第7章 一元一次不等式 数学活动 课件 2024-2025学年华东师大版数学七年级下册

数学活动 华东师大版七年级数学下册 7 球赛出线问题 我们观看各种球赛时，总是对比赛结果充满了期待. 例如：中国男子篮球队所在小组有六支球队，小组前 4 名出线，那么中国队要想小组出线，至少应该取得几场胜利？在现实生活中，还有许多更复杂的赛况，那么怎样分析出线问题呢？请研究如下问题. 篮球比赛中每一场都要分出胜负， 胜一场得 2 分，负一场得 1 分. 问题 某次篮球联赛中，火炬队与月亮队要争夺出线权. 火炬队当时的战绩是 17 胜 13 负（其中有 1 场以 4 分之差负于月亮队），后面还要比赛 6 场（其中包括再与月亮队比赛 1 场）；月亮队当时的战绩是 15 胜 16 负，后面还要比赛 5 场. 积 47 分 积 46 分 （1）为确保出线，火炬队在后面的比赛中至少要胜多少场？ 解 要确保火炬队出线，只需考虑月亮队后面的 5 场全胜，火炬队积分仍然占优即可. 目前火炬队的积分为 17×2 + 13×1 = 47（分），月亮队的积分为 15×2 + 16×1 = 46（分）. 设火炬队后面的 6 场比赛胜 x 场 则 47 + 2x +（6－x）> 46 + 2×5，解得 x > 3. 因为 x 为正整数，所以火炬队在后面的比赛中至少要胜 4 场. 火炬队的积分不少于月亮队即可出线，易知月亮至多能积 55 分. （2）如果火炬队在后面对月亮队的 1 场比赛中至少胜月亮队 5 分，那么它在后面的比赛中至少胜几场就一定能出线？ 设火炬队在后面的 5 场其他比赛中胜 x 场， 则 47 + 2(x + 1) + (5－x)  55，解得 x  1， 即火炬队在后面的其他比赛中至少胜 1 场就一定能出线. （3）如果月亮队在后面的比赛中 3 胜（包括胜火炬队 1 场）2 负，那么火炬队在后面的比赛中至少要胜几场才能确保出线？ 月亮队的积分为 46 + 3×2 + 2＝54 (分)，火炬队对月亮队两场均负，故火炬队的积分占优才能出线. 设火炬队后面的 6 场比赛胜 m 场，则 47 + 2m + (6－m) > 54，解得 m > 1. 因为 m 为正整数，所以火炬队在后面的比赛中至少要胜 2 场才能 确保出线. （4）如果火炬队在后面的比赛中 2 胜 4 负，未能出线，那么月亮队在后面比赛中的战果如何？ 火炬队的积分为 47 + 2×2 + 4＝55 (分). 若火炬队“2 胜”中包括 1 场胜月亮队且超过 4 分，则月亮队的积分需超过 55 分，设月亮队后5 场比赛胜 a(a  4)场，则 46 + 2a + (5－a) > 55，解得 a > 4，矛盾！ 故火炬队后面的比赛中未出现“胜月亮队且超过 4 分”的情况. 因此，月亮队的积分只要不小于 55 分即可出线，设月亮队后 5 场比赛胜 b 场，则46 + 2b + (5－b)  55，解得 b  4.所以月亮队在后面 5 场比赛中至少胜 4 场. 训练提升 A 组 1. 如图是高速公路上的一块限速标志牌的一部分. 设小汽车的速度为 v（单位：km/h），则 v 的 取值范围可表示为_____________. 60  v  100 2. 解下列不等式组： 4 + 2x > 7x + 3， ① 4x + 5 < 3x + 6. ② （1） 2x－5 < 3x － 5， ① 6x －3 < 6－3x. ② （2） 解：（1）解不等式①，得 x < . 1 5 所以原不等式组的解集是 x < . 1 5 解不等式②，得 x < 1. 2. 解下列不等式组： 4 + 2x > 7x + 3， ① 4x + 5 < 3x + 6. ② （1） 2x－5 < 3x － 5， ① 6x －3 < 6－3x. ② （2） （2）解不等式①，得 x > 0. 所以原不等式组的解集是 0 < x < 1. 解不等式②，得 x < 1. 2. 解下列不等式组： 4x + 50 < 8x + 3， ① 4x － 7  6x － . ② （3） 5x + 4 < 3(x + 1)， ①  . ② （4） 5 7 x － 1 2 2x－1 5 解不等式②，得 x  － . 22 7 （3）解不等式①，得 x > . 47 4 所以原不等式组的解集是 x > . 47 4 2. 解下列不等式组： 4x + 50 < 8x + 3， ① 4x － 7  6x － . ② （3） 5x + 4 < 3(x + 1)， ①  . ② （4） 5 7 x － 1 2 2x－1 5 解不等式②，得 x  3. （4）解不等式①，得 x < － . 1 2 所以原不等式组无解. 3. 求不等式组 2  3x－7 < 8 的所有整数解. 解法一：原不等式组为 2  3x－7，① 3x－7 < 8. ② 所以原不等式组的解集是 3  x < 5. 所以原不等式组的所有整数解为 3、4. 解不等式①，得 x  3. 解不等式②，得 x < 5. 3. 求不等式组 2  3x－7 < 8 的所有整数解. 解法二: 因为 2  3x－7 < 8，所以 9  3x < 15， 所以 3  x < 5. 所以原不等式组的所有整数解为 3、4. 4. 解不等式组  1， ① x + 2 < 2x . ② 2x － 1 3 并把它的解集在数轴上表示出来. 解：解不等式①，得 x  2. 解不等式②，得 x > 2. 所以原不等式组的解集是 x > 2，如图所示. 1 0 2 3 4 －1 －2 －3 －4 5. 整数 a 的一半与 1 的差不小于 0 且不大于 3，求 a 的值. 解：由题意，得 0  a－1  3， 1 2 所以 2  a  8. 又因为 a 是整数，所以 a 的值为 2，3，4，5，6，7，8. 6. 某研学小组由 a 名男生和 b 名女生组成，已知男生人数多于女生人数，女生人数的 2 倍多于男生人数. （1）列出 a、b 满足的不等式. （2）该研学小组最少有多少名学生？ 解:（1）b < a < 2b. （2）由题意可知 a、b 是正整数. 当 b 为 1 时，1< a < 2，没有符合要求的 a 的值，因此 b 不为 1； 当 b 为 2 时，2< a < 4，a 可以取 3，符合题意. 因此，a 最小为 3，b 最小为 2. 3 + 2 = 5，故该研学小组最少有 5 名学生. B 组 7. 若关于 x 的不等式组 2a－1  x  2 + a 有且只有一个解， 求 a 的值. 解：由题意，得 2a－1 = 2 + a. a = 3. 8. 已知关于 x 的不等式组 x － 1 < x， ① 2x + 1 < m. ② 3 4 （1）若该不等式组的解集为－4 < x < 4，求 m 的值； 解：解不等式①，得 x > －4. 解不等式②，得 x < . m－1 2 所以 = 4. m－1 2 （1）因为该不等式组的解集是 －4< x < 4， 所以 m = 9. （2）若该不等式组恰有一个整数解，求 m 的取值范围. 8. 已知关于 x 的不等式组 x － 1 < x， ① 2x + 1 < m. ② 3 4 （2）因为该不等式组恰有一个整数解， 所以这个整数解为－3， 所以－3 <  －2. m－1 2 所以－5 < m  －3. 9. 学校给学生安排宿舍，如果每间住 4 人，还有 26 人安排不下； 如果每间住 6 人，则至多可以空出 1 间宿舍，那么，学校的 宿舍可能有多少间？ 解: 设学校的宿舍有 x 间. 由题意，得 6x－6  4x + 26  6x. 所以 13  x  16. 所以学校的宿舍可能有 13 间或 14 间或 15 间或 16 间. $$