寒假学练手册2-【新课程寒假作业】2024-2025学年九年级理综

九年级理科综合 优能训练园 金 探究应用园 1.下列说法中，正确的有( 5.把边长为2的正方形纸片ABCD ①对顶角相等②两直线平行， 分割成如图的四块，其中点O为正方形 同旁内角相等 ③对角线互相垂直的 的中心，点E,F分别为AB,AD的中 四边形为菱形 ④对角线互相垂直平 点.用这四块纸片拼成与此正方形不全 分且相等的四边形为正方形 等的四边形MWPQ(要求这四块纸片不 A.1个 B.2个 重叠、无缝隙)，请你动手拼一拼，并 C.3个 D.4个 算出你所拼出的四边形MNPQ的周长. 2.一个正多边形每个内角与它相 邻外角的度数比为3：1，则这个正多 边形是正 边形 3.如图，在正方形ABCD中，分别 以点A,B为圆心，以AB的长为半径画 弧，两弧交于点E,连接DE,则∠CDE= 0 4.如图，已知正方形ABCD的边长 为1，点E,F分别在边AD,BC上，将 正方形沿着EF翻折，点B恰好落在CD 边上的点B处，如 果四边形ABFE与四 边形EFCD的面积比 为3：5，求线段CF 的长 5 到。 优能训练园 探究应用园 1.在四边形ABCD中，AD∥BC. 5.如图1，我们把对角线互相垂直 AB=CD.下列条件能使四边形ABCD为 的四边形叫作垂美四边形， 矩形的是( (1)【概念理解】如图2，在四边形 A.AB∥CD B.AD=BC ABCD中，AB=AD,CB=CD,问：四 C.∠A=∠B D.∠A=∠D 边形ABCD是垂美四边形吗？请说明 2.已知菱形ABCD的对角线相交于 理由. 点O,AC=8cm,BD=6cm, 则菱形 (2)【性质探究】试探索垂美四边 的面积为 cm2. 形ABCD两组对边AB,CD与BC,AD 3.如图，将5个大小相同的正方形 之间的数量关系.猜想结论：（要求用 置于平面直角坐标系中，若顶点M,N 文字语言叙述) 的坐标分别为(3,9)，(12,9)，则 写出证明过程（先画出图形， 顶点A的坐标为 写出已知、求证) (3)【问题解决】如图3，分别以 Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向 外作正方形ACFG和正方形ABDE,连 接CE,BG,GE,已知AC=4,AB=5, 求GE的长度. 4.如图，四边形ABCD为正方形， 点E是BC边的中点，将正方形ABCD 沿AE折叠，得到点B的对应点为点F, 延长EF交线段DC于点P,若AB=6. 图3 求DP的长度. 6九年级理科综合 部分参考答案 数学 第3页：1.C2.ADBC(答案不唯一) 3.证明：(I)AD=BC,,∴，AD+CD=BC+CD, ,AC=BD、·.AE=BF,CE=DF.△AEC≌△BFD (SSS),∴∠A=LB,.AE∥BF.(2)△AEC △BFD(SSS),,∴.∠ECM=∠FDB.,ECADF.EC= DF,.四边形DECF是平行四边形，：DF=FC, ·四边形DECF是菱形， 4.【操作发现】两组对边分别平行的四边形是 平行四边形 正方形ABCD的边长为I,四边形ABFE与四 【探究提升】证明：··四边形纸条ABCD和EFGH 8x1= 是平行四边形，，MN∥EF,ENFM,.四边形 边形EFCD的面积比为3：5，Sm- EFMN是平行四边形，·∠B=∠FEH..AB/NE, 设CF=x,则DH=x,BF=1-x,∴.S侧边聪三 :AV/BE,∴.四边形ABEV是平行四边形，，AB= EN.AB=EF,∴.EN=EF,∴回EFMN是菱形， 【结论应用】80解：·平行四边形纸条EFGH E+BP)×A0=g即aE+1-)×1 沿BC或CB平移，.四边形GFCP是平行四边形， 解得桃=-子六DE=1-AB= 3 1 -x,∴EH= ∴.PG=CF,PG/CF.DM/CF,∴.DMPG.∴.四 5 边形PDMG是平行四边形，MD=MG,.四边形 ED-MD=5 x-x=4-2x,由折叠的性质可得 PDMG是菱形，：，PG=PD,由【探究提升】知 BB⊥EF,∴.∠1+∠2=∠BGF=90°，∠2+∠3= □EFMN是菱形，∴.FM=EF,∴EF=CD,∴CE= 90°，六∠1=∠3，又FH=BC=1,∠EHF=∠C CP,∴.四边形ECPH是菱形，：四边形ECPH的周 长为40，∴.HE=PC=10,∴FG=HE=10,过点G △EHF△B'CB(ASA,B'C=EH=-2 作0Lc于点0，sin_EFG=%=手G0= 在R△BFC中，BFP=B'C+CF,(1-x)2= 3 8,∴.四边形ECPH的面积为CE·GQ=10×8=8O. 2+(?-2x只，解得x=号则线段cF的长为号 H G P 5.解：如图所示： 图1的周长为1+2+3+2V2=6+22:图2 Q 的周长为1+4+1+4=10：图3的周长为3+5+ BE F C v2+v2=8+2v2.则四边形MNPQ的周长是6+ 第4页：1.C2.253.√224.证明：，四 2x2或10或8+2v2 边形ABCD是平行四边形，.ABCD,AB=CD, ∠BAE=∠CFE,∠ABE=∠FCE.:E为BC的中点， ,EB=EC,.△ABE≌△FCE(AAS),,∴，AB=CF :ABCF,.四边形ABFC是平行四边形，.BC= AF,四边形ABFC是矩形.5.解：当点H在线 段AE上时把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F 处，折痕为DE,点E在AB边上，.四边形ADFE 图3 是正方形，，∴.AD=AE.,AH=AE-EH=AD-1: 图1 图2 把△CDG翻折，点C落在直线AE上的点H处，折痕 第6页：1.C2.243.(15,3) 4.解：连接 为DG,点G在BC边上，∴DC=DH=AB=AD+2, AP,如图所示： 在R△ADH中，AD+AF=DH,,AD+(AD- 1)2=(AD+2)2,解得AD=3+23,AD=3-2V3 (舍去)，∴AD=3+23,当点H在线段BE上时，则 AH=AE-EH=AD+1,在Rt△ADH中，AD+ 4=DP,∴.ADP+(AD+1)P=(AD+2)2,解得 AD=3,AD=-1(舍去)，.AD的长为3+2V3或3. B-- 第5页：1.B2.八3.154.解：如图，连接 .四边形ABCD为正方形，.AB=BC=AD=6. BB,交EF于点G,过点F作FHLAD, ∠B=∠C=∠D=90°，点E是BC的中点，，BE= N JI CE AB=3,由翻折可知AF=AB,EF=BE=3, 时，设菱形的边长为m CD DG ∠AFE=∠B=90°，÷.AD=AF,∠AFP=∠D=90 DG/AB.∴CA=AB 3-m m 在RI△AFP和R△ADP中， JAP=AP:R△AFP9 5解得m。 A(E AF AD. 3 图2 Rt△ADP(HL),.PF=PD.设PF=PD=x, 则CP=CD-PD=6-x,EP=EF+FP=3+x,在 8,CD=3- 1 159 8-8 R△PEC中，根据勾股定理得EP=EC+CP严，∴(3 如图3中，当四边形 +x)尸=3+(6-x)2,解得x=2,则DP的长度为2 DEBG是菱形时，设菱 B(F) 5.(1)解：四边形ABCD是垂美四边形.理由： 形的边长为n.,DG&AB. AB=AD,点A在线段BD的垂直平分线上 CG_DG 4-n CB=CD,点C在线段BD的垂直平分线上.，直 CB AB· 图3 4 20 2016 线AC是线段BD的垂直平分线，.ACLBD,即四边形 51 六.n= 9 CG=4- 9 ∴.CD= ABCD是垂美四边形.(2)垂美四边形的两组对边 的平方和相等如图2，已知四边形ABCD中，AC1 20 16 BD,垂足为E.求证：AD+BC=AB+CD.证明： 9 -9 =3 观察图象可知：当0≤CD< .'AC⊥BD,',∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=9OP 36 9 由勾股定理得，AD?+BC=A+D+BE+CE 菱形的个数为0，当CD= 37 <CD≤8时. AB CD AE+BE+CE+DE,..AD+BC= 3 9 AB2+CD.(3)解：连接CG,BE,∠CAG= 或 37 8 <CD≤3时， 菱形的个数为1，当茄、 ∠BAE=90°...∠GAB=∠CAE...△GAB≌△CAE, ,∠ABG=∠AEC.又∠AEC+∠AME=90°，∴∠ABG+ CD≤。时，菱形的个数为2， ∠AME=90°，即CE⊥BG,∴，四边形CGEB是垂美四 第8页：1.C2.83.(1)证明：在矩形 边形，由(2)得，CG+BE=CB+GE.AC= ABCD中，AB=4,BC=2,..CD=AB=4,AD= 4,AB=5,.BC=3,CG=4V2,BE=5V2 ..GE=CG+BE2 CB2 =73,..GE=\73. BD=2.CD/AB,∠D=∠B=90.BE=DF=3 .CF=AE=4 2=2六AF=CE=22+ 3.5 3 AF=CF=CE=AE=),四边形AECF是羹 2 形 (2)解：过点F作FH⊥AB于点H,则四边形 图2 图3 第7页：1.D2.523.证明：(1)在4M0B与 D是矩形，AM=DF=子 FH=AD=2..EH= ∠AB0=∠DC0=90°. 53 △DOC中， 0B=0C. .△AOBg△DOC 2-21F+==V5. ∠AOB=∠DOC. (ASA),OA=OD,又E,F分别是AO,DO的 中点，0E=0F.(2)OB=0C,OF=0E ,四边形BECF是平行四边形，BC=2OB,EF- 2OE.E为A0的中点，∠AB0=90°，.EB= H E0=EA,·.∠A=30°，.∠B0E=60°，.△B0E 4.解：(1)67.5、2(2)四边形EMGF是 是等边三角形，OB=OE,∴BC=EF,.四边形 矩形.理由如下：四边形ABCD是正方形，÷∠B= BECF是矩形. ∠BCD=∠D=90°，由折叠的性质得∠BCE= 4.(1)证明：：DE=DG,EF=DE,DG= ∠ECA=∠ACF=∠FCD,CM=CG,∠BEC=∠NEC= EF.DGREF,四边形DEFG ∠NFC=∠DFC,∴.∠BCE=∠ECM=∠ACF=∠FCD= 是平行四边形.DG=DE,.四 909 =22.5°，∠BEC=∠NEC=∠NFC=∠DFC= 边形DEFG是菱形.(2)解： 4 如图1中，当四边形DEFG是正 67.5°，由折叠可知，MH,GH分别垂直平分EC 方形时，设正方形的边长为x,在 FC,∴，MC=ME=CG=GF,∴，∠MEC=∠BCE RBt△ABC中，∠C=90°，AC= 图 22.5°，∠GFC=∠FCD=22.5°，∴∠MEF=90°， 3.BC=4,AB=V3+平=5，则CD=,AD= ∠GFE=90°.，∠MCG=90°，CM=CG,∴.∠CMG= 45°，∠BME=∠BCE+∠MEC=22.5°+22.5°= 5 3. 0 45°，·.∠EMG=180°-∠CMG-∠BME=90°，..四 AD+CD=AC,+子=3，x=3 边形EMGF是矩形.(3)EMCH或FGCH解析： ..CD= 336 5-37 观察图象可知：0≤CD< 时。 连接EH,FH,如图所示.，由折叠可知，MH,GH分 别垂直平分EC,FC,同时EC,FC也分别垂直平分 菱形的个数为O.如图2中，当四边形DAEG是菱形 MH,GH,∴.四边形EMCH与四边形FCCH是菱形. 6