第13讲 二次函数的图象与性质（讲练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（湖南专用）

第三章 函数 第13讲 二次函数的图象与性质（15~20分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 二次函数的相关概念（高频考点） 考点二 二次函数的图象与性质（高频考点） 考点三 二次函数与各项系数之间的关系（高频考点） 考点四 二次函数与方程、不等式（高频考点） 04题型精研·考向洞悉 命题点一 二次函数的相关概念 ►题型01 判断二次函数 ►题型02 已知二次函数的概念求参数值 ►题型03 利用待定系数法求二次函数的解析式 命题点二 二次函数的图象与性质 ►题型01 根据二次函数解析式判断其性质 ►题型02 将二次函数的一般式化为顶点式 ►题型03 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 ►题型04 二次函数平移变换问题 ►题型05 已知抛物线对称的两点求对称轴 ►题型06 根据二次函数的对称性求函数值 ►题型07 根据二次函数的性质求最值 ►题型08 根据二次函数的对称性求字母的取值范围 ►题型09 根据二次函数的最值求字母的取值范围 ►题型10 根据规定范围二次函数自变量的情况求函数值的职值范围 ►题型11 根据二次函数的增减性求字母的取值范围 命题点三 二次函数与各项系数之间的关系 ►题型01 根据二次函数图象判断式子符号 ►题型02 二次函数图象与各项系数符号 ►题型03 二次函数、一次函数综合 ►题型04 二次函数、反比例函数图象综合 ►题型05 两个二次函数图象综合 命题点四 二次函数与方程、不等式 ►题型01 求二次函数与坐标轴交点坐标 ►题型02 求二次函数与坐标轴交点个数 ►题型03 抛物线与x轴交点问题 ►题型04 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 ►题型05 图象法确定一元二次方程的近似根 ►题型06 求x轴与抛物线的截线长 ►题型07 图象法解一元二次不等式 ►题型08 根据交点确定不等式的解集 ►题型09 二次函数与斜三角形相结合的应用方法 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 二次函数的相关概念 · 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义. 10年4考 二次函数作为初中三大函数中考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是湖南中考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为15-20分，预计2025年各地中考还会考.而对于二次函数图象和性质的考察，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面.题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知 二次函数的图象与性质 · 能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系. · 会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题. 近10年连续考查 二次函数与各项系数的关系 · 理解二次函数与各项系数的关系. 近10年连续考查 二次函数与方程、不等式 · 知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 10年3考 02知识导图·思维引航 03考点突破·考 考点一 二次函数的相关概念 （高频考点） 二次函数的概念：一般地，形如y=ax²+bx+c (其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 二次函数的结构特征：1）函数关系式是整式； 2）自变量的最高次数是2； 3）二次项系数a≠0，而b，c可以为零. 根据实际问题列二次函数关系式的方法： 1）先找出题目中有关两个变量之间的等量关系； 2）然后用题设的变量或数值表示这个等量关系； 3）列出相应二次函数的关系式. 二次函数的常见表达式： 名称 解析式 前提条件 一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k） 当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴) 时，常用顶点式求其表达式. 交点式 y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0) 其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，若题目已知抛物线与x 轴两交点坐标时，常用交点式求其表达式. 相互联系 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法. 二次函数的特殊形式：1)当b＝0时， y＝ax²＋c（a） 2)当c＝0时， y＝ax²＋bx （a） 3)当b＝0，c＝0时， y＝ax²（a） 1．（2023·福建南平·一模）下列函数中，是二次函数的是（ ） A． B． C． D． 2．（2024·湖北武汉·中考真题）某反比例函数具有下列性质：当时，y随x的增大而减小，写出一个满足条件的k的值是 ． 3．（2025·上海奉贤·一模）一个边长为10厘米的正方形，如果它的边长减少x厘米，则正方形的面积随之减少y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是 ． 考点二 二次函数的图象与性质 （高频考点） 一、二次函数的图象与性质 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 二、二次函数的图象变换 1）二次函数的平移变换 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 2）二次函数图象的翻折与旋转 变换前 变换方式 变换后 口诀 y=a(x-h)²+k 绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变 绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号 沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变 沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号 三、二次函数的对称性问题 抛物线的对称性的应用，主要体现在： 1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标； 2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴. 解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对称轴可表示为直线x=. 解题技巧： 1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=的差的绝对值相等； 2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称； 3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称. 四、二次函数的最值问题 自变量取值范围 图象 最大值 最小值 全体实数 a>0 当x=时，二次函数取得最小值 a<0 当x=时，二次函数取得最大值 x1≤x≤x2 a>0 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x1时，二次函数取得最大值y1 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=x1时，二次函数取得最小值y1 备注：自变量的取值为x1≤x≤x2时，且二次项系数a<0的最值情况请自行推导. 1. 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x 的增大而增大(或减小) 是不对的，必须附加一定的自变量x 取值范围. 2. 抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关. 3. 涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y=a(x-h)2+k的形式，因为二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式 1．（2023·四川泸州·模拟预测）已知二次函数，若自变量x分别取，且，则对应的函数值的大小关系正确的是（  ） A． B． C． D． 2．（2024·四川乐山·模拟预测）二次函数的顶点坐标为（  ）． A． B． C． D． 3．（2024·浙江温州·三模）二次函数的部分对应值如下表所示，则当时，x的取值范围为（   ） x 3 4 y m 0 m A． B． C．或 D．或 4．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知二次函数的图象过三点 (1)求函数的解析式； (2)问是否存在m，n()，使函数在范围内的最小值是，最大值是？若存在，求出m，n；若不存在，说明理由． 考点三 二次函数与各项系数之间的关系 （高频考点） 一、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与a，b，c的关系 符号 图象特征 备注 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)． a<0 开口向下 b b=0 坐标轴是y轴 ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异 ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 二、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的常见结论 自变量x的值 函数值 图象上对应点的位置 结论 -2 4a-2b+c x轴的上方 4a-2b+c >0 x轴上 4a-2b+c =0 x轴的下方 4a-2b+c <0 -1 a-b+c x轴的上方 a-b+c >0 x轴上 a-b+c =0 x轴的下方 a-b+c <0 1 a+b+c x轴的上方 a+b+c >0 x轴上 a+b+c =0 x轴的下方 a+b+c <0 2 4a+2b+c x轴的上方 4a+2b+c >0 x轴上 4a+2b+c =0 x轴的下方 4a+2b+c <0 1．（2023·四川绵阳·模拟预测）如图，已知顶点为的抛物线经过点，则下列结论： ； ； ；关于的一元二次方程的根为；若点，在抛物线上，则．其中正确的个数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024·西藏·中考真题）如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（    ） ① ② ③对任意实数m，均成立 ④若点，在抛物线上，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024·山东青岛·三模）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 考点四 二次函数与方程、不等式 （高频考点） 一、二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.一元二次方程的解就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标. 因此，二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. 与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0的根 判别式Δ=b2-4ac 2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac=0 0个交点 没有实数根 b2-4ac<0 二次函数与不等式的关系: b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 图象 与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点 ax2＋bx＋c>0 的解集情况 x<x1或x>x2 x≠ 取任意实数 ax2＋bx＋c<0 的解集情况 x1<x<x2 无解 无解 1. 解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0时的自变量x的取值，反映在图象上就是求抛物线与x 轴交点的横坐标. 2. 若一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的两根为x1，x2(x1< x2)，则抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x 轴的交点为(x1，0)，(x2，0)，对称轴为直线. 3. 如果抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于M(x1,0),N(x2,0),则MN= . （原因：MN=| x1- x2|=） 1．（2024·四川内江·二模）若二次函数的图象与轴有公共点，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 2．（2024·浙江宁波·二模）已知二次函数是常数且的图象与x轴的交点坐标是，当时，，当时，，则（    ） A．至少有一个大于 B．都小于 C．至少有一个小于 D．都大于 3．（2024·四川眉山·二模）若抛物线经过和两点，开口向上，且与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 04题型精研·考向洞悉 命题点一 二次函数的相关概念 ►题型01 判断二次函数 1．（2023·山东济宁·校联考三模）以下函数式二次函数的是（    ） A． B． . C． D． 2．（2023·辽宁鞍山·统考一模）下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 判断一个函数是不是二次函数的方法：在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简、整理(去括号、合并同类项)后，能写成y=ax²+bx+c(a≠0)的形式，那么这个函数就是二次函数，否则,它就不是二次函数 ►题型02 已知二次函数的概念求参数值 1．（2022·山东济南·模拟预测）若是二次函数，则的值等于（    ） A． B． C． D．或 2．（2022九年级上·浙江·专题练习）如果函数y＝（m﹣2）是二次函数，则m的值为 ． ►题型03 利用待定系数法求二次函数的解析式 1．（2023·江苏泰州·中考真题）函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（    ） x 1 2 4 y 4 2 1 A． B． C． D． 2．（2023·上海·中考真题）一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 ． 3．（2025·上海奉贤·一模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，那么称这个点为三倍点．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过点A及反比例函数图象上的三倍点，求二次函数的解析式． 求二次函数解析式的一般方法： 1）一般式y=ax2+bx+c.代入三个点的坐标列出关于a, b, c的方程组，并求出a, b, c，就可以写出二次函数的解析式. 2）顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点（h,k)，可设顶点式y=a(x-h)2+k,再将另一点的坐标代入，即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式. 3）交点式y=a(x-x1)(x-x2).当抛物线与x轴的两个交点为(x1,0)、(x2,0)时，可设y=a(x-x1)(x-x2)，再将另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式. 命题点二 二次函数的图象与性质 ►题型01 根据二次函数解析式判断其性质 1．（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（    ）    A．二次函数图象的对称轴是直线 B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C．当时，y随x的增大而减小 D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 2．（2023·四川成都·统考一模）下列关于抛物线的说法正确的是（    ） ①开口方向向上；②对称轴是直线；③当时，随的增大而减小；④当或时，． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ ►题型02 将二次函数的一般式化为顶点式 1.（2023·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考三模）关于二次函数的最值，说法正确的是（   ） A．最小值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最大值为 2.（2024·上海杨浦·统考一模）已知二次函数． (1)用配方法将函数的解析式化为的形式，并指出该函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)设该函数的图像与轴交于点、，点在点左侧，与轴交于点，顶点记作，求四边形的面积． ►题型03 二次函数y=+bx+c的图象和性质 1．（2023·浙江·模拟预测）已知、为抛物线与x轴交点的横坐标，则的值是（    ） A． B． C．或 D．0 2．（2023·浙江杭州·校考二模）已知抛物线经过不同的两点，，下列说法正确的是（　　） A．若时都有，则 B．若时都有，则 C．若时都有，则 D．若时都有，则 ►题型04 二次函数平移变换问题 1．（2024·江苏南通·中考真题）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考一模）将抛物线向下平移2个单位，所得抛物线顶点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2023·陕西西安·西安市曲江第一中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中将抛物线沿轴平移后的顶点恰好落在了轴上，则正确的平移方式为（    ） A．将抛物线向上平移2个单位 B．将抛物线向下平移2个单位 C．将抛物线向上平移4个单位 D．将抛物线向下平移4个单位 4．（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ． 5．（2024·江苏镇江·中考真题）对于二次函数（a是常数），下列结论：①将这个函数的图像向下平移3个单位长度后得到的图像经过原点；②当时，这个函数的图像在函数图像的上方；③若，则当时，函数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正确的是 （填写序号）． ►题型05 已知抛物线对称的两点求对称轴 1.（2023·福建福州·校考三模）在平面直角坐标系中，二次函数过点，，直线与抛物线交于，两点，取中点，则的横坐标为 ． 2.（2023·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）已知二次函数，其图象过点，则h的值应该是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 ►题型06 根据二次函数的对称性求函数值 1.（2023·湖南衡阳·统考一模）如果三点，和在抛物线的图象上，那，，之间的大小关系是 ． 2.（2023·上海普陀·统考二模）在平面直角坐标系中，点关于抛物线的对称轴对称的点的坐标是 ． ►题型07 根据二次函数的性质求最值 1.（2024·四川眉山·二模）若函数；当时，此时该函数的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知点在函数的图象上，，设，当且时，则下列结论正确的是（   ）． A．m有最大值，也有最小值 B．m有最小值，但没有最大值 C．m有最大值，但没有最小值 D．m没有最小值，也没有最大值 3.（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知函数，当时，y有最大值a，最小值b，则的值为（    ） A．13 B．5 C．11 D．14 ►题型08 根据二次函数的对称性求字母的取值范围 1.（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考一模）已知抛物线（c为常数）经过点、、，当时，m的取值范围为（    ） A． B． C． D． ►题型09 根据二次函数的最值求字母的取值范围 1.（2022·四川泸州·二模）已知函数，当时，函数值随x增大而减小，且对任意的和，，相应的函数值，总满足，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（2023·浙江绍兴·校联考三模）二次函数的图象经过点,，在范围内有最大值为4，最小值为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． ►题型10 根据规定范围二次函数自变量的情况求函数值的取值范围 1.（2023·浙江金华·统考一模）已知二次函数的图象经过点，则当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（2023上·陕西西安·九年级陕西师大附中统考期末）已知二次函数，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示： x … 0 1 3 … y … 3 6 6 … 当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． ►题型11 根据二次函数的增减性求字母的取值范国 1.（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知二次函数（a为常数）的图象与x轴有交点，当时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（2023·山东济南·统考三模）若点在抛物线上，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 命题点三 二次函数与各项系数之间的关系 ►题型01 根据二次函数图象判断式子符号 1.（2024·广东广州·模拟预测）如图，抛物线经过点和点，则（   ） A． B． C． D． 2.（2023·浙江·模拟预测）二次函数的图象如图所示，下列结论：①，②，③，④，⑤．其中正确的有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ►题型02 二次函数图象与各顶系数符号 1.（2024·湖北·模拟预测）如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论正确的有（    ） ①；②；③方程的两个根为；④抛物线上有两点和，若且，则 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2.（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于A，B两点，且．给出下列4个结论：①；②；③；④若m为任意实数，则．其中正确的个数是（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2024·四川雅安·中考真题）已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确的有（     ） ①；②抛物线的顶点坐标为； ③；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ①  ②（m为任意实数）  ③ ④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ►题型03 二次函数、一次函数综合 1.（2024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（    ） A．B．C．D． 2.（2024·四川自贡·中考真题）一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·浙江台州·中考真题）抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（    ）． A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 4．（2024·河南周口·三模）直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（     ） A． B． C． D． ►题型04 二次函数、反比例函数图象综合 1．（2024·江苏淮安·一模）如图，抛物线与反比例函数的图象相交于点P，若点P横坐标为2，则关于不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 2．（2024·山东济宁·二模）已知二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示．则一次函数与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致是(　　) A． B． C． D． 3．（2024·山东滨州·三模）已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广东广州·中考真题）函数与的图象如图所示，当（    ）时，，均随着的增大而减小． A． B． C． D． ►题型05 两个二次函数图象综合 1.（2024·湖北武汉·二模）函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（    ） A．B．C．D． 2.（2022·四川绵阳·三模）抛物线y1＝（x-h）2＋k与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正确结论是： ①；②点（，m）、（，n）及（，p）都在y1上，则p＜n＜m；③y1≥y2，则x≤1；④PQ＝． A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④ 命题点四 二次函数与方程、不等式 ►题型01 求二次函数与坐标铀交点坐标 1．（2024·广东广州·二模）已知二次函数（a为常数）的图象经过和两点，则二次函数与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江宁波·二模）已知二次函数与直线的交点横坐标分别是1和3，其与轴的其中一个交点的横坐标满足，那么的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线与y轴的交点坐标是 ． 4．（2024·浙江宁波·二模）二次函数 与坐标轴的交点个数为 个． ►题型02 求二次函数与坐标铀交点个数 1.（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）关于抛物线下列说法正确的是（    ） ①开口向上；②与坐标轴有3个交点；③一定过点；④顶点一定不在第二象限 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 2.（2023·江苏无锡·校联考一模）抛物线与坐标轴的交点个数为 个． ►题型03 抛物线与x轴交点问题 1.（2022·江苏泰州·一模）已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为 ． 2．（2023·辽宁鞍山·校考一模）函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是 ． 3．（2023·湖北武汉·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考模拟预测）已知抛物线． （1）若对称轴在直线处，则 ； （2）若顶点在y轴上，则 ； （3）若抛物线与y轴交点在y轴负半轴上，则k的取值范围为 ； （4）若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值范围为 ． ►题型04 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 1.（2023·辽宁大连·统考二模）二次函数的图象如图所示，下列结论错误的是（    ）    A．抛物线开口向上 B．方程的解为， C．抛物线对称轴为直线 D．抛物线与y轴交点坐标为 2.（2023·湖北武汉·校考模拟预测）数形结合是我们学习数学的一种重要思想方法，请运用数形结合的思想方法判断方程的根的情况是（    ） A．有3个实数根 B．有2个实数根 C．有1个实数根 D．无实数根 ►题型05 图象法确定一元二次方程的近似根 1.（2023·四川成都·校考三模）在探究关于x的二次三项式的值时，小明计算了如下四组值： 小明说，他通过这四组值能得到方程的一个近似根，这个近似根的个位是 ，十分位是 ． ►题型06 求x轴与抛物线的截线长 1.（2023·广东梅州·统考一模）已知抛物线与一次函数交于两点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．20 2.（2024·成都·校联考一模）已知二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与x轴交于A、B两点，且点A的坐标为(1，0)，则线段AB的长为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 ►题型07 图象法解一元二次不等式 1.（2023·山东济宁·统考一模）如图是二次函数和一次函数的图像，观察图像写出时，x的取值范围（　　） A． B． C． D． 2.（2022·江苏苏州·统考二模）若二次函数y＝－x2＋b的图像经过点（0，4），则不等式－x2＋b≥0的解集为（    ） A．－2≤x≤2 B．x≤2 C．x≥－2 D．x≤－2或x≥2 ►题型08 根据交点确定不等式的解集 1.（2023·山东泰安·统考一模）我们定义一种新函数：形如（，）的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，则下列结论：①  ②  ③  ④若m的取值范围是，则直线与的图象有4个公共点，则正确的是（    ） A．①②③④ B．①② C．③④ D．②③④ 2.（2022·山东济宁·校考二模）如图，二次函数的图像与反比例函数的图像交于，，三点．若，则的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 ►题型09 二次函数与斜三角形相结合的应用方法 2023下·湖北十堰·九年级统考阶段练习）如图1，平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点是线段上一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当面积最大时，求点的坐标； (3)如图2，是否存在以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 基础巩固 1．下列函数是二次函数的是（ ） A． B． C． D． 2．若关于x的函数是二次函数，则m的值为（   ） A．2 B． C． D．4 3．抛物线的对称轴为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 4．将抛物线绕原点O旋转，则旋转后的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 5．抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 6．当时，二次函数的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 7．如图，正方形的边长为8，点E，F分别是上的两个动点，且，则的最大值是（    ） A．1 B． C．2 D．3 8．下表列出了二次函数（，，为常数）的自变量与的几组对应值： … 0 1 3 … … 8 … 则下列说法不正确的是（   ） A．二次函数开口向上 B．若点，都在抛物线上，则 C．方程有两个相等的实数根 D．二次函数有最小值，最小值小于 9．关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象的对称轴在轴的右侧 B．图象与轴的交点坐标为 C．图象与轴的交点坐标为和 D．时，随的增大而增大 10．在平面直角坐标系中，已知抛物线：（为常数），则下面选项正确的是（   ） A．若点，在抛物线上，则 B．若点，在抛物线上，则 C．当时，抛物线只经过第一、二象限 D．当时，抛物线只经过第一、二象限 11．某抛物线的最高点在y轴上，且与x轴有两个交点，这个抛物线的表达式可以是 ． 12．抛物线对称轴为直线，且经过，且．，则a 0．（填“”或“”） 13．二次函数的图象在其对称轴右侧的部分是 的（填“上升”或“下降”）． 14．二次函数图象如图，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤若，且则． 其中正确的有 ． 15．在平面直角坐标系中，将抛物线（其中、、是常数，且），以原点为中心，旋转得抛物线，则称是的“中心对称抛物线”．已知抛物线，将抛物线向左平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为、．将抛物线的“中心对称抛物线”向右也平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为、．当线段是线段、的比例中项时，的值为 ． 16．如图，二次函数图象经过点、、．当时，x的取值范围为 ． 17．二次函数的图像与轴的交点坐标是 ． 18．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)求点B的坐标； (2)连接，现将二次函数的图象向下平移m个单位长度，使得顶点恰好落在线段上，请求出此时m的值． 19．若是关于的二次函数，求的值． 20．在平面直角坐标系中，已知：抛物线经过点和． (1)求抛物线的表达式； (2)若点在抛物线上，求的正弦值． 21．已知抛物线与轴交于两点A，B（在的左侧），抛物线与轴交于两点在的左侧），且． (1)若抛物线经过点，求实数的值； (2)求与的交点坐标； (3)求证：． 能力提升 1．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 2．已知二次函数．当时，函数的最大值与最小值的差为12，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．如图，抛物线过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③抛物线经过点与点，则；④无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点；⑤；⑥若方程（，m为常数）有四个根，分别为，，，，则，其中所有正确的结论是（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 4．关于抛物线（m 是常数），下列结论正确的是（     ） ①若此抛物线与x 轴只有一个公共点，则； ②若此抛物线与坐标轴只有一个公共点，则； ③若点在抛物线上，则 ； ④无论m 为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于． A．②④ B．①③ C．②③ D．①④ 5．抛物线经过点，当时，当时，则的取值范围是 . 6．已知二次函数（，均是实数），设该函数最小值为，若，，则的取值范围是 ． 7．抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数k的取值范围是 ． 8．通过二次函数的学习，小杰知道形如的函数，其图像始终经过点，也即抛物线经过定点．于是他进一步探究了形如的函数图像．发现抛物线经过定点与．他探究的思路是：设法找到的某些取值，使表达式中含的各项之和为0． 具体的解法如下： 含的各项之和：，令，解得，． 当时，，得到定点；当时，，得到定点． 小杰还探究了抛物线，发现它也经过两个定点，其中一个位于轴上，可记作点，另一个位于第一象限内，可记作点． (1)求点、的坐标； (2)当时（如图），抛物线的顶点为，与轴的另一个交点为． ①如果，求的值； ②当时，求的值． 9．设m是不小于的实数，关于x的方程有两个不相等的实数根、， (1)若，求m值； (2)求的最大值． 10．已知二次函数（，为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)若点向上平移个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值； (2)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． $$第三章 函数 第13讲 二次函数的图象与性质（15~20分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 二次函数的相关概念（高频考点） 考点二 二次函数的图象与性质（高频考点） 考点三 二次函数与各项系数之间的关系（高频考点） 考点四 二次函数与方程、不等式（高频考点） 04题型精研·考向洞悉 命题点一 二次函数的相关概念 ►题型01 判断二次函数 ►题型02 已知二次函数的概念求参数值 ►题型03 利用待定系数法求二次函数的解析式 命题点二 二次函数的图象与性质 ►题型01 根据二次函数解析式判断其性质 ►题型02 将二次函数的一般式化为顶点式 ►题型03 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 ►题型04 二次函数平移变换问题 ►题型05 已知抛物线对称的两点求对称轴 ►题型06 根据二次函数的对称性求函数值 ►题型07 根据二次函数的性质求最值 ►题型08 根据二次函数的对称性求字母的取值范围 ►题型09 根据二次函数的最值求字母的取值范围 ►题型10 根据规定范围二次函数自变量的情况求函数值的职值范围 ►题型11 根据二次函数的增减性求字母的取值范围 命题点三 二次函数与各项系数之间的关系 ►题型01 根据二次函数图象判断式子符号 ►题型02 二次函数图象与各项系数符号 ►题型03 二次函数、一次函数综合 ►题型04 二次函数、反比例函数图象综合 ►题型05 两个二次函数图象综合 命题点四 二次函数与方程、不等式 ►题型01 求二次函数与坐标轴交点坐标 ►题型02 求二次函数与坐标轴交点个数 ►题型03 抛物线与x轴交点问题 ►题型04 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 ►题型05 图象法确定一元二次方程的近似根 ►题型06 求x轴与抛物线的截线长 ►题型07 图象法解一元二次不等式 ►题型08 根据交点确定不等式的解集 ►题型09 二次函数与斜三角形相结合的应用方法 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 二次函数的相关概念 · 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义. 10年4考 二次函数作为初中三大函数中考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是湖南中考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为15-20分，预计2025年各地中考还会考.而对于二次函数图象和性质的考察，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面.题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知 二次函数的图象与性质 · 能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系. · 会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题. 近10年连续考查 二次函数与各项系数的关系 · 理解二次函数与各项系数的关系. 近10年连续考查 二次函数与方程、不等式 · 知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 10年3考 02知识导图·思维引航 03考点突破·考 考点一 二次函数的相关概念 （高频考点） 二次函数的概念：一般地，形如y=ax²+bx+c (其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 二次函数的结构特征：1）函数关系式是整式； 2）自变量的最高次数是2； 3）二次项系数a≠0，而b，c可以为零. 根据实际问题列二次函数关系式的方法： 1）先找出题目中有关两个变量之间的等量关系； 2）然后用题设的变量或数值表示这个等量关系； 3）列出相应二次函数的关系式. 二次函数的常见表达式： 名称 解析式 前提条件 一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k） 当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴) 时，常用顶点式求其表达式. 交点式 y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0) 其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，若题目已知抛物线与x 轴两交点坐标时，常用交点式求其表达式. 相互联系 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法. 二次函数的特殊形式：1)当b＝0时， y＝ax²＋c（a） 2)当c＝0时， y＝ax²＋bx （a） 3)当b＝0，c＝0时， y＝ax²（a） 1．（2023·福建南平·一模）下列函数中，是二次函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义及一般形式是解题的关键．二次函数的一般式是，其中． 根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A，是二次函数，故本项符合题意； B，不是二次函数，故本项不符合题意； C，不是二次函数，故本项不符合题意； D，不是二次函数，故本项不符合题意； 故选：A． 2．（2024·湖北武汉·中考真题）某反比例函数具有下列性质：当时，y随x的增大而减小，写出一个满足条件的k的值是 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，反比例函数的图象是双曲线，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．直接根据反比例函数的性质写出符合条件的值即可． 【详解】解：∵当时，y随x的增大而减小， ∴ 故答案为：1（答案不唯一）． 3．（2025·上海奉贤·一模）一个边长为10厘米的正方形，如果它的边长减少x厘米，则正方形的面积随之减少y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题列出二次函数，先计算出原正方形的面积，再计算出边长减少后的正方形的面积，作差即可得解． 【详解】解：原正方形面积为（平方厘米）， 边长减少厘米后，新正方形边长为厘米，面积为平方厘米， 则， 故答案为：． 考点二 二次函数的图象与性质 （高频考点） 一、二次函数的图象与性质 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 二、二次函数的图象变换 1）二次函数的平移变换 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 2）二次函数图象的翻折与旋转 变换前 变换方式 变换后 口诀 y=a(x-h)²+k 绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变 绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号 沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变 沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号 三、二次函数的对称性问题 抛物线的对称性的应用，主要体现在： 1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标； 2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴. 解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对称轴可表示为直线x=. 解题技巧： 1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=的差的绝对值相等； 2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称； 3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称. 四、二次函数的最值问题 自变量取值范围 图象 最大值 最小值 全体实数 a>0 当x=时，二次函数取得最小值 a<0 当x=时，二次函数取得最大值 x1≤x≤x2 a>0 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x1时，二次函数取得最大值y1 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=x1时，二次函数取得最小值y1 备注：自变量的取值为x1≤x≤x2时，且二次项系数a<0的最值情况请自行推导. 1. 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x 的增大而增大(或减小) 是不对的，必须附加一定的自变量x 取值范围. 2. 抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关. 3. 涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y=a(x-h)2+k的形式，因为二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式 1．（2023·四川泸州·模拟预测）已知二次函数，若自变量x分别取，且，则对应的函数值的大小关系正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的增减性是解题的关键． 根据与对称轴的大小关系，判断的大小关系即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴此函数的对称轴为直线，开口向下， ∵，三点都在对称轴右侧， ∴对称轴右侧随的增大而减小， ， 故选：A． 2．（2024·四川乐山·模拟预测）二次函数的顶点坐标为（  ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了将二次函数解析式化成顶点式，利用配方法将二次函数解析式化成顶点式，得出顶点坐标即可，熟练掌握将二次函数解析式化成顶点式是解题的关键． 【详解】解： ∴二次函数的顶点坐标为． 故选：B． 3．（2024·浙江温州·三模）二次函数的部分对应值如下表所示，则当时，x的取值范围为（   ） x 3 4 y m 0 m A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点、二次函数的性质，认真观察学会利用表格信息解决问题是解题的关键． 根据表格信息找出函数值时x的取值，然后借助函数图象即可得到答案． 【详解】解：由表格数据可得抛物线的对称轴为，开口向下， ∴当时，或， ∴当时，x的取值范围为或， 故选C． 4．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知二次函数的图象过三点 (1)求函数的解析式； (2)问是否存在m，n()，使函数在范围内的最小值是，最大值是？若存在，求出m，n；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，， 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，关键是分情况讨论和根据特征点解题． （1）运用待定系数法求解即可； （2）分三种情况讨论，分别根据二次函数的图像与性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象过， ∴， 解得：， ∴解析式为：； （2）解：存在，理由如下： 对于，对称轴为直线， ∴①当时，函数在范围内，随增大而减小， ∴当时，，时，， ∴，， 两式相减得：， ∴或，均不符合题意，舍； ②当时，函数在范围内，随增大而增大， ∴当时，，时，， ∴，， 解得：或；或， ∴满足题意得话：，； ③当时， 此时当时，， 解得：，不符合题意，舍， 综上所述：，． 考点三 二次函数与各项系数之间的关系 （高频考点） 一、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与a，b，c的关系 符号 图象特征 备注 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)． a<0 开口向下 b b=0 坐标轴是y轴 ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异 ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 二、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的常见结论 自变量x的值 函数值 图象上对应点的位置 结论 -2 4a-2b+c x轴的上方 4a-2b+c >0 x轴上 4a-2b+c =0 x轴的下方 4a-2b+c <0 -1 a-b+c x轴的上方 a-b+c >0 x轴上 a-b+c =0 x轴的下方 a-b+c <0 1 a+b+c x轴的上方 a+b+c >0 x轴上 a+b+c =0 x轴的下方 a+b+c <0 2 4a+2b+c x轴的上方 4a+2b+c >0 x轴上 4a+2b+c =0 x轴的下方 4a+2b+c <0 1．（2023·四川绵阳·模拟预测）如图，已知顶点为的抛物线经过点，则下列结论： ； ； ；关于的一元二次方程的根为；若点，在抛物线上，则．其中正确的个数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质．根据抛物线与轴有两个交点，可知方程有两个不相等的实数根，所以可知，故符合题意；根据抛物线的开口向上且顶点坐标为，可知，故不符合题意；根据抛物线的顶点坐标为，可知当时，，故符合题意；根据抛物线经过点，而抛物线的对称轴为直线，可知一元二次方程的两根为和，故不符合题意；抛物线开口向上，对称轴为直线，而点，在抛物线上，可知离对称近的点对应的值较小，故不符合题意． 【详解】解：抛物线与轴有个交点， ， 即， 故符合题意； 抛物线的顶点坐标为， 即时，函数有最小值， ， 故不符合题意； 抛物线的顶点坐标为， 当时，， ， 故符合题意； 抛物线经过点，而抛物线的对称轴为直线， 点关于直线的对称点在抛物线上， 关于的一元二次方程的两根为和， 故不符合题意； 抛物线开口向上，对称轴为直线，而点，在抛物线上， ， ， 故不符合题意． 故选：B． 2．（2024·西藏·中考真题）如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（    ） ① ② ③对任意实数m，均成立 ④若点，在抛物线上，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子的符号，由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，交轴于负半轴，即可得出，，，从而求出，即可判断①；根据二次函数与轴的交点得出二次函数的对称轴为直线，，，计算即可判断②；根据当时，二次函数有最小值，即可判断③；根据即可判断④；熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，交轴于负半轴， ∴，，， ∴， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴相交于点，， ∴二次函数的对称轴为直线，，， 由得：， ∵， ∴， ∴，即，故②错误； 当时，二次函数有最小值， 由图象可得，对任意实数m，， ∴对任意实数m，均成立，故③正确； ∵点，在抛物线上，且， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①③，共个， 故选：B． 3．（2024·山东青岛·三模）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系．根据图象正确的获取信息，利用二次函数的性质进行判断，是解题的关键． ①根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，进行判断；②利用对称轴进行判断；③利用最值进行判断；④根据对称性和图象上的点，进行判断；⑤利用对称性进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上，则， ∵对称轴为直线，则， ∴，故②正确 抛物线与轴交于负半轴，则， ∴，故①错误； ∵当时，取得小值， ∴， 当m为任意实数，则，故③正确， ④∵抛物线关于对称， ∴和的函数值相同， 即：， 由图象知，当时，函数值大于0， ∴，故④正确； ⑤当关于对称时：即：时， 对应的函数值相同， 即：， ∴ ∴若，且，则；故⑤正确； 综上所述，正确的是②③④⑤，共4个， 故选：C． 考点四 二次函数与方程、不等式 （高频考点） 一、二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.一元二次方程的解就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标. 因此，二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. 与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0的根 判别式Δ=b2-4ac 2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac=0 0个交点 没有实数根 b2-4ac<0 二次函数与不等式的关系: b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 图象 与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点 ax2＋bx＋c>0 的解集情况 x<x1或x>x2 x≠ 取任意实数 ax2＋bx＋c<0 的解集情况 x1<x<x2 无解 无解 1. 解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0时的自变量x的取值，反映在图象上就是求抛物线与x 轴交点的横坐标. 2. 若一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的两根为x1，x2(x1< x2)，则抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x 轴的交点为(x1，0)，(x2，0)，对称轴为直线. 3. 如果抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于M(x1,0),N(x2,0),则MN= . （原因：MN=| x1- x2|=） 1．（2024·四川内江·二模）若二次函数的图象与轴有公共点，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，二次函数的定义等知识．熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，二次函数的定义是解题的关键． 由题意知，，令，则，由二次函数的图象与轴有公共点，可得，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，， 令，则， ∵二次函数的图象与轴有公共点， ∴， 解得，， ∴的取值范围是且， 故选：D． 2．（2024·浙江宁波·二模）已知二次函数是常数且的图象与x轴的交点坐标是，当时，，当时，，则（    ） A．至少有一个大于 B．都小于 C．至少有一个小于 D．都大于 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 设抛物线的交点式，表示出p和q，进而求出，进而求解． 【详解】解：令， 从而， ， ， ， (使等号无法取到)， 因此至少有一个小于． 故选：C． 3．（2024·四川眉山·二模）若抛物线经过和两点，开口向上，且与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，待定系数法将二次函数的解析式转化为只含参数的解析式，根据抛物线的开口向上，与轴有两个交点，列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过和两点， ∴，解得：， ∴， ∵抛物线的开口向上，且与轴有两个交点， ∴，解得：或； 故答案为：或． 04题型精研·考向洞悉 命题点一 二次函数的相关概念 ►题型01 判断二次函数 1．（2023·山东济宁·校联考三模）以下函数式二次函数的是（    ） A． B． . C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数，进行判断． 【详解】解：A、当时，不是二次函数，故本选项错误； B、由得到，是一次函数，故本选项错误； C、该等式的右边是分式，不是整式，不符合二次函数的定义，故本选项错误； D、由原函数解析式得到，符合二次函数的定义，故本选项正确． 应选：D． 【点睛】此题考查了二次函数的定义，掌握定义，会根据定义进行判断是解题的关键． 2．（2023·辽宁鞍山·统考一模）下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次函数的解析式必须是含自变量的整式，二次项系数不为0． 【详解】解：A、是一次函数，故本选项不符合题意； B、二次项系数a不能确定是否为0，不是二次函数，故本选项不符合题意； C、是二次函数，故本选项符合题意； D、是正比例函数，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】解题关键是掌握二次函数的定义及条件：二次函数的定义条件是：a、b、c为常数，，自变量最高次数为2． 判断一个函数是不是二次函数的方法：在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简、整理(去括号、合并同类项)后，能写成y=ax²+bx+c(a≠0)的形式，那么这个函数就是二次函数，否则,它就不是二次函数 ►题型02 已知二次函数的概念求参数值 1．（2022·山东济南·模拟预测）若是二次函数，则的值等于（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义求解即可，形如的函数为二次函数． 【详解】解：是二次函数，则且 由可得或， 由可得，， 综上 故答案为：C 【点睛】此题考查了二次函数的定义，涉及了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握二次函数的定义． 2．（2022九年级上·浙江·专题练习）如果函数y＝（m﹣2）是二次函数，则m的值为 ． 【答案】﹣3 【分析】根据二次函数的定义，可得m2+m-4=2且m-2≠0，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： m2+m﹣4＝2且m﹣2≠0， ∴m＝2或﹣3且m≠2， ∴m＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【点睛】此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． ►题型03 利用待定系数法求二次函数的解析式 1．（2023·江苏泰州·中考真题）函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（    ） x 1 2 4 y 4 2 1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的坐标特征，一次函数的性质，二次函数的坐标特征即可判断． 【详解】解：A、若直线过点， 则，解得， 所以， 当时，，故不在直线上，故A不合题意； B、由表格可知，y与x的每一组对应值的积是定值为4，所以y是x的反比例函数，，不合题意； C、把表格中的函数y与自变量x的对应值代入得 ，解得，符合题意； D、由C可知，不合题意． 故选：C． 【点睛】主要考查反比例函数、一次函数以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 2．（2023·上海·中考真题）一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，可确定，对称轴，，从而确定答案． 【详解】解：∵二次函数的对称轴左侧的部分是上升的， ∴抛物线开口向上，即， ∵二次函数的顶点在y轴正半轴上， ∴，即，， ∴二次函数的解析式可以是（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查二次函数的性质，能根据增减性和二次函数图象与y轴的交点确定系数的正负是解题的关键． 3．（2025·上海奉贤·一模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，那么称这个点为三倍点．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过点A及反比例函数图象上的三倍点，求二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法．先求出反比例函数解析式为，然后再求出反比例函数图象上的三倍点，然后用待定系数法求出二次函数解析式即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为 ， ∵经过点， ∴， ∴反比例函数为， 设三倍点坐标为，代入反比例函数得 ， 解得：或， 则三倍点为或， 把，，代入二次函数得： 解得， ∴二次函数解析式为：． 求二次函数解析式的一般方法： 1）一般式y=ax2+bx+c.代入三个点的坐标列出关于a, b, c的方程组，并求出a, b, c，就可以写出二次函数的解析式. 2）顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点（h,k)，可设顶点式y=a(x-h)2+k,再将另一点的坐标代入，即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式. 3）交点式y=a(x-x1)(x-x2).当抛物线与x轴的两个交点为(x1,0)、(x2,0)时，可设y=a(x-x1)(x-x2)，再将另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式. 命题点二 二次函数的图象与性质 ►题型01 根据二次函数解析式判断其性质 1．（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（    ）    A．二次函数图象的对称轴是直线 B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C．当时，y随x的增大而减小 D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称性，增减性判断选项A、B、C，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y轴的交点坐标即可判定选项D． 【详解】解∶ ∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项A错误； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是，对称轴是直线， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误； ∵抛物线开口向下， 对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故选项C错误； 设二次函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， 当时，， ∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确， 故选D． 2．（2023·四川成都·统考一模）下列关于抛物线的说法正确的是（    ） ①开口方向向上；②对称轴是直线；③当时，随的增大而减小；④当或时，． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】将解析式化为顶点式，进而判断①②③，令，得出与轴的交点，根据函数图象即可判断④，即可求解． 【详解】解：，， 抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而减小； 故①正确，②错误，③正确； 令，即， 解得：，， 抛物线开口向上，与轴交于，， 当或时，， 故④正确， 综上所述，正确的有：①③④， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，抛物线与轴的交点，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． ►题型02 将二次函数的一般式化为顶点式 1.（2023·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考三模）关于二次函数的最值，说法正确的是（   ） A．最小值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最大值为 【答案】C 【分析】将二次函数解析式一般式化为顶点式即，再根据二次函数的性质即可解答． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴， ∵， ∴有最大值为； 故选． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 2.（2024·上海杨浦·统考一模）已知二次函数． (1)用配方法将函数的解析式化为的形式，并指出该函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)设该函数的图像与轴交于点、，点在点左侧，与轴交于点，顶点记作，求四边形的面积． 【答案】(1)，对称轴为直线，顶点坐标； (2)． 【分析】（）利用配方法把二次函数的一般形式改写成顶点式，即可得到函数图象的对称轴和顶点坐标； （）令求出与轴交点坐标，令求出与轴交点坐标，然后求面积即可； 本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握配方法和顶点式的相关性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴对称轴为直线，顶点坐标； （2）根据题意画图， 令，则， ∴点，则， 令，则，解得，， ∴，， ∴， 由（）得：， ∴， ， ►题型03 二次函数y=+bx+c的图象和性质 1．（2023·浙江·模拟预测）已知、为抛物线与x轴交点的横坐标，则的值是（    ） A． B． C．或 D．0 【答案】A 【分析】由题意可作二次函数图象，当时，，由图象可得，进而可化简绝对值． 【详解】解：由题意可作如图：    当时，， 由图可知：， 则， 则的值是， 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质、化简绝对值，根据题意，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 2．（2023·浙江杭州·校考二模）已知抛物线经过不同的两点，，下列说法正确的是（　　） A．若时都有，则 B．若时都有，则 C．若时都有，则 D．若时都有，则 【答案】C 【分析】根据两点的纵坐标相同，可求得抛物线的对称轴为直线，再由对称轴公式即可求得答案； 【详解】解：∵抛物线经过，两点， ∴抛物线的对称轴为直线． 对于A选项，若时， ∴． 又， ∴此时，y随x的增大而减小． ∴抛物线开口向上． ∴，故A不符合题意； 对于B选项，若时， ∴． 此时关于对称轴对称的点为， 若， ∴或． ∴选项B不符合题意． 若时， ∴． 又， ∴此时，y随x的增大而减小． ∴抛物线开口向上． ∴，故C符合题意． 若时， ∴． 又， ∴此时，y随x的增大而增大． ∴抛物线开口向下． ∴，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时需要熟练掌握并灵活运用． ►题型04 二次函数平移变换问题 1．（2024·江苏南通·中考真题）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据平移规律，上加下减，左加右减，可得顶点式解析式． 【详解】解∶ 抛物线向右平移3个单位后得到新抛物为， ∴新抛物线的顶点坐标为， 故选∶D． 2．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考一模）将抛物线向下平移2个单位，所得抛物线顶点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合的取值范围判断新抛物线的顶点所在的象限即可． 【详解】解：∵， ∴该抛物线顶点坐标是， 将其向下平移2个单位，得到的抛物线的顶点坐标是， ∵， ∴， 则， ， ∴平移后抛物线的顶点坐标是一定在第一象限， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、平移的性质、抛物线的顶点坐标等知识；熟练掌握二次函数的图象和性质，求出抛物线的顶点坐标是解题的关键． 3．（2023·陕西西安·西安市曲江第一中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中将抛物线沿轴平移后的顶点恰好落在了轴上，则正确的平移方式为（    ） A．将抛物线向上平移2个单位 B．将抛物线向下平移2个单位 C．将抛物线向上平移4个单位 D．将抛物线向下平移4个单位 【答案】C 【分析】根据解析式求得原抛物线的顶点坐标为，根据题意可得将原抛物线的顶点向上平移个单位即可使得平移后的抛物线的顶点恰好落在轴上，即可求解． 【详解】∵抛物线， ∴原抛物线的顶点坐标为． ∵将抛物线沿轴平移，平移后的抛物线的顶点恰好落在轴上， ∴平移后抛物线的纵坐标为， ∴将原抛物线的顶点向上平移个单位即可使得平移后的抛物线的顶点恰好落在轴上， ∴平移方式为将抛物线向上平移个单位． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的平移，熟练掌握二次函数的平移规律是解题的关键． 4．（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式．根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式，然后令，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为： ， 令，则， 或， 解得：或， ， 故答案为：1． 5．（2024·江苏镇江·中考真题）对于二次函数（a是常数），下列结论：①将这个函数的图像向下平移3个单位长度后得到的图像经过原点；②当时，这个函数的图像在函数图像的上方；③若，则当时，函数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正确的是 （填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，一次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质，数形结合是解题的关键．根据平移的规律顶点平移后的函数解析式即可判断①；确定抛物线与直线没有交点，且开口向上即可判断②；利用函数的性质即可判断③；求得顶点坐标即可判断④． 【详解】解：将二次函数是常数）的图象向下平移3个单位长度后得到， 当时，， 平移后的函数的图象经过原点， 故①正确； 当时，则， 令，即， ， 抛物线与直线没有交点， 抛物线开口向上， 当时，这个函数的图象在函数图象的上方； 故②正确； 二次函数是常数）， 开口向上，对称轴为直线， 当时，函数值随自变量增大而增大， 故③错误； ， 顶点为， ， 故④正确． 故答案为：①②④． ►题型05 已知抛物线对称的两点求对称轴 1.（2023·福建福州·校考三模）在平面直角坐标系中，二次函数过点，，直线与抛物线交于，两点，取中点，则的横坐标为 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的对称性求出对称轴，可得一次项系数，联立两个函数解析式得到一个一元二次方程，根据中点公式与根与系数的关系直接求解即可． 【详解】∵二次函数过点，， ∴对称轴， 解得，则， ∵直线与抛物线交于，两点， ∴，得， ∵取中点， ∴的横坐标为． 故答案为： 【点睛】此题考查二次函数的性质和中点坐标公式以及一元二次方程的根与系数的关系，解题关键是先通过对称性求出对称轴，然后通过联立两函数解析式求交点坐标，最终通过中点公式求出中点横坐标． 2.（2023·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）已知二次函数，其图象过点，则h的值应该是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】根据抛物线的顶点式得到抛物线的对称轴为直线由于A、B的纵坐标都是2，求得对称轴为直线，即可得出． 【详解】由解析式可知抛物线的对称轴为直线 ∵点，它们的纵坐标相同， ∴对称轴为直线， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．解题的关键是利用对应值确定对称轴，再利用二次函数的性质求解． ►题型06 根据二次函数的对称性求函数值 1.（2023·湖南衡阳·统考一模）如果三点，和在抛物线的图象上，那，，之间的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可． 【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴是直线， 当时，随的增大而减小，关于称轴是直线的对称点是， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键． 2.（2023·上海普陀·统考二模）在平面直角坐标系中，点关于抛物线的对称轴对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】先求出抛物线的对称轴，再根据轴对称的性质求解． 【详解】解：∵的对称轴为直线， 关于的对称点为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键． ►题型07 根据二次函数的性质求最值 1.（2024·四川眉山·二模）若函数；当时，此时该函数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的性质等知识点，根据函数的取值范围确定函数最小值出现在哪个函数上，然后再根据二次函数的性质即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解决此题的关键． 【详解】解：∵函数， ∴当时，函数的最小值在函数上， ∴当时，该函数的最小值是3， 故选：A． 2．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知点在函数的图象上，，设，当且时，则下列结论正确的是（   ）． A．m有最大值，也有最小值 B．m有最小值，但没有最大值 C．m有最大值，但没有最小值 D．m没有最小值，也没有最大值 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，先由题意得，进而得，进而可得结论． 【详解】解：∵点在函数的图象上，即， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，m有最小值，但没有最大值， 故选：B． 3.（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知函数，当时，y有最大值a，最小值b，则的值为（    ） A．13 B．5 C．11 D．14 【答案】A 【分析】直接利用配方法求出二次函数最小值b，进而利用二次函数增减性得出a的值，即可得出答案． 【详解】解： 整理得： 故当时，y有最小值b为2； 当时，y有最大值a为11； 故； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次函数的最值，利用二次函数增减性得出其最值是解题的关键． ►题型08 根据二次函数的对称性求字母的取值范围 1.（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考一模）已知抛物线（c为常数）经过点、、，当时，m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求得抛物线的对称轴为直线，进而得到抛物线为，根据抛物线的对称性得出，即可得到，代入得到，根据图象上点的坐标特征即可求得． 【详解】解：抛物线为常数）经过点，， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线为， 抛物线为常数）经过点，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，熟知二次函数的对称性是解题的关键． ►题型09 根据二次函数的最值求字母的取值范围 1.（2022·四川泸州·二模）已知函数，当时，函数值随x增大而减小，且对任意的和，，相应的函数值，总满足，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对任意的和，，相应的函数值，总满足，只需最大值与最小值的差小于等于9即可，进而求解． 【详解】解：函数的对称轴为，而时，函数值随增大而减小，故； 和， 时，函数的最小值， 故函数的最大值在和中产生， 则，中，哪个距越远，函数值越大， ， ，而， 距离 更远， 时，函数取得最大值为：， 对任意的和，，相应的函数值，总满足， 只需最大值与最小值的差小于等于9即可， ， ， 解得，而， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，解题的关键是将转换为最大值与最小值的差小于等于9． 2.（2023·浙江绍兴·校联考三模）二次函数的图象经过点,，在范围内有最大值为4，最小值为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而得到抛物线的顶点坐标为，由于当时，，根据抛物线的对称性可得：a的取值范围是. 【详解】解：∵二次函数的图象经过点,， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式是， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴当时，抛物线有最大值4， 由于当时，，且在范围内有最大值为4，最小值为， ∴根据抛物线的对称性可得：a的取值范围是； 故选：C. 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，正确理解题意、熟练掌握抛物线的相关知识是解题关键. ►题型10 根据规定范围二次函数自变量的情况求函数值的取值范围 1.（2023·浙江金华·统考一模）已知二次函数的图象经过点，则当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将点代入求出该二次函数的表达式，再根据其开口方向，对称性和增减性，分析在时的最大值和最小值即可． 【详解】解：将点代入得：， 解得：， ∴该二次函数的表达式为：， ∴该函数的对称轴为直线， ∵， ∴该二次函数图象开口向上，离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴再之间，当时，函数有最大值， 当时，函数有最小值， ∴当时，y的取值范围是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小． 2.（2023上·陕西西安·九年级陕西师大附中统考期末）已知二次函数，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示： x … 0 1 3 … y … 3 6 6 … 当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法求函数解析式，即可求得开口方向，对称轴，函数的最值，然后根据二次函数的性质，可以得到当时，的取值范围． 【详解】解：将点，，代入得 ，解得， ， 该函数图象开口向下，对称轴为直线，函数有最大值7， 和时的函数值相等， 则时，的取值范围是：， 故选：B． 【点睛】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． ►题型11 根据二次函数的增减性求字母的取值范国 1.（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知二次函数（a为常数）的图象与x轴有交点，当时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象与x轴有交点，得出判别式，从而解得，然后求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大，可得，从而得出选项． 【详解】解： ∵图象与x轴有交点， ∴， 解得； ∵抛物线的对称轴为直线 抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大， ∴， ∴实数a的取值范围是． 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，明确抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键． 2.（2023·山东济南·统考三模）若点在抛物线上，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据抛物线的解析式确定其对称轴，结合抛物线的对称性，开口方向，函数的增减性和两个点的坐标即可确定的取值范围． 【详解】抛物线的对称轴是， 当点关于直线对称时， ， 解得． ∴当时，． ∵，抛物线开口向下，点在的右侧， ∴当时． 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，利用抛物线的对称性和函数的增减性确定的取值范围是解题的难点． 命题点三 二次函数与各项系数之间的关系 ►题型01 根据二次函数图象判断式子符号 1.（2024·广东广州·模拟预测）如图，抛物线经过点和点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由二次函数的图象判断系数的符号，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键．根据图象及二次函数的性质判断即可 【详解】解：根据题意可得：抛物线与y轴交于正半轴，故，故A错误； 抛物线对称轴在y轴右边或左边，故无法确定，故B错误； 抛物线一定经过第一、二、四象限，故抛物线与x轴有2个交点， 故，故C正确、D错误； 故选：C． 2.（2023·浙江·模拟预测）二次函数的图象如图所示，下列结论：①，②，③，④，⑤．其中正确的有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】观察图象得：抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，且对称轴为直线，与x轴有2个交点，可得，，，，故②③正确；从而得到，故①正确；再由当时，，可得，故④正确；然后根据二次函数图像的对称性可得当时，，从而得到，故⑤错误，即可． 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，且对称轴为直线，与x轴有2个交点， ∴，，，，故②③正确； ∴，故①正确； 当时，， ∴，故④正确； ∵当时，，且对称轴为直线， ∴当时，， ∴，故⑤错误； 综上所述，正确的有4个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． ►题型02 二次函数图象与各顶系数符号 1.（2024·湖北·模拟预测）如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论正确的有（    ） ①；②；③方程的两个根为；④抛物线上有两点和，若且，则 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置判断①；由抛物线的对称性可判断②；由二次函数与方程的关系，以及根与系数的关系可判断③；由二次函数的性质可判断④．本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线交轴于正半轴， ， ， ， ，故①正确； 抛物线对称轴为直线，时，， 时，， ，故②正确； 由可得方程的解，， 抛物线与轴交于点，对称轴为直线， 抛物线与轴另一个交点为， 方程的两个根为，6， ，， ， 而若方程的两个根为，， 则，，故③错误； 抛物线开口向下，对称轴为直线， 若且， 则点到对称轴的距离小于到直线的距离， ，故④错误． 故选：D． 2.（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于A，B两点，且．给出下列4个结论：①；②；③；④若m为任意实数，则．其中正确的个数是（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，由图象可知，则可判断①符合题意；由抛物线的对称轴为直线，，可得，，得到点，点，当时，，即，可判断②符合题意；由抛物线的对称轴为直线，即，得到，进一步得到，可得，即可判断③符合题意；当时，函数有最大值，由，可得，则可判断④不符合题意，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：观察图象，可知， ∴，故①符合题意； ∵该抛物线的对称轴为直线，， ∴，， ∴点，点， ∴当时，，即，故②符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线，即， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③符合题意； 当时，函数有最大值， 由，可得， 若m为任意实数，则，故④不符合题意， 综上，符合题意的有3个， 故选：C． 3．（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．①根据图像分别判断，，的符号即可；②将点代入函数即可得到答案；③根据题意可得该函数与轴的另一个交点的横坐标为5，即可得到；④由，得到，，将代入函数得，从而推出当时，该抛物线与直线的图象无交点，即可判断． 【详解】解：由题图可知，， ，故①正确； 当时，，即，故②正确； 二次函数与轴的一个交点的横坐标为，对称轴为直线， 二次函数与轴的另一个交点的横坐标为5， 多项式，故③错误； 当时，有最大值，即， 当时，抛物线与直线的图象无交点， 即关于x的方程无实数根，故④正确． 综上，①②④正确． 故选：C． 4．（2024·四川雅安·中考真题）已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确的有（     ） ①；②抛物线的顶点坐标为； ③；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、根与系数的关系、根的判别式、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，由有两实根，，可得，即可得，故可判断①又抛物线的对称轴是直线，进而抛物线的顶点为c)，再结合，可得，故可判断②；依据题意可得，又，进而可得，从而可以判断③；由，故，即对于函数，当时的函数值小于当时的函数值，再结合，抛物线的对称轴是直线，从而根据二次函数的性质即可判断④． 【详解】解：由题意，∵有两实根， ． ∴得，． ∴，故①正确． ， ∴抛物线的对称轴是直线． ∴抛物线的顶点为． 又， ∴，即． ∴． ∴． ∴顶点坐标为，故②正确． ∵， ∴． 又， ， ∴，故③错误． ， ， ∴对于函数，当时的函数值小于当时的函数值． ∵，抛物线的对称轴是直线， 又此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小， ， ， ∴，故④错误． 综上，正确的有①②共2个． 故选：B． 5．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查的是图象法求一元二次方程的近似值、抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数与方程的关系等知识点，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴, ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在2、3之间， ∴与x轴的另一个交点在、0之间， ∴方程一定有一个根在和0之间，故②错误； ∵抛物线与直线有两个交点， ∴方程一定有两个不相等的实数根，故③正确； ∵抛物线与x轴的另一个交点在，0之间， ∴， ∵图象与y轴交点的纵坐标是2， ∴， ∴， ∴．故④错误． 综上，①③正确，共2个． 故选：B． 6．（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ①  ②（m为任意实数）  ③ ④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向，对称轴可得，即可判断①，时，函数值最大，即可判断②，根据时，，即可判断③，根据对称性可得即可判段④，即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下 ∴ ∵对称轴为直线， ∴ ∴ ∵抛物线与轴交于正半轴，则 ∴，故①错误， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线, ∴当时，取得最大值，最大值为 ∴（m为任意实数） 即，故②正确； ∵时， 即 ∵ ∴ 即 ∴，故③正确； ∵、是抛物线上不同的两个点， ∴关于对称， ∴即故④不正确 正确的有②③ 故选：B ►题型03 二次函数、一次函数综合 1.（2024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象，熟练掌握各函数的图象特点是解题关键．先根据一次函数与反比例函数的图象可得，，再根据二次函数的图象特点即可得． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，即， ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴，即， ∴函数的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴，对称轴为直线， 故选：D． 2.（2024·四川自贡·中考真题）一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象，一次函数图象，二次函数的图象与系数的关系，根据题意列不等式组，解不等式组即可得到结论，正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：， ∴的取值范围是， 故选：C． 3．（2023·浙江台州·中考真题）抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（    ）． A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】D 【分析】根据已知条件可得出，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可求出答案． 【详解】解：抛物线与直线交于，两点， ， ． ， ∵， ． 当，时，直线经过第一、三、四象限， 当，时，直线经过第一、二、四象限， 综上所述，一定经过一、四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键在于熟练掌握根与系数关系公式． 4．（2024·河南周口·三模）直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象．根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中和的正负情况和二次函数图象中的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由一次函数的图象可知，， 则抛物线与轴的交点在原点上方，故排除AB选项； ∵，， ∴， ∴抛物线的对称轴直线， 即对称轴位于轴左侧，故C选项不符合题意，D选项符合题意； 故选：D． ►题型04 二次函数、反比例函数图象综合 1．（2024·江苏淮安·一模）如图，抛物线与反比例函数的图象相交于点P，若点P横坐标为2，则关于不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数的综合问题．根据两函数图象的上下关系结合点P的坐标，即可得出不等式的解集． 【详解】解：从图象得出当时，二次函数的图象在双曲线的上方， ∴不等式的解集为． 故选：C． 2．（2024·山东济宁·二模）已知二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示．则一次函数与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，根据二次函数图象开口向下得到，再根据对称轴确定出根据与轴的交点确定出，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解． 【详解】解：二次函数图象开口方向向下， ， 对称轴为直线， ， ， 与轴的正半轴相交， ， 的图象经过第一、二、四象限， 反比例函数的图象在第一三象限， 只有C选项图象符合． 故选：C． 3．（2024·山东滨州·三模）已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数、二次函数、反比例函数的图象，根据二次函数的图象确定，，，再去判断一次函数与反比例函数的图象即可． 【详解】∵二次函数的部分函数图象开口向上，与x轴有两个交点， ∴，， ∴一次函数的图象位于第一，二，三象限，排除选项A，C； 由二次函数的部分函数图象可知，点在x轴上方， ∴， ∴的图象位于第一，三象限， 据此可知，符合题意的是B， 故选：B． 4．（2024·广东广州·中考真题）函数与的图象如图所示，当（    ）时，，均随着的增大而减小． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当时，随着的增大而减小；位于在一、三象限内，且均随着的增大而减小，据此即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，当时，随着的增大而减小； 位于一、三象限内，且在每一象限内均随着的增大而减小， 当时，，均随着的增大而减小， 故选：D． ►题型05 两个二次函数图象综合 1.（2024·湖北武汉·二模）函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的识别是解答本题的关键．根据函数图象的开口方向、与y轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可． 【详解】解：由图象知，函数和函数的开口都向上，所以函数的开口一定向上，故C选项不符合题意； 由图象知，函数的对称轴在y轴的右侧，函数的对称轴也在y轴的右侧， 所以，函数的图象的对称轴也在y轴的右侧，故选项D不符合题意； 函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，且前者的绝对值小于后者的绝对值，所以，函数的图象与y轴的负半轴相交，故选项A不符合题意，选项B符合题意． 故选：B． 2.（2022·四川绵阳·三模）抛物线y1＝（x-h）2＋k与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正确结论是： ①；②点（，m）、（，n）及（，p）都在y1上，则p＜n＜m；③y1≥y2，则x≤1；④PQ＝． A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④ 【答案】A 【分析】根据题意得：抛物线y1＝（x-h）2＋k与的对称轴分别为直线和，设直线和分别交BC于点M、N，则MN=h+3，根据BC=10，可得MN=5，从而得到h=2，可得得到，进而得到点A（1，3），继而得到，故①错误；根据点（，P）关于对称轴x=2的对称点为，且，可得P＜n＜m，故②正确；根据y1≥y2，可得或，故③错误；分别求出点，可得，故④正确；即可求解． 【详解】解∶ 根据题意得：抛物线y1＝（x-h）2＋k与的对称轴分别为直线和， 如图，设直线和分别交BC于点M、N，则MN=h+3， ∴AM=BM，AN=CN， ∴， ∵BC=10， ∴MN=5， ∴h+3=5， ∴h=2， ∵点B（3，3）， ∴3＝（3-2）2＋k，解得： ， ∴， ∵BC∥x轴， ∴点A、C的纵坐标为3， 令，则， 解得：， ∴点A（1，3）， 把点A（1，3）代入，得： ，解得： ，故①错误； ∵，且对称轴为直线x=2， ∴当x＞2时，y1随x的增大而增大；当x＜2时，y1随x的增大而减小， ∵， ∴， ∵点（，p）关于对称轴x=2的对称点为， ∴p＜n＜m，故②正确； ∵， ∴， ∵y1≥y2， ∴， 整理得：， 解得：或，故③错误； ∵，， 当x=0时，，， ∴点， ∴，故④正确； ∴正确的有②④． 故选：A 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键． 命题点四 二次函数与方程、不等式 ►题型01 求二次函数与坐标铀交点坐标 1．（2024·广东广州·二模）已知二次函数（a为常数）的图象经过和两点，则二次函数与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上的坐标特征，二次函数的对称性，关键是利用对称轴公式解题； 由抛物线的对称性求得对称轴为直线，即可得到，求得，即可求得，从而求得二次函数与y轴的交点坐标为． 【详解】解： 和两点关于抛物线对称轴对称， 抛物线对称轴为直线， ， 解得， ， 二次函数与y轴的交点坐标为． 故选：B． 2．（2024·浙江宁波·二模）已知二次函数与直线的交点横坐标分别是1和3，其与轴的其中一个交点的横坐标满足，那么的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．根据题意，得到直线与抛物线的交点坐标，代入二次函数解析式，得到，根据其与x轴的另一个交点的横坐标t满足，得到不等式组，得到结果． 【详解】解：∵二次函数与直线的交点横坐标分别是1和3， ∴当时，，当时，， ∴点，在抛物线上， ∵二次函数， ∴把，代入函数表达式， 得， 得，， ∴， ∵与x轴的其中一个交点的横坐标t满足， ∴， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线与y轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】与轴的交点的特点为，令，求出的值，即可求出抛物线与轴的交点坐标． 【详解】令抛物线中， 即， 解得， 故与轴的交点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了抛物线与y轴的交点坐标，解题的关键是令，求出的值． 4．（2024·浙江宁波·二模）二次函数 与坐标轴的交点个数为 个． 【答案】1 【分析】本题考查的是抛物线和坐标轴的交点，分与轴和轴有无交点讨论求解即可． 【详解】解：函数与轴交点： 令，则，故与轴交于一个点； 与轴交点：令，则，此时，方程无解，故与 轴无交点， 综上，二次函数与坐标轴只有一个交点． 故答案为：1． ►题型02 求二次函数与坐标铀交点个数 1.（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）关于抛物线下列说法正确的是（    ） ①开口向上；②与坐标轴有3个交点；③一定过点；④顶点一定不在第二象限 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据判断开口方向，根据根的判别式判断交点个数，令求出函数值，判断是否经过，再求出顶点坐标，判断所在象限． 【详解】解：在中， ，故开口向上，故①正确； ∵， ∴当时，抛物线与x轴有一个交点， 由于抛物线与y轴有一个交点，故与坐标轴有2个交点，故②错误； 令，则， 故一定过点，故③正确； ， 当时，， ∴顶点一定不在第二象限，故④正确； ∴正确的有①③④， 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是熟知每个象限中点的坐标特征． 2.（2023·江苏无锡·校联考一模）抛物线与坐标轴的交点个数为 个． 【答案】2 【分析】当时，求出与轴交点的纵坐标；当时，求出关于的一元二次方程的解，即抛物线与轴的交点个数． 【详解】解：当时，，则抛物线与轴交点坐标为， 当时，，解得，抛物线与轴的交点坐标为， 所以抛物线与坐标轴有2个交点． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，解题的关键是把求二次函数（，，是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程． ►题型03 抛物线与x轴交点问题 1.（2022·江苏泰州·一模）已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为 ． 【答案】2019 【分析】先将点（m，0）代入函数解析式，然后求代数式的值即可得出结果． 【详解】解：将（m，0）代入函数解析式得，m2-m-1=0， ∴m2-m=1， ∴-3m2+3m+2022 =-3（m2-m）+2022 =-3+2022 =2019． 故答案为：2019． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及求代数式的值，解题的关键是将点（m，0）代入函数解析式得到有关m的代数式的值． 2．（2023·辽宁鞍山·校考一模）函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分类讨论：①当，函数的图象和x轴有交点；②当，函数的图象和x轴有交点，即方程有实数根，由此即可求解． 【详解】分类两种情况讨论： ①当，函数，该函数的图象和x轴必有有交点； ②当，函数的图象和x轴有交点， 即方程有实数根， 则 ∴ ∴且 综上所述，k的取值范围是． 故答案为： 【点睛】本题考查了函数与x轴的交点，一元二次方程根的判别式，运用分类讨论是解题的关键． 3．（2023·湖北武汉·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考模拟预测）已知抛物线． （1）若对称轴在直线处，则 ； （2）若顶点在y轴上，则 ； （3）若抛物线与y轴交点在y轴负半轴上，则k的取值范围为 ； （4）若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值范围为 ． 【答案】 且 【分析】（1）根据对称轴求解即可； （2）根据对称轴求解即可； （3）根据，求解即可； （4）根据且，求解即可． 【详解】解：（1）对称轴在直线处，即，解得； （2）抛物线的顶点在y轴上，即，解得：； （3）抛物线与y轴交点在y轴负半轴上，即，解得； （4）抛物线与x轴有两个交点，则，且 解得，且． 故答案为：；；；且 【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质． ►题型04 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 1.（2023·辽宁大连·统考二模）二次函数的图象如图所示，下列结论错误的是（    ）    A．抛物线开口向上 B．方程的解为， C．抛物线对称轴为直线 D．抛物线与y轴交点坐标为 【答案】D 【分析】根据图象可得开口方向、与轴交点坐标、与轴的交点坐标，由此可求对称轴和对应方程的解． 【详解】A.由图象得：抛物线开口向上，故此结论正确； B.由图象得：与轴的交点坐标为，，所以方程的解为，，故此结论正确； C.，解得，所以抛物线对称轴为直线，故此结论正确； D.由图象得：顶点坐标为，可设，，解得， 抛物线与y轴交点坐标为，故此结论错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了由二次函数的图象获取开口方向、与坐标轴交点坐标和对称轴问题，正确获取信息，理解二次函数与坐标轴的交点坐标，与对应方程之间的关系，会求对称轴是解题的关键． 2.（2023·湖北武汉·校考模拟预测）数形结合是我们学习数学的一种重要思想方法，请运用数形结合的思想方法判断方程的根的情况是（    ） A．有3个实数根 B．有2个实数根 C．有1个实数根 D．无实数根 【答案】C 【分析】把原方程变形为，可得方程的根的个数为函数与函数的交点的个数，再画出两函数图象，结合图象，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴，即， ∴方程的根的个数为函数与函数的交点的个数， 画出两函数图象，如下：    观察图象得：函数与函数有1个交点， ∴方程有1个实数根． 故选：C 【点睛】本题主要考查了反比例函数和二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． ►题型05 图象法确定一元二次方程的近似根 1.（2023·四川成都·校考三模）在探究关于x的二次三项式的值时，小明计算了如下四组值： 小明说，他通过这四组值能得到方程的一个近似根，这个近似根的个位是 ，十分位是 ． 【答案】 1 1 【分析】根据表格可得，则方程的一个近似根取值范围为：，即可进行解答． 【详解】解：根据题意可得：， ∴方程的一个近似根取值范围为：， ∴这个近似根的个位是1，十分为是1， 故答案为：1，1． 【点睛】本题主要考查了求一元二次方程的近似根，解题的关键是掌握正确理解表格中的数据，根据表格得出近似根的取值范围． ►题型06 求x轴与抛物线的截线长 1.（2023·广东梅州·统考一模）已知抛物线与一次函数交于两点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．20 【答案】A 【分析】根据题意，联立方程组求解，消元得到，利用根与系数的关系，再运用两点距离公式变形求出长度即可得到答案． 【详解】解：抛物线与一次函数交于两点， 联立，消元得， ， 故选：A 【点睛】本题考查平面直角坐标系中求线段长问题，涉及函数图像交点问题、一元二次方程根与系数的关系、两点之间距离公式及完全平方公式等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及两点之间距离公式是解决问题的关键． 2.（2024·成都·校联考一模）已知二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与x轴交于A、B两点，且点A的坐标为(1，0)，则线段AB的长为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先将点A(1，0)代入y＝x2﹣4x+m，求出m的值，将点A(1，0)代入y＝x2﹣4x+m，得到x1+x2＝4，x1•x2＝3，即可解答 【详解】将点A(1，0)代入y＝x2﹣4x+m， 得到m＝3， 所以y＝x2﹣4x+3，与x轴交于两点， 设A(x1，y1)，b(x2，y2) ∴x2﹣4x+3＝0有两个不等的实数根， ∴x1+x2＝4，x1•x2＝3， ∴AB＝|x1﹣x2|＝ ＝2； 故选B． 【点睛】此题考查抛物线与坐标轴的交点，解题关键在于将已知点代入. ►题型07 图象法解一元二次不等式 1.（2023·山东济宁·统考一模）如图是二次函数和一次函数的图像，观察图像写出时，x的取值范围（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图像解答即可． 【详解】解：由图象可知，当时，x的取值范围． 故选C． 【点睛】本题考查了利用函数图象解不等式，数形结合是解答本题的关键． 2.（2022·江苏苏州·统考二模）若二次函数y＝－x2＋b的图像经过点（0，4），则不等式－x2＋b≥0的解集为（    ） A．－2≤x≤2 B．x≤2 C．x≥－2 D．x≤－2或x≥2 【答案】A 【分析】先求出二次函数表达式，再求出与x轴的交点坐标的横坐标，画出图像，利用数形结合的思想解答即可． 【详解】解：将（0，4）代入y＝－x2＋b中得b=4， ∴y＝－x2＋4 设y＝－x2＋4与x轴交于A，B两点， 令y=0，即－x2＋4=0，解得 ∴A（2，0）B（-2，0） 图像如下： 由图像可得：当－x2＋4≥0时的解集为：－2≤x≤2， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． ►题型08 根据交点确定不等式的解集 1.（2023·山东泰安·统考一模）我们定义一种新函数：形如（，）的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，则下列结论：①  ②  ③  ④若m的取值范围是，则直线与的图象有4个公共点，则正确的是（    ） A．①②③④ B．①② C．③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据图像，可直接判断的符号；根据二次函数和横轴的交点坐标可得对称轴；两个函数的交点可直接画出图像进行判断． 【详解】（1）由图可知，或，故错误； （2）由（1）可知，当；当；而，则或，故错误； （3）对称轴为，故正确； （4）如图， 当时，一次函数是直线；当时，一次函数是直线；由图可知，时，直线与的图象有4个公共点，故正确； 故选：C 【点睛】此题考查二次函数的图像和性质，解题关键是此题中的绝对值表示所有的函数值非负，即可画出图像，重难点是一次函数中m的取值范围影响一次函数和轴的交点位置，而交点个数看图直接判断即可． 2.（2022·山东济宁·校考二模）如图，二次函数的图像与反比例函数的图像交于，，三点．若，则的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】直接利用函数图像结合其交点横坐标得出的求值范围． 【详解】如图所示： 当时，即反比例函数图像在二次函数图像下方部分， 故的取值范围是：或， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式，正确数形结合是解题的关键． ►题型09 二次函数与斜三角形相结合的应用方法 2023下·湖北十堰·九年级统考阶段练习）如图1，平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点是线段上一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当面积最大时，求点的坐标； (3)如图2，是否存在以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在， 或． 【分析】（1）将A，B，C三点的坐标代入，得到关于a，b，c的三元一次方程组，解方程组即可； （2）设，则，求得直线的解析式为，即可得到，根据三角形面积公式可得，由二次函数的性质可得结论； （3）分和两种情况列式求解即可. 【详解】（1）∵抛物线过点，，， ∴代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）设，则， 设直线解析式为， ∵直线经过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∵， ∴当时，即当时，； （3）存在以点，，为顶点的三角形与相似，理由如下： 设，则，. ∴， 如图，过点作轴于点，则， 由（1）可得：，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴. ∴当以点，，为顶点的三角形与相似时，与为对应顶点， ①当时，，即， 解得：或（舍去）， ∴； ②当时，，即， 解得：或（舍去）， ∴ 综上所述，或 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质以及坐标系中面积的求法，其中第（3）小问，要注意分类求解，避免遗漏．． 基础巩固 1．下列函数是二次函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据二次函数的定义，形如（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，所给函数中是二次函数的是． 故选C． 2．若关于x的函数是二次函数，则m的值为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数定义：形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．根据二次函数的定义得出且，求出m即可． 【详解】解：∵关于x的函数是二次函数， ∴且， 解得：． 故选：B． 3．抛物线的对称轴为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】本题主要考查了求抛物线的对称轴，抛物线的对称轴为直线，据此可得答案． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 故选：A． 4．将抛物线绕原点O旋转，则旋转后的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，解题的关键是根据原点旋转得到关于原点对称． 根据抛物线绕原点O旋转得到旋转后的抛物线与原抛物线关于原点对称，即可得到答案； 【详解】解：∵抛物线绕原点O旋转， ∴旋转后的抛物线与原抛物线关于原点对称， ∴旋转后的抛物线：， 即． 故选：D． 5．抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标为，掌握顶点坐标是解答本题的关键． 根据的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 故选：A． 6．当时，二次函数的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值是解题的关键． 利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值，结合当时函数有最小值，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得：． ， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，随的增大而减少，当时，随的增大而增大， ∵当时，函数有最小值， 分两种情况讨论： 若时，当时，的最小值是， ； 若时，当时，的最小值是， ， 解得：， 综上，或， 故选：C． 7．如图，正方形的边长为8，点E，F分别是上的两个动点，且，则的最大值是（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，二次函数求最值，设，，则：，证明，列出关系式，得到关于的二次函数，根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】解：∵正方形的边长为8， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， 设，，则：， ∴，整理，得：， ∴当时，有最大值为2， 即：的最大值是2； 故选C． 8．下表列出了二次函数（，，为常数）的自变量与的几组对应值： … 0 1 3 … … 8 … 则下列说法不正确的是（   ） A．二次函数开口向上 B．若点，都在抛物线上，则 C．方程有两个相等的实数根 D．二次函数有最小值，最小值小于 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程的根的判别式，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．利用待定系数法求出二次函数的解析式，从而可判断选项A和D正确；求出和时，的值即可判断选项B正确；利用一元二次方程的根的判别式即可判断选项C不正确，由此即可出答案． 【详解】解：将点代入得：， 解得， 则二次函数的解析式为， ∵二次函数中的， ∴二次函数的开口向上，则选项A正确，不符合题意； 当时，， 当时，， ∴若点，都在抛物线上，则，选项B正确，不符合题意； 方程，即的根的判别式为， ∴方程有两个不相等的实数根，选项C不正确，符合题意； 由二次函数的性质可知，当时，取得最小值，最小值为，选项D正确，不符合题意； 故选：C． 9．关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象的对称轴在轴的右侧 B．图象与轴的交点坐标为 C．图象与轴的交点坐标为和 D．时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，把二次函数解析式化为顶点式和交点式是解题的关键． 把二次函数的解析式化成顶点式和交点式，再利用二次函数的性质就可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴是直线，在y轴的左侧，故选项A错误； 当时，，即该函数与y轴交于点，故选项B错误； 当时，或，即图象与x轴的交点坐标为和，故选项C错误； 二次函数开口向上，当时，随的增大而增大，故选项D正确． 故选：D 10．在平面直角坐标系中，已知抛物线：（为常数），则下面选项正确的是（   ） A．若点，在抛物线上，则 B．若点，在抛物线上，则 C．当时，抛物线只经过第一、二象限 D．当时，抛物线只经过第一、二象限 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，当时，，可判断；根据可判断，即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：、当时，，，则，故该选项错误； 、当时，，，则，故该选项错误； 、∵， ∵， ∴的值可能小于， 又∵抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线此时经过第四象限，故该选项错误； 、∵，， ∴， ∴抛物线与轴无交点，即抛物线在轴上方， ∴当时，抛物线只经过第一、二象限，该选项正确； 故选：． 11．某抛物线的最高点在y轴上，且与x轴有两个交点，这个抛物线的表达式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查二次函数的解析式，掌握二次函数图象的顶点坐标公式，是解题的关键. 根据抛物线的最高点在y轴上，可知，，抛物线与x轴有两个交点，可知，据此写出答案即可. 【详解】解：∵抛物线的最高点在y轴上， ∴，，， ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴这条抛物线的表达式可以是：. 故答案是：（答案不唯一） 12．抛物线对称轴为直线，且经过，且．，则a 0．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，由题意可得抛物线开口向上，距离对称轴越远函数值越大，从而可得答案． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且经过点， ∴点离直线较远，点离直线较近， ∵ ∴抛物线开口向上， ∴ 故答案为： 13．二次函数的图象在其对称轴右侧的部分是 的（填“上升”或“下降”）． 【答案】上升 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴函数图象开口向上，对称轴为轴， ∴在对称轴右侧随的增大而增大，也就是右侧部分是上升的， 故答案为：上升． 14．二次函数图象如图，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤若，且则． 其中正确的有 ． 【答案】②③⑤ 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及掌握二次函数与方程之间的转换是解题关键． 由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①图象开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴右侧， ，，， ，， ，；故①错误，故②正确； ∴当时，y有最大值，即为， 当时，，即为，故③正确； 对称轴是直线，与轴交点在左边， 二次函数与轴的另一个交点在与之间， ，故④错误； ， ， ， ， ， ， ，， ，故⑤正确； 故正确的有②③⑤， 故答案为：②③⑤． 15．在平面直角坐标系中，将抛物线（其中、、是常数，且），以原点为中心，旋转得抛物线，则称是的“中心对称抛物线”．已知抛物线，将抛物线向左平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为、．将抛物线的“中心对称抛物线”向右也平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为、．当线段是线段、的比例中项时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的变换，比例的性质，根据题意，求出四点的坐标，进而求出，，的长，根据比例中项的定义，得到，列出方程进行求解即可. 【详解】解：∵， ∴当时，解得：， ∴抛物线与轴的交点坐标为：， ∴当抛物线向左平移个单位长度后，新的抛物线与轴的交点坐标为：，即：， 抛物线的“中心对称抛物线”与轴的交点坐标为：， ∵向右也平移个单位长度， ∴平移后的抛物线与轴的交点坐标为：， ∴，，， ∵线段是线段、的比例中项， ∴， ∴， 解得：； 故答案为：. 16．如图，二次函数图象经过点、、．当时，x的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了图象法解一元二次不等式，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题的关键． 根据图象即可直接得出答案． 【详解】解：二次函数的图象经过点，， 由图象可知：当时，或， 故答案为：或． 17．二次函数的图像与轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查求二次函数与坐标轴的交点问题，令，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴二次函数的图像与轴的交点坐标是； 故答案为：． 18．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)求点B的坐标； (2)连接，现将二次函数的图象向下平移m个单位长度，使得顶点恰好落在线段上，请求出此时m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，平移，一次函数的性质等知识． （1）先利用待定系数法求出二次函数解析式，再利用轴对称的性质即可求出点B的坐标． （2）先利用待定系数法求出的解析式，再利用平移的性质求出顶点的坐标，再把平移后的顶点坐标代入的解析式即可求出m的值． 【详解】（1）解：将和代入中， 得 解得 ∴该二次函数的表达式为 ∴对称轴为直线． ∵， ∴点B的坐标为 （2）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为． 由（1）可知， 设的解析式为：， 则， 解得： ∴直线的表达式为． ∵平移后的顶点为， 由题意可得， 解得． 19．若是关于的二次函数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次项系数不为零，最高次项的次数是2是解题的关键．根据形如的函数是二次函数，以此计算即可． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴ 解得，， 又∵， ∴， ∴． 20．在平面直角坐标系中，已知：抛物线经过点和． (1)求抛物线的表达式； (2)若点在抛物线上，求的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，求角的正弦值，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，勾股定理逆定理，推出为直角三角形 ，利用正弦的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点和 解得：， 抛物线的表达式为； （2）点在抛物线上                                                                     、、 ，，                     ， 为直角三角形 ，                               在直角三角形中，． 21．已知抛物线与轴交于两点A，B（在的左侧），抛物线与轴交于两点在的左侧），且． (1)若抛物线经过点，求实数的值； (2)求与的交点坐标； (3)求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】该题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与轴的交点等知识点，解题的关键是掌握二次函数与轴的交点求解方法． （1）将点代入即可求解． （2）联立和，结合，解出，即可解答． （3）分别求出，结合即可证明． 【详解】（1）解：将点代入得， 解得：． （2）解：由题意得， ， ， ∴解得：． 当时，， 与的交点坐标为． （3）证明：当时，， 解得：， ； 当时，，解得：， ， ， ， 即， ， 则有：， ， ． 能力提升 1．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出C点坐标，再设新抛物线上的点的坐标为（x,y），求出它关于点C对称的点的坐标，代入到原抛物线解析式中去，即可得到新抛物线的解析式． 【详解】解:当x=0时，y=5， ∴C（0,5）； 设新抛物线上的点的坐标为（x,y）， ∵原抛物线与新抛物线关于点C成中心对称， 由，； ∴对应的原抛物线上点的坐标为； 代入原抛物线解析式可得：， ∴新抛物线的解析式为：； 故选：A． 【点睛】本题综合考查了求抛物线上点的坐标、中心对称在平面直角坐标系中的运用以及求抛物线的解析式等内容，解决本题的关键是设出新抛物线上的点的坐标，求出其在原抛物线上的对应点坐标，再代入原抛物线解析式中求新抛物线解析式，本题属于中等难度题目，蕴含了数形结合的思想方法等． 2．已知二次函数．当时，函数的最大值与最小值的差为12，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 先求出二次函数的对称轴，得到函数的增减性，再分为，和三种情况，然后分别求出对应的最大值与最小值，结合题意列出方程求解判断． 【详解】∵开口向下，顶点为，对称轴为y轴，最大值为9， ∴在对称轴左侧，y的值随着x的值增大而增大；在对称轴右侧，y的值随着x的值增大而减小； ①当时，当时，y随的x增大而增大， 那么时取得最小值，时取得最大值， 最小值为，最大值为， 已知最大值与最小值的差为12， 则可列出方程- ， 解得， 但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去； ②当时， 此时 时取得最大值，时取得最小值， 最大值为9，最小值为， 此时最大值与最小值的差为12， 符合题意； ③当时， 此时时取得最大值，时取得最小值， 最大值为9，最小值为， 已知最大值与最小值的差为12， 则可列出方程， 解得， 但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去． ∴综上，得到n的取值范围为：． 故选：B． 3．如图，抛物线过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③抛物线经过点与点，则；④无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点；⑤；⑥若方程（，m为常数）有四个根，分别为，，，，则，其中所有正确的结论是（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据图象并结合已知条件进行正确分析是解题的关键． ①由图象及对称轴即可判断；②推出抛物线过点，当时，，又由即可做出判断；③由对称轴为，且开口向上，得到离对称轴水平距离越大，函数值越大，即可得出结论；④推出当时，，即可判断；⑤先推出，得到，由，得到，即可做出判断；⑥方程的四个根，可化为函数图象与函数图象交点的横坐标，画出分析，根据对称性求解． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，则， 顶点在y轴右侧，则， 抛物线与y轴交于负半轴，则， ∴，故①错误； ∵抛物线过点，且对称轴为直线， ∴抛物线过点， ∴当时，， ∵， ∴，故②正确； ∵对称轴为，且开口向上， ∴离对称轴水平距离越大，函数值越大， ∵点与点，， ∴，故③错误； 当时，， ∵当时，， ∴当时，， 即无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点，故④正确； 对应的函数值为， 对应的函数值为， 又∵时函数取得最小值， ∴，即， ∵对称轴为， ∵， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 方程的四个根，可化为函数图象与函数图象交点的横坐标，如图，可画出函数图象，令函数图象与函数图象交点依次为， ∵方程有4个根， ∴，函数图象与函数图象有4个交点， ∵对称轴为直线， ∴， ∴ 即，故⑥正确， ∴正确的为②④⑤⑥， 故选：C． 4．关于抛物线（m 是常数），下列结论正确的是（     ） ①若此抛物线与x 轴只有一个公共点，则； ②若此抛物线与坐标轴只有一个公共点，则； ③若点在抛物线上，则 ； ④无论m 为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于． A．②④ B．①③ C．②③ D．①④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，二次函数的对称性；①由求解即可判断；②由求解即可判断；③把抛物线解析式化为顶点式可得抛物线的对称轴为直线，再由二次函数的对称性求解即可判断；④根据题意可得抛物线的顶点坐标在直线上，设直线与轴交于点，过点A作直线于点B，求出，则即可判断． 【详解】解：①此抛物线与x 轴只有一个公共点， ， 解得：， 故①不正确； ②此抛物线与坐标轴只有一个公共点， ， 解得：， 故②正确； ③抛物线， 对称轴为直线， ，， ， 故③不正确； ④抛物线， 抛物线的顶点为：， ∴抛物线的顶点坐标在直线上， 直线 直线， 如图，设直线与轴交于点，过点A作直线于点B，则， 当时，，解得：， ， 是等腰直角三角形， ， 抛物线的顶点到直线的距离都等于， 故选：． 5．抛物线经过点，当时，当时，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】将点代入，得，再将x与y的对应关系代入函数解析式得到不等式组，解不等式组即可求得k的取值范围. 【详解】将点代入， 得36a+k=2， ∴， 当时，当时得， 解得， ∴， 故填. 【点睛】此题考查二次函数的性质，将点的横纵坐标代入函数解析式即可得到对应的不等式组，注意将点代入，得36a+k=2是解题的关键，可将不等式组中的a用含k的代数式表示，解不等式组即可求解. 6．已知二次函数（，均是实数），设该函数最小值为，若，，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，最值的计算，掌握二次函数图象的开口方向，对称轴，最值的计算方法是解题的关键． 根据二次函数（，均是实数），可得二次函数图象开口向上，对称轴直线为，由此可得，则有，设，得到关于的二次函数图象开口向下，对称轴直线为，再根据二次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：， ∴二次函数图象开口向上，对称轴为：直线， 当时，二次函数有最小值，最小值为， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴关于的二次函数图象开口向下，对称轴直线为， ∴当时，有最大值，即， 当时，， ∴， 故答案为： ． 7．抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数k的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与坐标轴的交点问题，解题的关键是根据已知列出满足条件的不等式组． 由抛物线与x轴有交点，可得，故或；分两种情况：①当时，可得，②当时，，分别解不等式可得答案． 【详解】解：∵抛物线与x轴有交点， ∴，即， ∴， ∴， ∴或 解得：或； 抛物线对称轴为直线， ①当时，抛物线对称轴在直线左侧，此时抛物线与轴的一个交点为，，如图： ∴， 解得：， ∴； ②当时，抛物线对称轴在直线右侧，此时抛物线与轴的一个交点为，，如图： ∴， 解得：， ∴； 综上所述，或； 故答案为∶ 或． 8．通过二次函数的学习，小杰知道形如的函数，其图像始终经过点，也即抛物线经过定点．于是他进一步探究了形如的函数图像．发现抛物线经过定点与．他探究的思路是：设法找到的某些取值，使表达式中含的各项之和为0． 具体的解法如下： 含的各项之和：，令，解得，． 当时，，得到定点；当时，，得到定点． 小杰还探究了抛物线，发现它也经过两个定点，其中一个位于轴上，可记作点，另一个位于第一象限内，可记作点． (1)求点、的坐标； (2)当时（如图），抛物线的顶点为，与轴的另一个交点为． ①如果，求的值； ②当时，求的值． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、一元二次方程的应用、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键． （1）根据含的各项之和的系数等于0，解一元二次方程即可得； （2）①过点作轴于点，则，先求出，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的判定可得，从而可得，代入计算即可得； ②过点作轴于点，过点作于点，先求出点的坐标，从而可得的长，再证出，根据相似三角形的性质建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：将变形，得， 由题意，令，解得，， 当时，， 当时，， ∵这个抛物线经过两个定点，其中一个位于轴上，可记作点，另一个位于第一象限内，可记作点， ∴，． （2）解：①如图，过点作轴于点，则， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 将点代入得：， 解得． ②二次函数的顶点坐标为， 如图，过点作轴于点，过点作于点， ∵，， ∴，， ∴，，，， ∵轴，，， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 整理得：， 解得或或（舍去）或（舍去）， 当时，，此时，与点重合，不符合题意，舍去， 经检验，是所列分式方程的解， ∴的值为． 9．设m是不小于的实数，关于x的方程有两个不相等的实数根、， (1)若，求m值； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）先根据根的判别式求出，再根据根与系数的关系化简求解即可； （2）根据根与系数的关系化简为，再转化为二次函数求最值问题即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根、， ∴， 解得：， ∴， ∵方程， ∴， ∴， 整理得：， 解得：， ∵， ∴； （2）解：， ∴ ∴， ∵对称轴为直线，， ∴当时，式子取得最大值为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，因式分解，二次函数求最值，难度较大，正确化简计算是解题的关键． 10．已知二次函数（，为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)若点向上平移个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值； (2)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用待定系数法求出二次函数的解析式为，然后求出平移后点的坐标，然后把坐标代入二次函数解析式即可； （2）分为，时，时，建立方程解题即可． 【详解】（1）解：二次函数为， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线为， 又图象经过点， ， ， 二次函数为， 点向上平移个单位长度，向左平移个单位长度， 平移后的点为， 又在的图象上， ， 或（舍去）， ； （2）解：， 由题意，当时， 最大值与最小值的差为， ，不符合题意，舍去； 当时， 最大值与最小值的差为，符合题意， 当时， 最大值与最小值的差为， 或，不符合题意，舍去， 综上所述，的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、坐标与图形变化平移，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． $$