寒假学练手册3-【新课程寒假作业】2024-2025学年九年级理综

N JI CE AB=3,由翻折可知AF=AB,EF=BE=3, 时，设菱形的边长为m CD DG ∠AFE=∠B=90°，÷.AD=AF,∠AFP=∠D=90 DG/AB.∴CA=AB 3-m m 在RI△AFP和R△ADP中， JAP=AP:R△AFP9 5解得m。 A(E AF AD. 3 图2 Rt△ADP(HL),.PF=PD.设PF=PD=x, 则CP=CD-PD=6-x,EP=EF+FP=3+x,在 8,CD=3- 1 159 8-8 R△PEC中，根据勾股定理得EP=EC+CP严，∴(3 如图3中，当四边形 +x)尸=3+(6-x)2,解得x=2,则DP的长度为2 DEBG是菱形时，设菱 B(F) 5.(1)解：四边形ABCD是垂美四边形.理由： 形的边长为n.,DG&AB. AB=AD,点A在线段BD的垂直平分线上 CG_DG 4-n CB=CD,点C在线段BD的垂直平分线上.，直 CB AB· 图3 4 20 2016 线AC是线段BD的垂直平分线，.ACLBD,即四边形 51 六.n= 9 CG=4- 9 ∴.CD= ABCD是垂美四边形.(2)垂美四边形的两组对边 的平方和相等如图2，已知四边形ABCD中，AC1 20 16 BD,垂足为E.求证：AD+BC=AB+CD.证明： 9 -9 =3 观察图象可知：当0≤CD< .'AC⊥BD,',∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=9OP 36 9 由勾股定理得，AD?+BC=A+D+BE+CE 菱形的个数为0，当CD= 37 <CD≤8时. AB CD AE+BE+CE+DE,..AD+BC= 3 9 AB2+CD.(3)解：连接CG,BE,∠CAG= 或 37 8 <CD≤3时， 菱形的个数为1，当茄、 ∠BAE=90°...∠GAB=∠CAE...△GAB≌△CAE, ,∠ABG=∠AEC.又∠AEC+∠AME=90°，∴∠ABG+ CD≤。时，菱形的个数为2， ∠AME=90°，即CE⊥BG,∴，四边形CGEB是垂美四 第8页：1.C2.83.(1)证明：在矩形 边形，由(2)得，CG+BE=CB+GE.AC= ABCD中，AB=4,BC=2,..CD=AB=4,AD= 4,AB=5,.BC=3,CG=4V2,BE=5V2 ..GE=CG+BE2 CB2 =73,..GE=\73. BD=2.CD/AB,∠D=∠B=90.BE=DF=3 .CF=AE=4 2=2六AF=CE=22+ 3.5 3 AF=CF=CE=AE=),四边形AECF是羹 2 形 (2)解：过点F作FH⊥AB于点H,则四边形 图2 图3 第7页：1.D2.523.证明：(1)在4M0B与 D是矩形，AM=DF=子 FH=AD=2..EH= ∠AB0=∠DC0=90°. 53 △DOC中， 0B=0C. .△AOBg△DOC 2-21F+==V5. ∠AOB=∠DOC. (ASA),OA=OD,又E,F分别是AO,DO的 中点，0E=0F.(2)OB=0C,OF=0E ,四边形BECF是平行四边形，BC=2OB,EF- 2OE.E为A0的中点，∠AB0=90°，.EB= H E0=EA,·.∠A=30°，.∠B0E=60°，.△B0E 4.解：(1)67.5、2(2)四边形EMGF是 是等边三角形，OB=OE,∴BC=EF,.四边形 矩形.理由如下：四边形ABCD是正方形，÷∠B= BECF是矩形. ∠BCD=∠D=90°，由折叠的性质得∠BCE= 4.(1)证明：：DE=DG,EF=DE,DG= ∠ECA=∠ACF=∠FCD,CM=CG,∠BEC=∠NEC= EF.DGREF,四边形DEFG ∠NFC=∠DFC,∴.∠BCE=∠ECM=∠ACF=∠FCD= 是平行四边形.DG=DE,.四 909 =22.5°，∠BEC=∠NEC=∠NFC=∠DFC= 边形DEFG是菱形.(2)解： 4 如图1中，当四边形DEFG是正 67.5°，由折叠可知，MH,GH分别垂直平分EC 方形时，设正方形的边长为x,在 FC,∴，MC=ME=CG=GF,∴，∠MEC=∠BCE RBt△ABC中，∠C=90°，AC= 图 22.5°，∠GFC=∠FCD=22.5°，∴∠MEF=90°， 3.BC=4,AB=V3+平=5，则CD=,AD= ∠GFE=90°.，∠MCG=90°，CM=CG,∴.∠CMG= 45°，∠BME=∠BCE+∠MEC=22.5°+22.5°= 5 3. 0 45°，·.∠EMG=180°-∠CMG-∠BME=90°，..四 AD+CD=AC,+子=3，x=3 边形EMGF是矩形.(3)EMCH或FGCH解析： ..CD= 336 5-37 观察图象可知：0≤CD< 时。 连接EH,FH,如图所示.，由折叠可知，MH,GH分 别垂直平分EC,FC,同时EC,FC也分别垂直平分 菱形的个数为O.如图2中，当四边形DAEG是菱形 MH,GH,∴.四边形EMCH与四边形FCCH是菱形. 6 九年级理科综合 OF.OE =0A...0A OC OE=OF.AC= EF,又AC⊥EF,,四边形AECF是正方形 5.解：(1）猜想：∠MBN=30°，证明：如图1中 连接AN,直线EF是AB的垂直平分线，.NA=NB, 由折叠可知，BN=AB,.AB=BN=AN,,△ABN是 等边三角形，∠ABN=60°，.∠NBM=∠ABM= ∠ABN=30°，(2)结论：MN=。BM.折纸方案： 第9页：1.C2.43.(1)解：四边形 如图2中，折叠△BMN,使得点N落在BM上点O处，折 ABCD是菱形，.AC⊥BD且AO=CO,BO=DO,: 痕为MP.连接OP.理由：由折叠可知△MOP≌△MNP ∠ABC=60°，，·.∠AB0=30°，∠A0B=90°..·AB= 10,∴.A0=5.B0=53...AC=2A0=10,BD= MN=0M,∠OMP=∠NMP=2∠0MN=30= 2B0=10V3,:菱形ABCD的面积=7AC×BD=2× ∠B,∠M0P=∠MNP=90°..∠BOP=∠MOP= 90°.，0P=0P:∴.△M0Pe△B0P,∴.M0=B0= 10×10v3=503.(2)证明：如图，连接EC 2BM,六MN=2BM D 0 图1 图2 第11页：1.D2.20203.04.解：(1)由 设∠BAE的度数为x,,·四边形ABCD为菱形 关于x的方程(k+1)xX+1+(k-3)x-1=0是一元 ,BD是AC的垂直平分线，∴.AE=CE,∠AED= 一次方程，得低+1=0，。 2+1=1, ∠CED,∠EAC=∠ECA=60°-x,∠ABD=30° -30.或k+1+k二30. 解得 ∴.∠AED=∠CED=30P+x,.∴.∠DEF=∠AEF-∠AED= k=-1或k=0.当k=-1或k=0时，关于x的方程 120°-(30°+x)=90°-x∠BDC=。∠ADC=30°， (k+1)x1+(k-3)x-1=0是一元一次方程 (2)由关于x的方程(k+1)x1+(k-3)x-1=0 .∴.∠EFC=180P-(∠DEF+∠BDC)=180°-(90P-x+ 30°)=x+60°，∠CED=30°+x,.∠ECD= 是一元二次方程， 得+12解得=1.当=1 k+1*0, 180°-（∠CED+∠BDC)=180°-(30°+x+30°）= 120°-x,.∠ECF=180°-∠ECD=180°-(120° 时，关于x的方程（屠+1）x+1+(k-3)x-1=0是 x)=x+60P,∴.∠EFC=∠ECF,,∴，EF=EC,,AE= 一元二次方程.5.解：(1)设矩形ABCD的边AB= CE...AE=EF. xm,则边BC=70-2x+2=(72-2x)m.根据题意 4.解：(1)上述结论①②仍然成立.理由如下： 得x(72-2x)=640,化简，得x2-36x+320=0. :四边形ABCD为正方形，AD=DC,∠BCD= 解得x1=16.3=20,当x=16时，72-2x=72- ∠ADC=90°，∴.△ADF≌△DCE(SAS),,AF=DE, 32=40:当x=20时，72-2x=72-40=32.答：当 ∠DAF=∠CDE.,·∠ADG+∠EDG=90° .∴.∠ADG+ 羊圈的长为40m,宽为16m或长为32m,宽为20m ∠DAF=90°，.∠AGD=90P,即AF⊥DE (2)上述 时，能围成一个面积为640m的羊圈.(2)不能 结论①②仍然成立，理由如下： 理由：由题意，得x(72-2x)=650,化简，得2 .:四边形ABCD为正方形.，AD=DC 36x+325=0.4=(-36)2-4×325=-4<0.. ∠ADC=∠BCD=90°，.∴.△ADF≌ 一元二次方程没有实数根，∴羊圈的面积不能达 △DCE(SAS).,∴.AF=DE.∠F=∠E 到650m2. '∠ADG+∠EDC=90°，，∠ADG+ 第12页：1.D2.0(答案不唯一）3.(x-1) ∠DAF=90°，.∠AGD=90°，即 (x-2)=184.解：2-6a+2-106+e2-8c+ AF⊥DE.(3)四边形MNPO是正 50=0,∴a2-6a+9+2-106+25+c2-8c+16= 方形，理由如下：如图，设MQ, 0,即(a-3)2+(b-5)2+(c-4)2=0,∴a=3 DE分别交AF于点G,O,PO交DE b=5,c=4,.△4BC的周长=3+4+5=12.5 于点H,点M,N,P,Q分别为AE,EF,FD,AD (1)换元(2)解：设m+n2=y,则原方程变形 为(y-2)y=8,整理，得(y-4)(y+2)=0,解得 的中点，六MQ=PN=DE,PQ=MN=)AF, y=4或y=-2(舍去)，即m2+m2=4. MQ/DE,PO/AF,∴.四边形OHQG是平行四边形 第13页：1.A2.-63.m<14.解：(1)设 AF=DE,六MQ=PQ=P=MN,∴.四边形MN- 这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x,由 PQ是菱形.AF⊥DE,·.∠AOD=90°，÷.∠HQG= 题意.得1.6(1+x)2=2.5,解得x=0.25=25%(负 ∠AOD=90°，，四边形MNPQ是正方形 值已舍掉).答：这两个月中该景区游客人数的月平 第10页：1.D2.60°3.3V24.证明：四 均增长率为25%.(2)设5月后10天日均接待游 边形ABCD是菱形，.OA=OC,OB=OD且AC⊥ 客人数是y万人，由题意，得2.125+y≤2.5(1+ BD,又·BE=DF,.OB-BE=OD-DF,即OE= 25%),解得y≤1.，.5月后10天日均接待游客人数九年级理科综合 优能训练园 探究应用园 1.如图，在四边形ABCD中， 4.如图1，在Rt△ABC中，∠C= AB∥CD,若添加一个条件，使四边形 90°，AC=3,BC=4.求作菱形DEFG, ABCD为平行四边形，则下列条件正确 使点D在边AC上，点E,F在边AB上， 的是（) 点G在边BC上. 小明的作法：①如图2，在边AC 上取一点D,过点D作DG/AB交BC于 点G;②以点D为圆心，DG长为半径 A.AD=BCB.∠ABD=∠BDC 画弧，交AB于点E;③在EB上截取 C.AB=ADD.∠A=∠C EF=ED,连接FG,则四边形DEFG为 2.菱形ABCD的对角线AC与BD相 所求作的菱形 交于点0，AC=24,BD=10,则菱形 (1)证明小明所作的四边形DEFG是 ABCD的周长是 菱形。 3.如图，AD和BC相交于点O, (2)小明进一步探索，发现可作出 ∠AB0=∠DC0=90°，OB=0C.点E, 的菱形的个数随着点D的位置变化而变 F分别是A0,D0的中点. 化…请你继续探索，直接写出菱形的 个数及对应的CD的长的取值范围 (1)求证：OE=OF (2)当∠A=30°时，求证：四边 形BECF是矩形. 到。 N JI 优能训练园 展开铺平.再沿过点C的直线折叠，使点 B,点D都落在对角线AC上.此时，点B 1.如果顺次连接四边形的各边中点 与点D重合，记为点N,且点E,点N, 得到的四边形是矩形，那么原来四边形 点F三点在同一条直线上，折痕分别为 的对角线一定满足的条件是( ) CE,CF.如图2 A.互相平分 B.相等 第二步：再沿AC所在的直线折 C.互相垂直 D.互相垂直平分 叠，△ACE与△ACF重合，得到图3. 2.如图，在△ABC中，AB=AC= 第三步：在图3的基础上继续折 5,BC=4V5,D为边AB上一动点(B 叠，使点C与点F重合，如图4.展开 点除外)，以CD为一边 铺平，连接EF,FG,GM,ME.如图 作正方形CDEF,连接 5,图中的虚线为折痕 BE,则△BDE面积的最 【问题解决】 大值为 (1)在图5中，∠BEC的度数是 3.如图，矩形ABCD中，AB=4, BC=2,点E,F分 的值是 AE 别在AB,CD上， (2)在图5中，请判断四边形EMGF 且BE=DF2 的形状，并说明理由。 (1)求证：四边形AECF是菱形 (3)在不增加字母的条件下，请 (2)求线段EF的长. 你以图中5中的字母表示的点为顶点， 动手画出一个菱形（正方形除外），并 写出这个菱形： F(E) 探究应用园 图 图2 图3 4.综合与实践 【动手操作】 第一步：如图1，正方形纸片 ABCD沿对角线AC所在的直线折叠， 图4 图5