第07讲 弧长（二类知识点+十大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年六年级数学下册同步学与练（沪教版2024）

第07讲 弧长（十一大题型） 学习目标 1.了解圆的有关概念，如弧，半圆，优弧、劣弧等； 2. 知道圆心角，圆心角所对的弧及它们之间的联系； 3. 掌握弧长的计算及应用. 知识点1 圆的有关概念（续） 1.圆上两点之间的部分称为弧，它是圆的一部分. 2.圆任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫作半圆(图6-1-8). 我们把小于半圆的弧叫作劣弧，把大于半圆的弧叫作优弧.在图6-1-9中，红色部分的弧是劣弧，记作 读作“弧AB”;蓝色部分的弧是优弧，记作 , 读作“弧ACB” . 3.圆心角：像∠AOB这样，顶点在圆心的角叫作圆心角. 4.圆心角所对的弧：如图6-1-9,右侧小于平角的∠AOB (小于180°)是AB所对的圆心角，也称AB是圆心角∠AOB(小于180°)所对的弧.同理，左侧大于平角的∠AOB (大于180°)是ACB所对的圆心角，也称ACB是圆心角∠AOB (大于180°)所对的弧. 知识点2 弧长（n°的圆心角所对的弧长） 1.弧是相应的圆的一部分. 1°的圆心角所对的弧长是圆周长的 n° 的圆心角所对的弧长是圆周长的 如图6-1-11,圆心角与周角之比等于弧长与圆的周长之比. 如果用l表示弧长，r 表示半径，那么n°的圆心角所对的弧长的计算公式是 【即学即练1】下图中是圆心角的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】计算弧长需要知道（     ） A．直径 B．半径 C．圆心角 D．半径和圆心角 【即学即练3】在半径是18厘米的圆中，150°圆心角所对的弧长是 厘米 【即学即练4】一条弧所对的圆心角是144°，那么这条弧长与这条弧所在圆的周长之比为（    ） A． B． C． D． 【即学即练5】如果一条弧的长度是它所在圆的周长的，那么这条弧所对的圆心角是 °． 题型1：圆的有关概念（续） 【典例1】．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在圆上，则以点A为一个端点的劣弧有 ，以点A为一个端点的优弧有 ． 【答案】 【分析】根据小于半圆的弧为劣弧，大于半圆的弧为优弧即可求解． 【详解】解：点C在圆上，则以点A为一个端点的劣弧有， 以点A为一个端点的优弧有， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了圆的基本概念，掌握优弧与劣弧的定义是解题的关键． 【变式1-1】．下列图形中的角是圆心角的有 个． 【答案】3 【分析】根据顶点在圆心的角叫圆心角判断即可． 【详解】解：顶点在圆心的角叫圆心角， 图中2,3,6这3个是圆心角， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了圆心角的概念，熟练掌握知识点是解题的关键． 题型2：圆心角与弧长的关系 【典例2】．120°的圆心角是360°的 分之一，它所对的弧是相应圆周长的 分之一． 【答案】 三 三 【分析】根据题意可知由于圆周角为360°，则圆心角是120°的圆心角所对弧长是圆周长的120°÷360°=，所以所对的弧长是相应的圆的周长的，据此解答即可． 【详解】解：120°÷360°=， 它所对的弧是相应圆周长的， 答：120°的圆心角是360°的三分之一，它所对的弧是相应圆周长的三分之一． 故答案为：三；三． 【点睛】本题考查圆的弧长和圆心角，注意掌握在同一个圆中，扇形的圆心角与360度的比等于弧长与圆的周长的比． 【变式2-1】．72°的圆心角所对的弧长是圆周长的 （填几分之几）． 【答案】 【分析】72°圆心角除以周角，即可解题． 【详解】解： 即72°的圆心角所对的弧长是圆周长的 故答案为：． 【点睛】本题考查圆的有关元素的计算，涉及圆心角、弧长等知识，掌握相关知识是解题关键． 【变式2-2】．的圆心角所对的弧长是圆周长的 ．（填几分之几） 【答案】 【分析】圆心角除以整个圆心角，即可解题． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查圆的有关元素的计算，涉及圆心角、弧长等知识，掌握相关知识是解题关键． 题型3：根据比值求圆心角、弧长 【典例3】．如图，点O是圆的圆心，是半径，且，与的度数比为16：11，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，得出,则,根据与的度数比为16：11，即可求解． 【详解】解：∵，得出, ∴, ∵与的度数比为16：11， ∴, 故选B． 【点睛】本题考查了比的应用，周角的认识，正确的计算是解题的关键． 【变式3-1】．以圆为弧的扇形的圆心角（    ）度． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了圆周角和对圆的意义的灵活运用，因为圆周角是，求以圆为弧的扇形的圆心角就是把圆周角平均分成份，然后除以即可，解题的关键是圆的意义的理解和灵活运用． 【详解】解：∵以圆为弧的扇形的圆心角就是把圆周角平均分成份， ∴圆心角为， 故选：． 【变式3-2】．将长为12㎝的圆周平均分为四份，每一份的弧长为 ㎝． 【答案】3 【分析】根据题意直接求解即可． 【详解】 将长为12㎝的圆周平均分为四份 ． 故答案为3． 【点睛】本题主要考查弧长的计算，关键是根据题意直接得出答案． 题型4：已知半径、圆心角求弧长 【典例4】．半径是10，圆心角是的弧长是 ． 【答案】23.55 【分析】根据弧长公式即可求解． 【详解】=23.55． 故答案为：23.55． 【点睛】此题主要考查弧长的求解，解题的关键是熟知弧长公式的运用． 【变式4-1】．在半径为6的圆中，的圆心角所对的弧长等于 （结果保留）． 【答案】 【分析】根据弧长公式直接解答即可． 【详解】解：由弧长公式得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长公式，解题的关键是熟记弧长公式． 【变式4-2】．半径为r，圆心角为n°的弧长l＝ ． 【答案】 【分析】根据弧长公式即可确定答案． 【详解】半径为r，圆心角为n°的弧长 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长公式，熟练掌握公式是解题的关键． 【变式4-3】．已知圆的周长为C，那么圆心角为n°的弧长l＝ ． 【答案】 【分析】由题意根据圆周角等于360°，先求得n°的圆心角与圆周角之间的倍分关系，再乘以圆的周长即为所求． 【详解】解：圆的周长为C，圆心角为n°的弧长． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆的周长与弧长之间的关系，熟练掌握圆的弧长公式是解题的关键． 【变式4-4】．半径为的一个半圆的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据圆的周长计算公式计算即可，注意问题是问半圆的周长，最后进行排除选项即可． 【详解】半径为的一个半圆， ． 故选B． 【点睛】本题主要考查圆的周长计算公式，掌握公式是解题的关键． 【变式4-5】．下列计算弧长的式子中，不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，即可得出答案． 【详解】,所以A不正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了弧长公式及其变形，掌握弧长公式是解题的关键． 【变式4-6】．求图中的长度． 【答案】． 【分析】根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了弧长，熟记弧长公式是解题的关键． 题型5：已知圆心角及所对的弧长，求它所在圆的周长 【典例5】．60°的圆心角所对的弧长是18.84厘米，则它所在圆的周长为 厘米． 【答案】 【分析】根据弧长公式、圆的周长公式即可得． 【详解】设圆弧所在圆的半径为厘米， 则， 解得， 则它所在圆的周长为（厘米）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长公式、圆的周长公式，熟记公式是解题关键． 【变式5-1】．圆心角是24度，其所对的弧长是31.4厘米，求其所在圆的周长． 【答案】471厘米 【分析】设半径为rcm，根据弧长公式求出半径，然后根据圆的周长公式即可求出结论． 【详解】解：设半径为rcm， 由题意可得=31.4 解得r=75 其所在圆的周长为3.14×75×2=471（厘米） 答：其所在圆的周长为471厘米． 【点睛】此题考查的是弧长和圆的周长，掌握弧长公式和圆的周长公式是解决此题的关键． 【变式5-2】．一条弧长是56.52cm，这条弧所对的圆心角是60°，则这条弧所在圆的周长是 cm． 【答案】339.12 【分析】根据圆的周长所对的圆心角是360°，可得圆周长是这条弧长的倍数关系，进而可得答案． 【详解】(cm)． 故答案为：339.12 【点睛】本题考查圆的周长与弧长，熟记圆的周长所对的圆心角是360°是解题关键． 题型6：已知圆心角及所对的弧长，求它所在圆的半径、直径 【典例6】．已知弧长是15.7米，圆心角是90度，求弧所在圆的直径． 【答案】20米 【分析】根据弧长的计算公式代入数值求解即可． 【详解】解：设半径为r，由题意，得, 所以(米)， 所以圆的直径为(米) 【点睛】此题考查了弧长的计算，解答本题的关键是熟练记忆弧长的计算公式，属于基础题． 【变式6-1】0．若的圆心角所对的弧长为，则此弧所对的圆的半径为 ． 【答案】20 【分析】圆周角等于360°，先求得圆周角与36°的圆心角之间的倍数关系，再乘以36°的圆心角所对的弧长即为所在圆的周长，再根据圆的周长公式得到圆的半径． 【详解】 ＝ ＝（厘米） ＝（厘米） 故填：20． 【点睛】本题主要考查了圆的周长、弧长、半径之间的关系． 【变式6-2】．一条弧的长度为25.12，所对圆心角为，那么弧所在的圆的半径为 ． 【答案】12 【分析】根据弧长计算公式可直接求解． 【详解】因为一条弧的长度为25.12，所对圆心角为， 所以． 故答案为12． 【点睛】本题主要考查弧长的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键． 【变式6-3】．（1）在半径为10厘米的圆中，圆心角所对的弧长是多少厘米？ （2）若一弧长为厘米，所对的圆心角为，则这个弧所在圆的半径是多少？ 【答案】（1）所求的弧长是厘米；（2）这个弧所在圆的半径是18厘米． 【分析】(1)(2)代入弧长公式即可求解． 【详解】解：(1)由题意知，厘米，， 所以（厘米）． 答：所求的弧长是厘米， (2)设圆的半径为r，已知厘米，， 因为，所以， 解得厘米． 答：这个弧所在圆的半径是18厘米． 【点睛】本题主要考查的是弧长的公式，掌握弧长公式是解题的关键． 题型7：根据半径、弧长求圆心角 【典例7】．半径为的圆中，长为的一条弧所对的圆心角的度数为 ． 【答案】240° 【分析】直接根据弧长公式即可得到结果． 【详解】解： 由题意得，解得n=240， 则长为的一条弧所对的圆心角的度数为． 故答案为：240° 【点睛】解答本题的关键是熟练掌握弧长的计算公式：，运用公式解题时，需注意公式中n的值在代入计算时不能带有度数． 【变式7-1】．已知圆弧的半径为15厘米，圆弧的长度为，求圆心角的度数． 【答案】 【分析】根据弧长的计算公式计算即可． 【详解】解：圆心角的度数． 【点睛】本题考查弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键． 【变式7-2】．弧长等于半径的圆弧所对的圆心角是 度（结果保留）． 【答案】 【分析】将l=r代入公式求解即可． 【详解】， n=． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查弧长与圆周长比例公式，熟记公式是解题关键． 题型8：弧长有关计算比值综合题 【典例8】．一条弧所对的圆心角是，则这条弧长与这条弧所在圆的周长之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用这条弧所对的圆心角的度数除以360°即可求出结论． 【详解】解：72÷360= 即这条弧长与这条弧所在圆的周长之比为 故选C． 【点睛】此题考查的是弧长与圆的周长，掌握弧长与这条弧所在圆的周长之比等于这条弧所对的圆心角与360°的比是解题关键． 【变式8-1】．周长是720毫米的圆上，有一条长为360毫米的弧，这条弧所对的圆心角的度数为 ． 【答案】180° 【分析】先算出360毫米的弧占周长为720毫米的圆的百分比，然后再乘以即可算出． 【详解】由题意可得： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆心角的求法，熟练掌握圆心角和弧的关系是解题的关键． 【变式1-1】．若一条弧长是它所在圆的周长的，则这条弧所对的圆心角等于 度． 【答案】72 【分析】根据题意可得：这条弧所对的圆心角等于周角的，从而求出结论． 【详解】解：∵一条弧长是它所在圆的周长的， ∴这条弧所对的圆心角=360°×=72° 故答案为：72． 【点睛】此题考查的是根据弧长所占圆的周长的几分之几，求弧所对的圆心角的度数，掌握弧长占它所在圆的周长的几分之几等于这条弧所对的圆心角占周角的几分之几是解决此题的关键． 【变式8-2】．在同一个圆中，100°的圆心角所对的弧的弧长与20°的圆心角所对的弧的弧长之比是 ． 【答案】 【分析】根据弧长公式进行计算再求比即可． 【详解】100°的圆心角所对的弧的弧长：， 【变式1-1】0°的圆心角所对的弧的弧长：， ∴：=5：1． 故答案为：5：1． 【点睛】本题考查了弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 题型9：弧长的应用（钟表，旋转等问题） 【典例9】．台钟的时针长为9厘米，经过4小时，时针的针尖走过的路径长是 ． 【答案】18.84 厘米 【分析】经过4小时，，时针共转了4个大格，时针的针尖走过的路径长是圆周长的． 【详解】经过4小时，时针的针尖走过的路径长是2×3.14×9×=18.84（厘米） 故答案为：18.84厘米 【点睛】本题考查了弧长的计算，准确的计算出时针转过的角度是解题的关键． 【变式9-1】．如果挂钟分针的针尖小时正好走了25.12厘米，那么它的分针长 厘米．取3.14） 【答案】16 【分析】因为分针1小时正好转了一圈，即走了一个圆的周长，所以分针的针尖在小时内走了圆的周长，由此得出就是整个圆的周长，根据圆的周长公式，得出，求出分针的长度． 【详解】解： （厘米） 答：它的分针长16厘米． 故答案为：16． 【点睛】关键是明白分针的针尖在小时内走了圆的周长，再灵活利用圆的周长公式解决问题． 【变式9-2】．已知AD之间的距离是3cm ，点A绕点D旋转70°时，它经过的路线长是 【答案】 【分析】点A绕点D旋转70时，它经过的路线是以D为圆心，以DA为半径的弧，利用弧长公式求解即可. 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查的是弧长公式，掌握弧长公式是关键. 【变式9-3】．分针长为2厘米，经过25分钟，分针的外端点绕钟面轴心转过的弧长 厘米．（结果保留） 【答案】 【分析】利用弧长公式计算即可． 【详解】解：分针25分钟旋转了6°×25＝150°， 分针的外端点绕钟面轴心转过的弧长＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查弧长公式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 题型10：求阴影部分的周长 【典例10】．计算涂色部分的周长． 【分析】用两个半圆的弧长加上大圆的半径即可． 【解析】解：涂色部分的周长为：． 【点评】本题考查弧长，掌握圆的周长的计算方法是解决问题的关键． 【变式10-1】．求阴影部分的周长． 【分析】首先求出，大半圆的半径，然后运用弧长公式直接计算即可解决问题． 【解析】解：由题意得： 大半圆的半径， 阴影部分的周长． 【点评】该题主要考查了弧长公式及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、解答． 【变式10-2】．求下列各阴影部分的周长．（单位：厘米） 【分析】（1）由圆周长公式即可计算； （2）由圆周长公式，弧长公式即可计算． 【解析】解：（1）阴影的周长大圆周长的一半小圆的周长， 大圆的直径厘米，小圆的直径厘米， 阴影的周长（厘米）； （2）阴影的周长扇形的弧长圆周长的一半扇形的半径， 扇形的弧长（厘米），圆周长的一半（厘米）， 阴影的周长（厘米）． 【点评】本题考查求阴影的周长，关键是掌握圆周长公式，弧长公式． 一、填空题 1．若直径长为2厘米，圆心角为45度，那么圆心角所对的弧长为 厘米． 【答案】 【分析】根据弧长公式即可得． 【详解】所求弧长为（厘米）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长公式，熟记公式是解题关键． 2．半径为的圆中，长为的一条弧所对的圆心角的度数为 ． 【答案】240° 【分析】直接根据弧长公式即可得到结果． 【详解】解： 由题意得，解得n=240， 则长为的一条弧所对的圆心角的度数为． 故答案为：240° 【点睛】解答本题的关键是熟练掌握弧长的计算公式：，运用公式解题时，需注意公式中n的值在代入计算时不能带有度数． 3．若的圆心角所对的弧长为，则此弧所对的圆的半径为 ． 【答案】20 【分析】圆周角等于360°，先求得圆周角与36°的圆心角之间的倍数关系，再乘以36°的圆心角所对的弧长即为所在圆的周长，再根据圆的周长公式得到圆的半径． 【详解】 ＝ ＝（厘米） ＝（厘米） 故填：20． 【点睛】本题主要考查了圆的周长、弧长、半径之间的关系． 4．一条弧长是56.52cm，这条弧所对的圆心角是60°，则这条弧所在圆的周长是 cm． 【答案】339.12 【分析】根据圆的周长所对的圆心角是360°，可得圆周长是这条弧长的倍数关系，进而可得答案． 【详解】(cm)． 故答案为：339.12 【点睛】本题考查圆的周长与弧长，熟记圆的周长所对的圆心角是360°是解题关键． 5．一弧长为，这弧的半径为，则弧所对的圆心角为 度． 【答案】270 【分析】利用弧长公式即可求解． 【详解】解：该弧所对的圆心角为， 故答案为：270． 【点睛】本题考查弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键． 6．如图是由一个半径为r的半圆和一条直径所组成的图形，那么这个图形的周长可表示为 （结果保留）． 【答案】2 r +πr 【详解】半径为r的半圆长为πr，直径为2r，所以这个图形的周长为2r +πr， 故答案为2r+πr. 二、解答题 7．圆的半径为5厘米，一个圆心角所对的弧长为12.56厘米，求这个圆心角的度数． 【答案】 【分析】根据弧长公式计算，即可得到答案． 【详解】∵弧长 ∴ ∴圆心角的度数为． 【点睛】本题考查了弧长和圆心角计算的知识；求解的关键熟练掌握弧长计算的方法，从而完成求解． 一．选择题 1．下列判断中正确的是（　　） A．半径越大的弧越长 B．所对的圆心角越大弧越长 C．所对的圆心角相等时，半径越大的弧越短 D．半径相等时，所对的圆心角越大的弧越长 【分析】由弧长公式l，即可判断． 【解析】解：A、半径越大，圆心角不一定大，故A不符合题意； B、圆心角越大，扇形的半径不一定大，故B不符合题意； C、所对圆心角相等时，半径越大的弧越长，故C不符合题意； D、半径相等时，所对的圆心角越大的弧越长，正确，故D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查弧长，关键是掌握弧长公式． 2．一个时钟的时针长3厘米，经过一昼夜（24小时）后，时针的尖端走了（　　）厘米（π取3.14） A．452.16 B．226.08 C．37.68 D．18.84 【分析】根据圆的周长公式，由时针走一圈尖端所走的长度乘以24小时走的圈数计算即可． 【解析】解：2π×337.68（厘米）， ∴时针的尖端走了37.68厘米． 故选：C． 【点评】本题考查弧长，掌握圆的周长计算公式是解题的关键． 3．一个闹钟的分针长6cm，从1：20到3：50，这根分针的尖端走了（　　）cm． A．30π B．15π C．24π D．以上都不对 【分析】先求出分针旋转的圈数，然后根据圆的计算公式进行计算即可． 【解析】解：∵分针长从1：20到3：50，旋转了2.5圈， ∴这根分针的尖端走了2.5×2π×6＝30π（cm）， 即这根分针的尖端走了30πcm． 故选：A． 【点评】本题主要考查了弧长，熟练掌握圆的周长计算公式是解题的关键． 4．如图中图形的周长是（　　）米． A．25.7 B．31.4 C．15.7 D．39.25 【分析】根据周长等于半圆的直径加上半圆的弧长即可得出答案． 【解析】解：∵半圆的直径是10米， ∴图形的周长为：10+π×1025.7（米）． 故答案为：A． 【点评】本题考查了圆的周长，解题的关键是掌握圆周长的计算公式并灵活运用． 5．如图为两个边长相等的正方形，其中半圆的直径为正方形的边长，则图中阴影部分的周长相比（　　） A．甲大 B．乙大 C．相等 D．无法比较 【分析】设正方形的边长为a，根据圆周长的计算方法，分别用代数式表示图甲、图乙中阴影部分的周长即可． 【解析】解：如图，设正方形的边长为a， 图甲中阴影部分的周长是直径为a的圆周长与两条正方形边长的和，即πa+2a， 图乙中阴影部分的周长是直径为a的圆周长与两条正方形边长的和，即πa+2a， 所以图甲阴影部分的周长与图乙阴影部分周长是相等的， 故选：C． 【点评】本题考查弧长，掌握圆周长的计算方法是正确解答的前提． 二．填空题 6．弧分为 　优弧　、　半圆　和 　劣弧　． 【分析】根据弧的定义即可得出答案． 【解析】解：弧分为优弧、半圆和劣弧． 故答案为：优弧、半圆、劣弧． 【点评】本题考查了弧的定义，熟练掌握与圆有关的概念是解决问题的关键． 三．解答题 7．如图，有3个大小相同的圆，它们的阴影部分周长一样长． 　√　（判断对错） 【分析】观察图形可知，第一个图形阴影部分的周长，等于这个圆的周长，第二个图形中阴影部分的周长等于这个圆的周长，第三个图形的周长，等于这个圆的周长，由此判断即可． 【解析】解：观察图形可知，第一个图形中，阴影部分的四个弧的长度之和正好是圆的周长； 第二个图形中，阴影部分外圈是圆的周长的一半，内圈3个小半圆弧长之和等于大半圆的弧长，所以阴影部分的周长等于圆的周长； 第三个图形中，大半圆内的两个白色小半圆的弧长之和等于大半圆的弧长，所以图中阴影部分的周长等于圆的周长，因为三个圆的大小相等，所以阴影部分的周长一样长是正确的． 故答案为：√． 【点评】本题考查了半圆的弧长，由题意，得出图中几个小半圆的弧长之和等于大半圆的弧长是解题的关键． 8．（1）求阴影部分的周长（结果保留π）； （2）求阴影部分面积（结果保留π）． 【分析】（1）阴影部分的周长等于三个半圆的长度和； （2）阴影部分的面积＝正方形的面积﹣圆面积． 【解析】解：（1）π×（8+4）π×8π×4 ＝6π+4π+2π ＝12π， 答：阴影部分的周长为12π； （2）6×6﹣π×（）2＝36﹣9π， 答：阴影部分面积为36﹣9π． 【点评】本题考查弧长，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 弧长（十一大题型） 学习目标 1.了解圆的有关概念，如弧，半圆，优弧、劣弧等； 2. 知道圆心角，圆心角所对的弧及它们之间的联系； 3. 掌握弧长的计算及应用. 知识点1 圆的有关概念（续） 1.圆上两点之间的部分称为弧，它是圆的一部分. 2.圆任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫作半圆(图6-1-8). 我们把小于半圆的弧叫作劣弧，把大于半圆的弧叫作优弧.在图6-1-9中，红色部分的弧是劣弧，记作 读作“弧AB”;蓝色部分的弧是优弧，记作 , 读作“弧ACB” . 3.圆心角：像∠AOB这样，顶点在圆心的角叫作圆心角. 4.圆心角所对的弧：如图6-1-9,右侧小于平角的∠AOB (小于180°)是AB所对的圆心角，也称AB是圆心角∠AOB(小于180°)所对的弧.同理，左侧大于平角的∠AOB (大于180°)是ACB所对的圆心角，也称ACB是圆心角∠AOB (大于180°)所对的弧. 知识点2 弧长（n°的圆心角所对的弧长） 1.弧是相应的圆的一部分. 1°的圆心角所对的弧长是圆周长的 n° 的圆心角所对的弧长是圆周长的 如图6-1-11,圆心角与周角之比等于弧长与圆的周长之比. 如果用l表示弧长，r 表示半径，那么n°的圆心角所对的弧长的计算公式是 【即学即练1】下图中是圆心角的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】计算弧长需要知道（     ） A．直径 B．半径 C．圆心角 D．半径和圆心角 【即学即练3】在半径是18厘米的圆中，150°圆心角所对的弧长是 厘米 【即学即练4】一条弧所对的圆心角是144°，那么这条弧长与这条弧所在圆的周长之比为（    ） A． B． C． D． 【即学即练5】如果一条弧的长度是它所在圆的周长的，那么这条弧所对的圆心角是 °． 题型1：圆的有关概念（续） 【典例1】．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在圆上，则以点A为一个端点的劣弧有 ，以点A为一个端点的优弧有 ． 【变式1-1】．下列图形中的角是圆心角的有 个． 题型2：圆心角与弧长的关系 【典例2】．120°的圆心角是360°的 分之一，它所对的弧是相应圆周长的 分之一． 【变式2-1】．72°的圆心角所对的弧长是圆周长的 （填几分之几）． 【变式2-2】．的圆心角所对的弧长是圆周长的 ．（填几分之几） 题型3：根据比值求圆心角、弧长 【典例3】．如图，点O是圆的圆心，是半径，且，与的度数比为16：11，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】．以圆为弧的扇形的圆心角（    ）度． A． B． C． D． 【变式3-2】．将长为12㎝的圆周平均分为四份，每一份的弧长为 ㎝． 题型4：已知半径、圆心角求弧长 【典例4】．半径是10，圆心角是的弧长是 ． 【变式4-1】．在半径为6的圆中，的圆心角所对的弧长等于 （结果保留）． 【变式4-2】．半径为r，圆心角为n°的弧长l＝ ． 【变式4-3】．已知圆的周长为C，那么圆心角为n°的弧长l＝ ． 【变式4-4】．半径为的一个半圆的周长是（     ） A． B． C． D． 【变式4-5】．下列计算弧长的式子中，不正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-6】．求图中的长度． 题型5：已知圆心角及所对的弧长，求它所在圆的周长 【典例5】．60°的圆心角所对的弧长是18.84厘米，则它所在圆的周长为 厘米． 【变式5-1】．圆心角是24度，其所对的弧长是31.4厘米，求其所在圆的周长． 【变式5-2】．一条弧长是56.52cm，这条弧所对的圆心角是60°，则这条弧所在圆的周长是 cm． 题型6：已知圆心角及所对的弧长，求它所在圆的半径、直径 【典例6】．已知弧长是15.7米，圆心角是90度，求弧所在圆的直径． 【变式6-1】．若的圆心角所对的弧长为，则此弧所对的圆的半径为 ． 【变式6-2】．一条弧的长度为25.12，所对圆心角为，那么弧所在的圆的半径为 ． 【变式6-3】．（1）在半径为10厘米的圆中，圆心角所对的弧长是多少厘米？ （2）若一弧长为厘米，所对的圆心角为，则这个弧所在圆的半径是多少？ 题型7：根据半径、弧长求圆心角 【典例7】．半径为的圆中，长为的一条弧所对的圆心角的度数为 ． 【变式7-1】．已知圆弧的半径为15厘米，圆弧的长度为，求圆心角的度数． 【变式7-2】．弧长等于半径的圆弧所对的圆心角是 度（结果保留）． 题型8：弧长有关计算比值综合题 【典例8】．一条弧所对的圆心角是，则这条弧长与这条弧所在圆的周长之比为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】．周长是720毫米的圆上，有一条长为360毫米的弧，这条弧所对的圆心角的度数为 ． 【变式8-2】．若一条弧长是它所在圆的周长的，则这条弧所对的圆心角等于 度． 【变式8-3】．在同一个圆中，100°的圆心角所对的弧的弧长与20°的圆心角所对的弧的弧长之比是 ． 题型9：弧长的应用（钟表，旋转等问题） 【典例9】．台钟的时针长为9厘米，经过4小时，时针的针尖走过的路径长是 ． 【变式9-1】．如果挂钟分针的针尖小时正好走了25.12厘米，那么它的分针长 厘米．取3.14） 【变式9-2】．已知AD之间的距离是3cm ，点A绕点D旋转70°时，它经过的路线长是 【变式9-3】．分针长为2厘米，经过25分钟，分针的外端点绕钟面轴心转过的弧长 厘米．（结果保留） 题型10：求阴影部分的周长 【典例10】．计算涂色部分的周长． 【变式10-1】．求阴影部分的周长． 【变式10-2】．求下列各阴影部分的周长．（单位：厘米） 一、填空题 1．若直径长为2厘米，圆心角为45度，那么圆心角所对的弧长为 厘米． 2．半径为的圆中，长为的一条弧所对的圆心角的度数为 ． 3．若的圆心角所对的弧长为，则此弧所对的圆的半径为 ． 4．一条弧长是56.52cm，这条弧所对的圆心角是60°，则这条弧所在圆的周长是 cm． 5．一弧长为，这弧的半径为，则弧所对的圆心角为 度． 6．如图是由一个半径为r的半圆和一条直径所组成的图形，那么这个图形的周长可表示为 （结果保留）． 二、解答题 7．圆的半径为5厘米，一个圆心角所对的弧长为12.56厘米，求这个圆心角的度数． 一．选择题 1．下列判断中正确的是（　　） A．半径越大的弧越长 B．所对的圆心角越大弧越长 C．所对的圆心角相等时，半径越大的弧越短 D．半径相等时，所对的圆心角越大的弧越长 2．一个时钟的时针长3厘米，经过一昼夜（24小时）后，时针的尖端走了（　　）厘米（π取3.14） A．452.16 B．226.08 C．37.68 D．18.84 3．一个闹钟的分针长6cm，从1：20到3：50，这根分针的尖端走了（　　）cm． A．30π B．15π C．24π D．以上都不对 4．如图中图形的周长是（　　）米． A．25.7 B．31.4 C．15.7 D．39.25 5．如图为两个边长相等的正方形，其中半圆的直径为正方形的边长，则图中阴影部分的周长相比（　　） A．甲大 B．乙大 C．相等 D．无法比较 二．填空题 6．弧分为 　 　、　 　和 　 　． 三．解答题 7．如图，有3个大小相同的圆，它们的阴影部分周长一样长． 　 　（判断对错） 8．（1）求阴影部分的周长（结果保留π）； （2）求阴影部分面积（结果保留π）． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$