第12讲 反比例函数的图象、性质及应用（讲练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（湖南专用）

第三章 函数 第12讲 反比例函数的图象、性质及应用（10~15分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 反比例函数的图象与性质（高频考点） 考点二 反比例系数k的几何意义（高频考点） 考点三 反比例函数与一次函数综合（高频考点） 考点四 反比例函数的实际应用（高频考点） 04题型精研·考向洞悉 命题点一 反比例函数相关概念 ►题型01 用反比例函数描述数量关系 ►题型02 判断反比例函数 ►题型03 根据反比例函数的定义求字母的值 命题点二 反比例函数的图象与性质 ►题型01 判断反比例函数图象 ►题型02 反比例函数点的坐标特征 ►题型03 已知反比例函数图象，判断其解析式 ►题型04 反比例函数的性质的应用 ►题型05 与反比例函数有关的规律探究问题 命题点三 反比例系数k的几何意义 ►题型01 一点一垂线 ►题型02 一点两垂线 ►题型03 两点一垂线 ►题型04 两点两垂线 ►题型05 两点和原点 ►题型06 两曲一平行 命题点四 反比例函数与一次函数综合 ►题型01 一次函数图象与反比例函数图象综合 ►题型02 一次函数与反比例函数综合应用 命题点五 反比例函数的实际应用 ►题型01 行程问题 ►题型02 工程问题 ►题型03 物理问题 ►题型04 分段问题 ►题型05 几何问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 反比例函数相关概念 · 理解与掌握反比例函数相关概念. 10年4考 反比例函数是非常重要的函数，年年都会考，总分值为15分左右，常考考点为: 反比例函数图象的性质k的几何意义、双曲线上点的坐标特征、反比例函数与一次函数的交点问题以及反比例函数的应用与综合题等.其中前三个考点多以选择、填空题的形式出题，后三个考点则是基础解答题以及压轴题的形式出题.在填空题中,对反比例函数点的坐标特征考察的比较多，而且难度逐渐增大，常结合其他规则几何图形的性质一起出题,多数题目的技巧性较强，复习中需要多加注意.另外压轴题中也常以反比例函数为背景，考察一些新定义类问题. 综合反比例函数以上特点，考生在复习该考点时，需要准备堂握其各性质规律，并日多注意其与几何图形结合题的思考探究. 反比例函数的图象与性质 · 能画反比例函数的图象，根据图象和表达式 ()探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况. · 能根据已知条件确定反比例函数的表达式. 近10年连续考查 反比例系数k的几何意义 · 理解与掌握反比例系数k的几何意义. 近10年连续考查 反比例函数与一次函数综合 10年3考 反比例函数的实际应用 · 能用反比例函数解决简单实际问题 10年5考 02知识导图·思维引航 03考点突破·考 考点一 反比例函数的图象与性质 （高频考点） 一、反比例函数的图象与性质 图象特征 1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=±x，对称中心为原点． 性质 表达 式 （为常数，） 图象 k>0 k<0 经过 象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 ①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上; ②图象关于直线 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）在双曲线的另一支上; ③图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-b，-a）在双曲线的另一支上. 即：反比例函数的图象关于直线y=±x成轴对称,关于原点成中心对称. 反比例函数解析式的确定方法 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）； 2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解方程求出待定系数k； 4）将所求的k值代入所设解析式中. 【说明】由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． 1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。 3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 1．（2024·江苏徐州·中考真题）若点、、都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为 ． 2．（2024·湖北武汉·中考真题）某反比例函数具有下列性质：当时，y随x的增大而减小，写出一个满足条件的k的值是 ． 考点二 反比例系数k的几何意义 （高频考点） 一、一点一垂线 【模型结论】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为. 【拓展一】 【拓展二】 【拓展三】(前提：OA=AC) 结论：S△AOB=S△COD S△AOE=S四边形CEBD S△AOC= 二、一点两垂线 【模型结论】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为. 【拓展一】 【拓展二】 【拓展三】 结论：S矩形ABOE=S矩形CDOF S矩形AEFG=S矩形CGBD S ▱ABCD= 三、两点一垂线 【模型结论一】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角形面积等于|k|， 结论：S△ABC =2S△ABO = 【模型结论二】反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴上任一点构成三角形的面积，等于坐标轴所分的两个三角形面积之和． 如左图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C， 则S△AOB=S△AOC+S△BOC=co•|yA|+co•|yB|=co(|yA|+|yB|) 如右图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与y轴交于点C， 则S△AOB=S△AOC+S△BOC=co•|xA|+co•|xB|=co(|xA|+|xB|) 四、两点两垂线 【模型结论】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于2|k| 五、两点和原点 方法一：S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD．【分割】 方法二：作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，而S△OAM＝S四边形MEFB，则S△AOB＝S直角梯形AEFB． 方法三：S△AOB＝S四边形COFD－S△AOC－S△BOF. 【补形】 方法四：S△AOB＝S△AOD－S△BOD＝OD•（|yA|-|yB|） 方法五：S△AOB＝S△BOC－S△AOC＝OC•（|xB|-|xA|） 【拓展】 方法一：当AD/AC(或BD/BF)＝m时，则S四边形OADB＝m|k|． 方法二：作AE⊥x轴于E，则S△OAB＝S直角梯形AEFB（类型一）． 六、两曲一平行 【模型讲解】两条双曲线上的两点的连线与一条（或两条）坐标轴平行，求这两点与原点或坐标轴上的点围成的图形面积，过这两点作坐标轴的垂线，结合k的几何意义求解． 类型一 两条双曲线的k值符号相同 结论：S阴影＝|k1|-|k2| S阴影＝|k1|-|k2| 结论：S阴影＝|k1|-|k2| S阴影＝|k1|-|k2|- S直角梯形AFDE 类型二 两条双曲线的k值符号相同 结论：S△AOB＝S△ACB＝(|k1|+|k2|) S阴影＝|k1|+|k2| 1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为 ． 2．（2023·江苏南京·中考真题）在平面直角坐标系中，点为原点，点A 在第一象限，且． 若反比例函数 的图像经过点，则的取值范围是 ． 3．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为点C，延长至点B，使，点D是y轴上任意一点，连接，，若的面积是6，则 ． 考点三 反比例函数与一次函数综合 （高频考点） 1.涉及自变量取值范围 当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对y1>y2时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如下图，当y1>y2时，x的取值范围为x>xA或xB<x<0；同理，当y1<y2时，x的取值范围为0<x<xA或x<xB． 2.求一次函数与反比例函数的交点坐标 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定． ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； 2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·湖北襄阳·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 3．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）在同一直角坐标系中，函数与的大致图象可能为（    ） A．  B．  C．   D．   4．（2024·四川内江·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为    (1)求这两个函数的表达式； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集 考点四 反比例函数的实际应用 （高频考点） 用反比例函数解决实际问题的步骤： 1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示； 3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数； 4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图象解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 1．（2023·江苏南京·中考真题）甲、乙两地相距100km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）与行驶速度 v（单位：km/h）之间的函数图像是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·山西·中考真题）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ． 3．（2024·海南·中考真题）某型号蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，即，它的图象如图所示，则蓄电池的电压U为 （V）． 04题型精研·考向洞悉 命题点一 反比例函数相关概念 ►题型01 用反比例函数描述数量关系 1．（2023·北京海淀·模拟预测）下面的三个问题中都有两个变量： ①一个容积固定的游泳池，游泳池注满水的过程中注水速度与所用时间； ②一个体积固定的长方体，长方体的高与底面积； ③矩形面积一定时，周长与一边长； 其中，变量与变量之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（2023·北京门头沟·二模）如图，圆柱的侧面积为10m2．记圆柱的底面半径为m，底面周长为m，高为m．当在一定范围内变化时．和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是（    ） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．正比例函数关系，反比例函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 ►题型02 判断反比例函数 1．（2023·湖南·中考真题）下列哪个点在反比例函数的图象上？（    ） A． B． C． D． 2．（2023·广西百色·一模）下列函数中，不是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024·天津红桥·一模）下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． ►题型03 根据反比例函数的定义求字母的值 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为 ． 2．（2023·广西桂林·二模）如图，双曲线（为常数，）与直线（为常数，）相交于、两点，如果点的坐标是，那么点的坐标为 ． 3．（2023·陕西渭南·一模）已知正比例函数（a为常数，）与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为 ． 命题点二 反比例函数的图象与性质 ►题型01 判断反比例函数图象 1．（2023·河南南阳·一模）定义新运算：，例如：，，则的图象是（　　） A． B． C． D． 2．（2023·广东深圳·一模）反比例函数的图像可能是（    ） A．B．C． D． ►题型02 反比例函数点的坐标特征 1.（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图，直线与双曲线交于A，B两点，若，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 2.（2023·陕西渭南·统考一模）已知正比例函数（a为常数，）与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为 ． ►题型03 已知反比例函数图象，判断其解析式 1．（2023·云南昆明·二模）如图所示，其函数解析式可能是（    ）    A． B． C． D． 2．（2023·福建漳州·模拟预测）反比例函数在第一象限的图象如图所示，则的值可能是（    ）    A．16 B．11 C．8 D．6 ►题型04 反比例函数的性质的应用 1．（2024·安徽·模拟预测）下列关于反比例函数的说法中，正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．经过点 C．图象关于原点成中心对称 D．当时，y随x的增大而减小 2．（2023·湖北武汉·中考真题）关于反比例函数，下列结论正确的是（    ） A．图像位于第二、四象限 B．图像与坐标轴有公共点 C．图像所在的每一个象限内，随的增大而减小 D．图像经过点，则 3．（2023·上海·中考真题）下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·湖南永州·中考真题）已知点在反比例函数的图象上，其中a，k为常数，且﹐则点M一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（2023·湖北·中考真题）在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． ►题型05 与反比例函数有关的规律探究问题 1.（2023上·湖南·九年级校联考阶段练习）如图，在反比例函数的图象上有、B两点，连接，过这两点分别作x轴的垂线交x轴于点C、D，已知，点是的中点，连接，得到；点是的中点，连接，得到；……按照此规律继续进行下去，则的面积为 ．（用含正整数n的式子表示） 2.（2023·江苏徐州·校考三模）如图，在x轴的正半轴上依次截取，过点，分别作x轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得，，，并设其面积分别为，以此类推，则的值为（    ） A． B． C． D． 命题点三 反比例系数k的几何意义 ►题型01 一点一垂线 1.（2023·安徽·九年级专题练习）如图，等腰直角三角形的斜边在轴的负半轴上，顶点在反比例函数的图象上，的面积为，则的值为（    ）    A． B． C． D． 2.（2023·广西北海·统考模拟预测）如图，、、是双曲线上的三点，过这三点分别作轴的垂线，得到三个三角形、、、设它们的面积分别是、、，则、、的大小关系为（    ）    A． B． C． D．无法确定 3.（2023·安徽合肥·校考一模）如图，，是反比例函数图象上的两点，分别过点，作轴的垂线．已知，则阴影部分面积为（　　） A．3 B．7 C．8 D．9 ►题型02 一点两垂线 1.（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，在反比例函数的图象上有点，它们的纵坐标依次为6，2，1，分别过这些点作x轴与y轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为．若，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2.（2023·江苏徐州·统考三模）如图，四边形是矩形，是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，成C在y轴的正半轴上，点F在上，点B、E在反比例函数的图象上，，则正方形的边长为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 ►题型03 两点一垂线 1.（2023上·山东德州·九年级统考期末）如图，直线与双曲线交于A、B两点．过点A作轴，垂足为M，连结BM．若，则k的值是（    ） A．2 B． C．m D．4 2.（2023·广西贵港·统考一模）如图，点和都在反比例函数的图象上，过点A分别向x轴y轴作垂线，垂足分别是M、N，连接、，若四边形的面积记作，面积记作，则（  ） A． B． C． D． ►题型04 两点两垂线 1.（2023·吉林长春·校考一模）如图，在中，轴，点B、D在反比例函数的图象上，若的面积是20，则k的值是（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 ►题型05 两点和原点 1.（2023·福建宁德·统考一模）如图，已知直线l与x，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于C，D两点，连接，． 若和的面积都为3，则k的值是（   ） A． B． C． D． 2.（2023·广东东莞·校考一模）如图，点，为函数图象上的两点，过，分别作轴，轴，垂足分别为，，连接，，，线段交于点，且点恰好为的中点．当的面积为时，的值为（    ） A． B． C． D． ►题型06 两曲一平行 1.（2023·河南周口·统考二模）如图，过反比例函数的图象上一点作轴交反比例函数的图象于点，连接，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 2.（2023·辽宁铁岭·校考二模）如图，四边形是平行四边形，点O是坐标原点，点C在y轴上，点B在反比例函数的图象上，点A在反比例函数的图象上，若平行四边形的面积是7，则（    ）    A． B． C． D． 命题点四 反比例函数与一次函数综合 ►题型01 一次函数图象与反比例函数图象综合 1．（2024·西藏拉萨·一模）在同一直角坐标系中，函数与 的图象大致是（     ） A．   B．   C．   D．   2．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图像交于点，将直线l绕点逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是（    ） A．或 B．且 C．或 D．或 3．（2023·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，下列结论正确的是（    ）      A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 4．（2023·四川绵阳·模拟预测）若，则函数和的图象大致为（    ） A．B．C． D． 5．（2024·湖南娄底·模拟预测）在同一直角坐标系中，函数与（k为常数，）的大致图象可能是（   ） A．B．C． D． ►题型02 一次函数与反比例函数综合应用 1．（2024·山东济南·中考真题）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点．    (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； (3)如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． 2．（2024·山东·中考真题）列表法、表达式法、图像法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系： 1 1 ________ ________ ________ 7 (1)求、的值，并补全表格； (2)结合表格，当的图像在的图像上方时，直接写出的取值范围． 3．（2023·四川巴中·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，A的横坐标为，B的纵坐标为．    (1)求反比例函数的表达式． (2)观察图象，直接写出不等式的解集． (3)将直线向上平移n个单位，交双曲线于C、D两点，交坐标轴于点E、F，连接、，若的面积为20，求直线的表达式． 4．（2024·湖南·模拟预测）如图，反比例函数图象与正比例函数图象相交于点与点． (1)试求反比例函数与正比例函数的函数表达式及点的坐标． (2)请直接写出的解集． (3)现把的图象绕点顺时针旋转得到了．试问在函数图象上是否存在一动点，使是以为底边的等腰三角形？如果有，请求出这个点的坐标；如果没有，请说明理由． 命题点五 反比例函数的实际应用 ►题型01 行程问题 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）小宇每天骑自行车上学，从家到学校所需时间t（单位：min）与骑车速度v（单位：）之间的函数关系如图所示，一天早上，由于起床晚了，为了不迟到，需要在15分钟内赶到学校，那么他骑行的速度至少是（    ） A．0.2 B．0.25 C．0.3 D．0.4 2．（2024·辽宁大连·一模）一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间（单位：）与行驶速度（单位：）满足函数关系，其图象是如图所示的曲线．若该路段限速，则汽车通过该路段至少需要（    ） A． B． C． D． ►题型02 工程问题 1.（2022·浙江杭州·统考一模）某市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为立方米，某运输公司承担了运送土石方的任务． (1)设该公司平均每天运送土石方总量为立方米，完成运送任务所需时间为天． ①求关于的函数表达式． ②若时，求的取值范围． (2)若1辆卡车每天可运送土石方立方米，工期要求在80天内完成，公司至少要安排多少辆相同型号卡车运输？ ►题型03 物理问题 1．（2023·江西吉安·模拟预测）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（   ） A．水温从加热到，需要4min B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．在一个加热周期内水温不低于的时间为 D．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 2．（2024·江苏南通·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是 ． 3．（2024·江苏连云港·中考真题）杠杆平衡时，“阻力阻力臂动力动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为和，动力为，动力臂为．则动力关于动力臂的函数表达式为 ． 4．（2024·吉林·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）． (2)当电阻R为时，求此时的电流I． ►题型04 分段问题 1．（2024·贵州黔东南·一模）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，继续巩固贵阳市生态文明建设的成果，贵阳市某工厂自今年1月开始限产进行技术升级，降低污染物排放，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，技术升级完成前是反比例函数图象的一部分，完成后是一次函数图像的一部分，下列选项正确的是（    ） A．月份的利润为万元 B．月份该厂利润达到万元 C．技术升级完成前后共有个月的利润低于万元 D．技术升级完成后每月利润比前一个月增加万元 2．（2024·湖南郴州·模拟预测）某数学小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求部分双曲线的函数表达式； (2)参照上述数学模型，假设某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由． 3．（2024·贵州贵阳·一模）某天水温和室温均为，智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系，a分钟时水温下降到室温，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)当时，求出y与x之间的函数关系式； (2)求自动停止加热到水温降到室温的时间． 4．（2024·宁夏银川·三模）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少； (2)若大棚内的温度低于时，水果会受到伤害，问：这天内有多长时间水果生长不受伤害？ ►题型05 几何问题 1．（2024·山西大同·模拟预测）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔，从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是如图所示的轴对称图形，是一个矩形，若以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，，上口宽，则整个冷却塔高度为（    ）      A． B． C． D． 2.（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的一个动点，过点作轴交函数的图象于点，点、在轴上在的左侧，且，连接、，这关于四边形的面积的结论正确的是（  ） A． B． C． D．四边形的面积无法确定 基础巩固 1．在平面直角坐标系中，下列各点在双曲线上的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式中，y是x的反比例函数的是（） A． B． C． D． 3．已知点，在反比例上，若．则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．不确定 4．关于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过点 B．图象分布在第二、四象限 C．图象关于轴对称 D．随着的增大而增大 5．已知反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．它的图象经过点 B．图象位于第一、三象限 C．它的图象不是中心对称图形 D．y随x的增大而增大 6．已知函数中，在每个象限内，的值随的值增大而减小，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图像是（ ）． A． B． C． D． 7．如图，关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（   ） A． B． C． D． 8．如图，直线与轴平行且与反比例函数（）与（）的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 9．如图，的直角顶点A在y轴上，点B的坐标为，将向右平移得到，反比例函数的图像经过点C和的中点F，则k的值是（  ） A．2 B．3 C．6 D．12 10．如图1是某电路图，滑动变阻器的电阻为R，电功率为P，P关于R的反比例函数图象如图2所示．某同学通过调节电阻，发现当R从增加到时，电功率P减少了，则当时，（   ） ． A． B． C． D． 11．若点，点均在反比例函数的图象上，则 ． 12．若y关于x的函数是反比例函数，则a的值为 ． 13．已知点，都在反比例函数（是常数）的图象上，且，则，大小关系为 14．如果反比例函数（是常数，）的图象位于第二、四象限，那么 ．（只需写一个数值） 15．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则整数k可以是 （填一个即可）． 16．如图，点M，N在的图象上，分别过点M，N作坐标轴的垂线，若，则的值为 ． 17．如图，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，点是点关于轴的对称点，连接，若的面积为，则的值为 ． 18．已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数的图象经过第 象限．    19．在一次研学活动中，张老师带领同学们利用落叶堆烤红薯，首先将红薯埋在落叶堆中，在确保消防安全的前提下将落叶点燃，落叶堆点燃后徐徐燃烧，经测算落叶堆内部温度和时间的函数关系如图，首先落叶堆内部温度以每分钟上涨的速度匀速升高，达到后，温度维持不变一段时间，然后落叶堆熄灭，温度缓缓降低，直至冷却，已知在落叶堆熄灭后，温度是时间的反比例函数，且在第108分钟时，温度降为，同学们通过查阅资料得知，当温度满足时，红薯中的淀粉可以在淀粉酶的作用下更快的被分解为麦芽糖，增加了红薯的甜度，此过程称为糖化过程．则在这次烤红薯的过程中，糖化过程时长为 分钟． 20．已知：反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点． (1)求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支； (2)求当，且时，自变量x的取值范围． 21．如图，某工程队承接了一项开挖水渠的工程，所需天数（天）是每天完成的工程量（米/天）的反比例函数，其图象经过点． (1)求与的函数关系式． (2)当每天完成米时，求该工程队完成工程所需的时间． (3)若完成工程的天数小于天，则该工程队每天完成的工程量的取值范围是______． 22．一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，其中． (1)求a的值以及点B的坐标； (2)结合图象，直接写出时，x的取值范围； (3)若点P在x轴上，且是直角三角形，求点P的坐标． 能力提升 1．反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴，交的图象于点，轴，交的图象于点．当点在的图象上运动时，以下结论：①和的面积相等；②与始终相等；③四边形的面积不会发生变化；④当时，．其中一定正确的是（   ） A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．①③④ 2．如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为（    ） A．8 B．12 C．15 D． 3．已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点．若对于，，都有，则的取值范围是（　　） A．或 B．且， C．或 D．且， 4．如图，点，都是反比例函数在第二象限的图象上的点，且，则点的坐标为 ． 5．已知是直线上两点，分别过点和点作轴，和分别交双曲线于点和点，连接． （1）直线和双曲线的交点坐标为 ； （2）若，则的值为 ． 6．在平面直角坐标系中，已知四边形为矩形，其中，． (1)当反比例函数的图象和矩形有交点时，的最大值为________．（请直接写出结果） (2)如图，反比例函数的图象与，分别交于点，，连接． ①当时，求的面积； ②连接，判断与是否平行？并说明理由． 可以把一个角四等分、八等分…那么，能否用尺规三等分一个任意角呢？ 【查阅资料】古希腊数学家帕普斯结合反比例函数图象，实现尺规作图三等分任意角，方法如下： ①如图1，建立平面直角坐标系，将的顶点O与原点重合，边与x轴的正半轴重合，在第一象限内； ②在平面直角坐标系中，画出函数的图象，图象与交于点 D； ③以D为圆心、长为半径作弧，交函数的图象于点E； ④分别过点D、E作x轴、y轴的平行线，两线交于点 P，连接，此时有． 【问题探究】小明在以上资料的启示下，进行了如下探究，用尺规三等分一个角．如图2，以线段中点O为原点，x轴的正方向与角的一边平行，建立平面直角坐标系，过点B作y轴的平行线，在平行线上取一点M，连接并延长，与射线交于点N，记中点为． （1）与的数量关系为： ； （2）在探究过程中，小明发现取点A坐标为时，点P坐标与点M坐标满足下列表格关系： 点M坐标 点P坐标 ①请将表格补充完整，并尝试在图2给出的网格图中描出点P的坐标，画出它的大致图象； ②根据图象猜想y关于x的关系式（不需要写出x的取值范围），并证明你的猜想； （3）若点A坐标为，直接写出y关于x的关系式： （不需要写出x的取值范围）． 【问题解决】在图2中，利用上述你画出的图象，用尺规作图将 三等分，叙述作法并说明理由． $$第三章 函数 第12讲 反比例函数的图象、性质及应用（10~15分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！40 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 反比例函数的图象与性质（高频考点） 考点二 反比例系数k的几何意义（高频考点） 考点三 反比例函数与一次函数综合（高频考点） 考点四 反比例函数的实际应用（高频考点） 04题型精研·考向洞悉 命题点一 反比例函数相关概念 ►题型01 用反比例函数描述数量关系 ►题型02 判断反比例函数 ►题型03 根据反比例函数的定义求字母的值 命题点二 反比例函数的图象与性质 ►题型01 判断反比例函数图象 ►题型02 反比例函数点的坐标特征 ►题型03 已知反比例函数图象，判断其解析式 ►题型04 反比例函数的性质的应用 ►题型05 与反比例函数有关的规律探究问题 命题点三 反比例系数k的几何意义 ►题型01 一点一垂线 ►题型02 一点两垂线 ►题型03 两点一垂线 ►题型04 两点两垂线 ►题型05 两点和原点 ►题型06 两曲一平行 命题点四 反比例函数与一次函数综合 ►题型01 一次函数图象与反比例函数图象综合 ►题型02 一次函数与反比例函数综合应用 命题点五 反比例函数的实际应用 ►题型01 行程问题 ►题型02 工程问题 ►题型03 物理问题 ►题型04 分段问题 ►题型05 几何问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 反比例函数相关概念 · 理解与掌握反比例函数相关概念. 10年4考 反比例函数是非常重要的函数，年年都会考，总分值为15分左右，常考考点为: 反比例函数图象的性质k的几何意义、双曲线上点的坐标特征、反比例函数与一次函数的交点问题以及反比例函数的应用与综合题等.其中前三个考点多以选择、填空题的形式出题，后三个考点则是基础解答题以及压轴题的形式出题.在填空题中,对反比例函数点的坐标特征考察的比较多，而且难度逐渐增大，常结合其他规则几何图形的性质一起出题,多数题目的技巧性较强，复习中需要多加注意.另外压轴题中也常以反比例函数为背景，考察一些新定义类问题. 综合反比例函数以上特点，考生在复习该考点时，需要准备堂握其各性质规律，并日多注意其与几何图形结合题的思考探究. 反比例函数的图象与性质 · 能画反比例函数的图象，根据图象和表达式 ()探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况. · 能根据已知条件确定反比例函数的表达式. 近10年连续考查 反比例系数k的几何意义 · 理解与掌握反比例系数k的几何意义. 近10年连续考查 反比例函数与一次函数综合 10年3考 反比例函数的实际应用 · 能用反比例函数解决简单实际问题 10年5考 02知识导图·思维引航 03考点突破·考 考点一 反比例函数的图象与性质 （高频考点） 一、反比例函数的图象与性质 图象特征 1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=±x，对称中心为原点． 性质 表达 式 （为常数，） 图象 k>0 k<0 经过 象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 ①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上; ②图象关于直线 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）在双曲线的另一支上; ③图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-b，-a）在双曲线的另一支上. 即：反比例函数的图象关于直线y=±x成轴对称,关于原点成中心对称. 反比例函数解析式的确定方法 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）； 2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解方程求出待定系数k； 4）将所求的k值代入所设解析式中. 【说明】由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． 1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。 3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 1．（2024·江苏徐州·中考真题）若点、、都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，判断反比例函数的增减性，根据解析式得到反比例函数的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，再根据三个点的横坐标判断A，B，C三点的位置，从而根据增减性判断a，b，c的大小即可． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴反比例函数的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大， ∵、、， ∴A在第二象限，B，C在第四象限， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（2024·湖北武汉·中考真题）某反比例函数具有下列性质：当时，y随x的增大而减小，写出一个满足条件的k的值是 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，反比例函数的图象是双曲线，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．直接根据反比例函数的性质写出符合条件的值即可． 【详解】解：∵当时，y随x的增大而减小， ∴ 故答案为：1（答案不唯一）． 考点二 反比例系数k的几何意义 （高频考点） 一、一点一垂线 【模型结论】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为. 【拓展一】 【拓展二】 【拓展三】(前提：OA=AC) 结论：S△AOB=S△COD S△AOE=S四边形CEBD S△AOC= 二、一点两垂线 【模型结论】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为. 【拓展一】 【拓展二】 【拓展三】 结论：S矩形ABOE=S矩形CDOF S矩形AEFG=S矩形CGBD S ▱ABCD= 三、两点一垂线 【模型结论一】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角形面积等于|k|， 结论：S△ABC =2S△ABO = 【模型结论二】反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴上任一点构成三角形的面积，等于坐标轴所分的两个三角形面积之和． 如左图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C， 则S△AOB=S△AOC+S△BOC=co•|yA|+co•|yB|=co(|yA|+|yB|) 如右图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与y轴交于点C， 则S△AOB=S△AOC+S△BOC=co•|xA|+co•|xB|=co(|xA|+|xB|) 四、两点两垂线 【模型结论】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于2|k| 五、两点和原点 方法一：S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD．【分割】 方法二：作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，而S△OAM＝S四边形MEFB，则S△AOB＝S直角梯形AEFB． 方法三：S△AOB＝S四边形COFD－S△AOC－S△BOF. 【补形】 方法四：S△AOB＝S△AOD－S△BOD＝OD•（|yA|-|yB|） 方法五：S△AOB＝S△BOC－S△AOC＝OC•（|xB|-|xA|） 【拓展】 方法一：当AD/AC(或BD/BF)＝m时，则S四边形OADB＝m|k|． 方法二：作AE⊥x轴于E，则S△OAB＝S直角梯形AEFB（类型一）． 六、两曲一平行 【模型讲解】两条双曲线上的两点的连线与一条（或两条）坐标轴平行，求这两点与原点或坐标轴上的点围成的图形面积，过这两点作坐标轴的垂线，结合k的几何意义求解． 类型一 两条双曲线的k值符号相同 结论：S阴影＝|k1|-|k2| S阴影＝|k1|-|k2| 结论：S阴影＝|k1|-|k2| S阴影＝|k1|-|k2|- S直角梯形AFDE 类型二 两条双曲线的k值符号相同 结论：S△AOB＝S△ACB＝(|k1|+|k2|) S阴影＝|k1|+|k2| 1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数，根据的纵坐标相同以及点在反比例函数上得到的坐标，进而用代数式表达的长度，然后根据列出一元一次方程求解即可． 【详解】是平行四边形 纵坐标相同 的纵坐标是 在反比例函数图象上 将代入函数中，得到 的纵坐标为 即： 解得： 故答案为：． 2．（2023·江苏南京·中考真题）在平面直角坐标系中，点为原点，点A 在第一象限，且． 若反比例函数 的图像经过点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数图像与几何图形面积求比例系数，根据题意作图分析，理解当点为反比例函数图像与直线的交点时，的值最大，由的几何意义可知，为图像上的点与坐标轴围成的正方形的面积，由此即可求解． 【详解】解：反比例函数如图所示， ∵函数图像经过第一象限， ∴， 当点为反比例函数图像与直线的交点时，的值最大，且， ∴， ∴， ∴k的取值范围是． 3．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为点C，延长至点B，使，点D是y轴上任意一点，连接，，若的面积是6，则 ． 【答案】 【分析】连结、，轴，由得到．由得到，则，再根据反比例函数图象所在象限即可得到满足条件的k的值． 【详解】解：如图，连结、，    ∵轴， ∴． ∴． ∵， ∵， ∴， ∵图象位于第一象限，则， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，掌握反比例函数的图象与性质并能熟练运用数形结合的思想是解答问题的关键． 考点三 反比例函数与一次函数综合 （高频考点） 1.涉及自变量取值范围 当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对y1>y2时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如下图，当y1>y2时，x的取值范围为x>xA或xB<x<0；同理，当y1<y2时，x的取值范围为0<x<xA或x<xB． 2.求一次函数与反比例函数的交点坐标 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定． ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； 2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象，根据一次函数与反比例函数的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵ 当时，一次函数经过第一、二、三象限， 当时，一次函数经过第一、三、四象限 A.一次函数中，则当时，函数图象在第四象限，不合题意， B.一次函数经过第二、三、四象限，不合题意， 一次函数中，则当时，函数图象在第一象限，故C选项正确，D选项错误， 故选：C． 2．（2023·湖北襄阳·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】分两种情况讨论：当时，可排除B；当时，排除C、D． 【详解】解：当时，反比例函数过一三象限，一次函数与y轴正半轴有交点，过一二三象限，故A正确，排除B； 当时，反比例函数过二四象限，一次函数与y轴负半轴有交点，过二三四象限，排除C、D； 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数、一次函数综合问题，掌握数形结合的思想是关键． 3．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）在同一直角坐标系中，函数与的大致图象可能为（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】D 【分析】根据一次函数和反比例函数的图象和性质，即可解答． 【详解】解：①当时，， 一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限； ②当时，， 一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数经过第一、三象限； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数图象的性质，解题的关键是掌握一次函数，当时，经过一、三象限；当时，经过二、四象限；反比例函数，当时，经过一、三象限；当时，经过二、四象限． 4．（2024·四川内江·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为    (1)求这两个函数的表达式； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，熟练地掌握待定系数法是解题的关键． （1）用待定系数法求反比例函数解析式以及一次函数解析式即可． （2）根据函数图像即可求解． 【详解】（1）解：把的坐标代入， 得， 解得， ∴反比例函数的解析式为： 把的坐标代入， 得 ∴的坐标 把，代入， 得 解得：， ∴一次函数的解析式为：． （2）∵关于的不等式的解集，即反比例函数的图像在一次函数的图像上方． ∴根据图象，关于的不等式的解集为：或． 考点四 反比例函数的实际应用 （高频考点） 用反比例函数解决实际问题的步骤： 1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示； 3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数； 4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图象解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 1．（2023·江苏南京·中考真题）甲、乙两地相距100km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）与行驶速度 v（单位：km/h）之间的函数图像是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数的图象．根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断． 【详解】解：根据题意有：， 所以， 故与之间是反比例函数，其图象在第一象限． 故选：D． 2．（2024·山西·中考真题）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将代入计算即可，待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】设反比例函数解析式为， 机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度， ， 反比例函数解析式为， 当时，， 当其载重后总质量时，它的最快移动速度． 故答案为：4． 3．（2024·海南·中考真题）某型号蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，即，它的图象如图所示，则蓄电池的电压U为 （V）． 【答案】64 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用．根据函数图象可用电阻R表示电流I的函数解析式为，其中U为电压，再把代入可得U的值． 【详解】解：设用电阻R表示电流I的函数解析式为， ∵过， ∴（V）， 故答案为：64． 04题型精研·考向洞悉 命题点一 反比例函数相关概念 ►题型01 用反比例函数描述数量关系 1．（2023·北京海淀·模拟预测）下面的三个问题中都有两个变量： ①一个容积固定的游泳池，游泳池注满水的过程中注水速度与所用时间； ②一个体积固定的长方体，长方体的高与底面积； ③矩形面积一定时，周长与一边长； 其中，变量与变量之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据图象，可以得到两个变量之间成反比关系，即两个变量的乘积为定值，逐一进行判断即可． 【详解】解：①一个容积固定的游泳池，游泳池注满水的过程中注水速度与所用时间的乘积为定值，符合题意； ②一个体积固定的长方体，长方体的高与底面积的乘积为定值，符合题意； ③矩形面积一定时，周长与一边长的乘积不是定值，不符合题意； ∴变量与变量之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是①②； 故选A． 【点睛】本题考查反比例函数．通过图象得到两个变量之间成反比关系，是解题的关键． 2．（2023·北京门头沟·二模）如图，圆柱的侧面积为10m2．记圆柱的底面半径为m，底面周长为m，高为m．当在一定范围内变化时．和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是（    ） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．正比例函数关系，反比例函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 【答案】C 【分析】由圆柱的底面的周长公式：底面周长＝2×半径×，可得与的关系，根据圆柱的侧面积公式：圆柱的侧面积＝底面周长×高，可得与的关系式，即可得到答案． 【详解】解：由圆柱的底面的周长公式：底面周长＝2×半径×， 可得：， 与的关系为：正比例函数关系， 根据圆柱的侧面积公式：圆柱的侧面积＝底面周长×高， 可得：， ， 与的关系式为：反比例函数关系， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了函数关系式的综合应用，涉及到一次函数、反比例函数、二次函数等知识，熟知函数的相关类型并能够根据实际问题列出函数关系式是解决本题的关键． ►题型02 判断反比例函数 1．（2023·湖南·中考真题）下列哪个点在反比例函数的图象上？（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的图像上的点的横纵坐标乘积为4进行判断即可． 【详解】解：A．∵，∴不在反比例函数的图像上，故选项不符合题意； B．∵，∴不在反比例函数的图像上，故选项不符合题意； C．∵，∴不在反比例函数的图像上，故选项不符合题意； D．∵，∴在反比例函数的图像上，故选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 2．（2023·广西百色·一模）下列函数中，不是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的识别，把形如这样的函数叫做反比例函数，根据反比例函数的概念即可作出判断，掌握反比例函数的定义是解题的关键，注意比例系数． 【详解】、是反比例函数，此选项不符合题意； 、是一次函数，不是反比例函数，此选项符合题意； 、是反比例函数，此选项不符合题意； 、是反比例函数，此选项不符合题意； 故选：． 3．（2024·天津红桥·一模）下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的识别，形如（k为常数且）的函数叫做反比例函数，由此判断即可． 【详解】解：A，是一次函数，不是反比例函数，不合题意； B，是一次函数，不是反比例函数，不合题意； C，是二次函数，不是反比例函数，不合题意； D，是反比例函数，符合题意； 故选D． ►题型03 根据反比例函数的定义求字母的值 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数图像，反比例函数图像的性质等知识．熟练掌握正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称是解题的关键． 根据正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称作答即可． 【详解】解：∵正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称， ∴这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为， 故答案为：． 2．（2023·广西桂林·二模）如图，双曲线（为常数，）与直线（为常数，）相交于、两点，如果点的坐标是，那么点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的对称性，即可求解， 本题考查了反比例函数的对称性，解题的关键是：熟练掌握反比例函数的对称性． 【详解】解：点、关于原点对称， 点的坐标为， 故答案为：． 3．（2023·陕西渭南·一模）已知正比例函数（a为常数，）与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为 ． 【答案】 【分析】正比例函数和反比例函数的图象是中心对称图形，则它们的交点一定关于原点对称． 【详解】∵已知正比例函数（a为常数，）与反比例函数的图象的一个交点坐标为， ∴交点坐标为 ∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称， ∴另一个交点的坐标与点关于原点对称， ∴该点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握反比例函数与正比例函数的交点关于原点对称是解题的关键． 命题点二 反比例函数的图象与性质 ►题型01 判断反比例函数图象 1．（2023·河南南阳·一模）定义新运算：，例如：，，则的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据题意确定函数关系式，再根据反比例函数图像的性质得出图像即可． 【详解】解：根据题意可知， 的图像位于第一象限，的图像位于第二象限． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图像与性质，理解新定义是解题的关键． 2．（2023·广东深圳·一模）反比例函数的图像可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质，时，图象在一、三象限，进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴图象分布在第一、三象限，即： 故选C． 【点睛】本题考查反比例函数的图象．熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键． ►题型02 反比例函数点的坐标特征 1.（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图，直线与双曲线交于A，B两点，若，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的对称性进行求解即可． 【详解】解：∵直线与双曲线交于A，B两点， ∴点A和点B关于原点对称， 把代入到中得：， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的对称性，反比例函数与一次函数的交点问题，正确得到点A和点B关于原点对称是解题的关键． 2.（2023·陕西渭南·统考一模）已知正比例函数（a为常数，）与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为 ． 【答案】 【分析】正比例函数和反比例函数的图象是中心对称图形，则它们的交点一定关于原点对称． 【详解】∵已知正比例函数（a为常数，）与反比例函数的图象的一个交点坐标为， ∴交点坐标为 ∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称， ∴另一个交点的坐标与点关于原点对称， ∴该点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握反比例函数与正比例函数的交点关于原点对称是解题的关键． ►题型03 已知反比例函数图象，判断其解析式 1．（2023·云南昆明·二模）如图所示，其函数解析式可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的图象进行解答即可． 【详解】解：反比例函数的图象的两个分支分别位于第一、三象限， ， 可能是， 故选：B． 【点睛】本题考查的是反比例函数的图象，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 2．（2023·福建漳州·模拟预测）反比例函数在第一象限的图象如图所示，则的值可能是（    ）    A．16 B．11 C．8 D．6 【答案】B 【分析】根据反比例函数的图象在点和之间即可作出判断． 【详解】解：反比例函数的图象在点和之间， ，即， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解答本题关键是要结合函数的图象，掌握反比例函数的性质． ►题型04 反比例函数的性质的应用 1．（2024·安徽·模拟预测）下列关于反比例函数的说法中，正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．经过点 C．图象关于原点成中心对称 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征，以及反比例函数，当时，图象分布在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，当时，图象分布在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．据此逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴该反比例函数图形位于二、四象限，故A不正确，不符合题意； ∵， ∴B不正确，不符合题意； 该反比例函数图象关于原点成中心对称，故C正确，符合题意； ∵， ∴在每一象限内，y随x的增大而增大，故D不正确，不符合题意； 故选；C． 2．（2023·湖北武汉·中考真题）关于反比例函数，下列结论正确的是（    ） A．图像位于第二、四象限 B．图像与坐标轴有公共点 C．图像所在的每一个象限内，随的增大而减小 D．图像经过点，则 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质逐项排查即可解答． 【详解】解：A．的图像位于第一、三象限，故该选项不符合题意； B． 的图像与坐标轴没有有公共点，故该选项不符合题意； C． 的图像所在的每一个象限内，随的增大而减小，故该选项符合题意； D． 由的图像经过点，则，计算得或，故该选项不符合题意． 故选C． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，明确题意、正确利用反比例函数的性质是解答本题的关键． 3．（2023·上海·中考真题）下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数和反比例函数的性质，逐项分析即可得到答案． 【详解】解：A、 ，，y随x的增大而增大，不符合题意； B、 ，，y随x的增大而减小，符合题意； C、 ，，在每个象限内，y随x的增大而减小，不符合题意； D、 ，，在每个象限内，y随x的增大而增大，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质，是解题的关键． 4．（2023·湖南永州·中考真题）已知点在反比例函数的图象上，其中a，k为常数，且﹐则点M一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据反比例函数中的，可知反比例函数经过第一、三象限，再根据点M点的横坐标判断点M所在的象限，即可解答 【详解】解：， 反比例函数的图象经过第一、三象限， 故点M可能在第一象限或者第三象限， 的横坐标大于0， 一定在第一象限， 故选：A． 【点睛】本题考查了判断反比例函数所在的象限，判断点所在的象限，熟知反比例函数的图象所经过的象限与k值的关系是解题的关键． 5．（2023·湖北·中考真题）在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得反比例函数的图象在一三象限，进而可得，解不等式即可求解． 【详解】解：∵当时，有， ∴反比例函数的图象在一三象限， ∴ 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，根据题意得出反比例函数的图象在一三象限是解题的关键． ►题型05 与反比例函数有关的规律探究问题 1.（2023上·湖南·九年级校联考阶段练习）如图，在反比例函数的图象上有、B两点，连接，过这两点分别作x轴的垂线交x轴于点C、D，已知，点是的中点，连接，得到；点是的中点，连接，得到；……按照此规律继续进行下去，则的面积为 ．（用含正整数n的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，图形类的规律探索，先求出，得到，，，进而求出，得到，则，根据梯形面积公式求出，再分别求出 ，，进而得到规律，，则． 【详解】解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵轴， ∴点B的纵坐标为1， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ……， 以此类推可知，，， ∴， 故答案为：． 2.（2023·江苏徐州·校考三模）如图，在x轴的正半轴上依次截取，过点，分别作x轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得，，，并设其面积分别为，以此类推，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，，由反比例函数解析式中，得出，，，…，的面积都为1，而为的，且与的高为同一条高，故的面积为的面积的，由的面积都为1，得出的面积，即为的值，从而得解． 【详解】解：连接，，…，，如图所示： ∵过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，， ∴，即， 又∵， ∴，，，…，， ∵与的高为同一条高， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】此题属于反比例函数的综合题，涉及的主要知识有：反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义，图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即. 命题点三 反比例系数k的几何意义 ►题型01 一点一垂线 1.（2023·安徽·九年级专题练习）如图，等腰直角三角形的斜边在轴的负半轴上，顶点在反比例函数的图象上，的面积为，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点分别作轴于点，根据等腰三角形三线合一，得，利用三角形中线的性质可得，再根据把反比例函数系数的几何意义，解出的值，即可． 【详解】过点分别作轴于点， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵的面积为， ∴， ∵顶点在反比例函数的图象上， ∴，， ∴． 故选：C．    【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，掌握三角形的中线平分三角形的面积是关键． 2.（2023·广西北海·统考模拟预测）如图，、、是双曲线上的三点，过这三点分别作轴的垂线，得到三个三角形、、、设它们的面积分别是、、，则、、的大小关系为（    ）    A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义，即可得到答案． 【详解】∵是双曲线上的三点．过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形、、， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查反比例函数比例系数的几何意义，掌握反比例函数比例系数的几何意义，是解题的关键． 3.（2023·安徽合肥·校考一模）如图，，是反比例函数图象上的两点，分别过点，作轴的垂线．已知，则阴影部分面积为（　　） A．3 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】根据反比例函数的几何意义即可求解． 【详解】解：如图所示，轴于点， 轴于点 ∵反比例函数 ∴， ∵， ∴阴影部分的面积 ∴阴影部分面积为3， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． ►题型02 一点两垂线 1.（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，在反比例函数的图象上有点，它们的纵坐标依次为6，2，1，分别过这些点作x轴与y轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为．若，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先根据点在反比例函数上得到，，，再根据，求出k值，再根据求解即可． 【详解】解：解：把代入，得， ， 同理可得，， ∵， ∴ ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，根据，求出k值是解题的关键． 2.（2023·江苏徐州·统考三模）如图，四边形是矩形，是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，成C在y轴的正半轴上，点F在上，点B、E在反比例函数的图象上，，则正方形的边长为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先确定B点坐标为，可得反比例函数解析式为，设，则，所以E点坐标为，根据反比例函数图象上点的坐标特征得，解方程求出t的值即可． 【详解】解：∵，， ∴B点坐标为， ∴， ∴反比例函数解析式为， 设，则， ∴E点坐标为， ∴， 整理得， 解得：（舍去），， ∴正方形的边长为2． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数（k为常数，）的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即． ►题型03 两点一垂线 1.（2023上·山东德州·九年级统考期末）如图，直线与双曲线交于A、B两点．过点A作轴，垂足为M，连结BM．若，则k的值是（    ） A．2 B． C．m D．4 【答案】A 【分析】设A坐标为，根据直线与双曲线的对称性得到点B坐标为，即可得到，根据点A在点第一象限，即可得到． 【详解】解：设点A坐标为，由直线与双曲线的对称性得点A和点B关于原点对称， ∴点B坐标为， ∴， ∵点A在点第一象限， ∴． 故选：A 【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何意义和中心对称性，熟知反比例函数的中心对称性根据点A坐标确定点B的坐标是解题关键． 2.（2023·广西贵港·统考一模）如图，点和都在反比例函数的图象上，过点A分别向x轴y轴作垂线，垂足分别是M、N，连接、，若四边形的面积记作，面积记作，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象上点的坐标特征求出，，根据反比例函数比例系数k的几何意义求得，然后根据求得，即可求解． 【详解】解：∵点和都在反比例函数的图象上． ∴， ∴点，， ∵过点A分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为点M，N． ∴， 如图，过点B作交的延长线于点K， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数比例系数k的几何意义，分别求得、的值是解题的关键． ►题型04 两点两垂线 1.（2023·吉林长春·校考一模）如图，在中，轴，点B、D在反比例函数的图象上，若的面积是20，则k的值是（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】A 【分析】先根据平行四边形的性质得到，轴，设，则，即可得到，即可求出，再根据平行四边形面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵轴， ∴轴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是20， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，平行四边形的性质，正确用含k的式子表示出是解题的关键． ►题型05 两点和原点 1.（2023·福建宁德·统考一模）如图，已知直线l与x，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于C，D两点，连接，． 若和的面积都为3，则k的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证，再根据和的面积都为3，得到，得到，作轴于H，再证得，根据相似三角形的性质得到，即可解得． 【详解】∵直线l与反比例函数相交并与x，y轴分别交于A，B两点， ∴， 作， ∵，，， ∴， ∵和的面积都为3， ∴， ∴， 作轴于H， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（舍去）． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的判定与性质，熟练掌握性质是解题的关键． 2.（2023·广东东莞·校考一模）如图，点，为函数图象上的两点，过，分别作轴，轴，垂足分别为，，连接，，，线段交于点，且点恰好为的中点．当的面积为时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据中点定义得出，在根据k的几何意义得，进而得出，然后根据相似三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】∵点E是的中点， ∴． ∵点A，C在反比函数图象上， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， 则． ∵反比例函数位于第二象限， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，相似三角形的性质和判定，求三角形的面积等，确定各三角形面积之间的关系是解题的关键． ►题型06 两曲一平行 1.（2023·河南周口·统考二模）如图，过反比例函数的图象上一点作轴交反比例函数的图象于点，连接，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用反比例函数系数的几何意义，先求出，再求出，进而求出的值即可． 【详解】解：记与轴的交点为， 点在反比例函数的图象上，且轴， ， ， ， ， 根据图象可知：， ， 故选：． 【点睛】此题考查反比例函数系数的几何意义，理解反比例函数系数的几何意义是解题的关键． 2.（2023·辽宁铁岭·校考二模）如图，四边形是平行四边形，点O是坐标原点，点C在y轴上，点B在反比例函数的图象上，点A在反比例函数的图象上，若平行四边形的面积是7，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据反比例函数系数k的几何意义得到，进而即可求得k的值． 【详解】解：连接OB，    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴轴， ∴，， ∴， ∴， ∵平行四边形的面积是7， ∴，即， ∵在第四象限， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例系数k的几何意义、平行四边形的面积，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是是解答此题的关键． 命题点四 反比例函数与一次函数综合 ►题型01 一次函数图象与反比例函数图象综合 1．（2024·西藏拉萨·一模）在同一直角坐标系中，函数与 的图象大致是（     ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，根据一次函数的图象性质得到经过第一、二、三象限；根据反比例函数的图象性质得到分布在第一、三象限，然后对各选项进行判断． 【详解】解：函数经过第一、二、三象限，函数分布在第一、三象限． 故选：C． 2．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图像交于点，将直线l绕点逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是（    ） A．或 B．且 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，一次函数的解析式，关键是要分两种情况讨论． 当在原点右侧时，点坐标为，设旋转后的直线的解析式为：，得到，求出；当在原点左侧时，设旋转后的直线的解析式为：，，求出，即可得到的取值范围． 【详解】解：当在原点右侧时，点坐标为， 直线绕点逆时针旋转， 所得的直线与直线平行， 设这条直线的解析式为：， 这条直线经过第一、二、四象限， ， 在直线上， ， ， ， ， ； 当在原点左侧时， 设这条直线的解析式为：， 同理：， ， ， ， ， ． 的取值范围是或． 故选：C． 3．（2023·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，下列结论正确的是（    ）      A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】结合一次函数与反比例函数的图象，逐项判断即可得． 【详解】解：A、当时，，则此项错误，不符合题意； B、当时，，则此项正确，符合题意； C、当时，，则此项错误，不符合题意； D、当时，，则此项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象，熟练掌握函数图象法是解题关键． 4．（2023·四川绵阳·模拟预测）若，则函数和的图象大致为（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合判断，根据一次函数和反比例函数的图象和性质进行判断即可． 【详解】解：A．反比例函数中，则，与一次函数中y随x的增大而增大相矛盾，故本选项不符合题意： B．反比例函数中，则，与一次函数中y随x的增大而减小相矛盾，本选项不符合题意； C．反比例函数中，则，而一次函数与y轴交于上方，，与前边的相矛盾，故本选项不符合题意； D．反比例函数中，则，与一次函数中y随x的增大而减小相一致，且与y轴交于下方，故本选项符合题意． 故选：D． 5．（2024·湖南娄底·模拟预测）在同一直角坐标系中，函数与（k为常数，）的大致图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象，分别令和，分别找出函数图象所经过的象限，相同的即为本题的答案，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：可化为， 当时，经过第一、二、四象限，经过第一、三象限； 当时，经过第一、三、四象限，经过第二、四象限； 故选：A． ►题型02 一次函数与反比例函数综合应用 1．（2024·山东济南·中考真题）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点．    (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； (3)如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)点． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可； （3）过点作 轴，过点作于点，过点作于点，可得，则设点，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标． 【详解】（1）解：将代入得， ， 将代入得，解得， 反比例函数表达式为， （2）解：如图，设点，那么点，    由可得， 所以， 解得（舍）， ; （3）解：如图，过点作 轴，过点作于点，过点作于点，   ， 点绕点顺时针旋转， ， ， ， ， 设点， 点， ， 解得， 点或（舍），此时点． 2．（2024·山东·中考真题）列表法、表达式法、图像法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系： 1 1 ________ ________ ________ 7 (1)求、的值，并补全表格； (2)结合表格，当的图像在的图像上方时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，补全表格见解析 (2)的取值范围为或； 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，利用图像法写自变量的取值范围； （1）根据表格信息建立方程组求解的值，再求解的值，再补全表格即可； （2）由表格信息可得两个函数的交点坐标，再结合函数图像可得答案. 【详解】（1）解：当时，，即， 当时，，即， ∴， 解得：， ∴一次函数为， 当时，， ∵当时，，即， ∴反比例函数为：， 当时，， 当时，， 当时，， 补全表格如下： 1 1 7 （2）由表格信息可得：两个函数的交点坐标分别为，， ∴当的图像在的图像上方时，的取值范围为或； 3．（2023·四川巴中·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，A的横坐标为，B的纵坐标为．    (1)求反比例函数的表达式． (2)观察图象，直接写出不等式的解集． (3)将直线向上平移n个单位，交双曲线于C、D两点，交坐标轴于点E、F，连接、，若的面积为20，求直线的表达式． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）先求解A，B的坐标，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）由反比例函数的图象在一次函数的图象的上方确定不等式的解集即可； （3）方法一、连接BE，作轴，先求解，可得直线AB的表达式为，由，可得，求解，可得，由，可得即可； 方法二、连接BF，作轴，先求解，结合，可得，可得，由，再设直线CD的表达式为，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：直线与双曲线交于A、B两点， ∴A、B关于原点对称， ， ，                             在双曲线上， ， ∴反比例函数的表达式为 ； （2）∵， ∴不等式的解集为：或 ； （3）方法一：连接，作轴于G，   在直线上， ， 直线的表达式为， ， ， ， ， ， ， ，                                    ， ， 直线CD的表达式为． 方法二： 连接BF，作轴于，   在直线上， ， 直线的表达式为， ， ， ， ， ， ， ∴设直线的表达式为， 在直线上， ， ， ∴直线的表达式为． 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，利用待定系数法求解函数解析式，坐标与图形面积，利用数形结合的方法确定不等式的解集，清晰的解题思路与数形结合的运用都是解本题的关键． 4．（2024·湖南·模拟预测）如图，反比例函数图象与正比例函数图象相交于点与点． (1)试求反比例函数与正比例函数的函数表达式及点的坐标． (2)请直接写出的解集． (3)现把的图象绕点顺时针旋转得到了．试问在函数图象上是否存在一动点，使是以为底边的等腰三角形？如果有，请求出这个点的坐标；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数表达式为；正比例函数表达式为； (2)或 (3)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法确定即可得到表达式，再联立方程组求解即可得到答案； （2）的解集是指反比例函数图象在正比例函数图象上方部分对应的自变量的取值范围，数形结合求解即可得答案； （3）由旋转性质，结合直线性质得到，根据点的对称性及中垂线的判定与性质得到，若使是以为底边的等腰三角形，则，结合含的直角三角形性质得到线段，最后由两点之间距离公式列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：反比例函数图象与正比例函数图象相交于点， ，即反比例函数表达式为； ，即正比例函数表达式为； 反比例函数图象与正比例函数图象相交于点与点， 联立，解得或，即； （2）解：的解集是指反比例函数图象在正比例函数图象上方部分对应的自变量的取值范围，如图所示： 、， 当或时，反比例函数图象在正比例函数图象上方，即的解集是或 （3）解：如图所示： 把的图象绕点顺时针旋转得到了， 直线垂直直线， 与关于原点对称， 直线是线段的垂直平分线， 当在直线上时，由垂直平分线性质可得， 若使是以为底边的等腰三角形，则， 此时是等边三角形， 在中，，，则，由勾股定理可得， 设，则，解得或， 或． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及待定系数法确定函数表达式、直线与双曲线的交点、利用图象法解不等式、函数与特殊三角形、中垂线的判定与性质、含的直角三角形性质、勾股定理、两点之间距离公式等知识，熟练掌握一次函数与反比例函数图象与性质、灵活运用相关几何性质是解决问题的关键． 命题点五 反比例函数的实际应用 ►题型01 行程问题 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）小宇每天骑自行车上学，从家到学校所需时间t（单位：min）与骑车速度v（单位：）之间的函数关系如图所示，一天早上，由于起床晚了，为了不迟到，需要在15分钟内赶到学校，那么他骑行的速度至少是（    ） A．0.2 B．0.25 C．0.3 D．0.4 【答案】A 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而代入数据得出答案． 【详解】解：设，当时，， 解得：， 故与的函数表达式为：， 为了不迟到，需不超过15分钟赶到学校， ， 解得：， 他骑车的速度至少是0.2． 故选：A． 2．（2024·辽宁大连·一模）一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间（单位：）与行驶速度（单位：）满足函数关系，其图象是如图所示的曲线．若该路段限速，则汽车通过该路段至少需要（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，注意把小时化成分钟． 把点代入，求得k的值，在把点B代入求出的解析式中，求得m的值，然后把代入，求出t的值即可． 【详解】解：由题意得，函数经过点， 把代入，得， 则解析式为，再把代入，得， 把代入，得， 小时=40分钟， 则汽车通过该路段最少需要40分钟． 故选：B． ►题型02 工程问题 1.（2022·浙江杭州·统考一模）某市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为立方米，某运输公司承担了运送土石方的任务． (1)设该公司平均每天运送土石方总量为立方米，完成运送任务所需时间为天． ①求关于的函数表达式． ②若时，求的取值范围． (2)若1辆卡车每天可运送土石方立方米，工期要求在80天内完成，公司至少要安排多少辆相同型号卡车运输？ 【答案】(1)①；② (2)125辆 【分析】（1）①由每天运送量和总量列出函数关系即可；②根据反比例函数的性质计算求值即可； （2）结合（1）由每天要运送的量计算求值即可； 【详解】（1）解：①由题意得：， ②∵函数在上递减， ∴当x=80时，函数值最小，此时， ∴y≥12500； （2）解：由（1）可知：若工期要在80天内完成，则每天至少要运送12500立方米， ∴至少需要卡车：12500÷100=125辆； 【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象特征是解题关键． ►题型03 物理问题 1．（2023·江西吉安·模拟预测）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（   ） A．水温从加热到，需要4min B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．在一个加热周期内水温不低于的时间为 D．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法确定函数解析式、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．根据题意和图象，先求得函数的解析式，进而反比例函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、∵开机加热时每分钟上升， ∴水温从加热到，所需时间为：，故A选项说法正确，不合题意； B、由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项说法正确，不合题意； C、当水温升至时，用时， 当水温降至时，，解得：， ∴在一个加热周期内水温不低于的时间为，故C选项说法错误，符合题意； D、在中，令，则， 即：每20分钟，饮水机重新加热， ∴上午10点接通电源，当天时饮水机是第二次加热， 把代入，得：， 即：时的水温为，不低于，故D选项说法正确，不合题意； 故选：C． 2．（2024·江苏南通·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，根据图象求出反比例函数的解析式，进而求出时，电阻R的值，根据增减性，求出电阻R应控制的范围即可． 【详解】解：由图象，设， 把代入，得：， ∴， 当时，， ∵随着的增大而减小， ∴如果以此器电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A时，； 故答案为：． 3．（2024·江苏连云港·中考真题）杠杆平衡时，“阻力阻力臂动力动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为和，动力为，动力臂为．则动力关于动力臂的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，根据题意可得，进而即可求解，掌握杠杆原理是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ∴，即， 故答案为：． 4．（2024·吉林·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）． (2)当电阻R为时，求此时的电流I． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用： （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出当时I的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设这个反比例函数的解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴这个反比例函数的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴此时的电流I为． ►题型04 分段问题 1．（2024·贵州黔东南·一模）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，继续巩固贵阳市生态文明建设的成果，贵阳市某工厂自今年1月开始限产进行技术升级，降低污染物排放，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，技术升级完成前是反比例函数图象的一部分，完成后是一次函数图像的一部分，下列选项正确的是（    ） A．月份的利润为万元 B．月份该厂利润达到万元 C．技术升级完成前后共有个月的利润低于万元 D．技术升级完成后每月利润比前一个月增加万元 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数的综合，根据题意，分别求出一次函数、反比例函数解析式，结合图示中的信息代入求值比较即可求解． 【详解】解：∵技术升级完成前是反比例函数图象的一部分，设反比例函数解析式为，且点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为：， 当时，，即， ∵完成后是一次函数图像的一部分，设一次函数解析式为，且点、在一次函数图象上， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为， ∴A、月份的利润为万元，原选项错误，不符合题意； B、当时，（万元）万元，原选项错误，不符合题意； C、∵完成后是一次函数图像的一部分， ∴， 解得，，且， ∴5月的利润低于万元； 技术升级完成前利用为100万元时，，则当时，这两个月的利润低于100万元； ∴技术升级完成前后有3月、4月、5月共3个月的利润低于 万元，故原选项错误，不符合题意； D、技术升级完成后的利润为， ∴（万元）， ∴技术升级完成后每月利润比前一个月增加 万元，故原选项正确，符合题意； 故选：D ． 2．（2024·湖南郴州·模拟预测）某数学小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求部分双曲线的函数表达式； (2)参照上述数学模型，假设某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，见解析 【分析】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象、待定系数法的应用是解题关键． （1）由待定系数法可以求出的函数表达式，从而得到点坐标，进一步得到点坐标，然后再利用待定系数法可以得到部分双曲线的函数表达式； （2）在部分双曲线的函数表达式中令，可以得到饮用低度白酒100毫升后完全醒酒的时间范围，再把题中某人喝酒后到准备驾车的时间间隔进行比较即可得解． 【详解】（1）解：设的函数表达式为，则： ， ， 的函数表达式为， 当时，， 可设部分双曲线的函数表达式为， 由图象可知，当时，， ， 部分双曲线的函数表达式为； （2）解：在中，令， 可得：， 解之可得：， 晚上到第二天早上的时间间隔为，， 某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上时体内的酒精含量高于20（毫克百毫升）， 某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上不能驾车出行． 3．（2024·贵州贵阳·一模）某天水温和室温均为，智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系，a分钟时水温下降到室温，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)当时，求出y与x之间的函数关系式； (2)求自动停止加热到水温降到室温的时间． 【答案】(1) (2)自动停止加热到水温降到室温的时间为32分钟 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解答本题的关键． （1）待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）先求出反比例函数解析式，再令代入解析式求出x值，最后即可． 【详解】（1）设加热过程中函数解析式为，点，在函数图象上， ，解得， 当时，y与x之间的函数关系式为：； （2）∵点在反比例函数图象上，设反比例函数解析式为， ， 反比例函数解析式为：， 当时，， 自动停止加热到水温降到室温的时间为：（分钟）， 答：自动停止加热到水温降到室温的时间为32分钟． 4．（2024·宁夏银川·三模）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少； (2)若大棚内的温度低于时，水果会受到伤害，问：这天内有多长时间水果生长不受伤害？ 【答案】(1)这个恒温系统设定的恒定温度为：． (2)这天内有小时水果生长不受伤害． 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数的应用，掌握待定系数法是关键． （1）设线段解析式为，根据图象求出函数解析式，再求出恒定温度即可； （2）根据图象可知整个图象由三部分组成：一次函数、反比例函数、恒温，根据题意设函数解析式，利用待定系数法即可求出反比例函数解析式；根据各时间段的函数解析式算出时的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：设线段解析式为， ∵线段过点，， ∴， 解得， ∴线段的解析式为： 当时，， ∴这个恒温系统设定的恒定温度为：． （2）解：根据解析（1）可知，线段的解析式为： 当时，， ∴B坐标为， ∴点C的坐标为， ∴线段的解析式为：， 设双曲线解析式为： ∵， ∴， ∴双曲线的解析式为：， ∵当时，， ∴， ∵当时，， ∴， ∴气温不低于的适宜温度是：． 答：这天内有小时水果生长不受伤害． ►题型05 几何问题 1．（2024·山西大同·模拟预测）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔，从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是如图所示的轴对称图形，是一个矩形，若以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，，上口宽，则整个冷却塔高度为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用——火电厂的双曲线型冷却塔．熟练掌握矩形性质，冷却塔的对称性，待定系数法求反比例函数解析式，根据自变量的值求函数值，是解决问题的关键． 设的解析式为，根据y轴垂直平分，，得到，根据，得到，得到，，根据和冷却塔的对称性得到点F的横坐标为8，得到，即得整个冷却塔高度为． 【详解】设的解析式为， ∵四边形是矩形， ∴， ∵y轴垂直平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点F的横坐标为8， ∴， ∴整个冷却塔高度为． 故选：A． 2.（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的一个动点，过点作轴交函数的图象于点，点、在轴上在的左侧，且，连接、，这关于四边形的面积的结论正确的是（  ） A． B． C． D．四边形的面积无法确定 【答案】A 【分析】先证得四边形是平行四边形，然后根据反比例函数比例系数k的几何意义得到，即可利用即可求解． 【详解】解：连接， ∵点P是函数图象上的一个动点，过点P作轴于D，交函数的图象于点Q， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴轴， ∴，， ∴， ∴四边形的面积为8， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 基础巩固 1．在平面直角坐标系中，下列各点在双曲线上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由反比例函数解析式可知：该图象上的点满足横纵坐标之积为，由此可排除选项． 【详解】解：A、由可知该点在反比例函数图象上，故符合题意； B、由可知该点不在反比例函数图象上，故不符合题意； C、由可知该点不在反比例函数图象上，故不符合题意； D、由可知该点不在反比例函数图象上，故不符合题意； 故选A． 2．下列各式中，y是x的反比例函数的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了反比例函数的定义，判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为 或为常数，．根据反比例函数的形式为：或，逐项判定即可． 【详解】解：A．， 一定是的反比例函数，故此选项符合题意； B．， 是的正比例函数不是反比例函数，故此选项不符合题意； C． 是的正比例函数不是反比例函数，故此选项不符合题意； D． 不是的反比例函数，故此选项不符合题意； 故选：A． 3．已知点，在反比例上，若．则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了判断反比例函数图象所在象限，已知双曲线分布的象限求参数范围等知识点，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 先根据题意得到，进而推出双曲线的图象经过第一、三象限，则，据此即可求出的取值范围． 【详解】解：∵点都在双曲线上，且，， ∴， ∴双曲线的图象两个分支分别在第一、三象限， ∴， ∴， 故选：A． 4．关于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过点 B．图象分布在第二、四象限 C．图象关于轴对称 D．随着的增大而增大 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：、当时，， ∴图象经过点，原选项正确，符合题意； 、由， ∴图象分布在第一、三象限，原选项不正确，不符合题意； 、图象关于成轴对称，关于原点中心对称，原选项不正确，不符合题意； 、由， ∴在每一象限内，随着的增大而减小，原选项不正确，不符合题意； 故选：． 5．已知反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．它的图象经过点 B．图象位于第一、三象限 C．它的图象不是中心对称图形 D．y随x的增大而增大 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质，当时，在每个象限内随的增大而增大的性质、反比例函数的图象是轴对称图象，和是它的对称轴，同时也是中心对称图形；熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数图象和性质是解答此题的关键．通过反比例图象上的点的坐标特征，可对A选项做出判断；通过反比例函数图象和性质、增减性、对称性可对其它选项做出判断，得出答案． 【详解】解：A、由点的坐标满足反比例函数，故A正确； B、由，反比例函数图象位于二、四象限，故B错误； C、由反比例函数的对称性，可知反比例函数关于直线和对称，是中心对称图形，故C错误； D、由反比例函数的性质，，在每个象限内，随的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故D错误． 故选：A． 6．已知函数中，在每个象限内，的值随的值增大而减小，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图像是（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质与正比例函数图象的性质，首先根据反比例函数图象的性质判断出k的范围，再确定其所在象限，进而确定正比例函数图象所在象限，即可得到答案． 【详解】解：∵函数中，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴，则， ∴双曲线在第一、三象限， ∴函数的图象经过第二、四象限， 故选：A． 7．如图，关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想和数形结合的思想解答． 根据题意和函数图象的特点，利用分类讨论的数学思想可以解答本题． 【详解】解：当时，函数的图象在第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限， 故选项B正确，选项C错误； 当时，函数的图象在第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，故选项A，D错误； 故选：B． 8．如图，直线与轴平行且与反比例函数（）与（）的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数值的几何意义，连接，易得，再利用分割法以及值的几何意义进行求解即可． 【详解】解：连接，设直线与轴交于点， ∵直线与轴平行， ∴， ∵直线与反比例函数（）与（）的图象分别交于点和点， ∴， ∴； 故选B． 9．如图，的直角顶点A在y轴上，点B的坐标为，将向右平移得到，反比例函数的图像经过点C和的中点F，则k的值是（  ） A．2 B．3 C．6 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象中点的坐标特征，平移的性质，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 设平移距离为a，如下图，分别表示出点C、F坐标，利用k的几何意义即可求解． 【详解】解：设平移距离为a，为平移后的图形， 则 又∵点F是中点 ∴ ∵点C、F在图像上， ∴ 解得 ∴ 故选：C． 10．如图1是某电路图，滑动变阻器的电阻为R，电功率为P，P关于R的反比例函数图象如图2所示．某同学通过调节电阻，发现当R从增加到时，电功率P减少了，则当时，（   ） ． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确求出P与R的函数关系式是解答本题的关键．根据反比例函数的图象的性质结合题意可得方程，据此可得P的值，进而得出的值，再把代入函数关系式解答即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得， ∴， ， 当时，， 即当时，P的值为， 故选：C． 11．若点，点均在反比例函数的图象上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象与性质，根据题意，将点，点代入反比例函数中，由相等得到关于的一元一次方程求解即可得到答案，熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：点，点均在反比例函数的图象上， ，解得， 故答案为：． 12．若y关于x的函数是反比例函数，则a的值为 ． 【答案】3 【分析】根据反比例函数，列出等式，不等式解答即可． 本题考查了反比例函数的定义，绝对值的应用，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数，且函数是反比例函数， ∴，且， ∴，且或， ∴， 故答案为：3． 13．已知点，都在反比例函数（是常数）的图象上，且，则，大小关系为 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．由题意可知，，那么图象在一，三象限，在每个象限内，随的增大而减小，从而得到答案． 【详解】解： 图象在一，三象限，在每个象限内，随的增大而减小 故答案为：． 14．如果反比例函数（是常数，）的图象位于第二、四象限，那么 ．（只需写一个数值） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的性质,熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键：反比例函数，当时，函数过一、三象限；当时，函数过二、四象限． 根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：反比例函数（是常数，）的图象位于第二、四象限， ， 写出其中一个数值， 故答案为：（答案不唯一）． 15．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则整数k可以是 （填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的性质．反比例函数的图象位于第二、四象限，比例系数，即，根据k的取值范围进行选择． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴，即． 故答案为：4（答案不唯一）． 16．如图，点M，N在的图象上，分别过点M，N作坐标轴的垂线，若，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，欲求，只要求出过M、N两点向x轴、y轴作垂线段求出与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为反比例函数的系数4，然后根据求得即可． 【详解】解：∵点M，N在反比例函数的图象上，分别经过M、N两点向x轴、y轴作垂线段， 则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于， 即，， ∵， ∴， 故答案为：4． 17．如图，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，点是点关于轴的对称点，连接，若的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，反比例函数比例系数的几何意义，求出的面积是解答本题的关键． 连接，根据点与点关于轴对称，求出，再根据三角形中线平分三角形的面积和反比例函数系数的几何意义可求出的值． 【详解】解：连接， 点与点关于轴对称， ， ， 的面积为， ， ， 又反比例函数的图象在第二象限， ， 故答案为：． 18．已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数的图象经过第 象限．    【答案】一、三 【分析】此题主要考查了一次函数以及反比例函数的图象综合判断，直接利用一次函数图象经过的象限得出a的符号，进而结合反比例函数图象的性质得出答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一，第三象限， ∴， ∴反比例函数的图象经过第经过一、三象限， 故答案为：一、三． 19．在一次研学活动中，张老师带领同学们利用落叶堆烤红薯，首先将红薯埋在落叶堆中，在确保消防安全的前提下将落叶点燃，落叶堆点燃后徐徐燃烧，经测算落叶堆内部温度和时间的函数关系如图，首先落叶堆内部温度以每分钟上涨的速度匀速升高，达到后，温度维持不变一段时间，然后落叶堆熄灭，温度缓缓降低，直至冷却，已知在落叶堆熄灭后，温度是时间的反比例函数，且在第108分钟时，温度降为，同学们通过查阅资料得知，当温度满足时，红薯中的淀粉可以在淀粉酶的作用下更快的被分解为麦芽糖，增加了红薯的甜度，此过程称为糖化过程．则在这次烤红薯的过程中，糖化过程时长为 分钟． 【答案】52 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，求出反比例函数的解析式，求出温度上升至和下降到时的时间，进行求解即可． 【详解】解：设反比例函数的解析式为：， 由图象，把点代入，得：， ∴， 当时，， ∵刚燃烧时，落叶堆内部温度以每分钟上涨的速度匀速升高， ∴当温度上升到时，所需时间为：， ∴糖化过程时长为； 故答案为：． 20．已知：反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点． (1)求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支； (2)求当，且时，自变量x的取值范围． 【答案】(1)，画图见详解 (2)或 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数关系式，利用图象及反比例函数性质解不等式，掌握解法是解题的关键． （1）把点代入，即可求出，再根据表达式补全图象，即可求解； （2）根据图象即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得， 解得：， ∴反比例函数的表达式为， 补充其函数图象如下： （2）解：当时，， 由图象得当时，， 当时，， 当，且时，或． 21．如图，某工程队承接了一项开挖水渠的工程，所需天数（天）是每天完成的工程量（米/天）的反比例函数，其图象经过点． (1)求与的函数关系式． (2)当每天完成米时，求该工程队完成工程所需的时间． (3)若完成工程的天数小于天，则该工程队每天完成的工程量的取值范围是______． 【答案】(1) (2)天 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，根据自变量取值求函数值，解不等式等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）设出反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）求出当时的值即可； （3）根据反比例函数图象即可求解． 【详解】（1）解：设， 点在其图象上， ， ， 与的函数关系式为； （2）解：当时，， 答：该工程队完成工程所需的时间为天； （3）解：根据反比例函数图象知：若完成工程的天数小于天，则， 故答案为：． 22．一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，其中． (1)求a的值以及点B的坐标； (2)结合图象，直接写出时，x的取值范围； (3)若点P在x轴上，且是直角三角形，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数和反比例函数综合应用，待定系数法求反比例函数解析式，已知自变量值求函数值，直角三角形性质等． （1）将代入即可求出，再将代入，即可得到反比例函数表达式为，再将两个函数联立方程组即可得到本题答案； （2）观察图象可得本题答案； （3）根据题意可知分两种情况讨论，①当时和②当时，利用直角三角形性质分别求解即可． 【详解】（1）解：将代入， 得，， ， ， 将代入，得，， ， 反比例函数表达式为； 联立，解得，，或， ； （2）解：观察图象可得：当时，； （3）解：①当时，轴， ； ②当时， 如图，过点作轴于点， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述：或． 能力提升 1．反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴，交的图象于点，轴，交的图象于点．当点在的图象上运动时，以下结论：①和的面积相等；②与始终相等；③四边形的面积不会发生变化；④当时，．其中一定正确的是（   ） A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义、反比例函数的图象以及反比例函数图象上点的坐标特征；由点均在反比例函数的图象上，利用反比例函数系数的几何意义即可得，即可判断①；设点的坐标为，则点的坐标为，点，求出的长度，由此可得出与的关系无法确定，即可判断②；利用分割图形求面积法即可得出，即可判断③；设点的坐标为，则点的坐标为，点，由点可得出，将其代入点的坐标即可得出，即可判断④． 【详解】解：①∵点在反比例函数的图象上，且轴，轴， ∴，， ∴，故①正确； ②设点的坐标为，则点的坐标为，点， ∴，， ∵与的关系无法确定，故结论②错误； ③∵点在反比例函数的图象上，且轴，轴， ∴， ∴，故结论③正确； ④设点的坐标为，则点的坐标为，点， ∵，则， ∴， ∴点的坐标为，， ∴，即故结论④正确； ∴正确的结论为①③④， 故选：D． 2．如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为（    ） A．8 B．12 C．15 D． 【答案】C 【分析】本题考查反比函数系数的几何意义，图形与坐标，根据长方形的性质得，，，继而得出轴，轴，根据三角形的面积及反比函数系数的几何意义得，，推出，继而得到，，，再根据即可得解．求出、的长是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是长方形，，， ∴，，， ∴轴，轴， ∵反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，、的面积分别为、，， ∴，， ∴， 解得：， ∴，，即，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ∴， ∴的面积为． 故选：C． 3．已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点．若对于，，都有，则的取值范围是（　　） A．或 B．且， C．或 D．且， 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质．由题意得，反比例函数的图象在二、四象限或一、三象限，分两种情况讨论，即可求得的取值范围． 【详解】解：对于，未知，需分类讨论， 当时，反比例函数的图象在一、三象限，此时， ∴， ∵， ∴点和都在第一象限的图象上，且和都大于0， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 解得，即； 当时，反比例函数的图象在二、四象限，此时， 由图象可知，时，， ∴点在第四象限的图象上， 对于分类讨论， 当时，，此时点在第四象限的图象上，随的增大而增大， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，即； 当时，，此时点在第二象限的图象上， 则，， ∴，， ∵，， 取点关于原点的中心对称点，则点， ∵， ∴，此时点和点都在第二象限的图象上，随的增大而增大， ∵， ∴， ∴， 解得，即； 当时， ∴，此时点不在反比例函数的图象上，舍去， 综上，且，， 故选：D． 4．如图，点，都是反比例函数在第二象限的图象上的点，且，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，方程思想，掌握以上内容并作出恰当辅助线是解题关键． 作于点，过作轴，过作于点，证明，则，，设点坐标为，由，，建立方程组，解得，故，则直线解析式为，联立可得的坐标． 【详解】如下图所示，作于点，过作轴，过作于点， ∵，从而可得， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，则反比例函数中比例系数，即， 设点坐标为， 则，解得， ∴， ∴则直线解析式为， ∴联立，可得（正值舍去）， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 5．已知是直线上两点，分别过点和点作轴，和分别交双曲线于点和点，连接． （1）直线和双曲线的交点坐标为 ； （2）若，则的值为 ． 【答案】 8 【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的综合问题，几何与反比例函数综合问题，运用数形结合思想解题是解题的关键． （1）令解得，舍去负值并计算出y值即可得解； （2）延长和分别交轴于点和点，设， ．同理设，则．利用得出，运用勾股定理求出，，从而代入中整体代换消去字母得解． 【详解】解：（1）根据题意，得， 解得或(舍去)， 则， 直线和双曲线的交点坐标为． （2）如图，延长和分别交轴于点和点． 则，，即和都是等腰直角三角形． 设，则， ． 同理设，则， ． 又， ，两边同时平方，得， 即． 在中，， 同理， ， 故答案为：（1）；（2）8． 6．在平面直角坐标系中，已知四边形为矩形，其中，． (1)当反比例函数的图象和矩形有交点时，的最大值为________．（请直接写出结果） (2)如图，反比例函数的图象与，分别交于点，，连接． ①当时，求的面积； ②连接，判断与是否平行？并说明理由． 【答案】(1)12 (2)①；②，见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何的综合、矩形的性质、反比例函数的性质、一次函数的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）由反比例函数的性质可得，再根据反比例函数图矩形有交点，即，进而得到时，求出k有最大值即可； （2）①根据题意可得、；①如图：连接．根据可得、，即、、，然后运用割补法即可解答；②先分别求出直线解析式，然后根据一次项系数即可判定． 【详解】（1）解：∵反比例函数， ∴， ∵反比例函数的图象和矩形有交点， ∴， ∴当时，k有最大值． （2）解：∵，且四边形为矩形， ∴． ∴． ∵反比例函数的图象与分别交于点D，E， ∴，， ①如图：连接． ∵， ∴，， ∴，，． ∴ =． ②与相互平行，理由如下： 如图：连接． ∵， ∴设直线的表达式为． ∴，解得：． ∴直线AC的表达式为， ∵，， 设直线的表达式为， ∴，解得：． ∴直线的表达式为， ∵， ∴直线可以由直线经过平移得到． ∴． 7．【问题提出】我们知道，利用尺规可以平分任意一个角，从而可以把一个角四等分、八等分…那么，能否用尺规三等分一个任意角呢？ 【查阅资料】古希腊数学家帕普斯结合反比例函数图象，实现尺规作图三等分任意角，方法如下： ①如图1，建立平面直角坐标系，将的顶点O与原点重合，边与x轴的正半轴重合，在第一象限内； ②在平面直角坐标系中，画出函数的图象，图象与交于点 D； ③以D为圆心、长为半径作弧，交函数的图象于点E； ④分别过点D、E作x轴、y轴的平行线，两线交于点 P，连接，此时有． 【问题探究】小明在以上资料的启示下，进行了如下探究，用尺规三等分一个角．如图2，以线段中点O为原点，x轴的正方向与角的一边平行，建立平面直角坐标系，过点B作y轴的平行线，在平行线上取一点M，连接并延长，与射线交于点N，记中点为． （1）与的数量关系为： ； （2）在探究过程中，小明发现取点A坐标为时，点P坐标与点M坐标满足下列表格关系： 点M坐标 点P坐标 ①请将表格补充完整，并尝试在图2给出的网格图中描出点P的坐标，画出它的大致图象； ②根据图象猜想y关于x的关系式（不需要写出x的取值范围），并证明你的猜想； （3）若点A坐标为，直接写出y关于x的关系式： （不需要写出x的取值范围）． 【问题解决】在图2中，利用上述你画出的图象，用尺规作图将 三等分，叙述作法并说明理由． 【答案】（1）；（2）①见解析；②，证明见解析；（3）；问题解决：见解析，理由见解析 【分析】（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得到是等腰三角形，即可得出结果； （2）①利用待定系数法求出直线的解析式，再令直线解析式的函数值为，求出点N的坐标，最后利用中点坐标公式即可解答；②同理①，即可得出结果； （3）同理（2）即可得出结果； 问题解决：根据材料，利用等腰三角形的性质矩形的性质结合三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：（1）根据题意得： ，点P为的中点， ∴， ∴是等腰三角形， ∴； （2）①设直线的解析式为， 当时，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 根据题意：点N的纵坐标为， 令，解得：， ∴， ∵点P为的中点， ∴， ∴， ∴ 点M坐标 点P坐标 函数图象如下： ②猜想y关于x的关系式为，证明如下： 设直线的解析式为，， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 根据题意：点N的纵坐标为， 令，解得：， ∴， ∵点P为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴点中，， ∴y关于x的关系式为； （3）由（2）得：两点在同一反比例函数图象上， ∴； 问题解决： 如图：①将函数的图象向下平移3个单位，再向左作平移1个单位，使的函数图象过点O； ①以O为圆心、长为半径作弧，交平移后的函数图象于点E； ③过点E作x轴、y轴的平行线，交x轴、y轴于点，连接，交点为 ∵四边形是矩形 ∴， 由题知 ． 【点睛】本题考查反比例函数的综合题，熟练掌握反比例函数的性质，一次函数的解析式，矩形的性质，待定系数法求解析式等知识是解题的关键． $$