第九章 解三角形（单元重点综合测试）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（人教B版2019必修第四册）

第九章 解三角形（单元重点综合测试） （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．△ABC的三个内角、、所对的边分别为、、，若， ，则＝（      ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【详解】由正弦定理得，所以. 故选：B 2．在中，角A，B，C所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】根据正弦定理，得，解得． 故选：A. 3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则外接圆的半径为（   ） A． B． C．8 D． 【答案】A 【详解】解：由正弦定理可知：， 为外接圆的半径，所以. 故选：A 4．在中，，则边上的中线长为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】由余弦定理可得， 由中线长定理知边上的中线长为， 故选：B 5．在中，内角，，的对边分别为，，，，，，为边上一点，且，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在中，，又为边上一点，且， 所以， 又，所以， 所以，解得， 所以. 故选：D. 6．如图是隋唐天坛，古叫圜丘，俗称天坛，它位于隋唐长安城明德门外东1千米处（今陕西省西安市雁塔区天坛路与雁展路之间），因古人认为天圆地方，所以天坛建成圆形丘状.天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早一千多年，某数学兴趣小组为了测得天坛最底层的周长，在天坛外围测得米，米，米，，，据此可以估计天坛的最下面一层的圆的周长大约为（为最底层圆的直径，结果精确到米）（参考数据：，，，）（    ） A．166米 B．172米 C．178米 D．188米 【答案】A 【详解】连接， 因为米，米，， 所以为等边三角形，故米，又， 所以，又米， 在中， 由余弦定理可得（米）， 所以天坛最下面一层的圆的周长为（米） 故选：A. 7．在中，，，为所在平面内的动点，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 因为，故，故， 故，所以， 延长至，使得，连接，则为的垂直平分线， 故，故， 当且仅当共线时等号成立， 而， 故的最小值为， 故选：B. 8．在中，内角所对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】由题可得， ，，当且仅当取等号， 所以. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设内角的对边分别为，则下列条件能判定是等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】解：对于A，由正弦定理可知，即， 所以或， 所以是等腰三角形或直角三角形，不符合题意； 对于B，由正弦定理可知， 又因为，所以， 所以， 所以是等腰三角形，符合题意； 对于C，因为，解得， 所以，是直角三角形，不符合题意； 对于D，由正弦定理可知， 所以， 即， ， 即， 所以，是等腰三角形，符合题意. 故选：BD. 10．在中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】BC 【详解】A中，因为，有，所以该三角形无解，故A错误； B中，因为，为锐角，有， 所以该三角形有一解，故B正确； C中，因为，为锐角，有， 所以该三角形有一解，故C正确； D中，因为，为锐角，有， 所以该三角形有两解，故D错误. 故选：BC. 11．已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中，正确的命题是（   ） A．若，，，则有两解 B．若，则是等腰三角形 C．若在线段上，且，，，，则的面积为8 D．若，，，动点在所在平面内且，则动点的轨迹的长度为. 【答案】ACD 【详解】对于A中，由，，，由正弦定理可得， 因为，所以有两解，即有两解，所以A正确； 对于B中，由， 可得， 整理得， 由正弦定理得，可得， 因为，可得或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，所以B不正确； 对于C中，由在线段上，且，，，， 则，设， 在中，利用余弦定理， 整理得，解得或（舍去）， 所以， 在中，可得， 在中，由余弦定理可得， ，所以， 所以的面积为，所以C正确； 对于D中，在中，因为，，则点在以为弦的一个圆上， 由正弦定理可得外接圆的直径为，即， 当点在外部时，如图所示， 因为，可得，所以， 所以的长度为， 同理，当点在内部时，可得对应的弧长也是， 所以动点的轨迹的长度为，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在中，若，且的面积为，则 ． 【答案】 【详解】解：因为，且的面积为， ，解得：. 故答案为： 13．在中，角，，的对边分别为，，，已知.则 . 【答案】 【详解】因为， 由正弦定理得，整理可得， 则，且，故. 故答案为： 14．在中，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】解：由，解得， 设， 则 . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．在中，角的对边分别为，已知． (1)求角C的大小； (2)求的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1），，． （2），，， ． 16．已知函数．在中，，且． (1)求的大小； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)(2) 【详解】（1） 因为且，所以， 又，所以， 则 因此 （2）由余弦定理得 因为， 所以的面积为. 17．在中，分别是角的对边，． (1)求角的大小及外接圆的半径的值； (2)若是的内角平分线，当面积最大时，求的长． 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）由得，则， 由正弦定理得 （2）在中，由余弦定理得 则，即， ，当且仅当时，， ．此时，． 在中，， 由正弦定理得． 18．已知中，角所对的边分别为，且． (1)若，求的值； (2)记的面积为，当取得最小值时，求的值． 【答案】(1)(2)． 【详解】（1）因为， 所以， 即，则． 因为，所以． （2）因为， 当且仅当时，等号成立， 此时，则，则 19．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知角B为钝角，，． (1)求角B； (2)若过B作BH垂直AC于点H，求BH的最大值． 【答案】(1)(2)． 【详解】（1）由可得，， 因为角B为钝角，所以，所以，即， 根据正弦定理可得，因为，所以， 又角B为钝角，所以． （2）根据题意可知，，可得， 根据余弦定理可得，，即， 可得，可得， 当且仅当时等号成立，所以BH的最大值为． 2 / 42 2 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第九章 解三角形（单元重点综合测试） （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．△ABC的三个内角、、所对的边分别为、、，若， ，则＝（      ） A．2 B． C． D．3 2．在中，角A，B，C所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B．1 C． D． 3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则外接圆的半径为（   ） A． B． C．8 D． 4．在中，，则边上的中线长为（    ） A．1 B． C． D．2 5．在中，内角，，的对边分别为，，，，，，为边上一点，且，则的面积为（   ） A． B． C． D． 6．如图是隋唐天坛，古叫圜丘，俗称天坛，它位于隋唐长安城明德门外东1千米处（今陕西省西安市雁塔区天坛路与雁展路之间），因古人认为天圆地方，所以天坛建成圆形丘状.天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早一千多年，某数学兴趣小组为了测得天坛最底层的周长，在天坛外围测得米，米，米，，，据此可以估计天坛的最下面一层的圆的周长大约为（为最底层圆的直径，结果精确到米）（参考数据：，，，）（    ） A．166米 B．172米 C．178米 D．188米 7．在中，，，为所在平面内的动点，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．在中，内角所对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设内角的对边分别为，则下列条件能判定是等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 10．在中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 11．已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中，正确的命题是（   ） A．若，，，则有两解 B．若，则是等腰三角形 C．若在线段上，且，，，，则的面积为8 D．若，，，动点在所在平面内且，则动点的轨迹的长度为. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在中，若，且的面积为，则 ． 13．在中，角，，的对边分别为，，，已知.则 . 14．在中，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．在中，角的对边分别为，已知． (1)求角C的大小； (2)求的值． 16．已知函数．在中，，且． (1)求的大小； (2)若，，求的面积． 17．在中，分别是角的对边，． (1)求角的大小及外接圆的半径的值； (2)若是的内角平分线，当面积最大时，求的长． 18．已知中，角所对的边分别为，且． (1)若，求的值； (2)记的面积为，当取得最小值时，求的值． 19．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知角B为钝角，，． (1)求角B； (2)若过B作BH垂直AC于点H，求BH的最大值． 2 / 42 2 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$