广东省深圳市盐田区2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年广东省深圳市盐田区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一项是正确的） 1．（3分）下列各数中为无理数的是（　　） A． B．0.4 C． D． 2．（3分）由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．a：b：c＝1：1：2 C．（b+c）（b﹣c）＝a2 D． 3．（3分）若点P（m+2，m+1）在y轴上，则点P的坐标为（　　） A．（1，0） B．（0，1） C．（0，﹣1） D．（3，0） 4．（3分）在盐田区第五届“四有杯”教师综合素养大赛中，多名评委对同一位选手打分，去掉一个最高分和一个最低分后再计算该选手的成绩．去掉这两个分数后，一定不发生变化的统计量是（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 5．（3分）若x2＝a（a＞0），则下列说法正确的是（　　） A．a是x的平方根 B．x是a的平方根 C．x是a的算术平方根 D．a是x的算术平方根 6．（3分）把一块含有45°角的三角尺与两条长边平行的直尺按如图所示方式放置（直角顶点在直尺的一条边上）．若∠2＝25°，则∠1＝（　　） A．50° B．60° C．70° D．65° 7．（3分）关于函数y＝kx+b（k≠0），已知点M（x1，y1），N（x2，y2）是该函数图象上的任意两点，且（x1﹣x2）与（y1﹣y2）同号，则图象必经过（　　） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二、三象限 D．第二、三、四象限 8．（3分）《算法统宗》是我国古代数学著作，书中记载了这样一个问题，大意是：100个和尚分100个馒头，大和尚一人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头．问大小和尚各有多少人？设大和尚有x人，小和尚有y人，那么下面列出的方程组中正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．（3分）计算：＝　 　． 10．（3分）说明命题“a2是正数”是假命题的反例是 　 　． 11．（3分）如图，在2×3的正方形网格中，∠1+∠2＝ 　 　°． 12．（3分）已知直线y＝3x﹣3与直线y＝kx+b（k≠0）的交点坐标为（m，0），则方程组的解为 　 　． 13．（3分）在正方形ABCD中，E是边CD上一点，连接BE，将正方形ABCD沿BE折叠，使点C的对应点C′落在正方形内部，连接CC′并延长，交AD边于点F，BC′的延长线交AD于点G，此时恰有FG＝3DG，若，则CE＝ 　 　． 三、解答题（本大题共7小题，共61分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 14．（8分）计算： （1）； （2）． 15．（8分）如图，在正方形网格中，按要求操作并求解． （1）在网格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（2，2），点B的坐标为（1，4）； （2）将点A向下平移3个单位，再关于y轴对称得到点C，写出点C的坐标； （3）在（2）的条件下，已知PC∥y轴，且PC＝AC，求点P的坐标． 16．（7分）根据物理学知识我们知道，光线从空气中射入水中会发生折射现象，光线从水中射入空气中同样也会发生折射现象．如图是光线从空气中射入水中，又从水中射入空气中的示意图． 已知：AB∥CD，∠1＝∠2．求证：EF∥GH． 17．（9分）某学校24个班进行广播操比赛，比赛打分包括以下三项：服装统一、进退场有序、动作规范整齐．每项测试均由五位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将服装统一、进退场有序、动作规范整齐三项的测试成绩按20%，30%，50%的比例计算出每班的总评成绩．八年级（1）班、（2）班的三项测试成绩和总评成绩如表，这24个班级的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值）如图． 班级 测试成绩/分 总评成绩/分 服装统一 进退场有序 动作规范整齐 八年级（1）班 82 72 80 78 八年级（2）班 80 84 （1）在“动作规范整齐”这一项中，五位评委给八年级（2）班打出的分数如下：82，79，80，87，82．这组数据的中位数是 　 　分，众数是 　 　分，平均数是 　 　分； （2）请你计算八年级（2）班的总评成绩； （3）学校决定根据总评成绩选出15个班级进行评奖．试分析八年级（1）班、（2）班能否入选，并说明理由． 18．（7分）为充实班级图书角，班主任王老师倡导班级学生积极捐书，该班45名同学共捐书298本，捐书情况如表： 捐书（本） 3 5 8 10 人数（人） 4 9 表中捐书5本和8本的人数不小心被墨水污染，已看不清楚，请你帮忙确定表中的数据，并说明理由． 19．（10分）【方案设计问题】 （1）如图，数a，b在数轴上的对应点为A，B．若乘积ab在数轴上的对应点记为点C，则C点在A点的 　 　侧，在B点的 　 　侧（填“左”或“右”）． （2）小盐和小田想找到C点在数轴上的准确位置，他们分别想了如下办法： 请挑选一种你认为正确的方法加以证明，并用尺规在x轴上作出点C（保留作图痕迹）． 小盐的方法： ①如图，以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系．在y轴上截取OD＝a，以OB，OD为邻边作长方形OBGD．再以O为圆心，一个单位长为半径画弧，交边DG于点E，连接OE、BE．则OE＝ 　 　，△OBE的面积S＝ 　 　（用含a，b的式子表示）． ②过点B作BH⊥OE，交OE的延长线于点H． 小盐认为，线段BH的长度就是ab． 小田的方法： 小田通过思考发现，如果假设a是定值，b是变量，那么乘积ab的值会随着b值的变化而变化，所以小田认为可以用函数的方法来解决这个问题，具体做法如下： ①在平面直角坐标系中描出点M（1，a），作出直线OM，则直线OM的解析式为 　 　（用含a的式子表示）．（注：小田的建系方法与小盐相同） ②过点B作x轴的垂线，交直线OM于点N，则线段BN的长度就是ab． 20．（12分）如图1，直线y＝x+6与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线y＝﹣x+m（m＞0）与x轴、y轴分别交于D，C两点，并与直线y＝x+6相交于点E（﹣2，n）． （1）求直线CD的解析式； （2）如图2，若P为直线AB上一动点，△PDE的面积S△PDE＝，求点P的坐标； （3）如图3，直线AB上一点Q位于第三象限，以BQ为斜边向右侧作等腰直角△BHQ，直角顶点H恰好落在x轴上，请直接写出Q点的坐标． 2024-2025学年广东省深圳市盐田区八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C B B C A C 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一项是正确的） 1．（3分）下列各数中为无理数的是（　　） A． B．0.4 C． D． 【分析】根据有理数、无理数的定义判断即可． 【解答】解：A、是有理数，故此选项不符合题意； B、0.4是有理数，故此选项不符合题意； C、是有理数，故此选项不符合题意； D、是无理数，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式． 2．（3分）由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．a：b：c＝1：1：2 C．（b+c）（b﹣c）＝a2 D． 【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理逐个判断即可． 【解答】解：A、∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∠C＝90°，是直角三角形，不符合题意； B、设a＝x，b＝x，c＝2x，x2+x2≠（2x）2，不是直角三角形，符合题意； C、（b+c）（b﹣c）＝a2，b2﹣c2＝a2，a2+c2＝b2，是直角三角形，不符合题意； D、12+（）2＝（）2，是直角三角形，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，注意：①如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形，②三角形的内角和等于180°． 3．（3分）若点P（m+2，m+1）在y轴上，则点P的坐标为（　　） A．（1，0） B．（0，1） C．（0，﹣1） D．（3，0） 【分析】根据y轴上点的横坐标为0即可求出m的值，从而求出点P的坐标． 【解答】解：∵点P（m+2，m+1）在y轴上， ∴m+2＝0， ∴m＝﹣2， ∴m+1＝﹣1， ∴点P的坐标为（0，﹣1）， 故选：C． 【点评】本题考查了点的坐标，熟知坐标轴上点的坐标的特征是解题的关键． 4．（3分）在盐田区第五届“四有杯”教师综合素养大赛中，多名评委对同一位选手打分，去掉一个最高分和一个最低分后再计算该选手的成绩．去掉这两个分数后，一定不发生变化的统计量是（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【分析】根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数． 【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响， 故选：B． 【点评】此题主要考查了中位数，解题的关键是了解中位数、众数、平均数及方差的定义． 5．（3分）若x2＝a（a＞0），则下列说法正确的是（　　） A．a是x的平方根 B．x是a的平方根 C．x是a的算术平方根 D．a是x的算术平方根 【分析】根据平方根及算术平方根的定义解答即可． 【解答】解：∵x2＝a（a＞0）， ∴x是a的平方根． 故选：B． 【点评】本题考查的是平方根的定义，熟知如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根是解题的关键． 6．（3分）把一块含有45°角的三角尺与两条长边平行的直尺按如图所示方式放置（直角顶点在直尺的一条边上）．若∠2＝25°，则∠1＝（　　） A．50° B．60° C．70° D．65° 【分析】先利用三角形的外角性质可得∠3＝70°，然后利用平行线的性质可得∠1＝∠3＝70°，即可解答． 【解答】解：如图： ∵∠3是△CEF的一个外角， ∴∠3＝∠2+∠F＝25°+45°＝70°， ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠3＝70°， 故选：C． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 7．（3分）关于函数y＝kx+b（k≠0），已知点M（x1，y1），N（x2，y2）是该函数图象上的任意两点，且（x1﹣x2）与（y1﹣y2）同号，则图象必经过（　　） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二、三象限 D．第二、三、四象限 【分析】先根据已知条件判断y随x的增大而增大，从而判断k的正负，再根据一次函数的图象与性质得到答案即可． 【解答】解：∵（x1﹣x2）与（y1﹣y2）同号， ∴y随x的增大而增大， ∴k＞0， ∴函数图象第一、三象限， 故选：A． 【点评】本题主要考查了一次函数的性质，解题关键是熟练掌握一次函数的增减性与系数k的关系． 8．（3分）《算法统宗》是我国古代数学著作，书中记载了这样一个问题，大意是：100个和尚分100个馒头，大和尚一人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头．问大小和尚各有多少人？设大和尚有x人，小和尚有y人，那么下面列出的方程组中正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“100个和尚分100个馒头，大和尚一人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头”列方程组即可． 【解答】解：由题意得：， 故选：C． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．（3分）计算：＝　2　． 【分析】利用算术平方根定义计算即可求出值． 【解答】解：∵22＝4， ∴4的算术平方根是2，即＝2． 故答案为：2． 【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键． 10．（3分）说明命题“a2是正数”是假命题的反例是 　a＝0　． 【分析】根据实数的性质举出反例即可． 【解答】解：当a＝0时，02＝0，能说明命题“a2是正数”是假命题， 故答案为：a＝0． 【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解证明一个命题是假命题的方法是举出反例． 11．（3分）如图，在2×3的正方形网格中，∠1+∠2＝ 　45　°． 【分析】先证明△ABE和△ECF全等得∠2＝∠5，EA＝EF，再根据BC∥HF，AB∥EP得∠2＝∠3＝∠5＝∠4，则∠1+∠2＝∠1+∠4＝∠EFA，然后根据∠PEC＝∠PEF+∠5＝90°得∠AEF＝∠PEF+∠3＝90°，进而得△EAF是等腰直角三角形，由此可得∠1+∠2的度数． 【解答】解：连接EF，如图所示： 根据正方形网格的特征得：AB＝EC，BE＝CF，BC∥HF，AB∥EP，∠B＝∠C＝∠PEC＝90°， 在△ABE和△ECF中， ， ∴△ABE≌△ECF（SAS）， ∴∠2＝∠5，EA＝EF， ∵BC∥HF，AB∥EP， ∴∠2＝∠3＝∠5＝∠4， ∴∠1+∠2＝∠1+∠4＝∠EFA， ∵∠PEC＝∠PEF+∠5＝90°， ∴∠PEF+∠3＝90°， 即∠AEF＝90°， ∴△EAF是等腰直角三角形， ∴∠EFA＝45°， ∴∠1+∠2＝45°． 故答案为：45． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键． 12．（3分）已知直线y＝3x﹣3与直线y＝kx+b（k≠0）的交点坐标为（m，0），则方程组的解为 　　． 【分析】由解析式y＝3x﹣3求出交点坐标为（1，0），根据函数与方程组的关系结合交点坐标即可求得方程组的解． 【解答】解：∵直线y＝3x﹣3经过（m，0）， ∴3m﹣3＝0， ∴m＝1， ∴直线y＝3x﹣3与直线y＝kx+b（k≠0）的交点坐标为（1，0）， ∴方程组的解为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了一次函数图象与二元一次方程组的关系，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 13．（3分）在正方形ABCD中，E是边CD上一点，连接BE，将正方形ABCD沿BE折叠，使点C的对应点C′落在正方形内部，连接CC′并延长，交AD边于点F，BC′的延长线交AD于点G，此时恰有FG＝3DG，若，则CE＝ 　4　． 【分析】由折叠的性质可得CE＝C'E，BE⊥CC'，∠BCC'＝∠BC'C，∠BC'E＝∠BCE＝90°，易证△CEB≌△DFC（AAS），所以CE＝DF，设参，在Rt△GDE和Rt△GC'E中利用勾股定理求解即可． 【解答】解：连接EG， ∵折叠， ∴CE＝C'E，BE⊥CC'，∠BCC'＝∠BC'C，∠BC'E＝∠BCE＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，AD∥BC，∠FDC＝∠BCE＝90°， ∴∠GFC＝∠BCC'，∠BEC＝∠CFD＝90°﹣∠DCF， ∵∠BC'C＝∠FC'G， ∴∠GFC＝∠FC'G， ∴GF＝GC'， 在△CEB和△DFC中， ， ∴△CEB≌△DFC（AAS）， ∴CE＝DF， 设DG＝x，则FG＝3DG＝3x， ∴DF＝FG+DG＝4x＝CE＝C'E，GC'＝FG＝3x， 在Rt△GDE中，GE2＝GD2+DE2＝x2+24， 在Rt△GC'E中，GE2＝GC′2+EC′2＝9x2+16x2＝25x2， ∴x2+24＝25x2， 解得x＝1（负值舍去）， ∴CE＝4x＝4， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、正方形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共61分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 14．（8分）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）化简各个二次根式再合并同类二次根式即可； （2）利用平方差公式计算即可． 【解答】解：（1）原式＝3﹣2+ ＝； （2）原式＝32﹣（）2+3 ＝9﹣2+3 ＝10． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 15．（8分）如图，在正方形网格中，按要求操作并求解． （1）在网格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（2，2），点B的坐标为（1，4）； （2）将点A向下平移3个单位，再关于y轴对称得到点C，写出点C的坐标； （3）在（2）的条件下，已知PC∥y轴，且PC＝AC，求点P的坐标． 【分析】（1）根据点A，B的坐标建立平面直角坐标系即可． （2）根据平移和轴对称的性质可得答案． （3）利用勾股定理求得AC＝＝5，则PC＝AC＝5．分点P在点C的上方和下方两种情况，进而可得答案． 【解答】解：（1）建立平面直角坐标系如图所示． （2）点A（2，2）向下平移3个单位，所得点C'的坐标为（2，﹣1）， 与C'（2，﹣1）关于y轴对称的点C的坐标为（﹣2，﹣1）． （3）由勾股定理得，AC＝＝5， ∴PC＝AC＝5． 当点P在点C的上方时， 可得点P的坐标为（﹣2，4）； 当点P在点C的下方时， 可得点P的坐标为（﹣2，﹣6）． ∴点P的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，﹣6）． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、作图﹣平移变换，熟练掌握轴对称的性质、平移的性质是解答本题的关键． 16．（7分）根据物理学知识我们知道，光线从空气中射入水中会发生折射现象，光线从水中射入空气中同样也会发生折射现象．如图是光线从空气中射入水中，又从水中射入空气中的示意图． 已知：AB∥CD，∠1＝∠2．求证：EF∥GH． 【分析】根据题意，延长EF交CD于点M，由AB∥CD，得∠1＝∠FMC，结合已知∠1＝∠2，得到∠FMC＝∠2，从而证得结果． 【解答】证明：延长EF交CD于点M， ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠FMC， ∵∠1＝∠2， ∴∠FMC＝∠2， ∴GH∥EF． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 17．（9分）某学校24个班进行广播操比赛，比赛打分包括以下三项：服装统一、进退场有序、动作规范整齐．每项测试均由五位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将服装统一、进退场有序、动作规范整齐三项的测试成绩按20%，30%，50%的比例计算出每班的总评成绩．八年级（1）班、（2）班的三项测试成绩和总评成绩如表，这24个班级的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值）如图． 班级 测试成绩/分 总评成绩/分 服装统一 进退场有序 动作规范整齐 八年级（1）班 82 72 80 78 八年级（2）班 80 84 （1）在“动作规范整齐”这一项中，五位评委给八年级（2）班打出的分数如下：82，79，80，87，82．这组数据的中位数是 　82　分，众数是 　82　分，平均数是 　82　分； （2）请你计算八年级（2）班的总评成绩； （3）学校决定根据总评成绩选出15个班级进行评奖．试分析八年级（1）班、（2）班能否入选，并说明理由． 【分析】（1）根据中位数、众数和平均数的定义求解即可； （2）根据加权平均数的定义列式计算即可； （3）结合频数分布直方图及两个班的总评成绩即可得出答案． 【解答】解：（1）五位评委给八年级（2）班打出的分数重新排列为79，80，82，82，87， 所以这组数据的中位数为82分，众数是82分，平均数为×（79+80+82+82+87）＝82（分）， 故答案为：82、82、82； （2）八年级（2）班的总评成绩为80×20%+84×30%+82×50%＝82.2（分）； （3）八年级（2）班确定能入选，八年级（1）班不一定． 由频数分布直方图知，大于80分的有14个班级， 因为八年级（2）班总评成绩大于80分， 所以八年级（2）班确定能入选，八年级（1）班不一定． 【点评】本题考查频数（率）分布直方图、中位数、众数、平均数、加权平均数，能够读懂统计图，掌握中位数、众数、平均数、加权平均数的定义是解答本题的关键． 18．（7分）为充实班级图书角，班主任王老师倡导班级学生积极捐书，该班45名同学共捐书298本，捐书情况如表： 捐书（本） 3 5 8 10 人数（人） 4 9 表中捐书5本和8本的人数不小心被墨水污染，已看不清楚，请你帮忙确定表中的数据，并说明理由． 【分析】设捐书5本的人数是x，捐书8本的人数是y，根据该班45名同学共捐书298本，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：捐书5本的人数是20，捐书8本的人数是12，理由如下： 设捐书5本的人数是x，捐书8本的人数是y， 根据题意得：， 解得：， ∴捐书5本的人数是20，捐书8本的人数是12． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 19．（10分）【方案设计问题】 （1）如图，数a，b在数轴上的对应点为A，B．若乘积ab在数轴上的对应点记为点C，则C点在A点的 　右　侧，在B点的 　左　侧（填“左”或“右”）． （2）小盐和小田想找到C点在数轴上的准确位置，他们分别想了如下办法： 请挑选一种你认为正确的方法加以证明，并用尺规在x轴上作出点C（保留作图痕迹）． 小盐的方法： ①如图，以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系．在y轴上截取OD＝a，以OB，OD为邻边作长方形OBGD．再以O为圆心，一个单位长为半径画弧，交边DG于点E，连接OE、BE．则OE＝ 　1　，△OBE的面积S＝ 　ab　（用含a，b的式子表示）． ②过点B作BH⊥OE，交OE的延长线于点H． 小盐认为，线段BH的长度就是ab． 小田的方法： 小田通过思考发现，如果假设a是定值，b是变量，那么乘积ab的值会随着b值的变化而变化，所以小田认为可以用函数的方法来解决这个问题，具体做法如下： ①在平面直角坐标系中描出点M（1，a），作出直线OM，则直线OM的解析式为 　y＝ax　（用含a的式子表示）．（注：小田的建系方法与小盐相同） ②过点B作x轴的垂线，交直线OM于点N，则线段BN的长度就是ab． 【分析】（1）利用不等式的性质即可得出0＜a＜ab＜b，再根据数轴的概念即可得出答案； （2）小盐的方法：根据三角形面积公式可得：S△OBE＝OB•OD＝ab，S△OBE＝OE•BH＝×1×BH＝BH，即可得出BH＝ab，再以O为圆心，BH长为半径画弧，交x轴于点C即可； 小田的方法：设直线OM的解析式为y＝kx，把M（1，a）代入得：k＝a，则直线OM的解析式为y＝ax，当x＝b时，y＝ab，即BN＝ab，再以O为圆心，BN长为半径画弧，交x轴于点C即可． 【解答】解：（1）如图1，0＜a＜1＜b， 则0＜a＜ab＜b， ∴点C在点A的右侧，在点B的左侧， 故答案为：右，左； （2）小盐的方法： 理由：如图2，以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系． 在y轴上截取OD＝a，以OB，OD为邻边作长方形OBGD． 再以O为圆心，一个单位长为半径画弧，交边DG于点E，连接OE、BE． 然后以O为圆心，BH长为半径画弧，交x轴于点C， 则OE＝1，OC＝BH＝ab， ∵S△OBE＝OB•OD＝ab，S△OBE＝OE•BH＝×1×BH＝BH， ∴BH＝ab， ∴点C即为所求作的点； 故答案为：1，ab． 小田的方法： 理由：①在平面直角坐标系中描出点M（1，a），作出直线OM，设直线OM的解析式为y＝kx，把M（1，a）代入得：k＝a，则直线OM的解析式为y＝ax．②过点B作x轴的垂线，交直线OM于点N，则N（b，ab），线段BN的长度就是ab． ③以O为圆心，BN长为半径画弧，交x轴于点C， 则点C即为所求作的点； 故答案为：y＝ax． 【点评】本题考查了一次函数的应用，尺规作图，三角形面积，不等式性质等，熟练掌握一次函数的性质是解决此题的关键． 20．（12分）如图1，直线y＝x+6与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线y＝﹣x+m（m＞0）与x轴、y轴分别交于D，C两点，并与直线y＝x+6相交于点E（﹣2，n）． （1）求直线CD的解析式； （2）如图2，若P为直线AB上一动点，△PDE的面积S△PDE＝，求点P的坐标； （3）如图3，直线AB上一点Q位于第三象限，以BQ为斜边向右侧作等腰直角△BHQ，直角顶点H恰好落在x轴上，请直接写出Q点的坐标． 【分析】（1）把点E（﹣2，n）代入y＝x+6得n＝×（﹣2）+6＝3，求得E（﹣2，3），把E（﹣2，3）代入y＝﹣x+m得3＝2+m，得到m＝1，求得直线CD的解析式为y＝﹣x+1； （2）解方程得到D（1，0），求得A（﹣4，0），设P（a，a+6），根据三角形的面积列方程即可得到P（﹣，4）； （3）解方程得到B（0，6），求得OB＝6，设Q（b，b+6），过Q作QE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质得到HQ＝BH，求得EQ＝OH＝﹣b﹣6，HE＝OB＝6，得到b＝﹣，于是得到Q点的坐标为（﹣，﹣）． 【解答】解：（1）把点E（﹣2，n）代入y＝x+6得n＝×（﹣2）+6＝3， ∴E（﹣2，3）， 把E（﹣2，3）代入y＝﹣x+m得3＝2+m， ∴m＝1， ∴直线CD的解析式为y＝﹣x+1； （2）在y＝﹣x+1中，令y＝0，则x＝1， ∴D（1，0）， 在y＝x+6中，令y＝0，则x＝﹣4， ∴A（﹣4，0）， 设P（a，a+6）， ∵S△PDE＝， ∴S△PDE＝S△ADP﹣S△ADE＝AD•Py﹣y＝×5×（a+6）﹣×5×3＝，或S△PDE＝S△ADE﹣S△ADP＝y﹣AD•Py＝×5×3﹣×5×（a+6）＝， 解得a＝﹣或a＝﹣， ∴P（﹣，4）或（﹣，2）； （3）在y＝x+6中，令x＝0，则y＝6， ∴B（0，6）， ∴OB＝6， 设Q（b，b+6）， 过Q作QE⊥x轴于E， ∵△BHQ是等腰直角三角形，∠BHQ＝90°， ∴HQ＝BH， ∵∠QEH＝∠BHQ＝∠BOH＝90°， ∴∠HBO+∠BHO＝∠BHO+∠QHE＝90°， ∴∠HBO＝∠QHE， ∴△BHO≌△HQE（AAS）， ∴EQ＝OH＝﹣b﹣6，HE＝OB＝6， ∴﹣b+（﹣b﹣6）＝6， 解得b＝﹣， ∴Q点的坐标为（﹣，﹣）． 【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，等腰直角三角形的性质，正确地求出函数的解析式是解题的关键 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$