22.1.4　二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象和性质 第2课时　用待定系数法求二次函数解析式　作业　 2024～2025学年人教版九年级数学上册　

*第2课时　用待定系数法求二次函数解析式（原卷版） 1．一般式y＝ax2＋bx＋c：已知图象上任意三点坐标或__三__对x，y值，分别代入一般式，可以求得函数解析式． 2．顶点式y＝a(x－h)2＋k：已知抛物线__顶点__坐标和另__一__点坐标，可求得解析式． 3．交点式y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1，x2是图象与x轴两交点的横坐标，适合此特点的抛物线设为交点式． 知识点1：利用“一般式”求二次函数解析式 1．已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)，则该函数的解析式为 （ ） A．y＝－6x2＋3x＋4 B．y＝－2x2＋3x－4 C．y＝x2＋2x－4 D．y＝2x2＋3x－4 2．(核心素养·推理能力)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值如下表： x －7 －6 －5 －4 －3 －2 y －27 －13 －3 3 5 3 则此二次函数的解析式为y＝－2x2－12x －13. 3．(教材P40T1变式)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝1；当x＝－1时，y＝6；当x＝1时，y＝0，求这个二次函数的解析式． 知识点2：利用“顶点式”求二次函数解析式 4．如果抛物线的顶点坐标是(3，－1)，与y轴的交点是(0，－4)，则它的解析式是 （ ） A．y＝－x2－2x－4 B．y＝－(x＋3)2－1 C．y＝－x2＋2x－4 D．y＝－x2＋6x－12 5．已知二次函数当x＝－1时，y有最大值是－4，且当x＝1时函数y的值是－8，则此二次函数的解析式为y＝－(x＋1) 2－4. 6．已知二次函数y＝a(x－h)2，当x＝2时有最大值，且此函数的图象经过点(1，－3)，求此二次函数的解析式，并指出当x为何值时，y随x的增大而增大？ 知识点3：利用“交点式”求二次函数解析式 7．如图是一条抛物线，则其对应的函数解析式为 （ ） A．y＝x2－2x＋3 B．y＝x2－2x－3 C．y＝x2＋2x＋3 D．y＝x2＋2x－3 8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(－3，0)，点B(1，0)和点C(－1，4)，则它的解析式为y＝－x2 －2x＋3. 易错点：只考虑二次函数开口向上的情况，漏掉开口向下的情况 9．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点为(－1，0)，(3，0)，其形状与抛物线 y＝－2x2相同，则该二次函数的解析式为y＝－2x2＋4x＋6或y＝2x2－4x －6. 10．如图，抛物线y＝－x2＋2x＋c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B且OA＝OB，则c的值为 （ ） A．0 B．1 C．2 D．3 11．(陕西中考)下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … －2 0 1 3 … y … 6 －4 －6 －4 … 下列各选项中，正确的是 （ ） A．这个函数的图象开口向下 B．这个函数的图象过点(4，6) C．这个函数的最小值小于－6 D．当x>1时，y的值随x值的增大而增大 12．已知抛物线的顶点在x轴上，且当x＝0和x＝4时，函数y的值都是－2，则此抛物线的解析式是. 13．(浠水期中)已知抛物线在x轴上截得的线段长是4，对称轴是x＝－1，且过点(－2，－6)，求该抛物线的解析式． 14．(襄州区月考)如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线y＝－x＋m相交于第一象限内不同的两点A(4，n)，B(1，4)． (1)求此抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在点P，使直线OP将 线段AB平分？若存在，直接求出P点的坐标； 若不存在，请说明理由． 【模拟演练】 15．(红安县期末)有一条抛物线，三位学生分别说出了它的一些性质： 甲说：对称轴是直线x＝2； 乙说：与x轴的两个交点距离为6； 丙说：顶点与x轴的交点围成的三角形面积等于9.请写出满足上述全部条件的一条抛物线的解析式：. *第2课时　用待定系数法求二次函数解析式（解析版） 1．一般式y＝ax2＋bx＋c：已知图象上任意三点坐标或__三__对x，y值，分别代入一般式，可以求得函数解析式． 2．顶点式y＝a(x－h)2＋k：已知抛物线__顶点__坐标和另__一__点坐标，可求得解析式． 3．交点式y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1，x2是图象与x轴两交点的横坐标，适合此特点的抛物线设为交点式． 知识点1：利用“一般式”求二次函数解析式 1．已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)，则该函数的解析式为 （ ） A．y＝－6x2＋3x＋4 B．y＝－2x2＋3x－4 C．y＝x2＋2x－4 D．y＝2x2＋3x－4 答案：D 2．(核心素养·推理能力)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值如下表： x －7 －6 －5 －4 －3 －2 y －27 －13 －3 3 5 3 则此二次函数的解析式为y＝－2x2－12x －13. 答案：y＝－2x2－12x－13 3． (教材P40T1变式)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝1；当x＝－1时，y＝6；当x＝1时，y＝0，求这个二次函数的解析式． 解：依题意得 解得 ∴这个二次函数的解析式为y＝2x2－3x＋1. 知识点2：利用“顶点式”求二次函数解析式 4．如果抛物线的顶点坐标是(3，－1)，与y轴的交点是(0，－4)，则它的解析式是 （ ） A．y＝－x2－2x－4 B．y＝－(x＋3)2－1 C．y＝－x2＋2x－4 D．y＝－x2＋6x－12 答案：C 5．已知二次函数当x＝－1时，y有最大值是－4，且当x＝1时函数y的值是－8，则此二次函数的解析式为y＝－(x＋1) 2－4. 答案：y＝－(x＋1)2－4 6． 已知二次函数y＝a(x－h)2，当x＝2时有最大值，且此函数的图象经过点(1，－3)，求此二次函数的解析式，并指出当x为何值时，y随x的增大而增大？ 解：依题意知h＝2， ∴y＝a(x－2)2， ∵点(1，－3)在抛物线上， ∴a＝－3.∴y＝－3(x－2)2， 当x<2时，y随x的增大而增大． 知识点3：利用“交点式”求二次函数解析式 7．如图是一条抛物线，则其对应的函数解析式为 （ ） A．y＝x2－2x＋3 B．y＝x2－2x－3 C．y＝x2＋2x＋3 D．y＝x2＋2x－3 答案：B 8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(－3，0)，点B(1，0)和点C(－1，4)，则它的解析式为y＝－x2 －2x＋3. 答案：y＝－x2－2x＋3 易错点：只考虑二次函数开口向上的情况，漏掉开口向下的情况 9． 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点为(－1，0)，(3，0)，其形状与抛物线 y＝－2x2相同，则该二次函数的解析式为y＝－2x2＋4x＋6或y＝2x2－4x －6. 答案：y＝－2x2＋4x＋6或y＝2x2－4x－6 10．如图，抛物线y＝－x2＋2x＋c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B且OA＝OB，则c的值为 （ ） A．0 B．1 C．2 D．3 答案：D 11．(陕西中考)下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … －2 0 1 3 … y … 6 －4 －6 －4 … 下列各选项中，正确的是 （ ） A．这个函数的图象开口向下 B．这个函数的图象过点(4，6) C．这个函数的最小值小于－6 D．当x>1时，y的值随x值的增大而增大 答案：C 12． 已知抛物线的顶点在x轴上，且当x＝0和x＝4时，函数y的值都是－2，则此抛物线的解析式是. 答案：y＝－(x－2)2 13．(浠水期中)已知抛物线在x轴上截得的线段长是4，对称轴是x＝－1，且过点(－2，－6)，求该抛物线的解析式． 解：∵抛物线的对称轴为x＝－1，在x轴上截得的线段长为4， ∴抛物线与x轴的交点坐标为(－3，0)，(1，0)． 设抛物线的解析式为y＝a(x＋3)(x－1)， 把(－2，－6)代入，得 a·(－2＋3)×(－2－1)＝－6， 解得a＝2， ∴抛物线的解析式为y＝2(x＋3)(x－1)，即y＝2x2＋4x－6. 14．(襄州区月考)如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线y＝－x＋m相交于第一象限内不同的两点A(4，n)，B(1，4)． (1)求此抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在点P，使直线OP将 线段AB平分？若存在，直接求出P点的坐标； 若不存在，请说明理由． 解：(1)把B(1，4)代入 y＝－x＋m，得m＝5， ∴直线的解析式为 y＝－x＋5，∴A(4，1)， 把A(4，1)，B(1，4)代入 y＝－x2＋bx＋c，得 解得 ∴此抛物线的解析式为y＝－x2＋4x＋1. (2)存在，设P点坐标为(m，－m2＋4m＋1)， ∵线段AB的中点E的坐标为， ∴直线OP的解析式为y＝x， ∴m＝－m2＋4m＋1， 解得m＝或m＝， ∴P点的坐标为或. 【模拟演练】 15．(红安县期末)有一条抛物线，三位学生分别说出了它的一些性质： 甲说：对称轴是直线x＝2； 乙说：与x轴的两个交点距离为6； 丙说：顶点与x轴的交点围成的三角形面积等于9.请写出满足上述全部条件的一条抛物线的解析式：. 答案：y＝－(x－2)2＋3或y＝(x－2)2－3 学科网（北京）股份有限公司 $$