第06讲 圆的周长（三类知识点+十一大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年六年级数学下册同步学与练（沪教版2024）

第06讲 圆的周长（十一大题型） 学习目标 1．了解圆的有关概念，如圆心、半径、直径等； 2．学习圆的对称性； 3. 掌握圆周率的概念，圆的周长及其应用. 知识点1 圆的有关概念 问题：如何画一个圆呢?你能想到哪些方法? 可以利用圆形的物品如杯子、盘子等直接画圆；还可以用圆规来画圆(图 6-1-1) (1)把圆规的两脚分开，使两脚间的距离等于圆的半径长度； (2)把有针尖的一 只脚固定在一 点上，该点即为圆心位置； (3)把装有铅笔芯的一只脚旋转一周，就画出一个圆. 如图6-1-2,圆上任意一点到圆心的距离都相等.连接圆心和圆任意给定一点的线段叫作半径，一般用字母r 表示半径. 经过圆心，并且两端都在圆上的线段叫作直径，一般用字母d表示直径.在同一个圆中，直径的长度是半径长度的2倍，即d=2r. 在不产生混淆的前提下，我们可以将半径的长度和直径的长度分别简称为半径和直径. 知识点2 圆的性质 1.我们知道，圆是轴对称图形，过圆心的任一条直线都是圆的对称轴，如图6-1-3所示. 要点：由过圆心的任一条直线都是圆的对称轴，可知对称轴是直线；而半径、直径是线段. 因此半径、直径不是圆的对称轴，需改为圆上任一条半径或直径所在的直线都是圆的对称轴 2. 将一个正方形和圆如图6- 1-4所示放置，你能找出图中圆的圆心， 并求出它的半径和直径的长吗? 解 正方形是轴对称图形，它的对称轴有4条，且都是圆的对称轴.我们可以画出正方形的对称轴的交点，这个交点就是圆心，如图6-1-5所示. 由图6-1-5(2)可知，圆的直径为4cm,半径为 2cm. 知识点3 圆的周长 圆周率 1.圆的周长 围成圆的曲线的长度叫作圆的周长 圆的周长随半径或直径的增大而增大. 2.圆周率 ①如图6-1-7,已知一个圆形物体的直径为10 cm. 用一根线(或纸条)绕该圆形物体一周，剪去多余的部分，再拉直量出它的长度，得到该圆形物体的周长是多少? 通过操作和计算，可以进一步发现圆的周长都是直径的3倍多一些. ②其实，前人早就研究了圆的周长与直径的关系，发现任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，这个数叫作圆周率，用字母π来表示，π读作 “/pai/”.人们后来发现圆周率是一个无限不循环小数，π=3.1415926535…. 但在实际应用中一般只取它的近似值（通常取3.14，即π ≈ 3.14）. 即 圆的周长：直径=圆周率 . 如果用字母C 表示圆的周长，d表示直径，r表示半径，那么 C=πd 或C=2πr. 【即学即练1】下面关于圆周率的说法中，正确的是（    ） A．圆周率是圆的周长与其半径的比值 B．圆周率不是一个固定的数 C．圆周率用字母表示 D．3.14是圆周率的准确值 【答案】C 【分析】圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率，用字母π表示，π是一个无限不循环小数；据此进行分析解答即可． 【解析】A、圆周率是圆的周长和它直径的比值，故原说法错误； B、圆周率是一个固定的数π，故原说法错误； C、圆周率用字母表示，说法正确； D、π的近似值是3.14，故原说法错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周率的含义，准确理解是关键． 【即学即练2】一个圆的直径是4cm，周长是 cm． 【答案】 【分析】根据圆的周长公式（，其中为圆的周长，为圆的直径）即可得． 【解析】圆的直径是， 圆的周长是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的周长公式，熟记公式是解题关键． 【即学即练3】要画一个周长是18.84厘米的圆，用圆规的两脚在直尺上量取的距离为（    ）． A．2厘米 B．3厘米 C．6厘米 D．4厘米 【答案】B 【分析】根据圆的周长计算公式计算，即可得到答案． 【解析】∵圆的周长半径 ∴半径=圆的周长 即圆规的两脚在直尺上量取的距离为3厘米 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周长的知识；解题的关键是熟练掌握圆的周长计算方法，并运用到实际问题的求解当中，从而完成解答． 【即学即练4】甲圆直径长8分米，是乙圆直径的，乙圆的周长是 ． 【答案】分米 【分析】根据圆周长的计算方法分析，即可得到答案． 【解析】∵甲圆直径长8分米，是乙圆直径的 ∴乙圆直径甲圆直径分米 ∴乙圆周长乙圆直径分米 故答案为：分米． 【点睛】本题考查了圆周长计算的知识；解题的关键是熟练掌握圆周长的计算方法，从而完成求解． 【即学即练5】圆的半径扩大为原来的4倍，则（    ） A．周长扩大为原来的16倍 B．周长扩大为原来的4倍 C．周长扩大为原来的2倍 D．周长不变 【答案】B 【分析】根据题意，可设圆的半径为r，那么根据圆的周长公式可计算出原来圆的周长与扩大后的圆的周长，最后再用扩大后的周长除以原来的周长，即可得到答案． 【解析】设原来圆的半径为r， 圆的周长为：2πr， 半径扩大为原来的4倍后，圆的半径为4r， 圆的周长为：8πr， 周长扩大到原来的：8πr÷2πr=4； 答：周长扩大为原来的4倍． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的周长，解答此题的关键是设原来圆的半径，然后再根据圆的周长公式进行计算即可． 题型1：圆的有关概念 【典例1】．圆的位置由（   ）决定 A．圆心 B．半径 C．直径 D．面积 【答案】A 【分析】本题考查了圆的认识，圆由圆心与半径决定，位置由圆心决定，大小由圆的半径决定．根据此知识即可作出判断． 【解析】解：圆的位置由圆心决定； 故选：A． 【变式1-1】．圆心决定圆的 ，半径决定圆的 ． 【答案】 位置 大小 【分析】根据圆的定义，平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周称为圆周，简称圆，由此来做题． 【解析】解：根据圆的定义，平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆； 这个定点就是圆心，定长就是半径，所以圆的圆心决定圆的位置，圆的半径决定圆的大小． 故答案为：位置，大小． 【点睛】此题考查了对圆的定义的理解，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【变式1-2】．从圆心到圆上任意一点间的线段，都是这个圆的 ． 【答案】半径 【分析】根据圆半径的定义进行求解即可． 【解析】解：从圆心到圆上任意一点间的线段，都是这个圆的半径， 故答案为：半径． 【点睛】本题主要考查了圆半径的定义，熟知相关定义是解题的关键． 【变式1-3】．圆是由一条曲线组成的图形，要想找到圆心，对折的次数至少需要 ． 【答案】2 【分析】本题考查圆的特点，掌握圆的直径所在的直线即为其对称轴是解题关键．根据圆的直径所在的直线即为其对称轴，即得出任意两条对称轴的交点即为圆心，即可解答． 【解析】解：圆是由一条曲线围成的图形，至少沿直径对折2次才能找到它的圆心，对折的折痕是他的直径，这样的折痕可以折出无数条，折痕所在的直线是它的对称轴． 故答案为：2． 【变式1-4】．“车轮为什么都做成圆形？”下面解释最合理的是（ ） A．圆形是轴对称图形 B．圆形特别美观大方 C．圆形是曲线图形 D．从圆心到圆上任意一点的距离都相等 【答案】D 【分析】此题考查了圆的特征，应注意基础知识的积累和应用． 根据圆的特征：连接圆心到圆上任意一点的线段，叫做半径；在同圆中所有的半径都相等；可知：把车轮做成圆形，车轴定在圆心，是因为圆形易滚动，而且车轮上各点到车轴即圆心的距离都等于半径，当车轮在平面上滚动时，车轴与平面的距离保持不变；据此解答． 【解析】由分析得出：所有的车轮都做成圆形是利用了圆的圆心到圆上任意一点的距离相等特性． 故选：D． 题型2：半径与直径的关系 【典例2】．圆的半径是，直径是，则 ． 【答案】 【分析】根据圆的周长与直径的关系计算即可； 【解析】圆的半径是r，直径是d，则． 故答案是． 【点睛】本题主要考查了圆的周长，准确分析是解题的关键． 【变式2-1】．一个圆形花坛的直径是米，那么它的半径是 米． 【答案】 【分析】根据圆的半径等于直径的一半即可求解． 【解析】解：一个圆形花坛的直径是米，那么它的半径是米， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求圆的半径，掌握圆的半径等于直径的一半是解题的关键． 【变式2-2】．同一个圆里，周长和直径的比值是 ． 【答案】 【分析】根据圆的周长等于直径乘，即，直径为，那么周长与直径的比即是，化简后可直接得到比值． 【解析】解：设周长为，直径为， 圆的周长， 所以． 故答案为： 【点睛】本题主要考查的是化简比，同一个圆内圆的周长与直径的关系，牢记圆的周长公式以及比的意义是解题的关键． 题型3：圆的对称性 【典例3】．圆的对称轴有 条． 【答案】无数 【分析】本题考查轴对称图形定义，根据轴对称图形的定义知：把一个圆形纸无论怎么对折，两部分都能完全重合，所以圆是轴对称图形，因为任何-条直径所在的直线，把圆平分成两个半圆，所以任何-条直径所在的直线都是圆的对称轴，即可解决． 【解析】解：圆的对称轴有无数条， 故答案为：无数． 【变式3-1】．圆有( )条半径，圆半径的长度是它直径的( )；半圆有( )条对称轴 【答案】 无数 一半 一 【分析】根据轴对称图形的性质分析：一个图形的一部分，沿着一条直线对折，能够和另一部分重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，依据定义可知：圆有无数条对称轴，半圆有一条对称轴；本题主要考查了轴对称图形的定义以及圆的基础知识．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【解析】解：圆有无数条半径，圆半径的长度是它直径的一半；半圆有一条对称轴； 故答案为：无数，一半，一． 【变式3-2】．圆的对称轴是经过圆心的一条 线． 【答案】直 【分析】根据“圆的对称轴是每一条直径所在的直线”进行解答即可． 【解析】解：圆的对称轴是每一条直径所在的直线，即圆的对称轴是经过圆心的一条直线， 故答案为：直 【点睛】此题考查了圆的性质，熟练掌握“圆的对称轴是每一条直径所在的直线”是解题的关键． 题型4：圆周率 【典例4】．圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们把它叫作 ，用字母 表示，它是一个 小数，计算时通常取3.14． 【答案】 圆周率 无限不循环 【分析】根据圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率，用字母“”表示，它是一个无限不循环小数；进而解答即可． 【解析】解：圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母表示，它是一个无限不循环小数，计算时通常取3.14． 故答案为：圆周率，，无限不循环． 【点睛】此题考查了圆周率的含义，熟记概念是解本题的关键． 【变式4-1】．关于圆周率的描述中，错误的是（    ） A．圆周率是一个常数 B．圆周率是一个无限不循环小数． C．圆周率是 D．圆周率是指周长与直径相除所得的商． 【答案】C 【解析】本题主要考查了圆周率的相关知识，圆周率是圆的周长和直径的比，是一个常数，是无限不循环小数，圆周率，据此逐一判断即可． 【分析】解：A项：圆周率是圆的周长和直径的比，是一个常数，原题干说法正确，不符合题意； B项：圆周率是一个无限不循环小数，原题干说法正确，不符合题意； C项：圆周率约等于3.14，原题干说法错误，符合题意； D项：圆周率是指周长与直径相除所得的商，原题干说法正确，不符合题意． 故选：C． 【变式4-2】．下列关于圆周率，说法正确的是（    ） 是个无限不循环小数． ． 周长大的圆，就大，周长小的圆，就小． 是圆的周长除以它直径的商． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周率的含义，根据圆周率的含义进行解答根据圆周率的含义：圆的周长和它的直径的比值，叫做圆周率，用字母π表示，π是一个无限不循环小数，据此分析解答． 【解析】①π是一个无限不循环小数，原题干说法正确； ②π是一个无限不循环小数，3.14是一个有限小数，π＞3.14正确； ③圆周率的大小与圆的周长，周长变大，直径变大，但圆周率不变，原题干说法错误； ④圆周率就是圆的周长和它的直径的比值也是商，原题干说法正确。 正确的有：①②④ 故选：B． 【变式4-3】．半径4厘米的圆和半径1厘米的圆的圆周率比较（ ） A．大圆的圆周率大 B．小圆的圆周率大 C．一样大 D．无法比较 【答案】C 【分析】本题考查认识平面图形，理解圆周率的定义是正确判断的关键．根据圆周率的定义进行判断即可． 【解析】解：圆周率表示的是圆周长与直径的比值，是一个定值， 故选：C． 【变式4-4】．下列说法中：①大圆的圆周率比小圆的圆周率大；②圆周率可以用任意字母表示；③任意一个圆的周长与直径的比是一个固定的数；④是一个无限不循环小数，其中正确的是 ． 【答案】③④ 【分析】根据圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值叫做圆周率，用字母“π”表示，π是一个无限不循环小数，计算时一般取它的近似值3.14；据此解答． 【解析】解：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，通常叫做圆周率，用字母π表示．它是一个无限不循环小数，但在实际应用中一般只取它的近似值，例如π≈3.14． 故答案为：③④． 【点睛】明确圆周率的含义是解答此题的关键． 题型5：已知圆的半径或直径求圆的周长 【典例5】．一个半径是的半圆，它的周长是（    ）．(π取) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的周长公式，根据一个半圆的周长等于半圆的长加圆的直径，列式计算即可． 【解析】解：一个半径是的半圆，它的周长是： ， 故选：C． 【变式5-1】．一个直径为4厘米的半圆，它的周长是 厘米． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的周长公式，根据圆的周长公式算出半圆的长，再加上直径即可． 【解析】解：一个直径为4厘米的半圆，它的周长是厘米． 故答案为：． 【变式5-2】．圆规两脚间距离为4厘米时，画出的这个圆的周长是 厘米 【答案】 【分析】圆规两脚间距离为半径长，根据圆的周长公式即可求解． 【解析】解：由题意知，画出的这个圆的半径为4厘米， 因此周长为：厘米， 故答案为：． 【点睛】本题考查计算圆的周长，解题的关键是掌握圆的周长公式． 题型6：已知圆的周长求圆的半径或直径 【典例6】．一个周长是的半圆，它的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆的周长，半径为r的半圆的周长等于，由此可解． 【解析】解：设半径为r，则， 因此， 故选C． 【变式6-1】．如果圆的周长等于6.28厘米，那么这个圆的半径是 厘米． 【答案】1 【分析】圆的周长C=2πr，圆的周长已知，代入公式即可求解． 【解析】解：6.28÷3.14÷2=1（厘米）； 答：这个圆的半径是1厘米． 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查圆的周长的计算方法的灵活应用． 【变式6-2】．画一个周长是的圆，圆规两脚间的距离应是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的认识和圆的周长，根据圆的周长公式计算即可． 【解析】解：设圆的半径为， 则， 解得， 所以圆规两脚间的距离应是． 故选：B． 【变式6-3】．已知圆的周长是分米，则该圆的半径是 分米（取）． 【答案】 【分析】此题考查了圆的周长公式，根据圆的周长公式计算即可求解，熟练掌握圆的周长公式是解题的关键． 【解析】解： ， （分米）， 故答案为：． 【变式6-4】．一个圆形花坛的周长是37.68米，它的直径是 米．（取π=3.14） 【答案】12 【分析】先依据圆的周长公式求出圆的直径． 【解析】解：d = = ． 故答案为：12． 【点睛】此题主要考查圆的周长和面积的计算方法，解题的关键是掌握圆周长的公式进行解题． 【变式6-5】．一个圆的周长是，它的直径是 ．（取） 【答案】8 【分析】根据圆的周长公式计算即可． 【解析】解：圆的周长是， 圆的直径为， 故答案为：8 【点睛】本题考查圆的周长，解题的关键是掌握圆的周长的计算方法． 题型7：由半径或直径变化（增加或扩大）到周长变化问题 【典例7】．若一个圆的半径扩大到原来的倍，则它的直径扩大到原来的( )倍，周长扩大到原来的( )倍． 【答案】 【分析】本题考查了圆的半径、直径和周长之间的关系，列代数式求即可． 【解析】设圆的半径为 则直径为，周长为 一个圆的半径扩大到原来的倍 此时圆的半径为 则直径为，周长为 故它的直径扩大到原来的倍，周长扩大到原来的倍 故答案为：；． 【变式7-1】．一个圆的半径从增加到，则周长增加了 ． 【答案】6.28 【分析】先计算半径为和的圆的周长，再求解它们的差即可． 【解析】解：当半径为时，周长为： 当半径为时，周长为： 所以：周长增加了． 故答案为： 【点睛】本题考查了圆的周长的计算，掌握圆的周长的计算是解题的关键． 【变式7-2】．如果圆的半径增加，那么圆的周长增加了 【答案】 【分析】直接根据周长公式判断即可． 【解析】解：设圆的半径为r，则增加后的半径为 圆的周长增加了， 故答案为． 【点睛】本题考查了圆的半径和周长的关系，熟练掌握圆的周长公式是解题的关键． 【变式7-3】．一个圆形的蔬菜实验地块的半径是5米，现想扩大规模，把它的半径扩大为原来的4倍，则周长将扩大为原来的 倍． 【答案】4 【分析】根据圆的周长公式： c＝2πr，再根据因数与积的变化规律，解答即可． 【解析】根据分析：圆的半径扩大4倍，圆的周长也扩大4倍． 故答案为：4． 【点睛】掌握圆的周长公式以及因数与积的变化规律是解答关键． 题型8：两圆综合问题 【典例8】．如果甲、乙两个圆的周长相差，那么它们的半径相差 ．（取） 【答案】3 【分析】本题主要查了圆的周长，设甲、乙两个圆的半径分别为r，R，根据圆的周长公式计算，即可求解． 【解析】解：设甲、乙两个圆的半径分别为r，R， ∵甲、乙两个圆的周长相差， ∴， ∴． 故答案为：3 【变式8-1】．一台拖拉机，前轮直径是后轮的，前轮转动8圈，后轮转（    ）圈． A．8 B．16 C．4 D．6 【答案】C 【分析】解答此题的关键是，根据圆的周长公式，由两车轮直径的关系，得出周长的关系，最后得出转动圈数的关系．因为周长都是直径乘圆周率，因此周长和直径成正比例，由“前轮直径是后轮的，”知道前轮的周长也是后轮的，那么前轮转数是后轮的2倍，由此解决问题． 【解析】解：因为，圆的周长公式是：， 所以，周长和直径成正比例， 又因为，前轮的直径是后轮的， 所以，前轮的周长是后轮的， 所以，前轮的转数是后轮的2倍， 后轮转动的圈数：（圈）， 答：后轮转4圈， 故选：C． 【变式8-2】．把一个直径是10厘米的圆分成两个相等的半圆，两个半圆的周长和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查圆的周长公式以及半圆的周长的计算方法．先根据圆的周长公式求出这个圆的周长，因为每个半圆的周长等于整圆的周长的一半加上直径的长度，所以两个半圆的周长之和等于这个圆的周长加上两条直径的长度，由此即可解答． 【解析】解：（厘米）， 故选：D． 题型9：一个正方形或长方形与一个圆综合 【典例9】．用一根铁丝围成一个边长是的正方形，如果把它改成一个圆，那么这个圆的半径是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的周长，圆的周长，关键是知道铁丝的长度与正方形的周长、圆的周长是相等的，由此根据相应的公式与公式的变形，列式解答即可．根据正方形的周长公式，求出铁丝的长度，即圆的周长，再根据圆的周长公式，得出，即可求出圆的半径． 【解析】解：正方形的周长为：， 则圆的半径为：， 故选：C． 【变式9-1】．一个正方形和一个圆形的周长相等，正方形的边长是米，这个圆形的半径是（   ）米． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形和圆形的周长计算公式，掌握正方形和圆形的周长计算公式是解答本题的关键． 先根据正方形和圆形的周长相等求出圆的周长，然后根据圆的周长公式计算圆的半径即可解答． 【解析】解：， 故选：B． 【变式9-2】．如图，两只蜗牛分别沿着正方形和圆爬一周，谁爬的路程长？（   ） A．蜗牛a B．蜗牛b C．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的周长和圆的周长，根据正方形的周长等于边长乘以4，圆的周长等于直径乘以分别计算出正方形的周长和圆的周长，然后再比较即可得出答案． 【解析】解：蜗牛a爬的路程为：， 蜗牛b爬的路程为：， ∵， ∴蜗牛a爬的路程长， 故选：A． 【变式9-3】．已知：如图，正方形轨道的边长与圆形轨道的直径都是6米，且圆形轨道置于正方形轨道内部．两个智能机器人同时从两条轨道的接触点P出发，其中一个机器人沿正方形轨道以每秒3米速度行进，另一个机器人沿圆形轨道以每秒3.14米的速度行进，它们至少经过 秒能再一次在点P相遇． 【答案】24 【分析】本题考查了正方形的周长以及圆的周长，根据运动速度，得正方形走完每一圈时间是8秒或者是8的倍数，得圆走完每一圈时间是6秒或者是6的倍数，结合问题，得8和6的最小公倍数，即为答案． 【解析】解：∵正方形轨道的边长与圆形轨道的直径都是6米，且圆形轨道置于正方形轨道内部．两个智能机器人同时从两条轨道的接触点P出发，其中一个机器人沿正方形轨道以每秒3米速度行进，另一个机器人沿圆形轨道以每秒3.14米的速度行进， ∴（秒），（秒） ∴正方形走完每一圈时间是8秒或者是8的倍数，得圆走完每一圈时间是6秒或者是6的倍数， ∵它们至少经过多少秒能再一次在点P相遇 ∴得8和6的最小公倍数为24秒， 故答案为：24 题型10：圆的周长的综合应用 【典例10】．如图是一个圆形的花坛，在花坛周围每隔摆一盆花，刚好能摆盆花，这个花坛的半径是（   ）． A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查圆的周长公式，掌握圆的周长公式是解题的关键． 根据每隔摆一盆花，刚好能摆盆花，求出花坛的周长，再由圆的周长公式求出半径即可． 【解析】由题意可知，花坛的周长为， 设花坛的半径是， ， ， 故选：C． 【变式10-1】．把一个半径是4厘米的圆分成若干（偶数）等份，然后把它剪开，照右图的样子拼起来，拼成的图形的周长比原来圆的周长增加 厘米．    【答案】8 【分析】本题考查了推导圆的面积公式，根据将圆拼成近似的长方形后，长方形的长就等于圆的周长的一半，宽就等于圆的半径，进行分析求解即可． 【解析】解：因为将圆拼成近似的长方形后，长方形的长就等于圆的周长的一半，宽就等于圆的半径，所以这个长方形的周长比原来圆的周长多出了两个半径的长度，即多出了一个直径的长度，也就是8厘米． 故答案为：8． 【变式10-2】．如图，花园内有一个圆形水池，若小明在圆心O点，爸爸在岸上A点．小明从O点出发，沿着半径向B点跑；同时爸爸从A点出发，沿着圆周跑．已知爸爸的速度是小明的3倍，那么（）会先到达B点． A．爸爸 B．小明 C．同时 D．不能确定 【答案】B 【分析】此题考查的目的是理解掌握圆周率的意义、圆的周长与半径的关系及意义．观察可得小明跑的路程是圆的半径，爸爸跑的路程是圆周长的一半；根据圆半径与周长的关系可得爸爸走的路程是小明的倍，结合爸爸的速度与小明速度的关系即可解答题目． 【解析】解：爸爸的速度是小明的3倍，但爸爸走的路程是小明的倍， 答：小明先到达点B． 故选：B 题型11：解答题；多个圆问题 【典例11】．求下列图中各圆的周长．（取3.14） 【答案】大圆：；小圆：． 【分析】大圆：根据代入计算即可；小圆根据代入计算即可． 【解析】解：大圆：；          小圆：． 【点睛】本题考查圆的周长以及周长公式的计算，牢记和是解题的关键． 【变式11-1】．用一张边长为5分米的正方形纸片剪一个最大的圆，求这个圆的周长． 【答案】分米 【分析】圆的直径是正方形的边长，即分米，根据圆的周长公式进行计算即可． 【解析】解：由题意知：圆的直径为分米， （分米）． 答：这个圆的周长为分米． 【点睛】本题主要考查了圆的周长公式，要求出这个圆的周长应该知道这个圆与正方形的位置关系，从而找到圆的半径，再求出圆的周长．如果在长方形纸上剪一个最大的圆，直径即为长方形的宽． 【变式11-2】．如图，每个圆的周长都是，求长方形的周长． 【答案】 【分析】先求出圆的直径，从而可得长方形的长与宽，再利用长方形的周长公式即可得． 【解析】解：每个圆的直径为， 则长方形的长为，宽为， 所以长方形的周长为， 答：长方形的周长为． 【点睛】本题考查了圆的周长、长方形的周长，熟练掌握圆的周长公式是解题关键． 【变式11-3】．如图，在长方形中有三个大小相等的圆．已知这个长方形的长是，则此长方形的周长是 ．    【答案】 【分析】本题长方形周长公式的灵活运用，根据“等分”除法的意义，用除法求出圆的直径，长方形的宽等于圆的直径，再根据长方形的周长＝（长＋宽），把数据代入公式解答．解题的关键是熟记公式． 【解析】解：， ， ∴此长方形的周长是． 故答案为：． 【变式11-4】．直径均为1米的四根管子被一根金属带紧紧地的捆在一起，如图所示，试求金属带的长度．（取3.14） 【答案】7.14米 【分析】通过观察可知，金属带长度为一个圆的周长和直径的4倍的和，再进行计算即可得到答案． 【解析】解：由题意得： 米， 故金属带的长度为：7.14米． 【点睛】本题中考查了圆的周长的应用，解题的关键是注意金属带的长度包含了4个直径． 【变式11-5】．如图，一个周长为厘米的大圆内有许多小圆，这些小圆的圆心都在大圆的一条直径上，则小圆的周长之和为 厘米． 【答案】 【分析】本题主要考查圆周长的计算，掌握圆周长公式是解题的关键． 根据题意，设大圆的直径为，内部圆从左往右的直径依次为，由此运用圆周长公式即可求解． 【解析】解：设大圆的直径为，内部圆从左往右的直径依次为， ∴， ∴大圆的周长为：，内部圆的周长依次为：， ∴小圆的周长之和为厘米， 故答案为：． 一、单选题 1．圆的大小是由圆的（　　）决定的． A．半径 B．圆心 C．圆心和半径 D．对称轴 【答案】A 【分析】本题考查了圆的认识，根据圆心决定位置，半径决定大小即可求解． 【解析】解：圆的大小是由圆的半径或直径的长度决定的， 故选：A． 2．圆周率的值（    ） A．等于 B．大于 C．小于 D．无法比较 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的认识与圆周率．根据，即可求解． 【解析】解：因为，且， ∴圆周率的值大于 故选：B． 3．一个半圆的半径是5，它的周长是（    ） A．15.7 B．25.7 C．20.7 D．31.4 【答案】B 【分析】根据半圆周长的意义，半圆的周长等于该圆周长的一半加上一条直径的长度，根据半圆的周长公式：，把数据代入公式解答． 【解析】解： 答：它的周长是． 故选：B． 【点睛】此题考查的目的是理解半圆周长的意义，掌握半圆的周长公式及应用． 4．校园里两个圆形花坛的直径之比是，则其周长之比是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据周长公式判断即可，然后再求比即可． 【解析】周长与直径的关系：C=πd。 ∴周长之比等于直径之比 ∵两个圆形花坛的直径之比是2:7 ∴其周长之比是2:7 故选B 【点睛】此题主要考查圆的周长计算方法的灵活应用． 5．半径为3的圆和边长为3的正方形，二者的周长相比，（    ） A．一样大 B．圆大于正方形 C．圆小于正方形 D．圆等于正方形 【答案】B 【分析】分别计算出圆的周长和正方形的周长，再比较即可求解． 【解析】解：半径为3的圆的周长为：2×3.14×3=18.42， 边长为3的正方形的周长为：3×4=12， 所以圆的周长大于正方形的周长， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的周长和正方形周长的计算，属于基础题，熟练掌握周长公式是解决本题的关键． 6．如图，外面一个大圆，中间两个小圆，则大圆和两个小圆的周长比较结果是（    ）． A．外圆大于两个小圆之和 B．外圆小于两个小圆之和 C．外圆等于两个小圆之和 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据圆周长的计算公式分析，即可完成求解． 【解析】结合题意得：小圆的直径是大圆的一半 假设小圆的直径是m，则大圆的直径为2m ∴小圆的周长，大圆的周长 ∴两个小圆的周长之和 ∴大圆的周长=两个小圆的周长之和 即外圆等于两个小圆之和 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周长计算的知识；解题的关键是熟练掌握圆周长的计算方法，从而完成求解． 二、填空题 7．如果用d表示圆的直径，那么圆的周长C＝ ． 如果已知圆的周长为C，那么求圆的直径用公式 ． 【答案】 πd 【分析】由圆的周长公式C=πd求解即可． 【解析】圆的周长公式为C=πd，可变形为d=， 故答案为：πd ， 【点睛】本题考查了圆的周长公式，熟记圆的周长公式并会灵活变形是解答的关键． 8．一个圆形花坛的周长是37.68米，它的直径是 米．（取π=3.14） 【答案】12 【分析】先依据圆的周长公式求出圆的直径． 【解析】解：d = = ． 故答案为：12． 【点睛】此题主要考查圆的周长和面积的计算方法，解题的关键是掌握圆周长的公式进行解题． 9．一种象棋的下表面是一个圆，且周长为厘米，则它在棋盘上的最大宽度是 厘米． 【答案】3 【分析】圆的直径=周长÷3.14，据此进行计算即可． 【解析】解：9.42÷3.14=3（厘米），即象棋的直径是3厘米，所以它在棋盘上的最大宽度是3厘米. 答：象棋在棋盘上的最大宽度是3厘米． 故答案为：3． 【点睛】此题考查了圆的周长=2πr的计算应用，要求学生熟记公式进行解答． 10．如图，圆的周长是，则平行四边形的面积是 ． 【答案】24 【分析】本题考查了圆的周长和平行四边形的面积公式．先确定圆的直径为平行四边形的高，设圆的直径为dcm，当π取3.14时，则，求得，据此求解即可． 【解析】解：由图形可知，圆的直径为两条平行线之间的距离，也是平行四边形的高， 设圆的直径为dcm， ∵圆的周长是18.84cm， ∴当π取3.14时，则， 解得， ， 故答案为：24． 11．一张正方形纸的周长为20分米，把它剪成一个最大的圆，这个圆的周长是 分米． 【答案】15.7 【分析】当圆的直径恰好为正方形的边长时，此时圆的直径最大，即周长最大，根据已知条件计算求解即可． 【解析】当圆的直径恰好为正方形的边长时，圆的周长最大， 正方形的边长：20÷4=5(分米)， 圆的周长：(分米) ． 故答案为：15.7． 【点睛】本题主要考查正方形的周长公式以及圆的周长公式，熟记公式是解题关键． 12．在一个长，宽的长方形中，画一个最大的圆，它的周长为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了圆的周长，正确得出最大的圆的直径是解题关键．根据长方形的宽可以确定最大的圆的直径，再根据圆的周长公式即可求解． 【解析】解：∵在一个长，宽的长方形中，画一个最大的圆，它的直径为， ∴它的周长为， 故答案为：． 三、解答题 13．车轮的直径是0.8米，那么它的滚动一周长为多少米？（取3.14） 【答案】2.512米 【分析】根据圆的周长计算即可． 【解析】解：根据题意可得车轮滚动一周的长为： (米) 故车轮滚动一周的长为：2.512米． 【点睛】考查圆的周长的在实际问题中的计算． 14．一辆车的车轮直径是1米，那么： （1）它在地面上转一圈行了多少路程？ （2）如果它每分钟转200圈，那么它每分钟可以行驶多少路程？ （3）按上面的速度，小明从家到学校要5分钟，求小明家到学校的距离． 【答案】（1）米；（2）200米；（3）1000米 【分析】（1））它在地面上转一圈行的路程为车轮的周长,根据直径求出半径，再结合圆的周长公式求周长即可； （2）每分钟行驶的路程 = 每一圈的长度 × 圈数,根据（1）中结论，可求200圈总的路程； （3）根据路程 = 速度×时间解题即可. 【解析】（1）C = πd = ×1 = （米），所以它在地面上转一圈行了米。 （2）×200 = 200（米），所以每分钟可以行驶200米。 （2）路程 = 速度×时间 = 200×5 = 1000（米） 所以小明家到学校的距离为1000米。 【点睛】本题考查有关圆、路程的应用题，是重点考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键. 15．如图，8位朋友均匀地围坐在圆桌旁共度佳节．圆桌的半径为，每人离圆桌的距离为．现又来了两名客人，每人向后挪动了相同的距离，再左右调整位置，使10人都坐下，并且10人之间的距离与原来8人之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等，求每人应向后挪动的距离． 【答案】 【分析】设每人向后挪动的距离为，则移动后的圆周的半径为，移动前相邻两人之间的距离为，移动后相邻两人之间的距离为，根据移动前后相邻两人之间的距离相同列出方程求解即可． 【解析】解：设每人向后挪动的距离为，则移动后的圆周的半径为， 由题意得， 解得， 答：每人应向后挪动的距离为． 【点睛】本题主要考查了圆的周长计算，正确理解题意找到等量关系列出方程求解是解题的关键． 16．有一种用来画圆的工具板（如图所示），工具板长21cm，上面依次排列着大小不等的五个圆（孔），其中最大圆的直径为3cm，其余圆的直径从左到右依次递减0.2cm. 最大圆的左侧距工具板左侧边缘1.5cm，最小圆的右侧距工具板右侧边缘1.5cm，相邻两圆的间距d均相等． （1）直接写出其余四个圆的直径长； （2）求相邻两圆的间距． 【答案】解：（1）其余四个圆的直径依次为：2.8cm, 2.6cm, 2.4cm, 2.2cm （2）cm． 【分析】（1）通过总长21cm，右侧边缘1.5cm，左侧边缘1.5cm，大圆的直径为3cm，其余圆的直径从左到右依次递减0.2cm，即可求得其余四个圆的直径． （2）相邻两圆的间距d均相等即可求得． 【解析】解：（1）其余四个圆的直径依次为：2.8cm, 2.6cm, 2.4cm, 2.2cm （2）依题意得，， ∴， ∴ 答：相邻两圆的间距为cm.． 2 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 圆的周长（十一大题型） 学习目标 1．了解圆的有关概念，如圆心、半径、直径等； 2．学习圆的对称性； 3. 掌握圆周率的概念，圆的周长及其应用. 知识点1 圆的有关概念 问题：如何画一个圆呢?你能想到哪些方法? 可以利用圆形的物品如杯子、盘子等直接画圆；还可以用圆规来画圆(图 6-1-1) (1)把圆规的两脚分开，使两脚间的距离等于圆的半径长度； (2)把有针尖的一 只脚固定在一 点上，该点即为圆心位置； (3)把装有铅笔芯的一只脚旋转一周，就画出一个圆. 如图6-1-2,圆上任意一点到圆心的距离都相等.连接圆心和圆任意给定一点的线段叫作半径，一般用字母r 表示半径. 经过圆心，并且两端都在圆上的线段叫作直径，一般用字母d表示直径.在同一个圆中，直径的长度是半径长度的2倍，即d=2r. 在不产生混淆的前提下，我们可以将半径的长度和直径的长度分别简称为半径和直径. 知识点2 圆的性质 1.我们知道，圆是轴对称图形，过圆心的任一条直线都是圆的对称轴，如图6-1-3所示. 要点：由过圆心的任一条直线都是圆的对称轴，可知对称轴是直线；而半径、直径是线段. 因此半径、直径不是圆的对称轴，需改为圆上任一条半径或直径所在的直线都是圆的对称轴 2. 将一个正方形和圆如图6- 1-4所示放置，你能找出图中圆的圆心， 并求出它的半径和直径的长吗? 解 正方形是轴对称图形，它的对称轴有4条，且都是圆的对称轴.我们可以画出正方形的对称轴的交点，这个交点就是圆心，如图6-1-5所示. 由图6-1-5(2)可知，圆的直径为4cm,半径为 2cm. 知识点3 圆的周长 圆周率 1.圆的周长 围成圆的曲线的长度叫作圆的周长 圆的周长随半径或直径的增大而增大. 2.圆周率 ①如图6-1-7,已知一个圆形物体的直径为10 cm. 用一根线(或纸条)绕该圆形物体一周，剪去多余的部分，再拉直量出它的长度，得到该圆形物体的周长是多少? 通过操作和计算，可以进一步发现圆的周长都是直径的3倍多一些. ②其实，前人早就研究了圆的周长与直径的关系，发现任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，这个数叫作圆周率，用字母π来表示，π读作 “/pai/”.人们后来发现圆周率是一个无限不循环小数，π=3.1415926535…. 但在实际应用中一般只取它的近似值（通常取3.14，即π ≈ 3.14）. 即 圆的周长：直径=圆周率 . 如果用字母C 表示圆的周长，d表示直径，r表示半径，那么 C=πd 或C=2πr. 【即学即练1】下面关于圆周率的说法中，正确的是（    ） A．圆周率是圆的周长与其半径的比值 B．圆周率不是一个固定的数 C．圆周率用字母表示 D．3.14是圆周率的准确值 【即学即练2】一个圆的直径是4cm，周长是 cm． 【即学即练3】要画一个周长是18.84厘米的圆，用圆规的两脚在直尺上量取的距离为（    ）． A．2厘米 B．3厘米 C．6厘米 D．4厘米 【即学即练4】甲圆直径长8分米，是乙圆直径的，乙圆的周长是 ． 【即学即练5】圆的半径扩大为原来的4倍，则（    ） A．周长扩大为原来的16倍 B．周长扩大为原来的4倍 C．周长扩大为原来的2倍 D．周长不变 题型1：圆的有关概念 【典例1】．圆的位置由（   ）决定 A．圆心 B．半径 C．直径 D．面积 【变式1-1】．圆心决定圆的 ，半径决定圆的 ． 【变式1-2】．从圆心到圆上任意一点间的线段，都是这个圆的 ． 【变式1-3】．圆是由一条曲线组成的图形，要想找到圆心，对折的次数至少需要 ． 【变式1-4】．“车轮为什么都做成圆形？”下面解释最合理的是（ ） A．圆形是轴对称图形 B．圆形特别美观大方 C．圆形是曲线图形 D．从圆心到圆上任意一点的距离都相等 题型2：半径与直径的关系 【典例2】．圆的半径是，直径是，则 ． 【变式2-1】．一个圆形花坛的直径是米，那么它的半径是 米． 【变式2-2】．同一个圆里，周长和直径的比值是 ． 题型3：圆的对称性 【典例3】．圆的对称轴有 条． 【变式3-1】．圆有( )条半径，圆半径的长度是它直径的( )；半圆有( )条对称轴 【变式3-2】．圆的对称轴是经过圆心的一条 线． 题型4：圆周率 【典例4】．圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们把它叫作 ，用字母 表示，它是一个 小数，计算时通常取3.14． 【变式4-1】．关于圆周率的描述中，错误的是（    ） A．圆周率是一个常数 B．圆周率是一个无限不循环小数． C．圆周率是 D．圆周率是指周长与直径相除所得的商． 【变式4-2】．下列关于圆周率，说法正确的是（    ） 是个无限不循环小数． ． 周长大的圆，就大，周长小的圆，就小． 是圆的周长除以它直径的商． A． B． C． D． 【变式4-3】．半径4厘米的圆和半径1厘米的圆的圆周率比较（ ） A．大圆的圆周率大 B．小圆的圆周率大 C．一样大 D．无法比较 【变式4-4】．下列说法中：①大圆的圆周率比小圆的圆周率大；②圆周率可以用任意字母表示；③任意一个圆的周长与直径的比是一个固定的数；④是一个无限不循环小数，其中正确的是 ． 题型5：已知圆的半径或直径求圆的周长 【典例5】．一个半径是的半圆，它的周长是（    ）．(π取) A． B． C． D． 【变式5-1】．一个直径为4厘米的半圆，它的周长是 厘米． 【变式5-2】．圆规两脚间距离为4厘米时，画出的这个圆的周长是 厘米 题型6：已知圆的周长求圆的半径或直径 【典例6】．一个周长是的半圆，它的半径为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】．如果圆的周长等于6.28厘米，那么这个圆的半径是 厘米． 【变式6-2】．画一个周长是的圆，圆规两脚间的距离应是(    ) A． B． C． D． 【变式6-3】．已知圆的周长是分米，则该圆的半径是 分米（取）． 【变式6-4】．一个圆形花坛的周长是37.68米，它的直径是 米．（取π=3.14） 【变式6-5】．一个圆的周长是，它的直径是 ．（取） 题型7：由半径或直径变化（增加或扩大）到周长变化问题 【典例7】．若一个圆的半径扩大到原来的倍，则它的直径扩大到原来的( )倍，周长扩大到原来的( )倍． 【变式7-1】．一个圆的半径从增加到，则周长增加了 ． 【变式7-2】．如果圆的半径增加，那么圆的周长增加了 【变式7-3】．一个圆形的蔬菜实验地块的半径是5米，现想扩大规模，把它的半径扩大为原来的4倍，则周长将扩大为原来的 倍． 题型8：两圆综合问题 【典例8】．如果甲、乙两个圆的周长相差，那么它们的半径相差 ．（取） 【变式8-1】．一台拖拉机，前轮直径是后轮的，前轮转动8圈，后轮转（    ）圈． A．8 B．16 C．4 D．6 【变式8-2】．把一个直径是10厘米的圆分成两个相等的半圆，两个半圆的周长和是（   ） A． B． C． D． 题型9：一个正方形或长方形与一个圆综合 【典例9】．用一根铁丝围成一个边长是的正方形，如果把它改成一个圆，那么这个圆的半径是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】．一个正方形和一个圆形的周长相等，正方形的边长是米，这个圆形的半径是（   ）米． A． B． C． D． 【变式9-2】．如图，两只蜗牛分别沿着正方形和圆爬一周，谁爬的路程长？（   ） A．蜗牛a B．蜗牛b C．无法确定 【变式9-3】．已知：如图，正方形轨道的边长与圆形轨道的直径都是6米，且圆形轨道置于正方形轨道内部．两个智能机器人同时从两条轨道的接触点P出发，其中一个机器人沿正方形轨道以每秒3米速度行进，另一个机器人沿圆形轨道以每秒3.14米的速度行进，它们至少经过 秒能再一次在点P相遇． 题型10：圆的周长的综合应用 【典例10】．如图是一个圆形的花坛，在花坛周围每隔摆一盆花，刚好能摆盆花，这个花坛的半径是（   ）． A．3 B． C． D． 【变式10-1】．把一个半径是4厘米的圆分成若干（偶数）等份，然后把它剪开，照右图的样子拼起来，拼成的图形的周长比原来圆的周长增加 厘米．    【变式10-2】．如图，花园内有一个圆形水池，若小明在圆心O点，爸爸在岸上A点．小明从O点出发，沿着半径向B点跑；同时爸爸从A点出发，沿着圆周跑．已知爸爸的速度是小明的3倍，那么（）会先到达B点． A．爸爸 B．小明 C．同时 D．不能确定 题型11：解答题；多个圆问题 【典例11】．求下列图中各圆的周长．（取3.14） 【变式11-1】．用一张边长为5分米的正方形纸片剪一个最大的圆，求这个圆的周长． 【变式11-2】．如图，每个圆的周长都是，求长方形的周长． 【变式11-3】．如图，在长方形中有三个大小相等的圆．已知这个长方形的长是，则此长方形的周长是 ．    【变式11-4】．直径均为1米的四根管子被一根金属带紧紧地的捆在一起，如图所示，试求金属带的长度．（取3.14） 【变式11-5】．如图，一个周长为厘米的大圆内有许多小圆，这些小圆的圆心都在大圆的一条直径上，则小圆的周长之和为 厘米． 一、单选题 1．圆的大小是由圆的（　　）决定的． A．半径 B．圆心 C．圆心和半径 D．对称轴 2．圆周率的值（    ） A．等于 B．大于 C．小于 D．无法比较 3．一个半圆的半径是5，它的周长是（    ） A．15.7 B．25.7 C．20.7 D．31.4 4．校园里两个圆形花坛的直径之比是，则其周长之比是（    ） A． B． C． D．无法确定 5．半径为3的圆和边长为3的正方形，二者的周长相比，（    ） A．一样大 B．圆大于正方形 C．圆小于正方形 D．圆等于正方形 6．如图，外面一个大圆，中间两个小圆，则大圆和两个小圆的周长比较结果是（    ）． A．外圆大于两个小圆之和 B．外圆小于两个小圆之和 C．外圆等于两个小圆之和 D．无法确定 二、填空题 7．如果用d表示圆的直径，那么圆的周长C＝ ． 如果已知圆的周长为C，那么求圆的直径用公式 ． 8．一个圆形花坛的周长是37.68米，它的直径是 米．（取π=3.14） 9．一种象棋的下表面是一个圆，且周长为厘米，则它在棋盘上的最大宽度是 厘米． 10．如图，圆的周长是，则平行四边形的面积是 ． 11．一张正方形纸的周长为20分米，把它剪成一个最大的圆，这个圆的周长是 分米． 12．在一个长，宽的长方形中，画一个最大的圆，它的周长为 ．（结果保留） 三、解答题 13．车轮的直径是0.8米，那么它的滚动一周长为多少米？（取3.14） 14．一辆车的车轮直径是1米，那么： （1）它在地面上转一圈行了多少路程？ （2）如果它每分钟转200圈，那么它每分钟可以行驶多少路程？ （3）按上面的速度，小明从家到学校要5分钟，求小明家到学校的距离． 15．如图，8位朋友均匀地围坐在圆桌旁共度佳节．圆桌的半径为，每人离圆桌的距离为．现又来了两名客人，每人向后挪动了相同的距离，再左右调整位置，使10人都坐下，并且10人之间的距离与原来8人之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等，求每人应向后挪动的距离． 16．有一种用来画圆的工具板（如图所示），工具板长21cm，上面依次排列着大小不等的五个圆（孔），其中最大圆的直径为3cm，其余圆的直径从左到右依次递减0.2cm. 最大圆的左侧距工具板左侧边缘1.5cm，最小圆的右侧距工具板右侧边缘1.5cm，相邻两圆的间距d均相等． （1）直接写出其余四个圆的直径长； （2）求相邻两圆的间距． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$