第十章 复数知识归纳与题型突破（单元复习 重点11类题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（人教B版2019必修第四册）

第十章 复数知识归纳与题型突破（题型清单） 知识1．复数的基本概念 1、虚数单位 数叫倣虚数单位，它的平方等于，即． （1）是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是； （2）可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． 2、复数的摡念 形如的数叫复数，记作：； 其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示． 3、复数的分类 对于复数 若，则为实数，若，则为虚数，若且，则为纯虚数． 分类如下： （） 用集合表示如下图： 4、复数集与其它数集之间的关系 （其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，C为复数集．） 5、共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．通常记复数的共轭复数为． 知识2．复数相等的充要条件 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即： 如果，那么 特别地：． （1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样． 根据复数与相等的定义，可知在两式中，只要有一个不成立，那么就有（，）． （2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小． 知识3．复数的几何意义 1、复平面、实轴、虚轴： 如图所示，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴 2、复数集与复平面内点的对应关系 按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应． 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数复平面内的点 这是复数的一种几何意义． 3、复数集与复平面中的向量的对应关系 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数． 设复平面内的点表示复数，向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定． 4、复数的模 设，则向量的长度叫做复数的模，记作． ①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小． ②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等． 知识4．复数的加减运算 1、复数的加法、减法运算法则： 设，（），我们规定： （1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样．很明显， 两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形． （2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式． 2、复数的加法运算律： 交换律：结合律： 知识5．复数的加减运算的几何意义 1、复数的表示形式： 代数形式：（） 几何表示：①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）； ②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数． 2、复数加、减法的几何意义： 如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量．对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量． 设复数，，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为，以、为邻边作平行四边形，则对角线对应的向量是， 由于，所以和的和就是与复数对应的向量． 知识6．复数的乘除运算 1、乘法运算法则： 设，（），我们规定： （1）两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． （2）在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数（分母实数化），化简后写成代数形式． 2、乘法运算律： （1）交换律：（2）结合律：（3）分配律： 知识7．复数的三角表达式 一般地，任何一个复数都可以表示成的形式．其中，是复数的模；是复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来叫做复数的代数表示式，简称代数形式． 两个用三角形式表示的复数相等的充要条件： 两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等． 复数三角形式的乘法及其几何意义 设、的三角形式分别是：，． 则． 复数三角形式的除法及其几何意义 设、的三角形式分别是：，． 则． 题型一：求复数的虚部与实部 1．复数的虚部是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】根据复数的定义知，复数的虚部为， 故选：B. 2．已知复数（为虚数单位），则的实部为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】因为复数的实部为， 所以复数的实部为2. 故选：A. 3．已知复数，则它的虚部是（    ） A． B． C．3 D．7 【答案】A 【详解】由，故它的虚部是. 故选：A. 巩固训练 4．复数中，虚部为.( ) 【答案】错误 【详解】复数的虚部为. 故答案为：错误. 5．已知复数的实部和虚部分别为5和，则实数和的值分别是（   ） A．2， B．2，1 C．，2 D．1， 【答案】B 【详解】由复数的实部和虚部分别为5和，得， 所以. 故选：B 6．若复数（为虚数单位）的实部和虚部相等，则实数的值为 【答案】 【详解】根据题意可知的实部和虚部分别为，所以. 故答案为： 题型二：复数相等的充要条件（求参） 7．复数相等： ． 【答案】且 【详解】由复数相等的定义可得：若，则当且仅当且. 故答案为：且 8．已知是实数，且，则x+y= 【答案】7 【详解】由是实数，且，得， 所以. 故答案为：7 9．已知，，且，则，的值分别为（    ） A．1， B．4，1 C．，1 D．1，3 【答案】C 【详解】因为，，且，则，，解得. 故选：C 巩固训练 10．已知复数等于，其中、．求x、y的值． 【答案】， 【详解】解：由题意，， 可得， 由，解得， 则， 解得，． 故、的值分别为4，3． 11．已知，其中、．求x、y的值． 【答案】或 【详解】解：由， 得， 解得：或． 12．已知复数，其中、．求x、y的值． 【答案】， 【详解】解：由， 得，解得． ，． 题型三：复数与复平面内的点的关系（象限问题） 13．设复数在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则或 D．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为 【答案】AD 【详解】选项A：设复数则则故选项A正确； 选项B:虚数无法比较大小，故选项B错误； 选项C：若则则复数有无数组解，例如，故选项C错误； 选项D：若Z的集合所构成的图形的面积，故选项D正确. 故选:AD. 14．设，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】复数在复平面内对应的点为，位于第二象限. 故选：B. 15．若（）在复平面内所对应的点在第一象限，则整数 ． 【答案】1 【详解】由题意可得解得．因为，所以． 故答案为: 1 巩固训练 16．已知，，，为虚数单位，若复数在复平面内对应的点位于第一或第三象限，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，复数的实部与虚部应同号，所以， 即，所以． 故选：C． 17．若复数对应的点在第四象限，则m的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【详解】由可得，又m为整数，所以. 故选：B. 18．“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为复数在复平面内对应的点位于第四象限， 而成立推不出成立，， 所以是复数在复平面内对应的点位于第四象限的必要不充分条件， 故选：B 题型四：共轭复数概念与计算（象限问题） 19．若复数，且，则（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【详解】根据复数相等可得，解得， ∴，， ∴. 故选：C. 20．复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】因为，所以， 因为，所以在复平面内对应的点，位于第三象限. 故选：C 21．已知复数不为0，其共轭复数为，下列说法正确的是（   ） A． B．复平面内，与所对应的点关于实轴对称 C．与都是实数 D．若，则在复平面内所对应的点的轨迹为圆 【答案】BD 【详解】设，，，故A错误； ，对应的点为，，对应的点为，对应的点关于实轴对称，故B正确； ，，，为实数，，只有当的时候才是实数，，为实数，故C错误； 若，即，即，所以在复平面内所对应的点的轨迹为圆，故D正确． 故选：BD． 巩固训练 22．设，若存在复数满足（为虚数单位），则 ． 【答案】0 【详解】设,则, 所以 所以, 即 故答案为：0. 23．设，则在复平面内对应点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】因，则，其在复平面内对应的点为，在第一象限. 故选：A 24．已知，则（   ） A． B． C．5 D．7 【答案】C 【详解】已知复数，则， 所以. 故选：C. 题型五：根据复数对应点存在位置求参数范围 25．复数对应的点在虚轴上，则（   ） A．或 B．且 C． D．或 【答案】D 【详解】由题意可知，复数对应的点的坐标为， 因为复数对应的点在虚轴上， 则，解得或， 故选：D. 26．已知复数，，则下列结论正确的是（   ） A．若为纯虚数，则 B．若在复平面内对应的点位于第四象限，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】若为纯虚数，则且，解得，故A错误； 若在复平面内对应的点位于第四象限，则且，解得， 即，故B正确； 若，则，得，故C正确； 若，则，得，故D错误. 故选：BC. 27．已知复数． (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)若复数在复平面内对应点位于第二象限，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)． 【详解】（1）因为复数为纯虚数，所以， 解的 解得，； （2）因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以 解之得 得． 所以实数的取值范围为． 巩固训练 28．已知复数，，则下列结论正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若在复平面内对应的点位于第二象限，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】对于A，若为纯虚数，即且，则，故A错误； 对于B，若在复平面内对应的点位于第二象限，则解得，即，故B正确； 对于C，若，则，则，故C正确； 对于D，若，则，故D 错误. 故选：BC. 29．设，复数. (1)求m为何值时，z为纯虚数； (2)若复数z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围. 【答案】(1)2(2) 【详解】（1）由解得或； 当时，是纯虚数， 当时，为实数， 所以. （2）因为在复平面内对应的点位于第四象限， 所以，解得. 30．已知i是虚数单位，复数． (1)当复数z为虚数时，求m的取值范围； (2)当复数z在复平面对应的点在第二象限，求m的取值范围． 【答案】(1)且(2) 【详解】（1）因为复数虚数，所以 解得，且 （2）因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以， 解之得，得． 所以实数的取值范围为 题型六：求复数的模及其参数 31．（   ） A．2 B．4 C． D．6 【答案】C 【详解】由题意：. 故选：C 32．已知复数满足，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得，所以. 故选：B 33．已知复数满足，则的最大值为 . 【答案】8 【详解】因为，所以， 所以的最大值为8. 故答案为：8 巩固训练 34．若，是虚数单位，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，① ， 由， 所以①的最大值为， 故选：D. 35．已知i为虚数单位，复数，则（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【详解】复数，则. 故选：C. 36．已知复数，，，若为纯虚数，则 ． 【答案】5 【详解】， 因为为纯虚数，所以， 所以，所以， 故答案为：5. 题型七：复数代数形式的加、减运算 37．若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】设，则，因为， 所以，所以，解得， 所以，所以. 故选：C. 38．在复平面内，向量对应的复数为，向星对应的复数为，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以向量对应的复数为. 故选：D． 39．已知，是两个复数，则“，互为共轭复数”是“为实数”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】设， 若“，互为共轭复数”，则，故， 故“为实数”成立， 若“为实数”，取，则为实数成立， 但，不互为共轭复数， 故“，互为共轭复数”是“为实数”的充分不必要条件， 故选：A. 巩固训练 40．已知复数z和，则下列说法正确的是（   ） A．一定是实数 B．一定是虚数 C．若，则是纯虚数 D．若，则是纯虚数 【答案】A 【详解】设,则故为实数，故A正确， 对于B，，当时，此时为实数，故B错误， 对于C，则，当时，此时为实数，C错误， 对于D, ，则，则是实数，故D错误， 故选：A 41．已知为虚数单位，设复数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，， 则. 故选：A. 42．已知复数，，则 . 【答案】 【详解】， . 故答案为：. 题型八：复数代数形式的乘法运算 43．已知复数，则（    ） A．2 B．0 C．2i D． 【答案】B 【详解】由题设，则. 故选：B 44．已知虚数满足，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C． D．可能为纯虚数 【答案】AC 【详解】设，由，可得， 所以，解得，则， 所以的实部为的虚部为不可能为纯虚数. 故选：AC. 45．在复平面内，复数，则的共轭复数对应的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则，对应点为. 故选：D 巩固训练 46．复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，可知复数在复平面内对应的点的坐标是. 故选：C. 47．已知非零复数，其共轭复数分别为，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】设复数，且， ，A正确； ，B正确； ， ， 所以与不一定相等，C错误； 令，则，D错误． 故选：AB 48．复数z满足（i为虚数单位），则z的模是（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【详解】由题设，则，所以. 故选：D 题型九：复数代数形式的除法运算 49．设复数满足，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】依题意，， 所以. 故选：C 50．设是虚数单位，复数，则对应的点位于第 象限 【答案】二 【详解】， 所以对应的点的坐标为， 所以对应的点位于第二象限. 故答案为：二. 51．已知i为虚数单位，复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得：， 故选：D. 巩固训练 52．若，则复数z的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，则， 所以复数z的虚部是. 故选：B. 53．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，, 所以, 故选：C 54．若，则（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：. 题型十：在复数范围内解方程 55．若（i为虚数单位）是关于x的方程的一个根，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因为（i为虚数单位）是关于x的方程的一个根，所以，也是关于x的方程的一个根， 所以，由韦达定理得： 所以，. 故选：B 56．已知是关于的方程的一个根，，，则（    ） A． B．16 C． D．4 【答案】B 【详解】将代入方程， 得，解得，， 所以. 故选：B 57．已知（是虚数单位）是关于的方程的一个根，则（   ） A．9 B．1 C．-7 D． 【答案】B 【详解】已知是虚数单位）是关于的方程的一个根， 则，即，即， 解得，故． 故选：B． 巩固训练 58．已知是关于x的方程的根，则实数 ． 【答案】 【详解】因为是关于x的方程的根，其中， 所以也是关于x的方程的根， 所以，即． 故答案为： 59．若复数是方程的一个根，则 . 【答案】 【详解】由条件可知，， 所以，得. 故答案为： 60．已知是关于的方程的两根，则（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】关于的二次方程． 当时，，所以，，但不一定成立． 当时，，是方程的两个复数根，仍成立，此时，故A正确，B错误． 若，方程的两根为，所以互为共轭复数，C正确． 若，由于，所以，D正确． 故选：ACD 题型十一：复数的代数形式表示成三角形式 61．设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式，其中为复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角（也被称为的辐角）．利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现，我们称这个结论为棣莫佛定理，根据以上信息，若复数满足，则可能的取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】设，其中，则， 故，， ∵，∴，故，则 故，则， 故，故BD正确，AC错误； 故选：BD. 62．设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式，其中为复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角（也被称为的辐角）．利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现，我们称这个结论为棣莫佛定理．根据以上信息，若复数满足，则可能的取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】设，其中，则， 故，而，故， 故，故， 故BD正确，AC错误； 故选：BD. 63．设复数，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．若，则或 D．若，则 【答案】ABC 【详解】A选项，方法一： ， ， 又 ， 方法二：设， 则， 故， 又，故，故A正确； B选项，， ， ， ∴，故B正确； C选项，方法一：， ，， 将①式两边乘以得，代入②式得或， 或或； 方法二：设， 且不恒等于0， ，即或，故C正确； D选项，当时，，但虚数与不能比较大小，故D不正确. 故选：ABC 巩固训练 64．已知i为虚数单位．设，复数． (1)若的实部与虚部相等，求的大小； (2)已知，若是方程的一个虚根，求p与q的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）若的实部与虚部相等，则 ，化简可得：，即，， . （2），， 代入方程可得：，即， 则，解得：. 65．的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，故D正确. 故选：D 66．已知复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设， 所以， 可得，两式相除可得， 可得，， 因为，所以， 当时，，解得，此时， 当时，，解得，舍去， 当时，，解得，此时， 当时，，解得，舍去， 当时，，解得，此时， 当时，，解得，舍去， 结合选项，只有D正确. 故选：D. 2 / 42 2 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章 复数知识归纳与题型突破（题型清单） 知识1．复数的基本概念 1、虚数单位 数叫倣虚数单位，它的平方等于，即． （1）是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是； （2）可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． 2、复数的摡念 形如的数叫复数，记作：； 其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示． 3、复数的分类 对于复数 若，则为实数，若，则为虚数，若且，则为纯虚数． 分类如下： （） 用集合表示如下图： 4、复数集与其它数集之间的关系 （其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，C为复数集．） 5、共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．通常记复数的共轭复数为． 知识2．复数相等的充要条件 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即： 如果，那么 特别地：． （1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样． 根据复数与相等的定义，可知在两式中，只要有一个不成立，那么就有（，）． （2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小． 知识3．复数的几何意义 1、复平面、实轴、虚轴： 如图所示，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴 2、复数集与复平面内点的对应关系 按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应． 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数复平面内的点 这是复数的一种几何意义． 3、复数集与复平面中的向量的对应关系 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数． 设复平面内的点表示复数，向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定． 4、复数的模 设，则向量的长度叫做复数的模，记作． ①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小． ②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等． 知识4．复数的加减运算 1、复数的加法、减法运算法则： 设，（），我们规定： （1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样．很明显， 两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形． （2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式． 2、复数的加法运算律： 交换律：结合律： 知识5．复数的加减运算的几何意义 1、复数的表示形式： 代数形式：（） 几何表示：①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）； ②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数． 2、复数加、减法的几何意义： 如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量．对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量． 设复数，，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为，以、为邻边作平行四边形，则对角线对应的向量是， 由于，所以和的和就是与复数对应的向量． 知识6．复数的乘除运算 1、乘法运算法则： 设，（），我们规定： （1）两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． （2）在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数（分母实数化），化简后写成代数形式． 2、乘法运算律： （1）交换律：（2）结合律：（3）分配律： 知识7．复数的三角表达式 一般地，任何一个复数都可以表示成的形式．其中，是复数的模；是复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来叫做复数的代数表示式，简称代数形式． 两个用三角形式表示的复数相等的充要条件： 两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等． 复数三角形式的乘法及其几何意义 设、的三角形式分别是：，． 则． 复数三角形式的除法及其几何意义 设、的三角形式分别是：，． 则． 题型一：求复数的虚部与实部 1．复数的虚部是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知复数（为虚数单位），则的实部为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．已知复数，则它的虚部是（    ） A． B． C．3 D．7 巩固训练 4．复数中，虚部为.( ) 5．已知复数的实部和虚部分别为5和，则实数和的值分别是（   ） A．2， B．2，1 C．，2 D．1， 6．若复数（为虚数单位）的实部和虚部相等，则实数的值为 题型二：复数相等的充要条件（求参） 7．复数相等： ． 8．已知是实数，且，则x+y= 9．已知，，且，则，的值分别为（    ） A．1， B．4，1 C．，1 D．1，3 巩固训练 10．已知复数等于，其中、．求x、y的值． 11．已知，其中、．求x、y的值． 12．已知复数，其中、．求x、y的值． 题型三：复数与复平面内的点的关系（象限问题） 13．设复数在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则或 D．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为 14．设，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 15．若（）在复平面内所对应的点在第一象限，则整数 ． 巩固训练 16．已知，，，为虚数单位，若复数在复平面内对应的点位于第一或第三象限，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 17．若复数对应的点在第四象限，则m的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 18．“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型四：共轭复数概念与计算（象限问题） 19．若复数，且，则（    ） A．2 B． C． D．1 20．复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 21．已知复数不为0，其共轭复数为，下列说法正确的是（   ） A． B．复平面内，与所对应的点关于实轴对称 C．与都是实数 D．若，则在复平面内所对应的点的轨迹为圆 巩固训练 22．设，若存在复数满足（为虚数单位），则 ． 23．设，则在复平面内对应点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 24．已知，则（   ） A． B． C．5 D．7 题型五：根据复数对应点存在位置求参数范围 25．复数对应的点在虚轴上，则（   ） A．或 B．且 C． D．或 26．已知复数，，则下列结论正确的是（   ） A．若为纯虚数，则 B．若在复平面内对应的点位于第四象限，则 C．若，则 D．若，则 27．已知复数． (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)若复数在复平面内对应点位于第二象限，求实数的取值范围． 巩固训练 28．已知复数，，则下列结论正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若在复平面内对应的点位于第二象限，则 C．若，则 D．若，则 29．设，复数. (1)求m为何值时，z为纯虚数； (2)若复数z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围. 30．已知i是虚数单位，复数． (1)当复数z为虚数时，求m的取值范围； (2)当复数z在复平面对应的点在第二象限，求m的取值范围． 题型六：求复数的模及其参数 31．（   ） A．2 B．4 C． D．6 32．已知复数满足，则（    ） A．1 B． C． D． 33．已知复数满足，则的最大值为 . 巩固训练 34．若，是虚数单位，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 35．已知i为虚数单位，复数，则（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 36．已知复数，，，若为纯虚数，则 ． 题型七：复数代数形式的加、减运算 37．若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 38．在复平面内，向量对应的复数为，向星对应的复数为，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 39．已知，是两个复数，则“，互为共轭复数”是“为实数”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 巩固训练 40．已知复数z和，则下列说法正确的是（   ） A．一定是实数 B．一定是虚数 C．若，则是纯虚数 D．若，则是纯虚数 41．已知为虚数单位，设复数，，则（    ） A． B． C． D． 42．已知复数，，则 . 题型八：复数代数形式的乘法运算 43．已知复数，则（    ） A．2 B．0 C．2i D． 44．已知虚数满足，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C． D．可能为纯虚数 45．在复平面内，复数，则的共轭复数对应的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 46．复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 47．已知非零复数，其共轭复数分别为，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 48．复数z满足（i为虚数单位），则z的模是（   ） A． B．1 C．2 D． 题型九：复数代数形式的除法运算 49．设复数满足，则（    ） A． B．2 C． D． 50．设是虚数单位，复数，则对应的点位于第 象限 51．已知i为虚数单位，复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 巩固训练 52．若，则复数z的虚部是（    ） A． B． C． D． 53．已知，则（    ） A． B． C． D． 54．若，则（   ） A．1 B． C． D．3 题型十：在复数范围内解方程 55．若（i为虚数单位）是关于x的方程的一个根，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 56．已知是关于的方程的一个根，，，则（    ） A． B．16 C． D．4 57．已知（是虚数单位）是关于的方程的一个根，则（   ） A．9 B．1 C．-7 D． 巩固训练 58．已知是关于x的方程的根，则实数 ． 59．若复数是方程的一个根，则 . 60．已知是关于的方程的两根，则（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 题型十一：复数的代数形式表示成三角形式 61．设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式，其中为复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角（也被称为的辐角）．利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现，我们称这个结论为棣莫佛定理，根据以上信息，若复数满足，则可能的取值为（   ） A． B． C． D． 62．设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式，其中为复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角（也被称为的辐角）．利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现，我们称这个结论为棣莫佛定理．根据以上信息，若复数满足，则可能的取值为（   ） A． B． C． D． 63．设复数，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．若，则或 D．若，则 巩固训练 64．已知i为虚数单位．设，复数． (1)若的实部与虚部相等，求的大小； (2)已知，若是方程的一个虚根，求p与q的值． 65．的三角形式是（    ） A． B． C． D． 66．已知复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 2 / 42 2 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$