微专题05 反比函数与一次函数综合-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（湖南专用）

第三章 函数 微专题05 反比函数与一次函数综合 题型01 一次函数与反比例函数图象综合判断 1．已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　  ） A．B． C． D． 2．二次函数（a，b，c是常数）的图象如图，则双曲线和直线的位置可能为（　　） A． B． C． D． 3．函数的图象如上图所示，那么函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论，错误的为（  ） A．点与点关于原点对称 B．点是的中点 C．在中，的值随值的增大而减小 D． 5．在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象大致为（    ） A． B． C． D． 6．设，那么函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 题型02 一次函数与反比例函数的交点问题 1．若正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是 ． 2．若直线的图象与反比例函数的图象交于两点，且，则 ． 3．如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数，的图象交于点． (1)求与的值； (2)为第一象限反比例函数图象上的一动点，且的面积小于的面积，直接写出点的横坐标的取值范围． 4．如图，已知一次函数和反比例函数的图象相交于点，． (1)求一次函数和反比例函数的表达式． (2)根据图象请直接写出当时，x的取值范围． 题型03 一次函数与反比例函数的实际应用 1．数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻R的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻R(单位∶)与物体质量m(单位∶)之间的关系如图2所示，电流I(单位∶)与可变电阻 R之间关系为 (1)该小组先探究函数 的图像与性质，并根据I与R之间关系得到如下表格： R(kΩ) 0 1 2 3 4 5 6 7 … I(mA) 2 1.5 1.2 p 0.75 0.6 ①表格中的 ； ②请在图3 中画出 对应的函数图像； (2)该小组综合图2和图3发现，I随着m的增大而 ；(填“增大”或“减小”) (3)若将该款电子秤中的电路电流范围设定为(单位：)，判断该电子托盘秤能否称出质量为 的物体的质量？请说明理由． 2．智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温（）与通电时间（）之间的关系如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式（写出的取值范围）； (2)加热一次，求水温不低于的时间． 3．小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式； (2)求图中t的值； (3)有一天，小明在上午（水温20℃），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，饮水机内水的温度约为多少℃？并求：在这段时间里，水温共有几次达到100℃？ 4．在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即，分别是图形和图形上任意一点，当的长最小时，称这个最小值为图形与图形之间的距离． 例如，如图1，，线段的长度称为点A与直线之间的距离，当时，线段的长度也是与之间的距离． 【应用】（1）如图2，在等腰中，，，点D为边上一点，过点D作交于点E．若，，则与之间的距离是 ； （2）如图3，已知直线与双曲线交于与B两点，点A与点B之间的距离是 ，点O与双曲线之间的距离是 ． 【拓展】（3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南—西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于．现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线的函数表达式为，小区外延所在双曲线的函数表达式为，那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少? 题型04 一次函数与反比例函数的其他综合应用 1．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是反比例函数、一次函数的交点，已知．在线段上取一点C，过C点作直线l 平行x轴，交反比例函数于点D，连接、． （1） ； （2）记的面积为，则最大值为 ． 2．如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，． (1)求m的值和反比例函数表达式； (2)当时，直接写出x的取值范围． 3．如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象相交于，两点，分别连接和． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时，的取值范围； (3)求的面积． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）与反比例函数（）在第二象限交于点，且与y轴交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)请直接写出不等式的解集； (3)在x轴上有一动点P，且的面积为，求点P的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点B的坐标为． (1)求m，b的值； (2)设P是线段上一点，过点P作轴交反比例函数的图象于点D，连接，若，求的面积； (3)在（2）的条件下，将直线向下平移个单位长度后，与射线交于点F，与反比例函数在第一象限内的图象交于点E，若四边形是平行四边形，求a的值． 6．如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点和点D． (1)求反比例函数的解析式和点D的坐标； (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)连接，，求的面积； (4)点P是反比例函数上一点，轴交直线于且，请直接写出点P的坐标． 7．如图，一次函数的图象与坐标轴相交于点和点，与反比例函数相交于点． (1)求出一次函数与反比例函数的表达式； (2)若点是反比例函数图象上的一点，连接并延长，交轴正半轴于点，若时，求的面积； (3)在（2）的条件下，若为一次函数的图象上一点，是否存在平面内一点，使得以为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 函数 微专题05 反比函数与一次函数综合 题型01 一次函数与反比例函数图象综合判断 1．已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　  ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据二次函数的图象判断式子的正负及反比例函数的图象、一次函数的图象，先根据二次函数图象判断出，，，结合一次函数及反比例函数的性质判断即可得到答案 【详解】解：由图象可得， ，，， ∴的图象过一二三象限，的图象在一三象限， 故选：A． 2．二次函数（a，b，c是常数）的图象如图，则双曲线和直线的位置可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数、反比例函数的图象与性质，由二次函数的图象可得，，据此判断一次函数和反比例函数的图象即可． 【详解】解：当时，， ∴双曲线过二、四象限，排除选项B、C， 直线中的，排除选项D， 选项A符合以上推理出来的条件． 故选：A． 3．函数的图象如上图所示，那么函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象综合判断，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键． 首先由反比例函数的图象位于第二、四象限，得出，，进而得出一次函数图象经过第二、四象限且与轴正半轴相交，于是得解． 【详解】解：反比例函数的图象在第二、四象限， ，， 函数的图象应经过第一、二、四象限， 故选：B． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论，错误的为（  ） A．点与点关于原点对称 B．点是的中点 C．在中，的值随值的增大而减小 D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，根据反比例函数图象的中心对称性质及反比例函数的性质逐项分析解答即可． 【详解】解：根据反比例函数图象关于原点成中心对称图形，故选项A正确，不合题意； 点与点关于原点对称， ， 轴， ， ， 是的中点，故选项B正确，不合题意； ③在中，在每个象限内，随的增大而减小，故选项C错误，符合题意； ④，故选项D正确，不合题意； 故选：C． 5．在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图象和一次函数图象的综合判断，分和两种情况，进行分析判断即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，的图象过一，三，四象限，的图象过一，三象限； 当时，的图象过一，二，四象限，的图象过二，四象限； 故只有选项D符合题意； 故选：D． 6．设，那么函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正比例函数的性质：，图象经过原点，在第一、三象限；反比例函数的性质：，图象在第二、四象限的双曲线可得答案．此题主要考查了正比例函数和反比例函数的性质，关键是掌握两个函数的性质． 【详解】解：， ， 函数的图象经过原点，在第一、三象限， 的图象在第二、四象限， 故选：D． 题型02 一次函数与反比例函数的交点问题 1．若正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据反比例函数是中心对称图形，正比例函数与反比例函数的图象的两个交点关于原点对称即可得解． 【详解】解：∵反比例函数是中心对称图形，正比例函数与反比例函数的图象的两个交点关于原点对称，一个交点是， ∴这两个函数图象的另一个交点的坐标是， 故答案为：． 2．若直线的图象与反比例函数的图象交于两点，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键．由直线与反比例函数的图象都关于原点对称，可得两点也关于原点对称，则有，，再代入整理得，再利用反比例函数的解析式即可求解． 【详解】解：直线的图象与反比例函数的图象都关于原点对称，且交于两点， ，， 又， ， 整理得：， 在反比例函数的图象上， ． 故答案为：． 3．如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数，的图象交于点． (1)求与的值； (2)为第一象限反比例函数图象上的一动点，且的面积小于的面积，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)，； (2)m的取值范围为． 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数与一次函数的图象交点坐标，把点的坐标代入相应的函数关系式求出待定系数是求函数关系式的常用方法． （1）把代入一次函数解析式求出b的值，再把代入一次函数解析式求出a的值，最后把代入反比例函数解析式求解即可； （2）先求得，根据题意得，据此求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得； （2）解：由（1）得反比例函数的解析式为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵的面积小于的面积，且点的横坐标为，点P在第一象限， ∴，即， ∴， 综上，m的取值范围为． 4．如图，已知一次函数和反比例函数的图象相交于点，． (1)求一次函数和反比例函数的表达式． (2)根据图象请直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】此题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是熟练运用待定系数法求函数解析式，以及图象法解不等式． （1）将代入反比例函数解析式可求解反比例函数解析，由此可求出点B的坐标，将点A、B的坐标代入一次函数解析式，运用待定系数法求解析式即可； （2）根据一次函数与反比例函数图象的交点坐标，图形结合分析即可求解； 【详解】（1）∵一次函数和反比例函数的图象相交于点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； （2）解：由（1）可知，， 根据图示可得，当时，； 当时，； ∴当时，x的取值范围为：或． 题型03 一次函数与反比例函数的实际应用 1．数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻R的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻R(单位∶)与物体质量m(单位∶)之间的关系如图2所示，电流I(单位∶)与可变电阻 R之间关系为 (1)该小组先探究函数 的图像与性质，并根据I与R之间关系得到如下表格： R(kΩ) 0 1 2 3 4 5 6 7 … I(mA) 2 1.5 1.2 p 0.75 0.6 ①表格中的 ； ②请在图3 中画出 对应的函数图像； (2)该小组综合图2和图3发现，I随着m的增大而 ；(填“增大”或“减小”) (3)若将该款电子秤中的电路电流范围设定为(单位：)，判断该电子托盘秤能否称出质量为 的物体的质量？请说明理由． 【答案】(1)1 (2)见解析，增大 (3)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数关系式及其应用： （1）①选用相应的已知值代入函数解析式求解即可；②描点，连线得出函数图象， （2）观察函数图象解答即可； （3）先求出电子称通过最大电流时的电阻，再求出质量与电阻之间的函数关系式，代入最大电阻即可得出电子体重秤可称的最大质量，进而判断是否能称出质量为 的物体的质量． 【详解】（1）①解：∵， 当时，； ②描点，连线，如图： （2）观察图象可知，电流随可变电阻的增大而减小，可变电阻随物体质量m的增大而减小， 故电流随物体质量m的增大而增大， 故答案为：增大； （3）不能，理由如下： 当电流取最大时，电子秤所称重的质量最大，此时接入电阻值最小， 即，， ∴， 设， 当时，，代入得：； 当，代入得，，解得，； ∴与的关系式为； 当时，， 解得， 即电子体重秤可称的最大质量为千克， 所以该电子托盘秤不能称出质量为的物体的质量． 2．智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温（）与通电时间（）之间的关系如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式（写出的取值范围）； (2)加热一次，求水温不低于的时间． 【答案】(1) (2)加热一次，水温不低于的时间为 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用． （1）待定系数法求出反比例函数的解析式，再求出的值，即可； （2）先求出时，与之间的函数表达式，再求出时，的值，即可求解． 【详解】（1）解：当时，设与之间的函数关系式为， 将点代入，得， ∴与之间的函数关系式为， 当时，， ， ∴与之间的函数关系式为． （2）解：当时，设一次函数的表达式为， 将点代入一次函数的表达式，得， 解得：， ∴一次函数的表达式为， 令，则； 在降温过程中，当水温为时，有，则， ∵， ∴加热一次，水温不低于的时间为． 3．小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式； (2)求图中t的值； (3)有一天，小明在上午（水温20℃），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，饮水机内水的温度约为多少℃？并求：在这段时间里，水温共有几次达到100℃？ 【答案】(1) (2) (3)饮水机内水温约为80℃，共有7次达到100℃ 【分析】本题考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法代入函数解析式即可得出答案； （2）先求出反比例函数解析式进而得出的值即可得出答案； （3）先求出总时间，再利用每40分钟图象重复出现一次，即可得出答案． 【详解】（1）解：设将、代入得 解得 水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为； （2）在水温下降过程中，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：依据题意，得：即， 故， 当时， 解得：； （3）由（2），结合图象，可知每40分钟图象重复出现一次， 到经历286分钟，， 当时， 答：饮水机内水温约为80℃，共有7次达到100℃． 4．在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即，分别是图形和图形上任意一点，当的长最小时，称这个最小值为图形与图形之间的距离． 例如，如图1，，线段的长度称为点A与直线之间的距离，当时，线段的长度也是与之间的距离． 【应用】（1）如图2，在等腰中，，，点D为边上一点，过点D作交于点E．若，，则与之间的距离是 ； （2）如图3，已知直线与双曲线交于与B两点，点A与点B之间的距离是 ，点O与双曲线之间的距离是 ． 【拓展】（3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南—西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于．现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线的函数表达式为，小区外延所在双曲线的函数表达式为，那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少? 【答案】（1）；（2）；；（3）需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是米 【分析】（1）过点D作于点H，得出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出结果即可； （2）先根据一次函数解析式求出，然后再求出反比例函数解析式，再求出点，根据两点点距离公式求出的值即可；作，且与双曲线只有一个交点，设直线的解析式为，求出一次函数解析式，再求出交点坐标，最后求出的值即可； （3）作直线，设的解析式为，与双曲线交于点、，过点作于点，过点作轴于点，过点、分别作直线的垂线、，垂足为、，先求出直线的解析式，然后求出点、的坐标，根据两点之间距离公式求出的长，进而即可得出答案． 【详解】解：（1）如图，过点D作于点H， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）把代入中，得：， ∴， 把代入，得：， ∴， ∴双曲线的解析式为， 联立，得：， 即， 解得：，， ∴， ∴； 如图，作，且与双曲线只有一个交点，设直线的解析式为， 则， 整理得：， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴直线的解析式为， 由， 解得：， ∴， ∴； 故答案为：；． （3）如图，作直线，设的解析式为，与双曲线交于点、，过点作于点，过点作轴于点，过点、分别作直线的垂线、，垂足为、， 则， ∵直线平分第二、四象限角， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 代入，得， 解得：， ∴， 联立得：， 解得：或， ∴，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 答：需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是40米． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，两点之间距离公式，矩形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握两点之间距离公式． 题型04 一次函数与反比例函数的其他综合应用 1．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是反比例函数、一次函数的交点，已知．在线段上取一点C，过C点作直线l 平行x轴，交反比例函数于点D，连接、． （1） ； （2）记的面积为，则最大值为 ． 【答案】 4 【分析】本题主要考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，坐标与图形． （1）将代入，即可解答； （2）设，则，根据点C在线段上得到，由，高，得到，根据二次函数的性质即可解答． 【详解】解：（1）∵反比例函数的图象过点， ∴，解得． 故答案为：4 （2）∵一次函数的图象过点， ∴，解得， ∴一次函数解析式为 由（1）得， ∴反比例函数解析式为． 解方程组得，， ∴ 设，则， ∵点C是线段上的点， ∴ ∵，高， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴的最大值为． 故答案为： 2．如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，． (1)求m的值和反比例函数表达式； (2)当时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题： （1）待定系数法求出的值和函数解析式即可； （2）图象法确定x的取值范围即可． 【详解】（1）∵一次函数与反比例函数相交于点，， ∴，， 解得，， ∴反比例函数的表达式为； （2）点在上， ∴，解得． ∴， 观察图象可得，当时，x的取值范围为或． 3．如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象相交于，两点，分别连接和． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时，的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3)4 【分析】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，三角形的面积，熟练掌握待定系数法求函数的表达式，以及求一次函数与坐标轴的交点坐标，三角形的面积是解决问题的关键． （1）将点，代入得，，进而可得反比例函数的表达式，点，将，代入即可得出一次函数的表达式； （2）根据一次函数与反比例函数交于点，，结合函数的图象即可得出当时，的取值范围； （3）设一次函数与轴交于点，与轴交于点，过点作轴于，过点作轴于，则点，点，由此可得，，，然后根据可得出答案． 【详解】（1）解：将点代入，解得 把代入，得到，解得， 反比例函数的表达式为，点， 将，代入， 得，解得， 一次函数的表达式为； （2）解：一次函数与反比例函数交于点，， 根据一次函数和反比例函数的图象得：当时，的取值范围是：或； （3）解：设一次函数与轴交于点，与轴交于点，过点作轴于，过点作轴于，如图所示： 对于，当时，，当时，， 的坐标为，点的坐标为， ，， ， 点，， ，， ，， ． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）与反比例函数（）在第二象限交于点，且与y轴交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)请直接写出不等式的解集； (3)在x轴上有一动点P，且的面积为，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法； （1）将、的坐标代入一次函数解析式，即可求解； （2）设一次函数（）与反比例函数（）在第四象限交于点C，求出点的坐标，根据图象即可求解； （3）由可求出，即可求解； 掌握待定系数法，能熟练利用数形结合思想进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：如图，设一次函数（）与反比例函数（）在第四象限交于点C． ∵反比例函数过点， ， ∴反比例函数的解析式为． 联立方程组， 解得，或， ， ∴不等式的解集为或； （3）解：如图，设一次函数与x轴交于点D， ∴当时，， 解得， ∴， ， ∴， ∴， ， 解得：或， ∴点P的坐标为或． 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点B的坐标为． (1)求m，b的值； (2)设P是线段上一点，过点P作轴交反比例函数的图象于点D，连接，若，求的面积； (3)在（2）的条件下，将直线向下平移个单位长度后，与射线交于点F，与反比例函数在第一象限内的图象交于点E，若四边形是平行四边形，求a的值． 【答案】(1)， (2) (3)3 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由（1）可知反比例函数解析式为，一次函数解析式为，设，则，根据，可列出关于t的方程，求出t的值即可得出点D坐标．联立，求解即可得出点A坐标，最后根据三角形面积公式求解即可； （3）由一次函数平移规律得出平移后的直线解析式为，与直线解析式联立，即可求出．根据平行四边形的性质和，即得出点E坐标，代入反比例函数解析式，求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且点B的坐标为， ∴，， 解得：，； （2）解：由（1）可知反比例函数解析式为，一次函数解析式为， 设， ∵轴交反比例函数的图象于点D， ∴． ∵， ∴， 解得：，（舍）， ∴． 联立， 解得：或， ∴， ∴． （3）解：如图， ∵将直线向下平移个单位长度， ∴平移后的直线解析式为， 由（2）可知， ∴直线的解析式为． 联立，解得：， ∴． ∵平移后的直线与射线交于点F，与反比例函数在第一象限内的图象交于点E， ∴． ∵四边形是平行四边形，，， ∴，即． ∵点E在反比例函数图象上， ∴， 解得：（舍），， ∴a的值为3． 【点睛】本题为反比例函数与一次函数的综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，坐标与图形，一元二次方程的应用，平行四边形的性质，一次函数的平移等知识，利用数形结合的思想是解题关键． 6．如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点和点D． (1)求反比例函数的解析式和点D的坐标； (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)连接，，求的面积； (4)点P是反比例函数上一点，轴交直线于且，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)数的解析式为和点D的坐标为 (2) (3) (4)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法等； （1）将点的坐标代入可求出，再将点的坐标代入反比例函数解析式即可求解反比例函数解析式，联立两解析式，解方程组即可得答案； （2）根据图象，由上方的图象对应的函数值较大，即可求解； （3）由即可求解； （4）设，则有，求出，可得，即可求解； 熟练利用一次函数与反比例函数的交点进行求解不等式及面积是解题的关键． 【详解】（1）解： 在一次函数的图象上， ， 解得：， ， ， 解得：， ， ， 解得：，， 经检验：，是此方程的根， ， ； 故反比例函数的解析式为、点D的坐标为； （2）解：由图象得 当时， ； （3）解：当时， ， 当时， ， 解得：， ，， ， ； （4）解：设， ， 轴， ， ， 解得：， ， ， ， 或， 当时， 解得：，， 经检验：，是此方程的根； 当时， 整理得：， 不存在； 当时， ； 当时， ； 的坐标为或． 7．如图，一次函数的图象与坐标轴相交于点和点，与反比例函数相交于点． (1)求出一次函数与反比例函数的表达式； (2)若点是反比例函数图象上的一点，连接并延长，交轴正半轴于点，若时，求的面积； (3)在（2）的条件下，若为一次函数的图象上一点，是否存在平面内一点，使得以为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)16； (3)点的坐标为或,或,． 【分析】（1）由题意直接运用用待定系数法即可求解； （2）证明△△，则，而，点坐标为，利用，即可求解； （3）根据题意分两种情况：为边和对角线时，根据两点的距离公式和中点坐标公式列方程可解答． 【详解】（1）解： 一次函数的图象与坐标轴相交于点， ，解得， 一次函数为：， 一次函数的图象经过点． ， 点坐标为， 反比例函数经过点， ， 反比例函数为：； （2）作于，于， ， △△， ， ，点坐标为， ，， ， ， 点的纵坐标为2， 把代入求得， ， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 直线的解析式为， 令，则， ， ， ； （3）由（1）知，， ， ， 设，， 分三种情况： ①当为边时，对角线，且与互相平分， 有， 解得， 点的坐标为,； ②当为对角线时，对角线，且，互相平分， 有， 解得或， 点的坐标为,或； ③当为边时，对角线，且，互相平分， 有， 解得：， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或,或,． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，以及反比例函数与一次函数图象的交点，矩形的性质，两点的距离公式等知识，利用数形结合的思想和方程的思想是解答本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$