第十章 复数（单元重点综合测试）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（人教B版2019必修第四册）

第十章 复数（单元重点综合测试） （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．在复平面内，复数，，则对应的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．复数（为虚数单位）的共轭复数（    ） A． B． C． D． 4．已知为虚数单位，若复数z满足，则（   ） A．1 B． C．2 D． 5．若复数满足，则复平面内表示的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．已知复数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分又不必要条件 7．在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于虚轴对称，则复数（    ） A． B． C． D． 8．若，是虚数单位，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数在复平面内对应的点均在以原点为圆心的单位圆上，且，则（    ） A． B．与实部之和为 C．为纯虚数 D． 10．已知复数，，则（   ） A．若为实数，则点在直线上 B．若与互为共轭复数，则 C．若，对应的点关于直线对称，则 D．若，则的最小值为 11．已知，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则中至少有一个为0 C． D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若复数 满足 ( 是虚数单位)，则 的虚部是 . 13．已知复数在复平面内对应的点为，则 . 14．已知复数满足，则的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知复数（R），为实数. (1)求； (2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，且为实系数方程的根，求实数的值. 16．已知复数． (1)若，求； (2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小． 17．已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）. (1)设复数，求； (2)复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 18．设是虚数，是实数，且，． (1)求的值以及的实部的取值范围； (2)求证为纯虚数； (3)求的最小值, 19．已知向量，，，若函数，且在区间上不具有单调性. (1)求的取值范围； (2)当取最小整数值时，若（其中，，是虚数单位），求的值. 2 / 42 2 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章 复数（单元重点综合测试） （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，所以. 故选：D. 2．在复平面内，复数，，则对应的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 则其所对应的点的坐标为. 故选：C. 3．复数（为虚数单位）的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，，所以 故选：A 4．已知为虚数单位，若复数z满足，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以，所以． 故选：B. 5．若复数满足，则复平面内表示的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】，则．其对应的点在第四象限． 故选：D. 6．已知复数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】设，，，即， ， 反过来，若，举例，时，，但. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 7．在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于虚轴对称，则复数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以. 故选： 8．若，是虚数单位，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，① ， 由， 所以①的最大值为， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数在复平面内对应的点均在以原点为圆心的单位圆上，且，则（    ） A． B．与实部之和为 C．为纯虚数 D． 【答案】ACD 【详解】对AB：设， 因为，即 ， 由题意可得①，②， 所以， 即，且，与①②联立可得或； 所以，故B错误，A正确； 对C：，或，故C正确； 对D： ，故D正确. 故选：ACD． 10．已知复数，，则（   ） A．若为实数，则点在直线上 B．若与互为共轭复数，则 C．若，对应的点关于直线对称，则 D．若，则的最小值为 【答案】ACD 【详解】对于选项A，， 因为为实数，所以，所以点在直线上，所以A正确； 对于选项B，因为，所以， 所以的共轭复数为，所以，所以B错误； 对于选项C，因为，对应的点分别为，， 所以，解得，所以，所以C正确； 对于选项D，因为，所以， 所以复数对应的点在圆上运动，又， 即为点到的距离，则其最小值为，所以D正确． 故选：ACD． 11．已知，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则中至少有一个为0 C． D．若，则 【答案】BCD 【详解】对于A,若，满足，但，故A错误， 对于B，由，则或，故中至少有一个为0，B正确， 对于C，，C正确， 对于D，设，,故，故，，故D正确， 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若复数 满足 ( 是虚数单位)，则 的虚部是 . 【答案】 【详解】因为，所以， 所以的虚部是. 故答案为：. 13．已知复数在复平面内对应的点为，则 . 【答案】 【详解】因为复数在复平面内对应的点为，所以， 所以. 故答案为： 14．已知复数满足，则的最大值为 . 【答案】8 【详解】因为，所以， 所以的最大值为8. 故答案为：8 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知复数（R），为实数. (1)求； (2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，且为实系数方程的根，求实数的值. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由，为实数，则为实数，      所以，即，，             所以. （2）由在复平面内对应的点在第四象限， 所以，          又为实系数方程的根， 则， 所以，，       又，所以. 16．已知复数． (1)若，求； (2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小． 【答案】(1)(2) 【详解】（1） （2）依题意向量 于是有 为与的夹角， ， 17．已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）. (1)设复数，求； (2)复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）解：因为，则， 所以为纯虚数， 所以，解得. 所以， 因此. （2）解：因为， 则， 因为复数在复平面内对应的点位于第一象限， 则，解得. 因此实数的取值范围是. 18．设是虚数，是实数，且，． (1)求的值以及的实部的取值范围； (2)求证为纯虚数； (3)求的最小值, 【答案】(1)，(2)证明见解析(3)1 【详解】（1）设， 则 因为是实数，所以，即， 因为，所以，即，且， 由，得，解得， 即的实部的取值范围为； （2）∵， ， 因为，， 所以为纯虚数； （3） ，由， 故， 当且仅当，即时，取最小值1． 19．已知向量，，，若函数，且在区间上不具有单调性. (1)求的取值范围； (2)当取最小整数值时，若（其中，，是虚数单位），求的值. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）函数， 由，得， 由函数在区间上不具有单调性，得，解得， 故的取值范围是. （2）依题意，得，，， 所以，，所以，. 由，得，所以， 由，得.由，得， 同理，. 所以 . 2 / 42 2 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$