江西师范大学附属中学红谷滩区滨江分校等校联考2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

江西师大附中九年级数学期末试卷 2025.1 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是 A B 2.下列各数中，倒数等于本身的是()》 A.3-1 B.2 C.√2 D.2 3.运动会颁奖台如图所示，它的左视图是() 主视方向 D 4.下列运算正确的是（) A.√⑧-√2=√6 B.(x-1)2=x2-1 C.a3.a2=a5 D.√27÷3=√5 5.物理中有一种现象，叫折射现象，它指的是当光线从空气射入水中时，光线的传播方向 会发生改变.如图，我们建立折射现象数学模型，MN表示水面，它与底面EF平行，光 线AB从空气射入水里时发生了折射，变成光线BC射到水底C处，射线BD是光线AB 的延长线.若∠1=70°，∠2=42°，则∠DBC的度数为() 空 B E A.42 B.28 C.32° D.38 6.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a(x-2)2+k与x轴交于(m,0),(n,0)两点，其 中m<n,将此抛物线向下平移，与x轴交于(p,0),(g,0)两点，其中p<q,下面结论 正确的是() A.当a>0时，m十n=p+q,n-m>q-p B.当a>0时，m+n>p+q,n-m=g-p C.当a<0时，m+n=p+q,n-m>9-p D.当a<0时，m十n>p+q,n一m=q-P 九年级数学期末试卷第1页共8页 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7.分解因式：m2-4= 8.过度包装既浪费资源又污染环境，据测算，如果全国每年减少10%的过度包装纸用量， 那么可减排二氧化碳4280000吨.把数4280000用科学记数法表示为 9.★若a、B为x2-5x-1=0方程的两个实数根，则的ca2-5a+3aB值为 10.我国古代数学专著《九章算术》中记载：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几 何？注释：宛田是指扇形状的田，下周是指弧长，径是指扇形所在圆的直径.那么，这 口宛田的面积是 平方步. 11.▲如图，在平面直角坐标系中，△4BC与△AB'C的相似比为1：2，点A是位似中心，已 知点A(2,0),点C(a,b),∠C=90°.则点C的坐标为 ·(结果用含a,b的式 子表示) C y个 B E 第11题 第12题 12.如图，在△ABC中，∠CAB=60°，∠B=75°，AB=4,AD平分∠CAB交BC于点D,在 AB边上存在一点E(不与点B重合)，作△DBE关于直线DE的对称图形为△DFE,若点 F落在△ABC的边上，则DE的长为 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13.(1)计算：327-c0s60°-（-1)°. (2)如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,E、D分别是BC、AC上的点，且 ∠AED=45°，求证：△ABE一△ECD. 九年级数学期末试卷第2页共8页 14.如图，均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1， 点A,B均在格点上，在给定的网格中使用无刻度的直尺按要求画图. (1)在图①中，以线段AB为腰画一个等腰直角三角形ABC. (②)在图②中，以线段AB为直角边画一个直角三角形ABD,并且使am∠B4D=号. B B 图① 图② 15化简求值：华x÷(一要2)，再从-2,01,2中选取一个合适的数代入求 值. 16.旅客在网购车票时，系统是随机分配座位的，胡某和杨某打算购买从南昌西到上海虹 桥的高铁车票（如图所示，一排中的座位编号为A,B,C,D,F).假设系统已将两人的 位置分配到同一排后，在同一排分配各个座位的机会是均等的 (1)“系统分给这两个人A,G座位”是 (填“必然”或“不可能”或“随机”）事件； (2)利用画树状图或列表格，求系统分配给胡某和杨某相邻座位（过道两侧座位C,D不 算相邻)的概率 取消 选择一个座位 确认 A B 过道 九年级数学期末试卷第3页共8页 17.为鼓励学生加强强身健体，学校计划购买一批篮球和排球，根据学校实际，决定共购买 30个排球，20个篮球，共花费2560元，若篮球和排球的单价之和为104元. (1)求篮球和排球的单价： (2)据不完全统计，每个学年篮球的损耗率是排球的损耗率的两倍，若学期末这批篮球 和排球最多剩下43个，求排球的最大损耗率. 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.如图，在平面直角坐标系中，直线1：y=2x+b分别与x轴，y轴交于点A,B(0,1),且直 线1经过双曲线CD:y=m(1≤x≤3)的左端点C. (1)求点A的坐标和m的值， (2)平移直线1到直线1'的位置，使其经过双曲线的右端点D,交x轴于点E,求AE的 长 Ay B A D E 19.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD, CF,且∠DCF=∠CAD (1)求证：CF是⊙O的切线： (2)若直径AD=10,cosB=号，求FD的长， B 0 九年级数学期末试卷第4页共8页 20.▲如图1，是南昌八一起义纪念塔，象征着革命的胜利.某校数学社团的同学们欲测量 塔的高度.如图2，他们在第一层看台ED上架设测角仪EF,从F处测得塔的最高点A 的仰角为42°，测出DE=BC=23m,台阶可抽象为线段CD,CD=20W3m,台阶的坡角 为30°，测角仪EF的高度为2.5m,塔身可抽象成线段AB. (1)求测角仪EF与塔身AB的水平距离： (2)求塔身AB的高度.（结果精确到0.1） (参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，√3≈1.73) F42 B 130 D 图1 图2 九年级数学期末试卷第5页共8页 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21.教育局为进一步开展“睡眠管理”工作，对某校部分学生的睡眠情况进行了问卷调查。 设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是： (A组：x<8;B组：8≤x<8.5;C组：8.5≤x<9:D组：9≤x<9.5:E组：x≥9.5.) 根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题： 小人数 40 3 0 15% 25 20% B D 10 5 0 A B C D E组别 (1)本次共调查了 名学生，这部分学生睡眠时间的中位数在 组： (2)在扇形统计图中，C组所对应的扇形圆心角的度数为 °，并请你补全条形统 计图（两处）： (3)该校现有7000名学生，请估计平均每天的睡眠时间为9小时及以上的学生共有多 少人？ 九年级数学期末试卷第6页共8页 22.如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为h=1.2米.建立如图2 所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分 图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG,其水平宽度DE=2米，竖直高度EF=0.7 米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口 的水平距离为2米，高出喷水口0.4米，灌溉车到绿化带的距离OD为d米. 喷水口 上边 h0. H h B 图1 图2 (1)求上边缘抛物线喷出水的最大射程OC; (2)求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标： (3)若d=3.2米，灌溉车行驶时喷出的水能不能浇灌到整个绿化带？请说明理由。 九年级数学期末试卷第7页共8页 六、解答题（本大题共12分） 23.【问题情境】： (1)如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右 侧作正方形CEFG,连接DG、BE,则DG与BE的数量关系是 【类比探究】： (2)如图2，四边形ABCD是矩形，AB=4,BC=6,点E是AD边上的一个动点，以CE 为边在CE的右侧作矩形CEFG,且CG:CE=2:3,连接DG、BE. 判断线段DG与BE有怎样的数量关系：，并说明理由： 【拓展提升】： (3)如图3，在(2)的条件下，连接BG,求号BG+BE的最小值. E E C B 图1 图2 图3 九年级数学期末试卷第8页共8页第 1⻚（共 23⻚） 九年级数学期末试卷答案 2025.1 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D A C D B C ⼀．选择题（共 6⼩题） 1．为宣传我国⾮物质⽂化遗产创新传承与发展，我校开展了征集“⼆⼗四节⽓”标识活动，下⾯四幅作品分 别代表“⽴春”、“芒种”、“⽩露”、“⼤雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念进⾏判断即可． 【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．下列各数中，倒数等于本身的是（ ） A．3 −1 B．2 C． 2 D． 1 2 【分析】根据倒数的定义，逐个进⾏化简判断即可． 【解答】解：A、3 −1=−1，﹣1的倒数是﹣1，故本选项符合题意； B、2的倒数为 1 2，故本选项不符合题意； C、 2的倒数为 1 2 = 2 2，故本选项不符合题意； D、 1 2的倒数为 2，故本选项不符合题意． 故选：A． 第 2⻚（共 23⻚） 【点评】本题考查了倒数的定义，⽴⽅根，分⺟有理化，熟练掌握知识点是解题的关键． 3．某运动会颁奖台如图所示，它的左视图是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据左视图是从左边看得到的图形，可得答案． 【解答】解：从左边看是⼀个矩形被分为 3部分，上⾯的分线是实线，下⾯的分线是虚线． 故选：C． 【点评】本题考查由三视图判断⼏何体，简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意能 看到的线⽤实线画，看不到的线⽤虚线画． 4．下列运算正确的是（ ） A． 8− 2= 6 B．（x﹣1）2＝x2﹣1 C．a3•a2＝a6 D． 27÷3= 3 【分析】利⽤⼆次根式的减法的法则，完全平⽅公式，同底数幂的乘法的法则，⼆次根式的除法的法则 对各项进⾏运算即可． 【解答】解：A、 8− 2= 2 2− 2= 2，故 A不符合题意； B、（x﹣1）2＝x2﹣2x+1，故 B不符合题意； C、a3•a2＝a5，故C不符合题意； D、 27÷3= 3 3÷3= 3，故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查⼆次根式的混合运算，同底数幂的乘法，完全平⽅公式，解答的关键是对相应的 运算法则的掌握． 5．物理中有⼀种现象，叫折射现象，它指的是当光线从空⽓射⼊⽔中时，光线的传播⽅向会发⽣改变．如 图，我们建⽴折射现象数学模型，MN表示⽔⾯，它与底⾯ EF平⾏，光线 AB从空⽓射⼊⽔⾥时发⽣了 折射，变成光线 BC射到⽔底C处，射线 BD是光线 AB的延⻓线．若∠ 1＝70°，∠ 2＝42°，则∠ DBC的 度数为（ ） 第 3⻚（共 23⻚） A．42° B．28° C．32° D．38° 【分析】由平⾏线的性质可得∠ MBC＝∠ 1＝70°，再由对顶⻆相等可得∠ MBD＝∠ 2＝42°，从⽽可求∠ DBC的度数． 【解答】解：∵ MN∥ EF，∠ 1＝70°， ∴ ∠ MBC＝∠ 1＝70°， ∵ ∠ MBD＝∠ 2＝42°， ∴ ∠ DBC＝∠ MBC﹣∠ MBD＝28°． 故选：B． 【点评】本题主要考查平⾏线的性质，解答的关键是熟记平⾏线的性质：两直线平⾏，内错⻆相等． 6．在平⾯直⻆坐标系 xOy中，抛物线 y＝a（x﹣2）2+k与 x轴交于（m，0），（n，0）两点，其中m＜n．将 此抛物线向下平移，与 x轴交于（p，0），（q，0）两点，其中 p＜q，下⾯结论正确的是（ ） A．当 a＞0时，m+n＝p+q，n﹣m＞q﹣p B．当 a＞0时，m+n＞p+q，n﹣m＝q﹣p C．当 a＜0时，m+n＝p+q，n﹣m＞q﹣p D．当 a＜0时，m+n＞p+q，n﹣m＝q﹣p 【分析】分 a＞0和 a＜0两种情况，根据平移的性质画出函数图象，由函数的性质结合函数图象解答即 可． 【解答】解：当 a＞0时，如图所示： 第 4⻚（共 23⻚） ∵ 抛物线的对称轴为直线 x＝2， ∴ m+n＝p+q＝4，且 n﹣m＜p﹣q； 当 a＜0时，如图所示： ∵ 抛物线的对称轴为直线 x＝2， ∴ m+n＝p+q＝4，且 n﹣m＞p﹣q． 故选：C． 【点评】本题考查抛物线与 x轴的交点，平移的性质以及函数的图象，解题关键是利⽤数形结合的思想 进⾏解答． 声明：试题解析著作权属菁优⽹所有，未经书⾯同意，不得复制发布⽇期：2025/1/220:43:19；⽤户：吴晶；邮箱：18070391902；学号：25423499 ⼆．填空题（共 6⼩题） 7．分解因式：m2﹣4＝ （m+2）（m﹣2） ． 【分析】本题刚好是两个数的平⽅差，所以利⽤平⽅差公式分解则可．平⽅差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a 第 5⻚（共 23⻚） ﹣b）． 【解答】解：m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）． 故答案为：（m+2）（m﹣2）． 【点评】本题考查了平⽅差公式因式分解．能⽤平⽅差公式进⾏因式分解的式⼦的特点是：两项平⽅项； 符号相反． 8．过度包装既浪费资源⼜污染环境，据测算，如果全国每年减少 10%的过度包装纸⽤量，那么可减排⼆氧 化碳 4280000吨．把数 4280000⽤科学记数法表示为 4.28×106 ． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中 1≤|a|＜10，n为整数．确定 n的值时，要看把原 数变成 a时，⼩数点移动了多少位，n的绝对值与⼩数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正 数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：4280000＝4.28×106． 故答案为：4.28×106． 【点评】此题考查科学记数法的表示⽅法．科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a的值以及 n的值． 9．若α、β为 x2﹣5x﹣1＝0⽅程的两个实数根，则的α2﹣5α+3αβ值为 ﹣2 ． 【分析】由α、β为 x2﹣5x﹣1＝0⽅程的两个实数根，可得αβ＝﹣1，α2﹣5α＝1，再代⼊即可得到答案． 【解答】解：∵ α、β为 x2﹣5x﹣1＝0⽅程的两个实数根， ∴ αβ＝﹣1，α2﹣5α﹣1＝0， ∴ α2﹣5α＝1， ∴ α2﹣5α+3αβ＝1+3×（﹣1）＝﹣2； 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查⼀元⼆次⽅程根与系数的关系和⽅程的解的定义，解题的关键是由已知求出αβ＝﹣1， α2﹣5α＝1． 10．我国古代数学专著《九章算术》中记载：“今有宛⽥，下周三⼗步，径⼗六步，问为⽥⼏何？”注释：宛 ⽥是指扇形状的⽥，下周是指弧⻓，径是指扇形所在圆的直径．那么，这⼝宛⽥的⾯积是 120 平⽅步． 【分析】利⽤扇形⾯积公式即可计算的解． 【解答】解：∵ 扇形的⽥，弧⻓ 30步，其所在圆的直径是 16步， ∴这块⽥的⾯积 S= 12× 30× 8=120（平⽅步）， 故答案为 120． 第 6⻚（共 23⻚） 【点评】本题是扇形⾯积公式的应⽤，考查了推理能⼒，是基础题． 11．如图，在平⾯直⻆坐标系中，△ABC与△AB′C′的相似⽐为 1：2，点 A是位似中⼼，已知点 A（2，0）， 点C（a，b），∠ C＝90°．则点C′的坐标为 （6﹣2a，﹣2b） ．（结果⽤含 a，b的式⼦表示） 【分析】过C作CM⊥AB于M，过C′⊥AB′于N，则∠ ANC′＝∠ AMC＝90°，根据相似三⻆形的判定和性 质定理即可得到结论． 【解答】解：过C作CM⊥AB于M，过C′⊥AB′于N， 则∠ ANC′＝∠ AMC＝90°， ∵ △ABC与△AB′C′的相似⽐为 1：2， ∴ 𝐴𝐶 𝐴𝐶′ = 1 2， ∵ ∠ NAC′＝∠ CAM， ∴ △ACM∽ △AC′N， ∴ 𝐴𝑀 𝐴𝑁 = 𝐶𝑀 𝐶′𝑁 = 𝐴𝐶 𝐴𝐶′， ∵ 点 A（2，0），点C（a，b）， ∴ OA＝2，OM＝a，CM＝b， ∴ AM＝a﹣2， ∴ 𝑎−2 𝐴𝑁 = 𝑏 𝐶′𝑁 = 1 2， ∴ AN＝2a﹣4，C′N＝2b， ∴ ON＝AN﹣OA＝2a﹣6， ∴点C′的坐标为（6﹣2a，﹣2b）， 故答案为：（6﹣2a，﹣2b）． 第 7⻚（共 23⻚） 【点评】本题考查的是位似变换和坐标与图形性质，掌握相似三⻆形的性质：相似三⻆形的对应边的⽐ 相等是解题的关键． 12．如图，在△ABC中，∠ CAB＝60°，∠ B＝75°，AB＝4，AD平分∠ CAB交 BC于点D，在 AB边上存在⼀ 点 E（不与点 B重合），作△DBE关于直线DE的对称图形为△DFE，若点 F落在△ABC的边上，则DE 的⻓为 2或 2 2或 4 ． 【分析】判断得出点 F在以点D为圆⼼，DB⻓为半径的圆上，分三种情况讨论，画出图形，利⽤含 30 度⻆的直⻆三⻆形以及勾股定理求解即可． 【解答】解：∵ AD平分∠ BAC，∠ CAB＝60°， ∴ ∠ CAD＝∠ BAD＝30°， ∵ ∠ B＝75°， ∴ ∠ ADB＝180°﹣∠ BAD﹣∠ B＝75°＝∠ B， ∴ AD＝AB＝4， 由折叠的性质得DF＝DB，⽽DB是定⻓， ∴点 F在以点D为圆⼼，DB⻓为半径的圆上，当点 F1在边 AB上时，如图， 第 8⻚（共 23⻚） ∵ F1E1＝E1B， ∴ DE1⊥AB于点 E1， ∴ 𝐷𝐸1 = 1 2𝐴𝐷 = 2， 当点 F在边 AC上时，有两种情况， 当 E、F在如图的 E2、F2的位置时，作DH⊥AC， ∵ AD平分∠ BAC， ∴ DH＝DE1＝2， ⼜∵ DF2＝DB， ∴ Rt△DHF2≌ Rt△PE1B（HL）， ∴ ∠ HDF2＝∠ E1DB， ∵ DF1＝DB，∠ DBF1＝75°， ∴ ∠ DF1B＝75°， ∴ ∠ F1DB＝180°﹣∠ DBF1﹣∠ DF1B＝30°， ∴ ∠𝐻𝐷𝐹2 = ∠𝐸1𝑂𝐵 = ∠𝐹1𝐷𝐵 2 = 15°， ∵ ∠ DHA＝∠ DE1A＝90°，∠ E1AH＝60°， ∴ ∠ E1DH＝360°﹣∠ DHA﹣∠ DE1A﹣∠ E1AH＝120°，即∠ HDF2+∠ F2DE1＝120°， ∴ ∠ E1DB+∠ F2DE1＝∠ F2DB＝120°， ∵ ∠ F2DE2＝∠ BDE2， ∴ ∠𝐵𝐷𝐸2 = 1 2∠𝐹2𝐷𝐵 = 60°， ∴ ∠ E1DE2＝∠ BDE2﹣∠ E1DB＝45°， ∴ △DE1E2是等腰直⻆三⻆形， ∵ DE1＝2， ∴ 𝐷𝐸2 = 22 +22 = 2 2； 当 E、F在如图的 E3、F3的位置时（E3与 A重合）， ∴ PE3＝DA＝4； 若 F在边 BC上时，此时对应的 E点不在 AB上，此情况不存在， 综上，DE的⻓为 2或 2 2或 4． 故答案为：2或 2 2或 4． 【点评】本题考查了轴对称的性质，含 30度⻆的直⻆三⻆形以及勾股定理，等腰直⻆三⻆形的判定和 第 9⻚（共 23⻚） 性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 三．解答题（共 12⼩题） 13．（1）计算：3 27−𝑐𝑜𝑠60°− ( −1)0． 【分析】（1）先进⾏开⽅，特殊⻆的三⻆函数值，零指数的运算，再进⾏加减运算即可； 【解答】（1）解：原式= 3− 12−1= 3 2； 【点评】本题考查全等三⻆形的判定，掌握特殊⻆的三⻆函数值的混合运算是解题的关键． （2）．如图所示，在Rt△ABC中，∠ BAC＝90°，AB＝AC，E、D分别是 BC、AC上的点，且∠ AED＝45°， 求证：△ABE∽ △ECD． 【分析】由∠ BAC＝90°，AB＝AC得到∠ B＝∠ C＝45°，再根据三⻆形外⻆性质得∠ AED+∠ CED＝∠ B+ ∠ BAE，加上∠ AED＝45°，则∠ BAE＝∠ CED，于是可根据有两组⻆对应相等的两个三⻆形相似得到结 论． 【解答】证明：∵ ∠ BAC＝90°，AB＝AC， ∴ ∠ B＝∠ C＝45°， ∵ ∠ AEC＝∠ B+∠ BAE， 即∠ AED+∠ CED＝∠ B+∠ BAE， ∵ ∠ AED＝45°， ∴ ∠ BAE＝∠ CED， ∴ △ABE∽ △ECD． 【点评】本题考查了三⻆形相似的判定：有两组⻆对应相等的两个三⻆形相似． 14．如图，均是 6×6的正⽅形⽹格，每个⼩正⽅形的顶点称为格点，⼩正⽅形的边⻓为 1，点 A，B均在格 点上．在给定的⽹格中使⽤⽆刻度的直尺按要求画图． （1）在图①中，以线段 AB为腰画⼀个等腰直⻆三⻆形 ABC． （2）在图②中，以线段 AB为直⻆边画⼀个直⻆三⻆形 ABD，并且使𝑡𝑎𝑛∠𝐵𝐴𝐷 = 35． 第 10⻚（共 23⻚） 【分析】（1）利⽤等腰直⻆三⻆形的定义画出图形； （2）取格点D，连接 AD，根据相似三⻆形的性质和正切的定义即可得到符合题意的图形． 【解答】解：（1）如图①所示，即为△ABC所求， （2）如图②所示， 𝐴𝐵 = 12 +52 = 26，使𝑡𝑎𝑛∠𝐵𝐴𝐷 = 𝐵𝐷 𝐴𝐵 = 𝐵𝐷26 = 3 5， 则𝐵𝐷 = 3 265 = 3 5𝐵𝐶， ∴ △ABD即为所求图形． 【点评】本题主要考查作图﹣应⽤与设计作图，勾股定理，解直⻆三⻆形，等腰直⻆三⻆形的判定和性 质，灵活运⽤所学知识是解题的关键． 15．化简求值： 5𝑥 𝑥2+2𝑥 ÷ ( 1 𝑥−2 − 𝑥−3 𝑥2−4 )，再从﹣2，0，1，2中选取⼀个合适的数代⼊求值． 【分析】先算括号⾥，再算括号外，然后把 x的值代⼊化简后的式⼦进⾏计算即可解答． 【解答】解： 5𝑥 𝑥2+2𝑥 ÷ ( 1 𝑥−2 − 𝑥−3 𝑥2−4 ) = 5𝑥 𝑥(𝑥+2) ÷ 5 (𝑥+2)(𝑥−2) = 5𝑥 𝑥(𝑥+2) × (𝑥+2)(𝑥−2) 5 = 𝑥 − 2， 要使分式有意义， ∴ x≠0，±2， ∴当 x＝1时，原式＝1﹣2＝﹣1； 【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键． 第 11⻚（共 23⻚） 16．旅客在⽹购⻋票时，系统是随机分配座位的，胡某和杨某打算购买从南昌⻄到上海虹桥的⾼铁⻋票（如 图所示，⼀排中的座位编号为 A，B，C，D，F）．假设系统已将两⼈的位置分配到同⼀排后，在同⼀排 分配各个座位的机会是均等的． （1）“系统分给这两个⼈ A，G座位”是 不可能 （填“必然”或“不可能”或“随机”）事件； （2）利⽤画树状图或列表格，求系统分配给胡某和杨某相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概 率． 【分析】（1）⼀排中的座位编号为 A，B，C，D，F，不存在编号为G的座位，即可得到“系统分给这两 个⼈ A，G座位”是不可能事件； （2）列出表格，得到系统分配给胡某和杨某相邻座位共有 20种等可能的情况，其中相邻座位共有 6种 等可能情况，根据概率公式计算即可得到答案． 【解答】解：（1）∵ ⼀排中的座位编号为 A，B，C，D，F，不存在编号为G的座位， ∴ “系统分给这两个⼈ A，G座位”是不可能事件， 故答案为：不可能； （2）根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有 20种等情况数，其中相邻座位的情况数有 6种， 则系统分配给胡某和杨某相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率是 6 20 = 3 10． 【点评】此题考查了列表法与树状图法，随机事件，概率公式，熟练掌握树状图或列表法求概率是解题 的关键． 17．为⿎励学⽣加强强身健体，某校计划购买⼀批篮球和排球，根据学校实际，决定共购买 30个排球，20 个篮球，共花费 2560元，若篮球和排球的单价之和为 104元． （1）求篮球和排球的单价； 第 12⻚（共 23⻚） （2）据不完全统计，每个学年篮球的损耗率是排球的损耗率的两倍，若学期末这批篮球和排球最多剩 下 43个，求排球的最⼤损耗率． 【分析】（1）设篮球的单价为 x元，排球的单价为 y元，根据购买 30个排球，20个篮球，共花费 2560 元，若篮球和排球的单价之和为 104元，即可得出关于 x、y的⼆元⼀次⽅程组，解之即可得出结论； （2）设排球的最⼤损耗率为m，则篮球的损耗率 2m，得出关于m的⼀元⼀次不等式，解之即可得出m 的取值范围，即可求解． 【解答】解：（1）设篮球的单价为 x元，排球的单价为 y元， 根据题意，得 𝑥+𝑦 = 104 30𝑥+20𝑦 = 2560 ， 解得 𝑥 = 48 𝑦 = 56 ， 答：篮球的单价为 48元，排球的单价为 56元； （2）设排球的最⼤损耗率为m，则篮球的损耗率 2m， 根据题意，得 30m+20×2m≤50﹣43， 解得m≤0.1， 即排球的最⼤损耗率 10%． 答：篮球的单价为 48元，排球的单价为 56元，排球的最⼤损耗率为 10%． 【点评】本题考查了⼀元⼀次不等式的应⽤以及⼆元⼀次⽅程组的应⽤，解题的关键是：（1）找准等量 关系，正确列出⼆元⼀次⽅程组；（2）根据总价＝单价×数量，列出关于m的⼀元⼀次不等式． 18．如图，在平⾯直⻆坐标系中，直线 l：y＝2x+b分别与 x轴，y轴交于点 A，B（0，1），且直线 l经过双 曲线𝐶𝐷：𝑦 = 𝑚 𝑥 (1≤ 𝑥 ≤ 3)的左端点C． （1）求点 A的坐标和m的值． （2）平移直线 l到直线 l′的位置，使其经过双曲线的右端点D，交 x轴于点 E，求 AE的⻓． 第 13⻚（共 23⻚） 【分析】（1）将 B（0，1）代⼊ y＝2x+b，可得直线 l的解析式为：y＝2x+1，进⽽可得𝐴( − 12，0)，再根 据直线 l经过双曲线𝐶𝐷：𝑦 = 𝑚 𝑥 (1≤ 𝑥 ≤ 3)的左端点C，可得C（1，3），问题随之得解； （2）结合（1）的结果得反⽐例函数解析式为：𝑦 = 3 𝑥 (1≤ 𝑥 ≤ 3)，即可得D（3，1），根据平移直线 y ＝2x+1到直线 l′，设直线 l′的解析式为：y＝2x+t，代⼊D（3，1），可得设直线 l′的解析式为：y＝2x﹣5， 即可得𝐸(52，0)，问题随之得解． 【解答】解：（1）∵ B（0，1）在直线 y＝2x+b的图象上， ∴ 1＝0+b，即 b＝1， ∴直线 l的解析式为：y＝2x+1， 当 y＝0时，y＝2x+1＝0， 解得：𝑥 =− 12， ∴ 𝐴( − 12，0)， ∵ 直线 l经过双曲线𝐶𝐷：𝑦 = 𝑚 𝑥 (1≤ 𝑥 ≤ 3)的左端点C， ∴当 x＝1时，y＝2x+1＝3， ∴ C（1，3）， ∴ 3= 𝑚1，即m＝3； （2）∵ m＝3， ∴反⽐例函数解析式为：𝑦 = 3 𝑥 (1≤ 𝑥 ≤ 3)， 当 x＝3时，𝑦 = 3 𝑥 = 33 = 1， ∴ D（3，1）， ∵ 平移直线 y＝2x+1到直线 l′， ∴设直线 l′的解析式为：y＝2x+t， ∵ 直线 l′经过D（3，1）， ∴当 x＝3时，y＝2×3+t＝1， ∴ t＝﹣5， ∴设直线 l′的解析式为：y＝2x﹣5， ∴当 y＝0时，2 x﹣5＝0， 第 14⻚（共 23⻚） 解得：𝑥 = 52， ∴ 𝐸(52，0)， ∵ 𝐴( − 12，0)， ∴ 𝐴𝐸 = 52− ( − 1 2) = 3． 【点评】本题主要考查了⼀次函数与反⽐例函数，⼀次函数的平移等知识，熟练掌握函数平移法则是关 键． 19．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是 AD延⻓线上⼀点，连接 CD，CF，且∠ DCF ＝∠ CAD． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）若直径 AD＝10，cosB= 35，求 FD的⻓． 【分析】（1）根据切线的判定，连接OC，证明出OC⊥FC即可，利⽤直径所得的圆周⻆为直⻆，三⻆ 形的内⻆和以及等腰三⻆形的性质可得答案； （2）由 cosB= 35，根据锐⻆三⻆函数的意义和勾股定理可得CD：AC：AD＝3：4：5，再根据相似三⻆ 形的性质可求出答案． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵ AD是⊙O的直径， ∴ ∠ ACD＝90°， ∴ ∠ ADC+∠ CAD＝90°， ⼜∵ OC＝OD， ∴ ∠ ADC＝∠ OCD， ⼜∵ ∠ DCF＝∠ CAD． ∴ ∠ DCF+∠ OCD＝90°， 第 15⻚（共 23⻚） 即OC⊥FC， ∴ FC是⊙O的切线； （2）解：∵ ∠ B＝∠ ADC，cosB= 35， ∴ cos∠ ADC= 35， 在Rt△ACD中， ∵ cos∠ ADC= 35 = 𝐶𝐷 𝐴𝐷 ，AD＝10， ∴ CD＝AD•cos∠ ADC＝10× 35 =6， ∴ AC= 𝐴𝐷2 −𝐶𝐷2 =8， ∴ 𝐶𝐷 𝐴𝐶 = 3 4， ∵ ∠ FCD＝∠ FAC，∠ F＝∠ F， ∴ △FCD∽ △FAC， ∴ 𝐶𝐷 𝐴𝐶 = 𝐹𝐶 𝐹𝐴 = 𝐹𝐷 𝐹𝐶 = 3 4， 设 FD＝3x，则 FC＝4x，AF＝3x+10， ⼜∵ FC2＝FD•FA， 即（4x）2＝3x（3x+10）， 解得 x= 307（取正值）， ∴ FD＝3x= 907． 【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周⻆定理，直⻆三⻆形的边⻆关系以及相似三⻆形，掌握切线 的判定⽅法，直⻆三⻆形的边⻆关系以及相似三⻆形的性质是正确解答的前提． 20．如图 1，是南昌⼋⼀起义纪念塔，象征着⾰命的胜利．某校数学社团的同学们欲测量塔的⾼度．如图 2， 他们在第⼀层看台 ED上架设测⻆仪 EF，从 F处测得塔的最⾼点 A的仰⻆为 42°，测出DE＝BC＝23m， 台阶可抽象为线段CD，CD＝20 3m，台阶的坡⻆为 30°，测⻆仪 EF的⾼度为 2.5m，塔身可抽象成线段 AB． （1）求测⻆仪 EF与塔身 AB的⽔平距离； （2）求塔身 AB的⾼度．（结果精确到 0.1） （参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90， 3≈1.73） 第 16⻚（共 23⻚） 【分析】（1）延⻓ AB交 ED的延⻓线于点G，过点 F作 FH⊥AG于点H，过点C作CM⊥DG于点M， 则GM＝BC＝23m，BG＝CM，由直⻆三⻆形的性质得CM＝10 3m，再由勾股定理得DM＝30m，即可解 决问题； （2）由锐⻆三⻆函数定义求出 AH的⻓，即可解决问题． 【解答】解：（1）如图 2，延⻓ AB交 ED的延⻓线于点G，过点 F作 FH⊥AG于点H，过点C作CM⊥ DG于点M，则GM＝BC＝23m，BG＝CM， 由题意可知，∠ CDM＝30°，CD＝20 3m， ∴ CM= 12CD＝10 3（m）， ∴ DM= 𝐶𝐷2 −𝐶𝑀2 = (20 3)2 − (10 3)2 =30（m）， ∴ FH＝DE+DM+BC＝23+30+23＝76（m）， 答：测⻆仪 EF与塔身 AB的⽔平距离为 76m； （2）由（1）可知，FH＝76m， 由题意可知，GH＝EF＝2.5m，BG＝CM＝10 3m，∠ AFG＝42°， ∵ tan∠ AFH= 𝐴𝐻 𝐹𝐻 =tan42°≈0.90， ∴ AH≈0.90FH＝0.90×76＝68.4（m）， ∴ AB＝AH+GH﹣BG≈68.4+2.5﹣10 3≈53.6（m）， 答：塔身 AB的⾼度约为 53.6m． 第 17⻚（共 23⻚） 【点评】本题考查了解直⻆三⻆形的应⽤—仰⻆俯⻆问题、坡度坡⻆问题，正确作出辅助线构造直⻆三 ⻆形是解题的关键． 21．教体局为进⼀步开展“睡眠管理”⼯作，对学校部分学⽣的睡眠情况进⾏了问卷调查．设每名学⽣平均 每天的睡眠时间为 x⼩时，其中的分组情况是： A组：x＜8； B组：8≤x＜8.5； C组：8.5≤x＜9； D组：9≤x＜9.5； E组：x≥9.5． 根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次共调查了 100 名学⽣，这部分学⽣睡眠时间的中位数在 C 组； （2）在扇形统计图中，C组所对应的扇形圆⼼⻆的度数为 144 °，并请你补全条形统计图（两处）； （3）现有 7000名学⽣，请估计平均每天的睡眠时间为 9⼩时及以上的学⽣共有多少⼈？ 【分析】（1）根据统计图中 B组的⼈数与占⽐，然后计算即可；根据 E组⼈数占⽐为 15%，求出 E组⼈ 第 18⻚（共 23⻚） 数，然后作差求出 A组⼈数；依据中位数的定义解答即可； （2）根据C组⼈数的占⽐乘以 360°计算求解即可；最后补全统计图即可； （3）根据 9⼩时及以上两组⼈数的占⽐乘以总⼈数即可解答． 【解答】解：（1）本次共调查了学⽣：20÷20%＝100（名）， E组⼈数为：100×15%＝15（名）， 故 A组⼈数为：100﹣20﹣40﹣20﹣15＝5（名）， ∴这部分学⽣睡眠时间的中位数在C组， 故答案为：100；C； （2）在扇形统计图中，C组所对应的扇形圆⼼⻆的度数为 360°× 40100 =144°， 补全条形统计图如下： 故答案为：144； （3）7000× 20+15100 =2450（⼈）， 答：估计平均每天的睡眠时间为 9⼩时及以上的学⽣共有 2450⼈． 【点评】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图、画条形统计图、⽤样本估计总体等知识点，从统计 图中获取正确的信息是解题的关键． 声明：试题解析著作权属菁优⽹所有，未经书⾯同意，不得复制发布⽇期：2025/1/121:59:04；⽤户：吴晶；邮箱：18070391902；学号：25423499 22．如图 1，⼀灌溉⻋正为绿化带浇⽔，喷⽔⼝H离地竖直⾼度为 h＝1.2⽶．建⽴如图 2所示的平⾯直⻆ 坐标系，可以把灌溉⻋喷出⽔的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截⾯抽象为矩形 DEFG，其⽔平宽度 DE＝2⽶，竖直⾼度 EF＝0.7⽶，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到， 上边缘抛物线最⾼点 A离喷⽔⼝的⽔平距离为 2⽶，⾼出喷⽔⼝ 0.4⽶，灌溉⻋到绿化带的距离OD为 d⽶． 第 19⻚（共 23⻚） （1）求上边缘抛物线喷出⽔的最⼤射程OC； （2）求下边缘抛物线与 x轴交点 B的坐标； （3）若 d＝3.2⽶，灌溉⻋⾏驶时喷出的⽔ 能不能浇灌到整个绿化带？请说明理由。 【分析】（1）由顶点 A（2，1.6）得，设 y＝a（x﹣2）2+1.6，再根据抛物线过点（0，1.2），可得 a的值， 从⽽解决问题； （2）由对称轴知点（0，1.2）的对称点为（4，1.2），则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移 4cm得 到的，可得点 B的坐标； （3）根据OD＝d＝3.2⽶，DE＝2⽶，EF＝0.7⽶，可求得点 F的坐标为（5.2，0.7），当 x＝5.2时，y=− 110 （5.2﹣2）2+1.6= 72125 =0.576＜0.7，从⽽得出答案． 【解答】解：（1）如图 2，由题意得 A（2，1.6）是上边缘抛物线的顶点， 设 y＝a（x﹣2）2+1.6， ⼜∵ 抛物线过点（0，1.2）， ∴ 1.2＝4a+1.6， ∴ a=− 110， ∴上边缘抛物线的函数解析式为 y=− 110（x﹣2） 2+1.6， 当 y＝0时，0=− 110（x﹣2） 2+1.6， 解得 x1＝6，x2＝﹣2（舍去）， ∴喷出⽔的最⼤射程OC为 6m； （2）∵ 对称轴为直线 x＝2， ∴点（0，1.2）的对称点为（4，1.2）， 第 20⻚（共 23⻚） ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移 4m得到的， ∴点 B的坐标为（2，0）； （3）∵ OD＝d＝3.2⽶，DE＝2⽶，EF＝0.7⽶， ∴点 F的坐标为（5.2，0.7）， 当 x＝5.2时，y=− 110（5.2﹣2） 2+1.6= 72125 =0.576＜0.7， 当 x＞2时，y随 x的增⼤⽽减⼩， ∴灌溉⻋⾏驶时喷出的⽔不能浇灌到整个绿化带． 故答案为：不能． 【点评】本题考查⼆次函数的实际应⽤，掌握待定系数法求⼆次函数解析式，⼆次函数的性质，⼆次函 数与⽅程的关系等知识，读懂题意，建⽴⼆次函数模型是解题的关键． 23．【问题情境】： （1）如图 1，四边形 ABCD是正⽅形，点 E是 AD边上的⼀个动点，以CE为边在CE的右侧作正⽅形 CEFG，连接DG、BE，则DG与 BE的数量关系是 DG＝BE； ． 【类⽐探究】： （2）如图 2，四边形 ABCD是矩形，AB＝4，BC＝6，点 E是 AD边上的⼀个动点，以CE为边在CE的 右侧作矩形CEFG，且CG：CE＝2：3，连接DG、BE． 判断线段DG与 BE有怎样的数量关系： DG= 23BE ，并说明理由； 【拓展提升】： （3）如图 3，在（2）的条件下，连接 BG，求 3 2BG+BE的最⼩值． 【分析】（1）根据正⽅形的性质证明△DCG和△BCE全等，即可得到DG＝BE； （2）根据矩形的性质证明△DCG∽ △BCE，得到 𝐷𝐺 𝐵𝐸 = 𝐶𝐺 𝐶𝐸 = 2 3，即可证得结论； （3）过点 E作 EK⊥BC，垂⾜为点K，过点G作GL⊥BC交 BC的延⻓线于点 L，先证明△GCL∽ △CEK， 证得𝐶𝐿 = 23𝐸𝐾 = 8 3是固定值，进⽽证得点G的运动轨迹是直线GL，然后将 2BG+BE的最⼩值转化 第 21⻚（共 23⻚） 为求 2（BG+DG）的最⼩值，即点 B，G，G′三点同⼀直线时，BG+DG＝BG′，2（BG+DG）取得最⼩值， 求 2BG′即可． 【解答】解：（1）∵ 四边形 ABCD是正⽅形， ∴ CD＝BC，∠ BCD＝90°， ∵ 四边形CEFG是正⽅形， ∴ CG＝CE，∠ GCE＝90°， ∵ ∠ BCE+∠ ECD＝∠ DCG+∠ ECD＝90°， ∴ ∠ BCE＝∠ DCG， 在△DCG和△BCE中， ， ∴ △BCE≌ △DCG（SAS）， ∴ DG＝BE， 故答案为：DG＝BE； （2）判断：DG= 23BE，理由如下： ∵ 四边形 CEFG是矩形，四边形 ABCD是矩形， ∴ ∠ ECG＝∠ BCD＝90°， CD＝ AB， ∴ ∠ DCG＝∠ BCE， ∵ CG： CE＝2：3， AB＝4， BC＝6， ∴ 𝐶𝐷 𝐶𝐵 = 𝐴𝐵 𝐵𝐶 = 4 6 = 2 3 = 𝐶𝐺 𝐶𝐸， ∴ △ DCG ∽ △ BCE， ∴ 𝐷𝐺 𝐵𝐸 = 𝐶𝐺 𝐶𝐸 = 2 3， ∴ DG= 23BE； 故答案为： （3）如图，过点 E作 EK⊥ BC，垂⾜为点 K，过点 G作 GL⊥ BC交 BC的延⻓线 于点 L，则∠ CKE＝∠ CLG＝90°， 第 22⻚（共 23⻚） ∵ 四边形 ABCD是矩形， ∴ AD＝ BC，∠ BCD＝∠ DCL＝90°，∠ A＝90°， ∵ △ DCG ∽ △ BCE， ∴ ∠ DCG＝∠ BCE， ∵ ∠ DCG +∠ GCL＝90°，∠ BCE +∠ CEK＝90°， ∴ ∠ GCL＝∠ CEK， ∵ ∠ CKE＝∠ CLG， ∴ △ GCL ∽ △ CEK， ∴ 𝐶𝐿 𝐸𝐾 = 𝐶𝐺 𝐸𝐶 = 2 3， ∵ EK＝AB＝4， ∴ 𝐶𝐿 = 23𝐸𝐾 = 8 3， ∴点 G的运动轨迹是直线 GL， 作点 D关于直线 GL的对称点 G ′，则 DG＝ GG ′， ∴当点 B， G， G ′三点同⼀直线时， BG + DG的值最⼩，即为 BG ′， 由（2）得 DG= 23BE， ∴ BE＝ 3 2DG， ∴ 3 2BG+ BE＝ 3 2BG+ 3 2 DG= 3 2（ BG + DG）， ∴ 3 2BG+ BE的最⼩值为 3 2（ BG + DG）的最⼩值，即 3 2BG′，． ∵ 𝐷𝐺′ = 2𝐶𝐿 = 2× 83 = 16 3， AD＝ BC＝6， ∴ AG ′＝ AD + DG ′＝6+163 = 34 3， ∴ BG′= 𝐴𝐵2 +𝐴𝐺′2 = 42 + (343 ) 2 = 10 133 ， ∴ 3 2BG′＝5 13， 第 23⻚（共 23⻚） ∴ 3 2BG+ BE的最⼩值为 5 13． 【点评】本题考查了正⽅形的性质，矩形的性质，全等三⻆形的判定与性质，相似三⻆形的判定与性质， 解题关键是在判断三⻆形全等和相似时出现“⼿拉⼿”模型证明对应⻆相等及利⽤三边关系来转化线段 的数量关系求出最⼩值． 声明：试题解析著作权属菁优⽹所有，未经书⾯同意，不得复制发布⽇期：2025/1/113:28:35；⽤户：吴晶；邮箱：18070391902；学号：25423499