河北省沧州市部分校联考2024-2025学年高二上学期1月期末教学质量监测数学试题

沧州市2024一2025学年第一学期期末教学质量监测 高二数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自已的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一、二册。 啜 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 地 1.已知直线1的一个方向向量为(1，一√3)，则下列直线与1垂直的是 A.x+√3y-1=0 B.x-√5y-1=0 的 C.√3x+y-1=0 D.√5x-y-1=0 y2 长 2,已知方程 m+1T1+2m =1表示椭圆，则实数m的取值范围是 A(-1,-》 B.(-2o) c(-1,-2Uo,+o) D.(-z.0)U(0,+oo) 郡 4 3.在数列(a.)中，若a1=1,a+1=2-0则a0m= 郝 A吉 B.1 C.4 D.-2 阁 4.圆C:x2+y2+4x=0和圆D:x2+y2-2x-8y-32=0的位置关系为 A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 f)-f() 5.已知函数f(x)=sin(cosx),则lim 受 t-受 A.1 B.0 C.-1 D.sin 1 6,在斜四棱柱ABCD-A1B,CD,中，AA1=AB=BC=CD=号 A AD=1, BCAD,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=S,则IA1C|= A.√2 B.3 C.2W2 D.2√3 【高二数学第1页（共4页）】 藏回出 人3y2 、7.已知F是椭圆C号大 =1(a>b>0)的左焦点，0为坐标原点，若C上存在一点P,使得 △OPF是以PF为底边的等腰三角形，则C的离心率的取值范围为 A9,) B[2 c(o] n.(o,2] 8.若|2一1|≥ax恒成立，则实数a的取值范围是 A.(-∞，ln2] B.[0,ln2] C.(-∞，1] D.[0,1] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知等比数列{an}的公比不为1，设{an}的前n项和为Sn,若a1=1,且a3,a2,a4成等差数 列，则下列说法正确的是 A数列{an}的公比为2 B数列S.一}为等比数列 C.数列(log2a+1|}是公差为1的等差数列 D.a2ag…aga10=25 10.已知函数f(x)=x3一ax2一x十1，则下列说法一定正确的是 A.f(x)有两个极值点 B.存在正数x0,使得f(x)在(0，xo)上单调递增 C,存在正数xo,使得f(x)在(0，xo)上单调递减 D.直线y=一x十1是曲线y=f(x)的一条切线 11,设抛物线E:x2=2y(p>0)的焦点为F,直线y=x十1(k>0)与抛物线相交于A,B两 点，与工轴相交于点C,lAF1=号，BF1=4,则 A力的值为4 B及=号 C.|AB|=317 D.△BFC的面积与△AFC的面积之比为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知平面a经过点A(1,0,2),且向量n=(一2,1,3)是平面a的法向量，则点P(3,2,一2) 到平面&的距离为▲ 13.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,若xf(x)十f(x)>0,且f(一1)=2，则 不等式f红)十品<0的解集为▲一 14.已知数列{an},(bn}满足a1=1,b1=0,4am+1十an=bn十2,4bn+1十bn=an十2，则数列{an} 的通项公式an=▲，{bn}的通项公式bm=▲_ 【高二数学第2页（共4页）】 霸®出 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 已知圆M过点A(0,0),B(一4,0)，C(-4,8). (1)求圆M的标准方程； (2)若直线1过点(1,0)且与圆M交于P,Q两点，且|PQ|=4,求直线L的方程， 16.(15分) 已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且满足a2=3,4Sn=a异十2am十m. (1)证明数列{an}为等差数列，并求出它的通项公式； (2求十1十1十+，1的值 aiaz aza3 a3ai a100a101 17.(15分) 如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，DE⊥底面ABCD,AF∥DE,且AD= AF-DC-1,DE-AAF,A>0. (1)当λ=2时，求直线CF与平面BCE所成角的正弦值， (2)是否存在实数λ，使得D在平面EFC内的射影恰好为△EFC的重心？若存在，求出λ： 若不存在，请说明理由。 【高二数学第3页（共4页）】 霸国世 18.(17分) 已知A,A:分别是双通线C后-芳=1a>0,b>0)的左右顶点，AA,1=4点2， 1)是C上一点.过点T(号，0)的直线1与双曲线C的右支交于M,N两点。 (1)求C的方程； (2)若l的斜率为1，求|MN|: (3若直线A,M,A:N的斜率分别为1，k:,证明莞是定值 牌 $ 19.(17分) 定义：x1,x2,x3(x1<x2<x)是函数y=f(x)的三个零点，若x一x2>x2一x1,则称 ☑ f(x)为“增差函数”，若x一x2<x2一x1,则称f(x)为“减差函数”，若>，则称f(x) T2 1 为"增比函数”若<会则称心✉)为孩比函数” (1)已知函数f(x)=x3一8x2十19x一12，判断f(x)是否为“增差函数”“减差函数”“增比函 湘 数”“减比函数” (2)已知函数f(x)=(x一1)e2一ax2十ax(x>0)有三个零点. 哦 (i)求a的取值范围； ()证明：f(x)为“增差函数”，为“减比函数”， 霄 【高二数学第4页（共4页）】 闔园a世 沧州市2024一2025学年第一学期期末教学质量监测 高二数学参考答案 1.B 由题意知直线1的斜率为。一尽，则直线x一5y一1=0与1直，故选B m+1>0, 2.D依题意2m十1>0， 解得-<m<0或m>0. m+1≠2m+1, 3.C由题意得a1=1,a2=4,a3=一2，a4=1,…,故{an}是以3为周期的周期数列，a1o1=a2=4. 4.A圆C:x2+y2+4x=0,可化为(x+2)2+y2=4,所以圆心C(一2,0)，半径为2，圆D:x2 +y2-2x一8y-32=0,可化为(x-1)2+(y-4)2=49,所以圆心D(1,4),半径为7，则 1CD1=√(1+2)2+4=5=|r1-r2|,故圆C和圆D内切. f)-f() 5.C由题意得f'(x)=sinx·cos(cosx),故lim =f()=sin - cos(cos）=-1×c0s0=-1, 6.A AC-AA+AB+BC--AA+AB+AD, 则1A1C=/(-AA+A店+号AD)° =√AA+A+4市-2AA·A-AA,Ai+A店.A西 -V1+1+4x-2×1X1×合-1x2x2+1x2x7-反. 7.A令F2是C的右焦点，由题可知|OP|=|OF|,所以存在点P使得PF⊥PF2,设A为椭 圆的上顶点，所以∠FAF,≥受，所以C的离心率e=后=sin2∠FAFa,故e∈[号，1). 8.B令f(x)=|2一1|，作出f(x)的图象，如图： 由图象可知，要使f(x)≥ax恒成立，只需直线l:y=ax的图象恒在f(x)图象的下方. 【高二数学·参考答案第1页（共6页）】 擱细年 若直线l为曲线的切线，且此时函数f(x)=|2一1|在x≥0的部分的解析式为f(x)=2 -1,则f'(x)=2rln2,f'(0)=ln2,所以a的取值范围为[0，ln2]. 9.BC设数列{an}的公比为q,由a3,a2,a4成等差数列，得a3十a4=2a2,整理得q2十q一2= 0,则g=-2a,=1×(-21=(-2,8-1X0220四=1（号2所以5。-号 1+2 =一（气2少是等比数列，lgla=l6g,2=a,loga-1ogaa+=(a+1）-a=1, 所以数列{log2 la+1}是公差为1的等差数列，a2a3…aga1o=(-2)1+2+3++9=(一2)5= -25,故选BC. 10.ACDf'(x)=3x2-2ax-1,令f'(x)=3x2-2a.x-1=0,则△=4a2+12>0,所以f(x) 有两个极值点，A正确；设x1,x(x<x:)为f(x)的两个极值点，则x1x:=一弓<0，所以 x1<0<x2,所以f(x)在（一∞，x1)和(x2,十∞）上单调递增，在(x1,x2)上单调递减，B错 误，C正确；因为f(0)=1,f'(0)=一1，所以曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y= 一x十1，D正确. 1.ABD设A(x1),B(x42),联立一十1·可得-2p6x-2p=0,所以石1十，= Ax2=2py, 2p映11=-2p,放n-=1.因为AP1=号，BF1=4,所以=号-名：=4 5 4p2 -号，则（号-）×(4-)=1，解得p=4或p=9.因为号->0，所以p=41=号， 1 y2=2.又k>0,所以A(-2,2),B(4,2),则-2+4=2×4k,解得k=子，AB1= ++-3四写聚-头-故速Am 12.√年A市-(2,2，一40，由点到平面的距离公式，可知d=A户：m-一4+2-12L 1n√(-2)2+12+3 √14. 13.(-1,0)由xf'(x)十f(x)>0,可得[xf(x]'>0,令g(x)=xf(x),则g(x)在R上单 调递增，且g(-1)=-2.当x>0时，由f(x)+是<0，可得f(x)<-2,即g(x)< g-1,所以x<-1,无解：当x<0时，由fx)+2<0,可得xf(x)>-2,即gx)> g(一1，所以x>-1,则-1K<0,综上，不等式fx)十2<0的解集为(-1,0. 1+(-)1-(-) 14. 2 2 4an+1十am=bn十2①，4bm+1十bn=an十2②， 【高二数学·参考答案第2页（共6页）】 擱®好 ①十②得am+1十bn+1=1,因为a1十b1=1,所以an十bn=1. ①-®得at1-61=-号a,-6,所以a,-6,=(1-0)×(-2)=(-2),即 +”” 2 2 15.解：(1)设圆M的一般方程为x2+y2+Dx十Ey十F=0. F=0, 将点A(0,0),B(-4,0),C(-4,8)代入圆M的方程，可得16-4D+F=0, 16+64-4D+8E+F=0, ……3分 D=4, 解得E=一8，故圆M的一般方程为x2+y2+4x一8y=0,即圆M的标准方程为(x+2)2 F=0, +(y-4)2=20. 5分 (2)由|PQ|=4,可知圆心M到直线l的距离d=√(2√5)2-2=4， 7分 当1的斜率不存在时，不符合题意. 8分 设直线l的方程为y=k(x一1)，即kx一y一k=0, 所以一26一4二=4， 10分 √k2+1 得7k2+24k=0,所以k=0或6=4， 所以直线1的方程为y=0或y-华(x-1),即直线1的方程为y=0或24x-7)-24=0, …13分 16.解：(1)由4Sn=a7+2am十m可得4Sm+1=a员+1+2am+1十m, 相减可得a员+1一a员十2am+1一2an=4Su+1一4Sn=4am+1,…2分 所以a+1一a2=2(a+1十an),可得(am+1十an)(am+1一an一2)=0，…3分 因为{an}为正项数列，所以am+1十am>0,a+1一an一2=0，…4分 则am+1一an=2,数列{an}为等差数列，且公差为2，…5分 故an=a2十2(n-2)=2n-1.… 8分 (2)因为1 1 …11分 所以+…+a=(1-+号-+-+…+》 aia2 a2a3 a3a a100a101 100 201' 15分 【高二数学·参考答案第3页（共6页）】 霸金 17.解：由题易得直线DA,DC,DE两两垂直，故以D为坐标原点，DA,DC,DE所在直线分别 为x轴，y轴，之轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxy之， (1)因为1=2，所以F(1,0,1),B(1,2,0),C(0,2,0),E(0,0,2), C第=(1,0,0)，CF=(1,-2,1),CE=(0,-2,2).…2分 设平面BCE的法向量为m=(x,y,之)， m·CB=0,n1x=0, 所以 即 m.C克=0，即-2y+2z=0, x=0,取y=1,则x=1, 所以平面BCE的一个法向量为m=(0,1,1).…4分 设直线CF与平面BCE所成的角为0，则sin0=|cos(C京，m)川= C京.ml_」 13 C1lml√2X66 所以直线CF与平面BCE所成角的正弦值为 6 7分 (2)设△EFC的重心为G,则D(0,0,0),F(1,0,1),C(0,2,0),E(0,0,A), 所以萨=-1，-2,1.正=0.-2a0.c(分号2).D=(号号2).…9分 设平面EFC的法向量为n=(a,b,c), 所以 mC市=0，即-2b+c=0”取6=X,则c=2,a=2以-2，即n=(2入-2入，2)，… 即 m.C克=0，即-26+ac=0, 12分 假设D在平面EFC内的射影恰好为△EFC的重心，则DGm,…13分 是 2+1 3 所以2以二2一六=？，入无解，故不存在实数入，使得D在平面EC内的射影恰好为 △EFC的重心.… 15分 18.(1)解：由A1A2|=4,可得2a=4,解得a=2,… 1分 点2E,1是C上一点所以是京=1，解得6=1 2分 所以C的方程为一y2=1. 3分 (2)解：l的方程为y=x- 2 4分 5 y=z- 2 联立 即3x2-20x+29=0, x -y2=1, 设M1y),N(x2y),则x1十x2= 3x1x2= 29 3 7分 【高二数学·参考答案第4页（共6页）】 霸® 所以弦长1MN1=牛T·√+-4红-EX√9'-4x-2西 …10分 (3)证明：设Mx1y,N(x32),l:x=my+号，易知A1(-2,0),A:(2,0, 直线与双曲线联立 得6m2-4y+5my+号=0. 4-y2=1, y1十y2= -5m m2-4 所以 9 12分 4 y1y2=m2-4' 哈主-8+ y1 1 myy2十2y y2(x1+2) ……14分 9 x2一2 y2(my1+ myiy27 m 2m 5m 2 =2my1+(y十y2)-业_m2-4m2-4y2 m2-4y2 1 2my1y2+9y2 9 2m m2-4 +9y2 2m m2-4 9y2 故是定值- 5“**4:454:444.17分 19.(1)解：f(x)=x3-8.x2+19x-12=x3-8.x2+7x+12(x-1)=x(x-1)(x-7)+12(x- 1)=(x一1)(x2-7x+12)=(x一1)(x一3)(x-4),所以1,3,4是函数y=f(x)的三个零 点，…3分 因为4一3<3一1，所以f(x)是“减差函数”，不是“增差函数”，…4分 又因为号<号，所以f女)是我比函数，不是增比函数、…5分 (2)(i)解：f(x)=(x-1)e-a.x2+a.x=(x-l)(e-ax),…6分 令f(x)=0,则x=1,e-ax=0.…7分 由e=axu>0)可得a- 设函数y=g（x>0),则y=E(x-1D 当x∈(0,1D时y<0,则函数y-兰在(0,1)上单调递减， 【高二数学·参考答案第5页（共6页）】 屬巴 当x∈(1，十∞)时，y>0,则函数y=二在(1，十∞)上单调递增。 因为函数f(x)=(x一l)e一ax2+ax(x>0)有三个零点，所以a>e,即a的取值范围为 (,十0∞).…10分 (im)证明：由（可设0<x1<x:=1<x则e1=ax1,e=ax,则a=。3-c x3一x1 ,且x1= …11分 a 要证明fx)为“增差函数”，只需证明x,-1>1-1,即1十x>2,即+c >2,即 +e>名即出是 es-e I3-z1'ea-1-1 13-I1 ,…12分 令x3一x1=t,则t>0,则只需证t(e'+1)一2(e一1)>0. 令g(t)=t(e+1)-2(e-1)(t>0),则g'(t)=(t-1)e+1,g"(t)=te>0, 则g(t)在(0，+∞)上单调递增，则g'(t)>(0一1)e°+1=0， 则g(t)在(0，+∞)上单调递增，则g(t)>0×(e°+1)-2×(e°一1)=0，即x1十x3>2成 立，故f(x)为“增差函数”.…13分 要证明fx)为减比函数”，只需证明子<，即x1,<1,其等价于 a<l,即ee< x3-x1 <《无】无……14分 左边分子、分母同时除以e2,得 e- 则只需证D<(》八，即e-t+1<0 令h()=te-e+1>0,则h')=e(-e+2+1小， 令m)=-e++1,则m'e)=21-e)<0, 所以m)在0，十∞)止单调递减，则m(e)=-+号+1<-。2+号+1=0，所以h(:) <0,所以h(2)在(0，十∞)上单调递减，则h()<0Xe-e+1=0,即x1x<1成立，故 f(x)为“减比函数”.…17分 【高二数学·参考答案第6页（共6页）】 矚巴