第九章 解三角形（单元复习 压轴题专练）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（人教B版2019必修第四册）

第九章 解三角形（压轴题专练） 题型一：三角形形状的判断 1．在中，若，则的形状不可能是（    ） A．锐角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 2．为三角形三边，满足，则三角形的形状可为（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 3．在中，角所对的边分别为，且，则下列说法正确的是（    ） A．角A的大小是 B．若，则的形状是正三角形 C．若，则的面积是 D．若三角形是锐角三角形，的取值范围是 4．已知的三个内角，，所对的边分别为，，，下列条件中，能使的形状唯一确定的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．， E．，， 5．的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 6．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列条件中，能使的形状唯一确定的有（    ） A． B．，， C．，∠B=30°，∠C=60° D．，，∠B=60° 题型二：三角形多解问题 7．在中，，，，若满足条件的有且仅有一个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知的内角的对边分别为，若有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．在中，，，，若三角形有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．在中，已知，，，则满足条件的三角形个数为（    ） A．2个 B．1个 C．0个 D．无法确定 11．设三个内角，，的对边分别为，，，且，，则下列条件能使解出的有两个的是（    ） A． B． C． D． 12．在中，其内角的对边分别是，，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型三：三角形面积求值问题 13．在中，，． (1)若，求的值； (2)若为锐角三角形，，求的面积． 14．在中，内角的对边分别为，为钝角，，， (1)求； (2)若，求的面积. 15．已知，，，分别是角，，的对边，的面积． (1)证明：； (2)若为的平分线，交于点，且，，求的长． 16．在中，角对应的边分别为．已知． (1)求； (2)若点为边的中点，且，，求的面积． 17．在中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若，求的面积. 18．记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，且. (1)若，求的面积； (2)若，求的取值范围. 题型四：三角形周长求值问题 19．已知的内角的对边分别为，若. (1)求； (2)若，求的周长. 20．在中，角，，所对的边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长. 21．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求角C的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 22．设函数. (1)求函数的最小正周期和对称轴； (2)，，分别为内角，，的对边，已知，，的面积为，求的周长. 23．的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若的面积为，求的周长. 24．已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，． (1)求角的大小； (2)若，求的周长． 题型五：三角形边长、周长最值与范围问题 25．在中，角所对的边为且满足. (1)求； (2)当时，求边上中线的范围. 26．在中，若边上的高为，求的范围. 27．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． (1)求证：； (2)若，求a边的范围； (3)求的取值范围． 28．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知． (1)求角A； (2)若，周长为6，求的面积； (3)若为锐角三角形，求的范围． 29．在中，内角、、的对边分别为、、，且. (1)求角的大小； (2)若，求周长的范围 30．设的内角的对边分别为，且． (1)求的大小 (2)若，求周长的范围 题型六：三角形面积最值与范围问题 31．在中，角所对的边分别为，且满足. (1)已知为线段上一点，且满足，若，求的长； (2)若为锐角三角形，求面积的范围. 32．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)若，求a； (2)若，求的面积的最大值． 33．在锐角中，角A，，的对边分别为a，b，c，S为的面积，且. (1)求的值； (2)已知，求的面积的最大值. 34．在中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，. (1)若，求面积的最大值； (2)若，在边AC的外侧取一点D（点D在外部），使得，，且四边形的面积为，求的大小. 35．记锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求． (2)若，且，求的面积取得最大值时的值． 36．在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边， (1)求角的大小； (2)若为BC中点，，求的面积的最大值 试卷第1页，共3页 2 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第九章 解三角形（压轴题专练） 题型一：三角形形状的判断 1．在中，若，则的形状不可能是（    ） A．锐角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】ABC 【详解】因为，由正弦定理可得， 即，由余弦定理可得， 且，可知角为钝角，即必为钝角三角形， 结合选项可知ABC不可能，D一定正确. 故选：ABC. 2．为三角形三边，满足，则三角形的形状可为（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】AD 【详解】因为， 所以， 则或， 所以三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选：AD 3．在中，角所对的边分别为，且，则下列说法正确的是（    ） A．角A的大小是 B．若，则的形状是正三角形 C．若，则的面积是 D．若三角形是锐角三角形，的取值范围是 【答案】BCD 【详解】关于A，在中，由及正弦定理，得，又，于是， 而，即有，则，所以，故A错误； 对于B，由题意知，则，又因，得， 则，所以为正三角形，故B正确； 对于C，由余弦定理，，代入得，， 因，则有，即得， 故的面积为，故C正确； 对于D，由正弦定理，可得，因， 代入化简得：， 因三角形是锐角三角形，可得，， 故的取值范围是，故D正确. 故选：BCD． 4．已知的三个内角，，所对的边分别为，，，下列条件中，能使的形状唯一确定的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．， E．，， 【答案】ABD 【详解】对于A，根据三角形的三边关系，由，，得 又，则，为等腰三角形，有唯一解，A选项正确； 对于B，，得，又，，由正弦定理， 可得，解得，由，则，的形状唯一确定，B选项正确； 对于C，，得， ，当时，满足条件，此时是直角三角形， 时，，则有， 又，，此时是边长为2 的等边三角形， 形状不能唯一确定，C选项错误； 对于D，，中由正弦定理可知，， 可得，则，又，则， 为等腰直角三角形，形状唯一确定，D选项正确； 对于E，，，则有， ， 当为锐角时，， ，此时为钝角； 当为钝角时，， ，此时为锐角； 的形状不能唯一确定，E选项错误； 故选：ABD 5．的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】CD 【详解】 由余弦定理可得： ，. 又， 由正弦定理可得：， 根据余弦定理， 整理可得：，即有， 结合，从而可知三角形为钝角等腰三角形. 故选：CD. 6．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列条件中，能使的形状唯一确定的有（    ） A． B．，， C．，∠B=30°，∠C=60° D．，，∠B=60° 【答案】ACD 【详解】对于A， ， 因为，由余弦定理可得： ， 解得：，故三角形的解唯一，故A正确； 对于B，根据正弦定理：，可得，即， 又因为，所以，所以或，故B不正确； 对于C，，由正弦定理可得：， 即三角形的解唯一确定的，故C正确； 对于D，根据正弦定理：，可得，即， 又因为，所以，所以，故三角形的解唯一，D正确； 故选：ACD. 题型二：三角形多解问题 7．在中，，，，若满足条件的有且仅有一个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由正弦定理，则，即，由题意仅有一值， 故或，解得或. 故选：A 8．已知的内角的对边分别为，若有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图：三角形中，，则有两解的充要条件为： 即， 故选：A. 9．在中，，，，若三角形有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设，过作于，如下图示， 则，可得时，三角形有两解. 当，即时，三角形不存在； 当或时，△分别对应等边三角形或直角三角形，仅有一个三角形； 当时，在射线方向上有一个△，而在射线方向上不存在，故此时仅有一个三角形；    故选：B 10．在中，已知，，，则满足条件的三角形个数为（    ） A．2个 B．1个 C．0个 D．无法确定 【答案】A 【详解】由正弦定理可得， 所以或， 又，所以，符合大边对大角原理， 所以满足条件的三角形个数为2个. 故选：A. 11．设三个内角，，的对边分别为，，，且，，则下列条件能使解出的有两个的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由正弦定理可得， 若，则，所以三角形的解只有一个，故A错误； 若，可得，又，即，则三角形的解只有一个，故B错误； 若，可得，即有为锐角，则三角形的解只有一个，故C错误； 若，可得，即，又， 所以可以为锐角或钝角，则三角形的解有两个，故D正确． 故选：D． 12．在中，其内角的对边分别是，，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】对于选项A：若，，，由正弦定理可得， 则，此时不存在，三角形无解；故A错误； 对于选项B：若，，，由正弦定理可得， 则， 可知或，而时，，应舍去， 所以，即三角形有且仅有一解；故B错误； 对于选项C：若，，，可知为等边三角形， 所以三角形仅有一解； 故C错误； 对于选项D：若 ，，，由正弦定理可得：， 则，所以或， 两种情况下，三角形都存在，即三角形有两解，故D错误. 故选：D. 题型三：三角形面积求值问题 13．在中，，． (1)若，求的值； (2)若为锐角三角形，，求的面积． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为，所以， 所以，在中，由正弦定理得， 而，，所以． 因为，所以． （2）在中，因为，所以， 由正弦定理得，所以， 因为为锐角三角形，所以， 所以 ， 所以的面积． 14．在中，内角的对边分别为，为钝角，，， (1)求； (2)若，求的面积. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由题意得，因为为钝角， 则，则，则，解得， 因为为钝角，则. （2）法一：因为，所以，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，所以，解得或（舍去）， 所以. 法2：因为，所以，所以， 在中，由正弦定理得，即，解得， 因为为三角形内角，则， 则 ， 则. 15．已知，，，分别是角，，的对边，的面积． (1)证明：； (2)若为的平分线，交于点，且，，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：因为，化简得， 由正弦定理，得， 又， 所以，整理得． 又，为的内角，所以，即． （2）因为为的平分线，且，所以， 所以， 在等腰三角形中，．① 又， ∴， 则， 化简得， 又，∴．② ①代入②，得，解得或（舍去）， ∴， 在中，由余弦定理得， ∴． 16．在中，角对应的边分别为．已知． (1)求； (2)若点为边的中点，且，，求的面积． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 即， 化简可得， 又因为在中，， 所以有，即， 又，故，所以． （2）由余弦定理， 可得①， 易知，则， 即②， ②①可得，解得， 故的面积为． 17．在中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若，求的面积. 【答案】(1)(2) 【详解】（1），由正弦定理得， 即， 又， （2）且，则， ，由正弦定理有，即，解得. ， ， 的面积. 18．记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，且. (1)若，求的面积； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以，则， 所以由正弦定理得，则， 所以的面积； （2）因为，则， 所以， 因为且函数在上单调递减， 所以，则， 所以， 由正弦定理得， 因为，所以， 由于函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 则，故的取值范围为. 题型四：三角形周长求值问题 19．已知的内角的对边分别为，若. (1)求； (2)若，求的周长. 【答案】(1)或；(2). 【详解】（1）依题意，，所以， 因为，所以或，所以或. （2）由， 根据正弦定理和三角形内角和定理可得， 又，所以，即， 又，所以， 在中，因为，则，所以， 所以. 根据正弦定理可得，即， 所以， 所以的周长为. 20．在中，角，，所对的边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长. 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）由题设，又，则， 所以，则. （2）由题意，可得，又，则， 由余弦定理，有，则， 综上，的周长为. 21．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求角C的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1)；(2)6. 【详解】（1）由题设，整理可得， 所以，，故. （2）由题意，又， 所以，故的周长为. 22．设函数. (1)求函数的最小正周期和对称轴； (2)，，分别为内角，，的对边，已知，，的面积为，求的周长. 【答案】(1)最小正周期为,对称轴为.(2) 【详解】（1）， 所以函数的最小正周期为； 令，解得， 所以其对称轴为. （2）由得． ，， ，又，则， 由余弦定理得，， 的周长为． 23．的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若的面积为，求的周长. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为， 所以， 又， 所以，因为，所以， 又，所以，则. （2）的面积，则. 由，得， 所以，故的周长为. 24．已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，． (1)求角的大小； (2)若，求的周长． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由题意知：，所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 因为，所以； （2）由正弦定理得：， 由（1）知：，所以， 由余弦定理得： 即，所以， 所以的周长为． 题型五：三角形边长、周长最值与范围问题 25．在中，角所对的边为且满足. (1)求； (2)当时，求边上中线的范围. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）在中，由及正弦定理， 得， 则，即， 于是，而，，则， 所以. （2）由（1）及余弦定理，得， 当且仅当时取等号， 因此，由为边上中线，得， 则， 所以边上中线的范围是. 26．在中，若边上的高为，求的范围. 【答案】 【详解】由三角形面积公式得， 即， 由余弦定理得，故， ，其中， 当且仅当，即时，等号成立， 又，当且仅当时，等号成立， 故. 27．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． (1)求证：； (2)若，求a边的范围； (3)求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)． 【详解】（1）解：因为，所以，由正弦定理可得，又因为， 代入可得， 即， 因为，，则，故， 所以或，即或（舍去）， 所以． 法二：由正弦定理可得：， 则， 则， 又，故， 因为，，则，故， 所以或，即或（舍去）， （2）因为为锐角三角形，， 所以， 由，解得， 又故． （3）由（2）知． 由， ， 令，则在上单调递增，所以， 所以的取值范围为． 28．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知． (1)求角A； (2)若，周长为6，求的面积； (3)若为锐角三角形，求的范围． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由正弦定理，得， 即，即， 又，所以，所以，因为,故． （2）在中，由余弦定理可得， 所以，又因为周长为6，所以， 所以，所以的面积. （3）因为为锐角三角形，则，则可得， 所以,所以， ，所以， 所以， 由正弦定理可得， ， 所以． 29．在中，内角、、的对边分别为、、，且. (1)求角的大小； (2)若，求周长的范围 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：因为，由正弦定理可得，可得， 因为，故. （2）解：由余弦定理可得 ，所以，， 当且仅当时，等号成立， 又因为，则，所以，， 因此，周长的取值范围是. 30．设的内角的对边分别为，且． (1)求的大小 (2)若，求周长的范围 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 且，则，可得，即， 且，所以. （2）由（1）可知：， 由余弦定理可得， 即，整理可得， 又因为，即， 解得，即，当且仅当时，等号成立， 由三角形可知：，即，可得， 所以周长的范围为. 题型六：三角形面积最值与范围问题 31．在中，角所对的边分别为，且满足. (1)已知为线段上一点，且满足，若，求的长； (2)若为锐角三角形，求面积的范围. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由题设，则，故， 又，则，又，则为等边三角形，故，    由，则， 所以（负值舍），故. （2）由题意，则，又，则， 所以， 由，而， 所以. 32．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)若，求a； (2)若，求的面积的最大值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由正弦定理可得即， 又，所以，即，解得， 所以. （2）因为，且，， 所以，当且仅当时等号成立， 当取最小值时，取最大值，最大值， 所以的面积的最大值为. 33．在锐角中，角A，，的对边分别为a，b，c，S为的面积，且. (1)求的值； (2)已知，求的面积的最大值. 【答案】(1)2(2)2 【详解】（1）因为，且， 可得， 即，所以. （2）因为， 又因为，即， 整理可得，解得或， 又因为，则，， 由余弦定理可得：，即， 整理可得， 又因为，即， 当且仅当时，等号成立， 且此时为为锐角三角形，符合题意， 所以的面积的最大值为. 34．在中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，. (1)若，求面积的最大值； (2)若，在边AC的外侧取一点D（点D在外部），使得，，且四边形的面积为，求的大小. 【答案】(1)(2). 【详解】（1）由 因为，可得， 又由正弦定理得，即，由余弦定理得， 因为，可得，所以， 在中，由余弦定理得， 即，当且仅当时取等号， 所以， 所以面积的最大值为. （2）设，则， 在中，由余弦定理得， 由（1）知，且，所以为正三角形， 所以， 可得， 故，因为，所以，可得. 35．记锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求． (2)若，且，求的面积取得最大值时的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由及正弦定理， 得． ，，． ，．． ，， 则，，，则． （2），． 为锐角三角形，，． 由正弦定理及已知条件，得． ． ，， 当且仅当时，等号成立，的面积取得最大值， 此时，得． 36．在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边， (1)求角的大小； (2)若为BC中点，，求的面积的最大值 【答案】(1)(2) 【详解】（1）及，，所以. 由余弦定理得：.    . （2）AD为中线，，， 两边平方，有， （当且仅当时取等号）， . 所以：. 2 / 42 2 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$