第九章 解三角形知识归纳与题型突破（单元复习 重点9类题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（人教B版2019必修第四册）

第九章 解三角形知识归纳与题型突破（题型清单） 知识1．余弦定理 三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即： 余弦定理的变形公式： 知识2．利用余弦定理解三角形 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角；②已知三角形的三条边，求其三个角． 知识3．正弦定理 正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即： （1）正弦定理适合于任何三角形； （2）可以证明（为的外接圆半径）； （3）每个等式可视为一个方程：知三求一． （4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边． 知识4．解三角形的概念 一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素．任何一个三角形都有六个元素：三边、和三角． 在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形． 有了关于解三角形的有关定理（如勾股定理、三角形的内角和定理、正弦定理，还有即将学习的余弦定理等），三角学特别是测量学得到了一次飞跃，它可以由已知的三角形的边和角来推断未知的边和角． 知识5．正弦定理在解三角形中的应用 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 知识6．利用正、余弦定理解三角形 已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论． 在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类： ①若A为锐角时： 一解一解 两解无解 ②若A为直角或钝角时： 知识7．三角形的形状的判定 特殊三角形的判定： （1）直角三角形勾股定理：，互余关系：，，； （2）等腰三角形，； 用余弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号） （1）在中，； （2）在中，； （3）在中，； 知识8．解三角形应用题的步骤 解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确．其解题的一般步骤是： （1）准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系； （2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型； （3）分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解； （4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题． 知识9．正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角大角对大边 ③合分比： 知识10．内角和定理： ① 同理有：，． ②； ③斜三角形中， ④； ⑤在中，内角成等差数列． 知识11．实际应用 （1）仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）． （2）方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）． （3）方向角：相对于某一正方向的水平角． ①北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）． ②北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． ③南偏西等其他方向角类似． （4）坡角与坡度 ①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）． ②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比． 在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： （1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）代数变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到. 题型一：已知两边及一角解三角形 1．中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】由题意，在中，则，所以， 因为，所以或，又，所以． 故选：A 2．在中，，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．24 D．48 【答案】C 【详解】设，根据余弦定理， 已知，，，代入可得： ，即，解得， 由于，则为直角三角形， 则. 故选：C. 3．在中，，则边上的中线长为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】由余弦定理可得， 由中线长定理知边上的中线长为， 故选：B 巩固训练 4．在中，内角所对的边分别为，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，由正弦定理得， 则， 而，因此， 所以. 故选：B 5．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】D 【详解】因为，，， 所以， 所以. 故选：. 6．在中，三个角所对的边分别是，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，由正弦定理得到，即， 得到，又，所以， 故选：C. 题型二：已知三边解三角形 7．在中，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，已知，，，由余弦定理，得. 故选：A． 8．已知，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由余弦定理得， 因为，所以， 可得. 故选：D. 巩固训练 9．在中，内角、、的对边分别为、、，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【详解】对于A，若，，，由正弦定理可得，得， 得，再根据，可得，得可能是锐角也可能是钝角， 即角有个值，故有两解； 对于B，若，，，由正弦定理可得，得， 得，再根据，可得，只能是锐角，故有一个解； 对于C，若，，， 由正弦定理可得，得，得， 再根据，则只能是锐角，故有一解； 对于D，若，，， 则由正弦定理可得，得，求得，故无解，得不存在. 故选：A． 10．在中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，， 在中，由余弦定理得 ， 在中，由余弦定理得 ， 由，得. 故选：C 题型三：利用余弦定理判断三角形的形状 11．在中，角的对边分别为，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【详解】因为， 所以，且， 所以由余弦定理得，整理得，又， 所以，故是等边三角形. 故选：B. 12．三角形中，内角的对边分别为，若，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【详解】由余弦定理，， 因为，所以. 故选：A 13．在中，分别为内角的对边，如果，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以，由，可知， 所以为钝角三角形， 故选：B 巩固训练 14．已知的三个内角的对边分别为，且满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【详解】由和余弦定理得，， 化简得，， 整理得，，则得，或， 即为等腰或直角三角形. 故选：D. 15．已知的内角的对边分别是，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【详解】因为，所以设， 由余弦定理得， 因为，所以，所以为钝角三角形. 故选：C 16．在中，内角所对边分别为，若，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【详解】因为 所以， 整理得， 即的形状是等腰三角形. 故选：B. 题型四：三角形形状的判断 17．若三角形的三边长分别为，，，则该三角形的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定的 【答案】B 【详解】不妨设中，，， 因为，则， 由余弦定理可得，又， 所以为钝角，故该三角形为钝角三角形. 故选：B 18．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度决定 【答案】A 【详解】设原直角三角形的三边分别为，，（为最大边），则， 设增加同样的长度为， 则新的三角形的三边长为、、，显然为最大边，其对应角最大，设为， 显然，即， 所以， 由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦值， 又，所以，即为锐角，所以新三角形为锐角三角形． 故选：A 19．在中，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【详解】由，得， 由余弦定理得，化简得， 当时，即，则为直角三角形； 当时，得，则为等腰三角形； 综上：为等腰或直角三角形，故D正确. 故选：D. 巩固训练 20．在中，若，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】B 【详解】因为， 所以， 整理得， 所以是等腰三角形. 故选：B. 21．在中，若内角的对边分别为，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【详解】在中，由已知得，所以， 根据余弦定理，得 所以，即， 因此是直角三角形. 故选：B. 22．在中，若，则的形状一定是（　　） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【详解】因为，故， 整理得到， 故，故或， 即或，故的形状为等腰或直角三角形， 故选：D. 题型五：三角形多解问题 23．在中，已知，则此三角形的解的情况是（   ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 【答案】C 【详解】由正弦定理得， 则, 故不存在，即满足条件的三角形不存在． 故选：C 24．已知的内角所对的边分别为，，下面可使得有两组解的的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】要使得有两组解，则，又，得到， 故选：D. 巩固训练 25．由下列条件解，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，由，,由正弦定理可得, 由和可知和只有唯一解，所以只有唯一解，因此A不正确； 对于B，因为，由余弦定理可知只有唯一解， 所以三角形的三个边唯一确定，即只有唯一解，因此B不正确； 对于C，因为，由正弦定理得， 即，又，所以， 所以角只有唯一解，即只有唯一解，因此C不正确； 对于D，因为，由正弦定理得， 所以，又，所以，所以角有两个解，即有两个解，因此D正确. 故选：D. 26．已知中，， ， ，则的解的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】C 【详解】因为，根据正弦定理得，代入得到， 由大边对大角可知，，所以或. 故选：C. 27．已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足下列条件的有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】对于选项A：已知两边及夹角，由三角形全等可知只有一解，故A错误； 对于选项B：由正弦定理可得， 所以无解，故B错误； 对于选项C：由正弦定理可得， 且，则，可知角B有两解，所以有两解，故C正确； 对于选项D：已知三边，根据的取值要么无解，要么只有一解，不可能有两解，故D错误． 故选：C． 28．在中，若，，，则三角形解的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【答案】C 【详解】由题，所以， 又，所以， 所以且由正弦定理， 所以由得或，故三角形解的个数为2. 故选：C. 题型六：三角形边长周长最值与范围问题 29．已知是锐角三角形，角、、 所对的边分别为、、，为的面积，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，由三角形的面积公式和余弦定理可得， 整理可得， 因为，则，可得，所以，， 因为为锐角三角形，则，即，解得， 所以，，则， 所以，. 故选：B. 30．在中，角所对的边分别为，若，且，则周长的最大值为（    ） A． B． C．6 D．9 【答案】D 【详解】在中，由及正弦定理， 得， 而， 则， 而，整理得， 又，解得， 由余弦定理，得 ， 解得，当且仅当时取等号， 所以周长的最大值为9. 故选：D 31．在锐角中，角的对边分别为为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ， ∴，即，为锐角， ∴，又， 由正弦定理可得， 所以 ，其中，， 因为为锐角三角形， 所以，则， 即：， 所以，又， ∴，即， 故的周长的取值范围是. 故选：D. 巩固训练 32．在中，角，，的对边分别为，，，，． (1)求角； (2)若是线段的中点，且，求； (3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由题及正弦定理可知：， ， 又，， ，， ，. （2）由（1）及余弦定理得：，即，① 又因为，则， 所以，② 由得：， 所以． （3）由（1）得，则，即， 由正弦定理可知，， 所以． 因为为锐角三角形，所以，， 即，，则，即， 则，故的周长的取值范围为． 33．在锐角中，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在锐角中，，因为，，， 所以，，解得， 所以，， 而， 所以 可得， 所以由正弦定理可知： ， 因为，所以， 所以，即. 故选：A. 34．已知在中，． (1)求； (2)若是锐角三角形，且，求周长的取值范围． 【答案】(1)(2)． 【详解】（1）由，得， 故， 结合已知得 故， 即，又，所以，所以，故． （2）记内角的对边分别为， 由正弦定理得，所以，．结合， 得 ， 因为是锐角三角形， 所以解得， 所以，故，即．又， 所以周长的取值范围是． 题型七：三角形面积最值与范围问题 35．在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）， ，即， 由正弦定理得：， ， ，，，又，. （2）由正弦定理得：，， ， ，为锐角三角形，，， ，， 即面积的取值范围为. 36．在中，角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求； (2)若，求面积的最大值. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以. （2）因为，所以， 所以，所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为. 37．在中，内角，，的对边分别为，，，． (1)求； (2)若角的平分线交边于点，，求面积的最小值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 则， 即， 又，所以，所以， 又，所以， 所以，所以； （2）如图，由题意及第（1）问知，， 且， ∴， ∴，化简得， ∵，，∴由基本不等式得，∴， 当且仅当时，等号成立， ∴， ∴， 故的面积的最小值为.    巩固训练 38．在中，角所对的边分别为，满足. (1)求的值； (2)当与边上的中线长均为2时，求的周长； (3)当内切圆半径为1时，求面积的最小值. 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 又由，得. 因为，所以； （2）由余弦定理得， 即，① 设的中点为，则， 则， 则，② 由①②得， 联立，解得， 所以，即的周长为； （3）由（1）得， 由内切圆半径为1，得，即， 由余弦定理得，所以， 得，因为，所以， 解得或， 又因为的面积大于其内切圆面积，即， 得，所以， 当且仅当时，的面积取到最小值. 题型八：面积求值问题 39．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)求角C； (2)若的面积为，求AB边上的高． 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）由，结合正弦定理角化边得： 又由，代入，得：，解得：， 再由余弦定理得：， 又因为，所以； （2）由的面积为，则，解得：， 又因为，代入解得：，，代入得，， 所以设边上的高为，则，解得：, 故边上的高为. 40．在中，为钝角，． (1)求； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)；(2)条件选择见解析，. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 则， 整理得，而，则，又， 所以. （2）选择条件①：，则， ， 为钝角，符合题意，而，则存在，此时， 由正弦定理得. 选择条件②：，由余弦定理得， 解得，由为钝角，得，于是， 此时与矛盾，不存在，因此②不可选. 选择条件③：的面积为，则，解得， 由余弦定理得，则， 由为钝角，得，于是，此时，符合题意，存在， 所以. 41． 在中，角所对的边分别为，已知． (1)求证：； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）由可得， 根据正弦定理可得. （2）由可得， 整理可得，即； 解得或； 当时，由，可得，与矛盾，舍去； 可得，代入，可得， 解得，所以； 由可得，即； 所以的面积为 巩固训练 42．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)求B； (2)若，求面积的最大值. 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）∵，∴， ∴， ∴， ∵，∴， ∴，即， ∵，∴. （2）由余弦定理得，，即， ∵，∴，当目仅当时，等号成立， ∴， ∴面积的最大值为. 43．平面四边形中，，，， (1)记，求； (2)求的面积. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由题知，在中， 由正弦定理得，， 即，所以， 在中，， 所以 ， 所以，则. （2）由（1）知，， 又， 所以， 且， 又，所以， 连接， 所以的面积为. 44．在中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)求证：； (2)若，，求的面积. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）利用余弦定理、正弦定理及和角的正弦公式化简即得. （2）由（1）的结论，利用正弦定理、余弦定理及三角形面积公式计算. 【详解】（1）在中，由余弦定理得， 即，整理得， 由正弦定理得，整理得， 所以. （2）由（1）知，， 由余弦定理得，即，解得，， 所以的面积为. 题型九：周长求值问题 45．在中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角； (2)若，且的面积为，求的周长. 【答案】(1)(2)12 【详解】（1）由正弦定理知， 在中，， 所以. 又，，可得， 所以. （2）由题意可知的面积. 因为，所以. 由余弦定理， 可得，即， 所以，所以， 故的周长为12. 46．设的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若的最大值为，求的值． 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）由题设及正弦边角关系，有， 所以， 整理得，即， 显然不合题设，则， 所以，而，可得. （2）由，可得，， 所以， 由（1）知：，则 ， 由，则，又的最大值为， 所以，可得（负值舍）， 综上，. 巩固训练 47．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求的大小； (2)若，且的面积是，求的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为，所以 因为，所以，所以， 所以，即， 所以，又，所以. （2）因为的面积是，所以，解得. 由余弦定理可得，又，即， 则，即，故. 48．的内角的对边分别为，已知． (1)求角； (2)若角的平分线交于点，求的长． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由， 根据正弦定理可得， 则， 所以，整理得， 因为均为三角形内角，所以， 因此，所以． （2）因为是角的平分线，， 所以在和中，由正弦定理可得，， 因此，即，所以， 又由余弦定理可得，即， 解得，所以． 又，即， 即，所以． 2 / 42 2 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第九章 解三角形知识归纳与题型突破（题型清单） 知识1．余弦定理 三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即： 余弦定理的变形公式： 知识2．利用余弦定理解三角形 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角；②已知三角形的三条边，求其三个角． 知识3．正弦定理 正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即： （1）正弦定理适合于任何三角形； （2）可以证明（为的外接圆半径）； （3）每个等式可视为一个方程：知三求一． （4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边． 知识4．解三角形的概念 一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素．任何一个三角形都有六个元素：三边、和三角． 在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形． 有了关于解三角形的有关定理（如勾股定理、三角形的内角和定理、正弦定理，还有即将学习的余弦定理等），三角学特别是测量学得到了一次飞跃，它可以由已知的三角形的边和角来推断未知的边和角． 知识5．正弦定理在解三角形中的应用 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 知识6．利用正、余弦定理解三角形 已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论． 在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类： ①若A为锐角时： 一解一解 两解无解 ②若A为直角或钝角时： 知识7．三角形的形状的判定 特殊三角形的判定： （1）直角三角形勾股定理：，互余关系：，，； （2）等腰三角形，； 用余弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号） （1）在中，； （2）在中，； （3）在中，； 知识8．解三角形应用题的步骤 解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确．其解题的一般步骤是： （1）准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系； （2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型； （3）分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解； （4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题． 知识9．正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角大角对大边 ③合分比： 知识10．内角和定理： ① 同理有：，． ②； ③斜三角形中， ④； ⑤在中，内角成等差数列． 知识11．实际应用 （1）仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）． （2）方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）． （3）方向角：相对于某一正方向的水平角． ①北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）． ②北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． ③南偏西等其他方向角类似． （4）坡角与坡度 ①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）． ②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比． 在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： （1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）代数变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到. 题型一：已知两边及一角解三角形 1．中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D．或 2．在中，，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．24 D．48 3．在中，，则边上的中线长为（    ） A．1 B． C． D．2 巩固训练 4．在中，内角所对的边分别为，已知，则（   ） A． B． C． D． 5．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．16 B．15 C．14 D．13 6．在中，三个角所对的边分别是，若，则（    ） A． B． C． D． 题型二：已知三边解三角形 7．在中，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知，则的面积是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 9．在中，内角、、的对边分别为、、，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．在中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 题型三：利用余弦定理判断三角形的形状 11．在中，角的对边分别为，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 12．三角形中，内角的对边分别为，若，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 13．在中，分别为内角的对边，如果，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能 巩固训练 14．已知的三个内角的对边分别为，且满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 15．已知的内角的对边分别是，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 16．在中，内角所对边分别为，若，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 题型四：三角形形状的判断 17．若三角形的三边长分别为，，，则该三角形的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定的 18．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度决定 19．在中，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 巩固训练 20．在中，若，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 21．在中，若内角的对边分别为，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 22．在中，若，则的形状一定是（　　） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 题型五：三角形多解问题 23．在中，已知，则此三角形的解的情况是（   ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 24．已知的内角所对的边分别为，，下面可使得有两组解的的值为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 25．由下列条件解，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 26．已知中，， ， ，则的解的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 27．已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足下列条件的有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 28．在中，若，，，则三角形解的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 题型六：三角形边长周长最值与范围问题 29．已知是锐角三角形，角、、 所对的边分别为、、，为的面积，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 30．在中，角所对的边分别为，若，且，则周长的最大值为（    ） A． B． C．6 D．9 31．在锐角中，角的对边分别为为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 32．在中，角，，的对边分别为，，，，． (1)求角； (2)若是线段的中点，且，求； (3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围． 33．在锐角中，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 34．已知在中，． (1)求； (2)若是锐角三角形，且，求周长的取值范围． 题型七：三角形面积最值与范围问题 35．在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 36．在中，角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求； (2)若，求面积的最大值. 37．在中，内角，，的对边分别为，，，． (1)求； (2)若角的平分线交边于点，，求面积的最小值． 巩固训练 38．在中，角所对的边分别为，满足. (1)求的值； (2)当与边上的中线长均为2时，求的周长； (3)当内切圆半径为1时，求面积的最小值. 题型八：面积求值问题 39．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)求角C； (2)若的面积为，求AB边上的高． 40．在中，为钝角，． (1)求； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 41． 在中，角所对的边分别为，已知． (1)求证：； (2)若，且，求的面积． 巩固训练 42．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)求B； (2)若，求面积的最大值. 43．平面四边形中，，，， (1)记，求； (2)求的面积. 44．在中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)求证：； (2)若，，求的面积. 题型九：周长求值问题 45．在中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角； (2)若，且的面积为，求的周长. 46．设的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若的最大值为，求的值． 巩固训练 47．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求的大小； (2)若，且的面积是，求的值． 48．的内角的对边分别为，已知． (1)求角； (2)若角的平分线交于点，求的长． 2 / 42 2 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$