河南省豫东名校2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写 清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔 把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签 字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效， 在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章~第五章第2节。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.直线3x十y一1=0的倾斜角为 A.150 B.120° C.60 D.30 2.一质点作直线运动，其运动的位移x(单位：m)与时间（单位：）的关系为工=+2，则：=3s时的 瞬时速度为 A.17 m/s B.15 m/s C.13 m/s D.11 m/s 3.已知抛物线y2=2px的焦点是P(2,0),点M(3,y%)在抛物线上，则|PM川= A.33 B.2√2 C.5 D.3 4.已知数列(a,}为等比数列，若二2=4，则公比g的值为 as-a8 A土2 R±垃 C.2 n克 5.已知函数f(x)=x量+f(4)xt,则f(2)= A62 B.6 C.42 D.4 6.已知等差数列(a,)的前n项和S。有最小值，若<-1，则当S取得最小正值时，m A12 B.11 C.10 D.9 7.如图，正四面体OABC中，AB=1,M为OA的中点，点N在BC上，且BN= 2N心，则M,N两点之间的距离为 A司 B图 6 D.￥103 12 HN 【高二1月质量检测·数学第1页（共4页）】 8.设一组曲线C:166亡g=1,若存在两条曲线C,C(m,n∈N,m<m,其交点P与R(一7,0， F2(W7,0)满足P可·P下=0，则满足条件的所有有序数对(m,)的个数为 A.3 B.4 C.5 D.6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(一1,1)，B(2,一1)，C(1,4),则 A.△ABC为直角三角形 B△ABC为等腰三角形 C△ABC的外接圆方程为(x-是)'+(y-)'-号 D.△ABC的重心位于直线y=x上 10.如图1所示，矩形CDFE中，CE=4CD=4,A,B分别为DF,CE的中点，现沿AB折起，使得半平面 ABCD和半平面ABEF所成的二面角为120°，M,N分别是AC,BF的中点，如图2所示，则 图1 图2 A.AB.MN=0 B.MN∥CE C直线FM和CN所成角的余弦值为号 D,MN与平面ABEF所成的角为君 11.设数列{a.)是首项为1，公差为2的等差数列，(b.}是首项为1，公比为2的等比数列，则下列说法正确 的是 A数列会}为递减数列 B.若m十n=2p(m,n,p∈N),则aam≤a3 C,存在正整数k,使得au,b:,a+1成等比数列 D.将数列{a.}与{b.}的所有项从小到大排列组成一个新的数列{c.},则cm=185 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数f(x)=ecos z,则f（受）= 13.若圆x2+y2=1与圆x2+y2-6x一8y一2m十1=0恰有一个公共点，则m的值为 14已知双曲线C,吉一芳-1(@>0，b>0)的两条新近线将双曲线所在平面分为上、下，左、右4个部分 (不含渐近线上的点)，若A(1,2)位于上部分，B(-1,一1)不位于下部分，则C的离心率的取值范围 为 【高二1月质量检测·数学第2页（共4页）】 HN 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线1与C交于A,B两点，P(0,3). (1)证明：A,B的纵坐标之积为定值： (2)若PA⊥PB,求此时直线（的方程. 16.(本小题满分15分)》 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C,中，AB=BC=2AA1=6,AB⊥BC,M是BC的中点. (1)求证：AB∥平面AMC; (2)求点A,到平面AMC1的距离. 向r 正民，政公出公，成”发的”情大公，省装， 17.(本小题满分15分) 已知曲线C:y=nx十2和曲线C2:y=ln(x十2). (1)若P为曲线C,上的一动点，当点P到直线y=ex十2的距离最小时，求点P的坐标； (2)若直线1既是曲线C1的切线，也是曲线C2的切线，求直线1的方程. 为中印为公个一得0【十8 ,，w分1，，1，（的， 【高二1月质量检测·数学第3页（共4页）】 HN 18.(本小题满分17分) 设箱圆C等+芹=1a>b>0)的离心率为分，且过点(29W2),有焦点为R (1)求C的方程， (2)若直线x=my十4(m≠0)与C交于不同的M,N两点，证明，直线FM和FN的倾斜角互补. 19.(本小题满分17分) 已知数列{an}的前n项和S.满足2S。-a.=n(n∈N),且a2=3. (1)证明数列{an}为等差数列，并求{a.}的通项公式； (2)设b.= 1 an√a+l+a+iW√an 工，为数列（么）的前n项和，求使T>号成立的最小正整数n的值： (3)在数列c.}中，对任意n∈N,当2≤1<21，k∈N时，6=，若满足6十6a十c十6+ 2 c16m≥23，求正整数m的最小值. 计翅 51,。C,,0,头票理线义国 学5式 【高二1月质量检测·数学第4页（共4页）】 HN高二数学参考答案、提示及评分细则 1,B因为直线的斜率k=一√3，所以其倾斜角为120°.故选B. 2.Du=x'=十2，所以当t=3时，v=11(m/s).故选D 3.C根据题意得号=2，所以PM=3+专-3+2=5.故选C 4B因为2会-8哥哥-会得号-寸-4：所以g-士：放法B 5A了)=号+号f)x,所以了0=3+/0，解得f)=4,则)=+4，所以2)=6区.故 选A 6.C因为S有最小值，所以数列{a,的公差d≥0，又<-1，即s十<0，所以as>0>a,且a+a6>0,所以S。= as 5(a1十ao)=5(a5+a6)>0,S,=9as<0,所以S。为S.的最小正值.故选C 7.C法-：正四面体0ABC中，Mi,AB)=120°，(A店，B)=120°，(MA,B)=90,Mi·A店=号×1×cos120°= -十Ai.B时-1×号×os120=-号，.-号×号×os90-0.M-Mi+Ai+B)-M亦+A亦+ 永+2i·迹+2迹：B+2·B成=+1+音号号+0-器=零故选C 法=：0i.0i=0亦.0元-元.0i=1×1×0s60=号，M=Mi+A8+=oi+(oi-Oi)+号d-O成) =-oi+号0成+号元，1：=(-2i+}O成+心刘°=亦+o亦+0心-}ai.O成+成. 元号心.a=+日+号日+号-号器.M=四放选C 8.D因为P下·P下=0，所以点P在以FF为直径的圆上，故OP=7,联立方程组 16-mm9=1 解得 16-nn9-1, x产=16-m)(16-n2 7 由x2≥0，y2≥>0，<n且m,n∈N”,得0<m<9<n<16,又因为OP|=√7，所以x2+y2= y2-(9-m)(n-9) 16-m16一m+9-m0n-92=7,解得m十n=18,所以有序数对可以为：(3,15)，(4,14)，(5,13)，(6,12)，(7,11) 7 7 (8,10),共6个.故选D. QAC因为e·k=-号×号=-1.所以AB⊥AC,则△ABC是以A为直角顶点的直角三角形，放A正确：因为 AB=|AC=√I3,所以△ABC是等腰三角形，故B正确：由AB⊥AC知△ABC的外接圆是以线段BC为直径的圆， 其圆心为（号，号），半径=四=.所以外接圆方程为(x一是）广+（一号）'-号故C正确：△ABC的重心 坐标为(1生2山，1}牛)，即（号，号），显然不在直线y=x上，放D错误放选A 3 【高二1月质量检测·数学参考答案第1页（共4页）】 HN 10.ABD由题意知，因为AB⊥BC,AB⊥BE,所以∠CBE=120°，以点B为原点，BA,BE所在直线分别为x、y轴，过B点 且垂直于平面ABEF的直线为之轴建立空间直角坐标系B-xyz,如图.因为 AB=1,BC=BE=2,所以A(1,0,0),B(0,0,0),C(0,-1,3),E(0,2,0), F1.2.0.M(分，-，号)N(1,0）,所以M=(o.是-).AB (-1,0,0),A店.M不=0，故A正确：因为C市=(0,3，-3)=2M不，所以MN∥ C压放B正确因为-（士号）.内-（仔2，）所以成-离高惑-器质以直线 IFMIICNI FPM和CN所成角的余弦值为器，故C错误：取平面ABEF的一个法向量为n=(00,),设MN与平面ABEF所成的 角为0.则m0=co家.m1二M川后2因为0≤0<受，所以0吾，放D正确故选ABD 1.BD因为分<袋，故A错误：根据等差数列的性质，若m十n=2p(m,np∈N),则a十a,=2a,又数列1a中各项 均为正数，所以2ap=aw十an≥2√amam,即anan≤a,故B正确：若a,bM,a4+1成等比数列，则候=aa+1,即22-t=4k 一1，显然k=1时不成立，当k≥2时，等式左边为偶数，右边为奇数，所以等式不成立，故C错误：因为=128<s, ,一256>a路，又a1一b一1，所以c1w=as=185,故D正确.故选BD. 12.-e由fx)=ecos,得fx)=c(osr-sinx),则f(受)=e(cos受-sim受）=-e, 13.-4或6圆x2+y一6x一8y-2m十1=0可化为(x一3)2十(y一4)2=24十2m,其圆心坐标为(3,4)，半径r= 24十2n(m>-12.若两圆外切，则√24+2m+1=5,解得m=-4:若两圆内切.则√24+2m-1=5,解得m=6. 14反W)双曲线C:后芳-1的两条渐近线方程为y=士名，因为A1,2)位于上部分，B(-1.-)不位于下部 分，所以1≤名<2，则C的离心率e√+亭∈2w5. a 15.(1)证明：若直线1的斜率为0，则直线1与抛物线C只有一个交点，与已知矛盾，故直线1的斜率不为0，…2分 易知F(1,0),设直线l:x=y十1，A(x1y),B(3), (x=my+1, 由〈 消去x,得y-4my-4=0,△=16m+16>0,… ……4分 y=4x, 所以为=一4，即A,B的纵坐标之积为定值一4.…6分 (2)解：由(1)可知y十次=4m,… …7分 若PA1PB,则Pi.Pi=0,即(M-3)·(2-3)=0, …9分 所以+（0-3090一3》=0，即管+为-30+)+9=0 …11分 解得m=之，所以直线1的方程为2x一y一2=0. 13分 【高二1月质量检测·数学参考答案第2页（共4页）】 HN 16.(1)证明：连接AC交AC1于O,连接OM,则O为A1C的中点， 因为M是BC的中点，所以OM∥AB,… …3分 又OMC平面AMC,AB过平面AMC,所以AB∥平面AMC.…6分 (2)解：由ABC-ABC1是直三棱柱，且AB⊥BC,故BA,BC,BB两两垂直，建立如图所 示的空间直角坐标系，又AB=BC=2AA=6, 则A(0.6,0),M3,0.0).C(6,0,3),4(0,6.3), 则AA=(0,0,3),AM-(3,-6,0).CM=(-3,0,-3).…8分 设平面AMC的法向量为n=(x,y,~), nCM=0,-3x-3e=0 由 得 令x=2,得y=1,g=一2，所以n=(2,1,一2)，…11分 n·AM=0,3.x-6y=0, 又AA,=(0,0,3),设点A到平面AMC的距离为d, 则4=A.m=10X2+0X1+3X(-21=2.… n …15分 √4+1十4 17.解：(1)由题意知，当曲线C在点P处的切线与直线y=ex+2平行时，点P到直线y=ex十2的距离最小，…2分 对y=lnx+2求导，得y=1 令=e,得x= …444…444444044404+444404 …4分 所以点P的坐标为（二）】 *++ …6分 (2)由题意可设直线l的方程为y=kx十b,l与曲线C,和曲线C的切点分别为(x,kx1十b),(x2,k十b), 由号数的儿何意义可得一名-十2得4=丝十公、 …8分 kx+b=lnx十2， 再由切点也在各自的曲线上，可得 11分 kx2十b=ln(x+2), 联立上述式子解得k=1,b=1, 所以直线（的方程为y=x十1. 15分 181解：设1FF=2.又因为=合-之所以a=2,又因为心2-6=，所以b=3,…2分 椭圆C的方程为十兰=2，即372十4y2=122,… 将(25E)代入得4+8=12，所以2=1 所以椭圆C的方程为+专=1 …6分 【高二1月质量检测·数学参考答案第3页（共4页）】 HN ,x=my十4， (2)证明：联立方程组 消去x并整理得(3m2+4)y2+24my+36=0. +号1 设M(x1,y),N(xy),所以y1十3= 24n 36 3m+4y为=3n+4 小…9分 又1.0.所以e+w=”十当=a》-m+a+ (x1-1)(x2-1) (0-10(2-1) ,…13分 因为%60m的+3十3%mn+3》=2m%+30十%)=2m×35十3X(一32)=0，…16分 所以kF十kF=O,则直线FM和FN的倾斜角互补.… …17分 19.解：(1)当n≥2时，2S-1-(n-1)a-1=1-1, 又2Sn一☑w=,所以(n-1)☑m1一(n一2)以n=1,…2分 当n≥3时，(n-2)a#-z-(n-3)ae-1=1, 所以(n-1)ag-1-(n-2)am=(n-2)aw-g-(n-3)am-1, 可得2a=am十a-2,所以{an}为等差数列.…4分 又2S一a1=1,得a1=1,又a2=3,所以公差d=2,aw=21-L.…6分 (2)bn= 1 amaw+1十am+1√aw√awv√a+1(a,+√a+)√2n-l·√2n+I(√2n-I+2n+1) 1 …9分 ，…10分 要使T>号，即(-2南)）>号， 解得n>12,所以最小正整数n的值为13. 11分 (8)2<<2,即2*≤mg， 不妨设2*≤m<2+1,k∈N”,mEN”,则cm=k.… 12分 因为2+1≤2m<2+2,所以c2m=k+1, 同理cn=k十2，心gn=k十3，C1m=k十4，…14分 所以cm十2m+cm+Cw+G1m=k+(k+1)+(k+2)+(k+3)十(k+4)=5k+10, 所以5k+10>23,解得k>号，又k∈N,所以k的最小值为3， 故m的最小值为2=8.… …17分 【高二1月质量检测·数学参考答案第4页（共4页）】 HN