角（或其补角）， 易知为等边三角形，所以.故选：A. 巩固训练 43．已知P是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径是1．B、C分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为 ． 【答案】 【详解】 如图，过作交底面圆锥于点，连接， 因为，则为异面直线与所成角， 所以， 又，所以，即， 因为，函数在上单调递减，所以， 故异面直线与所成角的最小值为. 故答案为：. 44．正方体中，、分别为棱和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】异面直线与所成角，即异面直线与所成角. 如图所示，取的中点，连接， 在正方体中，因为是的中点，可得， 所以异面直线与所成的角，即为与所成的角，设， 设正方体的棱长为，可得， 由平面，且平面，可得， 所以， 在直角中，可得， 则. 故选：C 题型十二：直线与平面平行的判定 45．四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则 . 【答案】 【详解】连接BD，交AC于点O，连接OE，由是正方形，得， 在线段PE取点G，使得，如下图所示： 由，得，连接BG，FG，则， 由平面，平面，得平面， 而平面，，平面， 因此平面平面，又平面平面，平面平面，则， 所以.故答案为：. 46．如图，在直三棱柱中，，，为的中点，交于点. (1)异面直线与所成的角为________（填度数）； (2)若三棱柱的体积为6，则棱的长是________； (3)求证：平面. 【答案】(1)(2)3(3)证明见解析 【详解】（1），异面直线与所成的角为,故答案为： （2）由直三棱柱的体积公式可得： ，解得，故答案为：3 （3）因为直三棱柱中，平面为矩形， 所以为的中点，又为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面. 巩固训练 47．已知正方体的棱长为1，P是线段上的一个动点，则三棱锥的体积是否为定值？ 请说明理由    【答案】是定值，理由见解析 【详解】    根据正方体的性质可知，，且， 所以，四边形为平行四边形，则. 因为平面，平面，所以，平面. 又，所以点到平面的距离为定值.又的面积确定，， 所以，三棱锥的体积为定值. 48．如图，在直三棱柱中，，，点分别为棱，，的中点，且，点在线段上（包含端点）运动，则（    ） A．直线与直线所成角的余弦值为 B．存在点，使得直线平面 C．点在运动的过程中，三棱锥的体积不变 D．当点为线段的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 【答案】ACD 【详解】对于A，如图①，取的中点，连接，由三棱柱的结构特征可得， 则或其补角为异面直线与所成的角. 由是的中点，，得，是以为斜边的直角三角形， 又，所以是等腰直角三角形， 所以，所以，又，， 所以在中，由余弦定理的推论得， 故直线与直线所成角的余弦值为，故A正确； 对于B，如图②，连接交于点， 则点为的重心，即，连接交于点，连接， 若存在点，使得直线平面，则由线面平行的性质定理得， 因为点分别为线段，的中点， 所以，，由知点为线段的中点， 这与矛盾，故假设不成立， 即不存在点，使得直线平面，故B错误； 对于C，，又， 因为分别为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 则点到平面的距离不变，为定值，即是定值，故C正确； 对于D，如图③，，则，即，即， 又平面平面，且平面平面，平面，所以平面， 当点为线段的中点时，是等腰直角三角形， 把三棱锥补形为棱长为2的正方体， 则线段为三棱锥外接球的直径， 即外接球半径，外接球的表面积，故D正确. 故选：ACD. 题型十三：平面与平面平行的判定 49．在多面体中，已知，且它们两两之间的距离为4.若，则该多面体的体积为（   ）.    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】    如图所示，用一个完全相同的多面体与多面体组合； 因为，所以，又， 则，从而， 因为，，所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面， 同理可得，平面，又，所以平面平面， 所以组合体是一个三棱柱，又两两之间的距离为4， 不妨将三棱柱看作直三棱柱（侧棱与底面垂直）， 所以， 此时三棱柱的高，， 所以， 故选：A. 50．在正方体中，分别为的中点，则过其中三个点的平面被正方体截得的截面可能是（    ） A．菱形 B．矩形 C．五边形 D．正六边形 【答案】BCD 【详解】过点的截面，如图所示，截面为矩形， 过点的截面，如图所示，截面为矩形， 过点的截面，如图所示，截面为正六边形， 过点的截面，如图所示，截面为五边形， 故选：BCD. 巩固训练 51．如图，在棱长为2的正方体中，E、F分别是棱，的中点，M为底面上的动点，若直线平面，则线段的长度的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】设点分别为棱，的中点，连接，可证明点， 事实上，在底面正方形中，可知， 因为平面，平面，所以平面； 在底面正方形中，可知且， 又因为且，所以且， 则四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面； 又因为平面，所以平面平面， 因为平面且平面，所以平面， 因为平面平面且点平面、平面， 所以，即M点的轨迹为线段； 由于正方体棱长为2，故三角形为等腰直角三角形，且为斜边，， 所以当点为的中点时，即时，线段的长度最小且最小值为. 故选：A 52．如图，，若为的中点，为的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【详解】设是的中点，连接， 由于是的中点，所以. 由于平面平面，所以平面. 由于是的中点，所以， 由于平面平面，所以平面. 由于平面，所以平面平面， 由于平面，所以平面. 题型十四：证明两直线垂直 53．如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，点为棱的中点． (1)设平面与直线相交于点，求证：平面； (2)若平面，，，，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析(2)． 【详解】（1）底面为平行四边形，故， 因为，平面，平面，所以平面， 因为平面与平面相交于，平面，所以， 因为不在平面内，平面，所以平面． （2）取中点，连接， 因为，，所以为等边三角形， 所以，且，． 因为平面，平面，所以， 又，平面，故平面， 所以即是直线与平面所成角． 因为，，所以， 所以中，，得，所以直线与平面所成角的大小为． 54．已知正方体的棱长为，为侧面上的动点，为侧面上的动点，则下列结论不正确的是（   ） A．若，则的轨迹长度为 B．若，则到直线的距离的最小值为 C．若，则，且直线平面 D．若，则与平面所成角正弦的最小值为 【答案】BD 【详解】如图：    对于A：因为，所以在以为球心，为半径的球上， 又因为为侧面上的点，所以在球被平面截得的交线上， 因为平面，平面，故, 因为，，所以， 即点的轨迹是在平面内，以为圆心，以为半径的圆的弧， 故的轨迹长度为：，故A正确； 对于B：由A知：点的轨迹是在平面内，以为圆心， 以为半径的圆的一部分，且点到直线的距离为， 所以到直线的距离的最小值为，故B错误；    对于C：如图，因为平面，平面，所以 因为为正方形，所以，平面，平面， ，所以平面，又因为平面， 所以，同理可证：， 平面， 平面，，所以平面， 又因为平面，， 所以平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 同理可证：平面，，平面，平面， 所以平面平面，又平面， 所以平面．故C正确； 对D：设到平面的距离为，则，    因为，，，所以， 又， 因为，所以，解得， 设与平面所成角为，则， 又，所以，故D错误． 故选：BD 巩固训练 55．在棱长为6的正方体中，为的中点，点满足，，，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，平面 D．当，时，三棱锥外接球的表面积为 【答案】ACD 【详解】设，，，，分别为棱，，，，的中点， 当时，点在线段上，平面， 所以平面，又平面，所以，A正确. 当时，点在线段上，，平面， 与平面不平行，所以三棱锥的体积不是定值，B错误. 当时，点在线段上， 因为，分别为棱，的中点，所以,不在平面内，所以平面， 因为，分别为棱，的中点，所以,不在平面内，所以平面， 平面，平面平面，又平面，所以平面，C正确. 当，时，为的中点，如图，三棱锥与三棱柱的外接球相同. 在中，，， 由余弦定理得，所以. 设外接圆的半径为， 在中，由正弦定理得， 故外接圆的半径. 设三棱柱外接球的半径为，由勾股定理得， 则三棱锥外接球的表面积，D正确. 故选：ACD. 56．已知正四棱锥的高为4，棱的长为2，点为侧棱上的一动点，则面积的取小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取中点，连接、、， 因为四棱锥为正四棱锥，所以平面，， 因为为中点，所以， 因为平面，所以，因为，，所以，， 在直角三角形中，当时，最小，为， 当点和点重合时，最大，最大为4，所以， ，所以当时，的面积最小为. 故选：B 题型十五：直线与平面垂直的判定 57．如图，在三棱柱中，侧面均为正方形，，，点D是棱的中点，点O为与交点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【详解】（1）由O是的交点，又为正方形，则O为的中点，又D是中点， 在中，又面面，故平面. （2）三棱柱中，，且， 易知是等腰直角三角形，点D是棱的中点， 所以， 四边形为正方形，，则， 又，而，且，则， 由在面内，则面，面， 所以，而，在面内， 则面，面，故，所以， 由，则，又， 若到平面的距离为d，则，可得. 58．如图，已知三棱柱的底面是正三角形，O为的中心，，E是BC的中点，AE与PQ交于点D．    (1)证明：平面． (2)若，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析(2)24 【详解】（1）连结，交与点，连结， 则，所以为平行四边形，所以， 由为正三角形，则，又，所以， 则，所以为平行四边形， 则，平面，平面，所以平面． （2）过作垂线，垂足为，画出图形，如图.    在等边中，为中点，则，又因为，， 又平面，，所以平面，平面，则， 平面，，所以平面， 又，平面，平面， 所以平面，则为四棱锥的高， 正三角形中，边长为6，则， 在中，，四边形为梯形， 所以四边形的面积为， 所以. 巩固训练 59．正三棱台三侧棱的延长线交于点，如果，三棱台 的体积为， 的面积为，那么侧棱与底面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】过作面于，交面于，连接， 正三棱台三侧棱的延长线交于点，所以三棱锥为正三棱锥， 又因为，则，所以，又 的面积为， 所以，则， 解得，所以，设的边长为，则，解得， 又三棱锥为正三棱锥，所以是的中心， 又易知边上的高线长为，所以， 又面，所以为侧棱与底面所成的角，则， 故选：D. 60．已知四边形是等腰梯形（如图1），，，，.将沿折起，使得（如图2），连结，，设是的中点，下列结论中不正确的是（    ） A． B．点到平面的距离为 C．平面 D．四面体的外接球的体积为 【答案】AC 【详解】对于A，在图1中，过作，如图所示： 因为，所以四边形是矩形，因为，所以， 因为四边形是等腰梯形，，所以， 因为，所以，连接，则， 因为，所以，得，则. 在图2中，因为，，平面，平面， ，所以平面；因为平面，所以. 因为平面，平面，，所以平面， 若，又，平面，平面， ，所以平面， 过一点与垂直的平面有两个，与过一点有且只有一个平面与已知直线垂直矛盾，故A错误； 对于B，由，，得，又， 所以，而， 因为到平面的距离等于到平面的距离， 设点到平面的距离为， 由，得，即h＝，故B正确； 对于C，假设平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面，，所以平面平面， 与已知条件矛盾，故C错误；对于D，连接，如图所示： 因为，为直角三角形，且为的中点， 所以，即为四面体的外接球的球心， 所以四面体的外接球的半径为， 则四面体的外接球体积为：，故D正确. 故选：AC. 题型十六：平面与平面垂直的性质定理的应用 61．已知在四棱台中，平面，底面为菱形，则下列结论正确的是（   ） A．平面平面 B．平面 C．平面平面 D．若向量与在向量上的投影向量分别为，，则 【答案】ACD 【详解】因为平面，平面，所以平面平面，A正确． 若平面，平面，则，因为平面，平面，所以，所以平面，平面，则，显然不成立，B错误． 因为底面为为菱形，所以，因为平面，平面，所以，，所以平面，平面，所以平面平面，C正确， 因为平面，且，，C，四点共面，所以，D正确． 故选：ACD 62．如图，边长为2的正方形所在平面与平面垂直，与的交点为，，且. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见详解；(2) 【详解】（1）由是正方形，则， 因为面面，面面，，面， 所以面，又面，所以， 又因为，平面，平面，所以平面. （2）过作交于，连接， 因为是正方形，则， 因为面面，面面，面， 所以面，又面，所以， 又因为，，面，面，所以面， 所以即为直线与平面所成角， 因为正方形边长为2，，，所以，， 所以，因为， 所以，即直线与平面所成角的大小为. 巩固训练 63．如图，已知三棱柱的底面是正三角形，为的中心，，，是的中点，与交于点． (1)证明：平面． (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见详解(2)证明见详解 【详解】（1） 取的中点，连接， 因为三棱柱的底面是正三角形，是的中点，所以，， 为的中心，在上，且又，， 又与交于点，，，四边形是平行四边形，， 又平面，平面． （2）由（1）知平面即为平面， 三棱柱的底面是正三角形，， 所以，则，又分别是的中点，所以，则， 又，平面，所以平面，又，所以平面，又平面，所以平面平面． 64．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，， (1)设分别为的中点，求证：平面； (2)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1）由题意， 连接，易知，， ∴点为的中点，∵为为的中点，在中，，， 又因为平面，平面，所以平面． （2）由题意证明如下， 取棱的中点，连接， 在等边三角形中，， ∵平面平面，平面平面，所以平面， 又平面，故， 又已知，，平面,所以平面． 2 / 42 2 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十一章 立体几何初步知识归纳与题型突破（题型清单） 知识1．用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤 （1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°（或135°），它们确定的平面表示水平面． （2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段． （3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来地一半． 知识2．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 （1）画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可． （2）画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线（与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可），连线成图． （3）擦去辅助线，被遮线用虚线表示． 知识3．斜二测画法保留了原图形中的三个性质 ①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变． 知识4．棱柱的结构特征 1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．在棱柱中，两个相互平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点．棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线．过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面． 2、棱柱的分类：底面是三角形、四边形、五边形、……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 3、棱柱的表示方法： ①用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如下图，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分别表示为、、； ②用棱柱的对角线表示棱柱，如上图，四棱柱可以表示为棱柱或棱柱等；五棱柱可表示为棱柱、棱柱等；六棱柱可表示为棱柱、棱柱、棱柱等． 4、棱柱的性质：棱柱的侧棱相互平行． 知识5．棱锥的结构特征 1、定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面．有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面．各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱； 2、棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥 ……；S S D D C C B B A A E C B A S 3、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥． 知识6．圆柱的结构特征 1、定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴．垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面．平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线． 2、圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆柱 知识7．圆锥的结构特征 1、定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．旋转轴叫做圆锥的轴． 垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线． 2、圆锥的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆锥． 知识8．棱台和圆台的结构特征 １、定义：用一个平行于棱锥（圆锥）底面的平面去截棱锥（圆锥），底面和截面之间的部分叫做棱台（圆台）；原棱锥（圆锥）的底面和截面分别叫做棱台（圆台）的下底面和上底面；原棱锥（圆锥）的侧面被截去后剩余的曲面叫做棱台（圆台）的侧面；原棱锥的侧棱被平面截去后剩余的部分叫做棱台的侧棱；原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分叫做圆台的母线；棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点；圆台可以看做由直角梯形绕直角边旋转而成，因此旋转的轴叫做圆台的轴． 2、棱台的表示方法：用各顶点表示，如四棱台； 3、圆台的表示方法：用表示轴的字母表示，如圆台； （1）棱台必须是由棱锥用平行于底面的平面截得的几何体．所以，棱台可还原为棱锥，即延长棱台的所有侧棱，它们必相交于同一点． （2）棱台的上、下底面是相似的多边形，它们的面积之比等于截去的小棱锥的高与原棱锥的高之比的平方． （3）圆台可以看做由圆锥截得，也可以看做是由直角梯形绕其直角边旋转而成． （4）圆台的上、下底面的面积比等于截去的小圆锥的高与原圆锥的高之比的平方． 知识9．特殊的棱柱、棱锥、棱台 特殊的棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱；垂直于底面的棱柱称为直棱柱；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱；底面是矩形的直棱柱叫做长方体；棱长都相等的长方体叫做正方体； 特殊的棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形，那么这样的棱锥称为正棱锥；侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为正四面体； 特殊的棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台； 知识10．简单组合体的结构特征 1、组合体的基本形式：①由简单几何体拼接而成的简单组合体；②由简单几何体截去或挖去一部分而成的几何体； 2、常见的组合体有三种：①多面体与多面体的组合；②多面体与旋转体的组合；③旋转体与旋转体的组合． ①多面体与多面体的组合体 由两个或两个以上的多面体组成的几何体称为多面体与多面体的组合体．如下图（1）是一个四棱柱与一个三棱柱的组合体；如图（2）是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体；如图（3）是一个三棱柱与一个三棱台的组合体． ②多面体与旋转体的组合体 由一个多面体与一个旋转体组合而成的几何体称为多面体与旋转体的组合体如图（1）是一个三棱柱与一个圆柱组合而成的；如图（2）是一个圆锥与一个四棱柱组合而成的；而图（3）是一个球与一个三棱锥组合而成的． ③旋转体与旋转体的组合体 由两个或两个以上的旋转体组合而成的几何体称为旋转体与旋转体的组合体．如图（1）是由一个球体和一个圆柱体组合而成的；如图（2）是由一个圆台和两个圆柱组合而成的；如图（3）是由一个圆台、一个圆柱和一个圆锥组合而成的． 知识11．几何体中的计算问题 几何体的有关计算中要注意下列方法与技巧： （1）在正棱锥中，要掌握正棱锥的高、侧面、等腰三角形中的斜高及高与侧棱所构成的两个直角三角形，有关证明及运算往往与两者相关． （2）正四棱台中要掌握其对角面与侧面两个等腰梯形中关于上、下底及梯形高的计算，有关问题往往要转化到这两个等腰梯形中．另外要能够将正四棱台、正三棱台中的高与其斜高、侧棱在合适的平面图形中联系起来． （3）研究圆柱、圆锥、圆台等问题的主要方法是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中，易找到所需有关元素之间的位置、数量关系． （4）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开是把立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段之一． （5）圆台问题有时需要还原为圆锥问题来解决． （6）关于球的问题中的计算，常作球的一个大圆，化“球”为“圆”，应用平面几何的有关知识解决；关于球与多面体的切接问题，要恰当地选取截面，化“空间”为平面． 知识12．平面的基本概念 1、平面的概念： “平面”是一个只描述而不定义的原始概念，常见的桌面、黑板面、平静的水面等都给我们以平面的形象．几何里的平面就是从这些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的． （1）“平面”是平的（这是区别“平面”与“曲面”的依据）； （2）“平面”无厚薄之分； （3）“平面”无边界，它可以向四周无限延展，这是区别“平面”与“平面图形”的依据． 2、平面的画法： 通常画平行四边形表示平面． （1）表示平面的平行四边形，通常把它的锐角画成，横边长是其邻边的两倍； （2）两个相交平面的画法：当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，把被遮住的部分的线段画为虚线或者不画； 3、平面的表示法： （1）用一个希腊字母表示一个平面，如平面、平面、平面等； （2）用表示平面的平行四边形的四个字母表示，如平面； （3）用表示平面的平行四边形的相对两个顶点的两个字母表示，如平面或者平面； 4、点、直线、平面的位置关系： （1）点A在直线a上，记作；点A在直线a外，记作； （2）点A在平面上，记作；点A在平面外，记作； （3）直线在平面内，记作；直线不在平面内，记作． 知识13．平面的基本性质 平面的基本性质即书中的三个公理，它们是研究立体几何的基本理论基础． 1、公理1： （1）文字语言表述：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内； （2）符号语言表述：，，，； （3）图形语言表述： 公理1是判断直线在平面内的依据．证明一条直线在某一平面内，只需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内．“直线在平面内”是指“直线上的所有点都在平面内”． 2、公理2： （1）文字语言表述：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面； （2）符号语言表述：、、三点不共线有且只有一个平面，使得，，； （3）图形语言表述： 公理2的作用是确定平面，是把空间问题化归成平面问题的重要依据．它还可用来证明“两个平面重合”．特别要注意公理2中“不在一条直线上的三点”这一条件． “有且只有一个”的含义可以分开来理解．“有”是说明“存在”，“只有一个”说明“唯一”，所以“有且只有一个”也可以说成“存在”并且“唯一”，与确定同义． （4）公理2的推论： ①过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；②过两条相交直线，有且只有一个平面； ③过两条平行直线，有且只有一个平面． （5）作用：确定一个平面的依据． 3、公理3： （1）文字语言表述：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线； （2）符号语言表述：且； （3）图形语言表述： 知识14．点线共面的证明 所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题． 1、证明点线共面的主要依据： （1）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（公理1）；②经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（公理2及其推论）． 2、证明点线共面的常用方法： （1）证明几点共面的问题可先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证明其余各点都在这个平面内； （2）证明空间几条直线共面问题可先取两条（相交或平行）直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平面内． 知识15．证明三点共线问题 所谓点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同—条直线上． 1、证明三点共线的依据是公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．也就说一个点若是两个平面的公共点，则这个点在这两个平面的交线上． 对于这个公理应进一步理解下面三点：①如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线；②如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线；③如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上． 2、证明三点共线的常用方法 方法1：首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点．根据公理3知，这些点都在交线上． 方法2：选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在其上． 知识16．证明三线共点问题 所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点． 1、证明三线共点的依据是公理3． 2、证明三线共点的思路：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题． 知识17．异面直线 1、定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． 2、画法： 3、两异面直线所成角的常用方法 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 知识18．空间两条直线的位置关系 位置关系 共面情况 有无公共点 相交 在同一平面内 有且只有一个公共点 平行 在同一平面内 没有公共点 异面 不同在任何一个平面内 没有公共点 知识19．直线与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线a在平面α内 有无数个公共点 直线a与平面α相交 有且只有一个公共点 直线a与平面α平行 无公共点 知识20．平面与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两平面平行 无公共点 两平面相交 有无数个公共点，这些点在一条直线上 知识21．平行线的传递性 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 符号表示：a∥b，b∥c⇒a∥c． 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 文字语言：直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．简记为：线线平行，则线面平行． 图形语言： 符号语言：、，． （1）用该定理判断直线a与平面平行时，必须具备三个条件： ①直线a在平面外，即；②直线b在平面内，即；③直线a，b平行，即a∥b． 这三个条件缺一不可，缺少其中任何一个，结论就不一定成立． 知识22．两平面平行的判定 文字语言：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． 图形语言： 符号语言：若、，，且、，则． （1）定理中平行于同一个平面的两条直线必须是相交的． （2）定理充分体现了等价转化的思想，即把面面平行转化为线面平行，可概述为：线面平行面面平行． 知识23．判定平面与平面平行的常用方法 1、利用定义：证明两个平面没有公共点，有时直接证明非常困难，往往采用反证法． 2、利用判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行于另一个平面，于是这两个平面平行，或在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行． 3、平面平行的传递性：即若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面互相平行． 知识24．直线和平面平行的性质 文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．简记为：线面平行则线线平行． 符号语言：若，，，则． 图形语言： 直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行，则线线平行”．可以用符号表示：若a∥，，，则a∥b．这个性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理，用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：（1）直线a和平面平行，即a∥；（2）平面和相交，即； （3）直线a在平面内，即．三个条件缺一不可，在应用这个定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内一切直线”的错误． 知识25．平面和平面平行的性质 文字语言：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 符号语言：若，，，则． 图形语言： （1）面面平行的性质定理也是线线平行的判定定理． （2）已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线（否则将导致这两个平面有公共点）． 知识26．异面直线所成的角 （1）定义：已知两条异面直线，，经过空间任一点作直线，，则与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）． （2）异面直线所成的角的取值范围：． （3）如果两条异面直线，所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作． 知识27．直线与直线垂直的定义 两条直线垂直的定义：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直． 空间中两直线垂直可能是相交垂直，也可能是异面垂直，即两条直线互相垂直时可能没有垂足． 直线与平面垂直的定义与判定 1、直线和平面垂直的定义 如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作．直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离． （1）定义中的“任何直线”与“所有直线”是同义语，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直． （2）直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式． （3）如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直，简述之，即“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法．画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示．符号语言描述：． （4）在平面几何中，我们有命题：经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，在本节中，也有类似的命题． 命题1：过一点有且只有一条直线和已知平面垂直．命题2：过一点有且只有一个平面和已知直线垂直． 2、直线和平面垂直的判定定理 文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 图形语言： 符号语言： 特征：线线垂直线面垂直 （1）判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视． （2）要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要． 相关的重要结论 ①过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条． ②如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直． ③如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直，那么另一个也与这条直线垂直． 知识28．直线与平面所成的角 （1）如图，一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． （2）一条直线垂直于平面，称它们所成的角是直角；一条直线在平面内或一条直线和平面平行，称它们所成的角是的角，于是，直线与平面所成的角的范围是． 知识29．直线与平面垂直的性质 1、基本性质 文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线． 符号语言： 图形语言： 2、性质定理 文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．符号语言： 图形语言： 知识30．平面与平面垂直的定义与判定 1、平面与平面垂直定义 定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直． 表示方法：平面与垂直，记作． 画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直．如图： 2、平面与平面垂直的判定定理 文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 符号语言： 图形语言： 特征：线面垂直面面垂直 平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直．通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”．因此，处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题．以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面内的一条直线垂直即可． 知识31．平面与平面垂直的性质 1、性质定理 文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 符号语言： 图形语言： 面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到．这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法． 2、平面与平面垂直性质定理的推论 如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内． 题型一：几何体的直观图画法 1．若把一个高为10cm的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应画成（    ）． A．平行于轴且大小为10cm B．平行于轴且大小为5cm C．与轴成且大小为10cm D．与轴成且大小为5cm 2．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m、5 m、10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶1 000的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为（　　） A．4 cm，1 cm，2 cm，1，6 cm B．4 cm，0，5 cm，2 cm，0，8 cm C．4 cm，0，5 cm，2 cm，1，6 cm D．2 cm，0，25 cm，1 cm，0，8 cm 巩固训练 3．已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20m，5m，10m，四棱锥的高为8m．如果按的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为（    ） A．4cm，1cm，2cm，1.6cm B．4cm，0.5cm，2cm，0.8cm C．4cm，0.5cm，2cm，1.6cm D．4cm，0.5cm，1cm，0.8cm 4．下列空间图形画法错误的是（　　） A． B． C． D． 题型二：与直观图还原有关的计算问题 5．如图，是水平放置的的直观图，，则在原平面图形中，有（    ） A． B． C． D． 6．如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中2，则原图形是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 巩固训练 7．如图是一个水平放置的平面图形的直观图，它是一个底角为，腰和上底均为1，下底为的等腰梯形，那么原平面图形的面积为 .    8．如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（    ） A． B． C． D． 题型三：简单几何体的结构特征 9．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（    ） A．四棱台 B．四棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱 10．如图，是长方体的一条棱，这个长方体中与平行的棱的条数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 巩固训练 11．已知正四棱台中，的中点为，若，则正四棱台的上、下底面边长之比为 ． 12．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻空间的弯白性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定:多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，正四面体在各顶点的曲率为 ;若某多面体满足:顶点数一棱数面数.该多面体的总曲率为 . 题型四：几何体中的基本计算 13．如图，正方体的棱长为2，若，分别是线段，的中点，则线段的长为 ． 14．在棱长为1的正方体中，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 15．在长方体中，若，则它的体对角线 . 16．如图所示，在棱长为2的正方体中，点在该正方体的表面上运动，且，记点的轨迹长为，则 ， .    题型五、简单几何体的组合体 17．如图，等腰三角形在平面上方，，若以为旋转轴旋转，形成的旋转体在平面内的投影可能是（ ） A． B． C． D． 18．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点在同一个平面内，如果是边长为的正方形，则这个八面体的外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 巩固训练 19．如图，圆台内有一个表面积为1的球，该球与圆台的侧面和底面均相切，则该圆台的表面积的可能取值为（    ） A． B． C． D． 20．在中，，将绕直线旋转一周后，所得几何体的表面积为 . 题型六、简单几何体的表面展开与折叠问题 21．如图，是正三棱锥且侧棱长为a，E，F分别是SA，SC上的动点，的周长的最小值为，则侧棱SA，SC的夹角为（   ） A． B． C． D． 22．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体为鳖臑. 如图，在鳖臑中，平面，，，，分别为棱上一点，则的最小值为 . 巩固训练 23．如图，在正四棱锥中，是棱上的动点，一只蚂蚁从A点出发，经过E点，爬到C点，则这只蚂蚁爬行的路程的最小值是（    ） A． B． C． D． 24．如图， 四棱锥 截取自边长为1 的正方体.其中 平面且 是线段 上靠近 的三等分点， 是线段 上最靠近 B的四等分点，M，N 分别是棱 和 上的动点且恒有， 垂足为H， 则 的最小值为（    ）    A． B． C． D． 题型七：点线共面 25．如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（   ） A． B． C． D． 26．下列命题 （1）若空间四点共面，则其中必有三点共线； （2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； （3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； （4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 巩固训练 27．如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 28．下列命题中正确的是（    ） A．两个平面可以有且仅有一个公共点 B．三条相互平行的直线必在同一个平面内 C．两两相交的三条直线一定共面 D．过不在一直线上的三点有且仅有一个平面 题型八：三点共线 29．如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. (1)求证：点在直线上； (2)作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹） 30．在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，E是棱PA的中点，F在棱BC上，满足，G在棱PB上，满足D，E，F，G四点共面，则的值为 ． 巩固训练 31．如图，在长方体中，    (1)设AC与BD的交点为O，O必为平面______与平面______的公共点（答案不唯一）； (2)画出平面与平面的交线． 32．如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，点的位置关系是 ．    题型九：三线共点问题 33．如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，分别为的中点.在答题卡的图中作出平面截四棱锥所得的截面，写出作法（不需说明理由）；    34．在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且．求证： (1)四边形EFGH为梯形； (2)直线EH，BD，FG相交于一点． 巩固训练 35．如图，在正四棱台中，分别为棱，，，上的点.已知，，，，正四棱台的高为6.证明：直线，，相交于同一点. 36．如图，已知分别是正方体的棱、、、的中点，且与相交于点．求证：点在直线上．    题型十：截面问题 37．如果棱台的两底面积分别是，，中截面的面积是，那么（    ） A． B． C． D． 38．在三棱台中，截面与底面平行，若，且三棱台的体积为1，则三棱台的体积为（    ） A．5 B．8 C．9 D．10 巩固训练 39．已知球O的半径为R，正四棱台ABCD－A1B1C1D1的两底面边长分别为2和4，高为h，则（    ） A．对任意h>0，都存在R>0，使点O到该棱台所有面的距离都等于R B．对任意h>0，都存在R>0，使该棱台的所有顶点都在球O的球面上 C．若点O到该棱台所有面的距离都等于R，则 D．若该棱台所有顶点都在球O的球面上，且，则 40．用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截得的棱台上、下底面积之比为，已知截去的棱锥的顶点到其底面的距离为3，则棱台的上、下底面的距离为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 题型十一：异面直线所成的角 41．在正方体中，点是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 42．若为正方体，则异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 43．已知P是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径是1．B、C分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为 ． 44．正方体中，、分别为棱和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 题型十二：直线与平面平行的判定 45．四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则 . 46．如图，在直三棱柱中，，，为的中点，交于点. (1)异面直线与所成的角为________（填度数）； (2)若三棱柱的体积为6，则棱的长是________； (3)求证：平面. 巩固训练 47．已知正方体的棱长为1，P是线段上的一个动点，则三棱锥的体积是否为定值？ 请说明理由    48．如图，在直三棱柱中，，，点分别为棱，，的中点，且，点在线段上（包含端点）运动，则（    ） A．直线与直线所成角的余弦值为 B．存在点，使得直线平面 C．点在运动的过程中，三棱锥的体积不变 D．当点为线段的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 题型十三：平面与平面平行的判定 49．在多面体中，已知，且它们两两之间的距离为4.若，则该多面体的体积为（   ）.    A． B． C． D． 50．在正方体中，分别为的中点，则过其中三个点的平面被正方体截得的截面可能是（    ） A．菱形 B．矩形 C．五边形 D．正六边形 巩固训练 51．如图，在棱长为2的正方体中，E、F分别是棱，的中点，M为底面上的动点，若直线平面，则线段的长度的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 52．如图，，若为的中点，为的中点，求证：平面. 题型十四：证明两直线垂直 53．如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，点为棱的中点． (1)设平面与直线相交于点，求证：平面； (2)若平面，，，，求直线与平面所成角的大小． 54．已知正方体的棱长为，为侧面上的动点，为侧面上的动点，则下列结论不正确的是（   ） A．若，则的轨迹长度为 B．若，则到直线的距离的最小值为 C．若，则，且直线平面 D．若，则与平面所成角正弦的最小值为 巩固训练 55．在棱长为6的正方体中，为的中点，点满足，，，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，平面 D．当，时，三棱锥外接球的表面积为 56．已知正四棱锥的高为4，棱的长为2，点为侧棱上的一动点，则面积的取小值为（    ） A． B． C． D． 题型十五：直线与平面垂直的判定 57．如图，在三棱柱中，侧面均为正方形，，，点D是棱的中点，点O为与交点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 58．如图，已知三棱柱的底面是正三角形，O为的中心，，E是BC的中点，AE与PQ交于点D．    (1)证明：平面． (2)若，求四棱锥的体积． 巩固训练 59．正三棱台三侧棱的延长线交于点，如果，三棱台 的体积为， 的面积为，那么侧棱与底面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 60．已知四边形是等腰梯形（如图1），，，，.将沿折起，使得（如图2），连结，，设是的中点，下列结论中不正确的是（    ） A． B．点到平面的距离为 C．平面 D．四面体的外接球的体积为 题型十六：平面与平面垂直的性质定理的应用 61．已知在四棱台中，平面，底面为菱形，则下列结论正确的是（   ） A．平面平面 B．平面 C．平面平面 D．若向量与在向量上的投影向量分别为，，则 62．如图，边长为2的正方形所在平面与平面垂直，与的交点为，，且. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 巩固训练 63．如图，已知三棱柱的底面是正三角形，为的中心，，，是的中点，与交于点． (1)证明：平面． (2)证明：平面平面． 64．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，， (1)设分别为的中点，求证：平面； (2)求证：平面； 2 / 42 2 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$