精品解析：河南省平顶山市叶县高级中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷

2024~2025学年上学期高二年级12月月考 数学试题 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：选择性必修第二册第四章，第五章5.1~5.2. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等比数列中，，，则公比（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式列方程，可得解. 【详解】设等比数列的公比为， 则，解得. 故选：B. 2. 若函数在处的导数等于，则的值为（ ） A. 0 B. C. a D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用导数的定义直接计算可求解. 【详解】. 故选：D. 3. 已知等差数列的公差，前n项和为，，则（ ） A. 6 B. C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的通项公式和性质变形可得． 【详解】由题意：， 所以：. 故选：C 4. 已知函数的部分图象如图所示，其中，，为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义直接判断. 【详解】由图可知函数在点的切线斜率小于，即， 在点的切线斜率等于，即， 在点的切线斜率大于，即， 所以， 故选：B. 5. 等比数列的前项和，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给条件表示出、、，再由等比中项的性质得到、的关系，即可得解. 【详解】因为，当时，， 当时，，故， 当时，，从而， 由于是等比数列，故，显然且，解得， 所以． 故选：C． 6. 已知函数的导数为，且，则（ ） A. B. 1 C. 1 D. e 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导并带入求得，可得解析式，进而求函数值. 【详解】由，得， 当时，，解得， 所以，则. 故选：B 7. 已知正项数列的前项和为，且，则（ ） A. 4045 B. 4042 C. 4041 D. 4040 【答案】A 【解析】 【分析】根据与的关系可得，当时，，进而得到数列是首项为1，公差为2的等差数列，可得，进而求解即可. 【详解】当时，，解得：. 当时，， 则， 因为，所以，所以， 所以数列是首项为1，公差为2的等差数列， 则， 则. 故选：A. 8. 直线是曲线和的公切线，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别设两个切点，根据导数的几何意义分别求得切线方程，联立解方程即可. 【详解】对于，设切点为，求导得， 则在该点处的斜率为， 则切线方程为：，即， 对于，设切点为，求导得， 则在该点处的斜率为， 则切线方程为：，即， 因为是公切线， 所以，即， 所以，即， 所以 即或，解得或， 当时，此时，，所以 当时，此时，，所以， 所以或， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为等差数列，满足，为等比数列，满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 数列的首项为1 B. C. D. 数列的公比为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据得，不确定，故选项A错误，B正确；根据，得，选项C正确；根据可得选项D正确. 【详解】对于AB,设数列的公差为，由得， ∴，不确定，故A错误，B正确. 对于CD，设数列的公差为，由，得， ∴，∴，故 C正确，D正确. 故选：BCD. 10. 下列求函数的导数正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用导数的运算法则逐个运算求解可判断其正误. 【详解】对于A，，故A错误， 对于B，，故B正确， 对于C，，故C正确， 对于D，，故D错误. 故选：BC. 11. 设数列的前n项和为，已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. 是等比数列 B. 是等比数列 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列的定义，结合错位相减法逐一判断即可. 【详解】，，则是公差为1，首项为的等差数列， 所以，则. 对A：，因为不是非零常数， 所以不是等比数列，故A错误； 对B：，因为， 所以是以为首项，以2为公比的等比数列，故B正确； 对C：，故C正确； 对D：因为， 所以， 两式相减得，故D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个等差数列的第3项为12，第6项为4，则此数列的第9项为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的性质结合已知条件求解即可. 【详解】∵是等差数列，且， ∴，， 解得. 故答案为：. 13. 若直线与曲线相切，则实数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】设切点坐标为，由导数的几何意义求出切线方程，列式即可求解. 【详解】设切点坐标为，由得， 所以切线的斜率为：， 所以曲线在处的切线方程为：， 即， 所以，所以，所以. 故答案为：. 14. 将正整数分解成两个正整数的积，即，当两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如，其中即为20的最优分解，当是的最优分解时，定义，则数列的前2023项和为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】分为奇数和偶数，按照最优分解定义，求数列的通项，再求和. 【详解】当时，，则， 当时，，则， 故数列的前2023项和为 . 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是对新概念的理解，并对分奇数和偶数两种情况进行讨论，从而得到数列的通项公式. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件计算数列的首项和公差即可得到通项公式. （2）根据分组求和的方式计算数列的前项和即可得到结果. 【小问1详解】 设数列公差为， 由，得，，解得 ∴. 【小问2详解】 由得， . 16. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求实数，的值； （2）若曲线，求曲线过点的切线方程． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）求导结合曲线在点处的切线方程为，可得，结合，可求； （2）设曲线与过点的切线相切于点，求得切线方程为，利用点在切线上，可得，求解即可求切线方程. 【小问1详解】 ，，由曲线在点处的切线方程为， 可得，即，且切点为， 所以，解得，即有，； 【小问2详解】 曲线即为，求导得， 设曲线与过点的切线相切于点， 则切线的斜率，所以切线方程为， 即，因为点在切线上，所以， 解得或，故所求的切线方程为或． 17. 已知数列满足. （1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） 由， 所以是首项、公比均为3的等比数列，故 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）通过构造思想，等式两边同时加1，即可证得等比数列，再求通项公式即可； （2）利用错位相减法直接求和即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）有，则， 所以， 两式相减，得 所以. 18. 已知数列的前n项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（2）利用时，，可得，再利用“累乘法”求数列的通项公式. （2）将不等式恒成立问题转化为最值问题，然后求的最大值即可. 【小问1详解】 当时， 所以， . 当时，，上式亦成立. 所以. 【小问2详解】 对任意恒成立， 即对任意恒成立， 记，故， 所以当时，，所以，即， 当时，，即随着n的增大，递减， 所以的最大值为， 所以，即. 19. 在必修一中，我们曾经学习过用二分法来求方程的近似解，而牛顿（IssacNewton，1643-1727）在《流数法》一书中给出了“牛顿切线法”求方程的近似解.具体步骤如下：设r是函数的一个零点，任意选取作为r的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与x轴交点的横坐标为，并称为r的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与x轴交点的横坐标为，称为r的2次近似值.一般地，曲线在点处的切线为，记与x轴交点的横坐标为，并称为r的次近似值.不断重复以上操作，在一定精确度下，就可取为方程的近似解.现在用这种方法求函数的大于零的零点r的近似值，取. （1）求和； （2）求和的关系； （3）证明:. 【答案】（1）， （2） （3） 由（2）知，， 所以， 由几何意义易知：， 所以， 由得，， 即，所以， 所以， 所以， 即. 【解析】 【分析】（1）根据题干中的为的1次近似值和为的2次近似值的定义即可求解； （2）求出直线的方程， 直接求横截距即可. （3）借助第（2）题的结论，根据几何意义得到，后面再根据此不等式进行放缩得到，再进行放缩得，利用不等式的性质和数列分组求和即可. 【小问1详解】 由题意得，，， ， 令，得，， ，所以， 令，得. 【小问2详解】 由题意得，， 令，得. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：第（1）问的关键是对新定义的理解，然后结合所学知识进行每一个的处理即可得出，第（2）问的关键是求出切线的方程即可得证，第（3）问的关键是由几何意义得到，从而可以放缩，放缩后的类比等比数列的构造，为不等式的证明提供了关键性的处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年上学期高二年级12月月考 数学试题 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：选择性必修第二册第四章，第五章5.1~5.2. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等比数列中，，，则公比（ ） A. B. C. D. 2. 若函数在处的导数等于，则的值为（ ） A. 0 B. C. a D. 3. 已知等差数列的公差，前n项和为，，则（ ） A. 6 B. C. D. 8 4. 已知函数的部分图象如图所示，其中，，为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 等比数列的前项和，则（ ） A. B. C. 0 D. 6. 已知函数的导数为，且，则（ ） A. B. 1 C. 1 D. e 7. 已知正项数列的前项和为，且，则（ ） A. 4045 B. 4042 C. 4041 D. 4040 8. 直线是曲线和的公切线，则（ ） A. B. C. 或 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为等差数列，满足，为等比数列，满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 数列的首项为1 B. C. D. 数列的公比为 10. 下列求函数的导数正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 设数列的前n项和为，已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. 是等比数列 B. 是等比数列 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个等差数列的第3项为12，第6项为4，则此数列的第9项为______. 13. 若直线与曲线相切，则实数的值为______. 14. 将正整数分解成两个正整数的积，即，当两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如，其中即为20的最优分解，当是的最优分解时，定义，则数列的前2023项和为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求实数，的值； （2）若曲线，求曲线过点的切线方程． 17. 已知数列满足. （1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 18. 已知数列的前n项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围. 19. 在必修一中，我们曾经学习过用二分法来求方程的近似解，而牛顿（IssacNewton，1643-1727）在《流数法》一书中给出了“牛顿切线法”求方程的近似解.具体步骤如下：设r是函数的一个零点，任意选取作为r的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与x轴交点的横坐标为，并称为r的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与x轴交点的横坐标为，称为r的2次近似值.一般地，曲线在点处的切线为，记与x轴交点的横坐标为，并称为r的次近似值.不断重复以上操作，在一定精确度下，就可取为方程的近似解.现在用这种方法求函数的大于零的零点r的近似值，取. （1）求和； （2）求和的关系； （3）证明:. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $