专题14 几何图形初步（中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（山东专用）

专题14 几何图形初步 课标要求 考点 考向 1．通过实物和模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等概念。 2. 会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义。 3. 掌握基本事实:两点确定一条直线。 4. 掌握基本事实:两点之间线段最短。 5. 理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离。 6. 理解角的概念，能比较角的大小;认识度、分、秒等角的度量单位，能进行简单的单位换算，会计算角的和、差。 7. 理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角(或等角)的余角相等、同角(或等角)的补角相等的性质。 8. 理解垂线、垂线段等概念，能用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线。 9. 掌握基本事实:同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 10. 理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离。 11. 识别同位角、内错角、同旁内角。 12. 理解平行线的概念。 13. 掌握平行线基本事实I:过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 14. 掌握平行线基本事实II:两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。探索并证明平行线的判定定理:两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等(或同旁内角互补)，那么这两条直线平行。 15. 掌握平行线的性质定理I:两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。 16. 探索并证明平行线的性质定理II:两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等(或同旁内角互补)。 17. 能用三角板和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。 18. 了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作模型. 几何图形初步 考向一 几何体的展开图 考向二 圆柱中的相关计算 考向三 对顶角 考向四 平行线求角 考点 几何图形初步 ►考向一 几何体的展开图 1.（2024•济宁）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“建”字一面的相对面上的字是（    ） A．人 B．才 C．强 D．国 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“Z”型首尾是相对的面，根据这一特点作答． 【详解】解：由图可得，有“建”字一面的相对面上的字是“国”， 故选：D． 2.（2024•青岛）如图①，将边长为的正方形纸板沿虚线剪掉边长为的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要 块；如图③，将长、宽、高分别为的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要 块． 【答案】 12 144 【难度】0.65 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，最小公倍数等知识，先拼成一个基础图形（体），再根据正方形（体）的特征，即可解答． 【详解】解：先用2个图②拼成一个长为3，宽为2的长方形，面积为6， 的最小公倍数是6， 如图， 6个这样的长方形拼成一个面积为36的正方形，此时边长为6， 需图②的个数：（个）； 同理用2个图④拼成长，宽，高分别为4, 3, 2的长方体， 用个这样的长方体拼成一个长，宽，高为12，12，2的长方体，用6个这样的长方体可以拼成长，宽，高为12，12，12的正方体， 此时需要：（个）． 故答案为：12；144． ►考向二 圆柱中的相关计算 1.（2024•潍坊）（多选）如图，圆柱的底面半径为，高为1，下列关于该圆柱的结论正确的有（    ）    A．体积为 B．母线长为1 C．侧面积为 D．侧面展开图的周长为 【答案】BC 【分析】本题主要考查圆柱的体香，母线长，侧面积以及侧面展开图的周长，运用相关知识求解各选项再判断即可 【详解】解：A.∵圆柱的底面半径为，高为1， ∴圆柱的体积为，故选项A不符合题意； B.∵圆柱的高为1， ∴圆柱的母线长为1，故选项B正确，符合题意； C. ∴圆柱的底面半径为，高为1， ∴圆柱的底面周长为， ∴侧面积为，故选项C正确，符合题意； D.∵圆柱的底面周长为，高为1， ∴圆柱的侧面展开图的周长为，故选项D错误，不符合题意 综上，正确的结论为B，C， 故选：BC ►考向三 对顶角 1.（2024•日照）如图，直线相交于点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查对顶角的定义，几何中角度的计算，由对顶角相等得到，即可解答． 【详解】解：， ． 故选：B． ►考向四 平行线求角 1.（2024•东营）已知，直线，把一块含有角的直角三角板如图放置，，三角板的斜边所在直线交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，得出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 2.（2024•济南）如图，已知，是等腰直角三角形，，顶点分别在上，当时， ． 【答案】/65度 【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，根据平行线的性质，得到，等边对等角，得到，再根据角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 3.（2024•泰安）如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质、等边三角形的性质，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据等边三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 4.（2024•潍坊）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角．顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线性质，平行公理的推论，过点作，可得，即得，，根据求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴与所成锐角的度数为为， 故选：． 5.（2024•淄博）如图，已知，平分．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是平行线的性质及角平分线的定义，解题时要熟练掌握并能灵活运用平行线的性质是关键．依据题意，根据平行线及角平分线的性质求解即可． 【详解】解：， ，； 平分， ． ． 故选：C 一、单选题 1．（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图，小东制作了一个无盖正方体收纳盒，盒子的前面有一圆形标签，则此收纳盒的展开图是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了几何体的展开图，从实物出发，结合具体的问题，根据正方体展开图的特征解答即可． 【详解】解：此收纳盒的展开图是：    故选：B． 2．（22-23七年级下·山东菏泽·期中）下列说法中正确的是（    ） A．若，则平分. B．若，则，，互为补角. C．相等的角是对顶角. D．等角的余角相等. 【答案】D 【分析】此题考查了角平分线的定义、互补的定义、对顶角、余角的性质等知识，根据相关知进行判断即可 【详解】A. 若，则不一定平分，故选项错误，不符合题意； B. 若两个角的和为，就说这两个角互为补角，互为补角是两个角之间的关系，故选项错误，不符合题意； C. 相等的角不一定是对顶角.故选项错误，不符合题意； D. 等角的余角相等.故选项正确，符合题意； 故选：D 3．（23-24七年级下·山东临沂·期末）按下列要求画图，只能画出一条直线的是（    ） 过点P画与已知直线l垂直的直线    过点P画与已知直线l相交的直线    过点P画与直线l平行的直线 ①                                  ②                              ③ A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查平行公理和垂直，根据“在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”和“在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行”即可解答． 【详解】在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直，故①只能画出一条直线； 在同一平面内，过直线外一点能作无数条直线与已知直线相交，故②能画出无数条直线； 在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行，故③只能画出一条直线； 故选：D． 4．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，将三角尺和三角尺叠放在一起，直角边与完全重合，已知长为，若三角尺沿方向移动，此时测得长是6，则移动距离是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知，，则，如图，作于，则，，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 如图，作于， ∴cm，cm，cm， ∴cm， ∴cm， 故选：C． 【点睛】本题考查了平移的性质，平行线的性质，正切，正弦，余弦等知识．熟练掌握平移的性质，平行线的性质，正切，正弦，余弦是解题的关键． 二、填空题 5．（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图是有五个正方形组成的平面图形，小军手中还有大小相同，标有不同数字的正方形，现在他想这五个正方形基础上添加一个正方形，拼接后可以折叠成一个正方体，并且要求正方体对面数字之和相等，则他共有 种拼接方法，如果他添加的正方形上的数字是，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形确定出相对面，再根据相对面上的数字之和相等解答． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “”与“”是相对面， “”与“”是相对面， 所以，要添加的是“3”的相对面， ∴要添加一个正方形，使它能折叠成一个正方体，且使相对面上的数字之和相等，则共有4种不同的添法．如图所示： ∵正方体对面数字之和相等， ∴ ∴ ∴， 故答案为：，． 6．（2023·山东烟台·二模）七巧板是古代中国劳动人民的发明，是一种古老的中国传统智力游戏，其历史至少可以追溯到公元前一世纪．小明将一个边长为4的正方形制作成一副如图1所示的七巧板，取出其中的六块，拼成了一个（如图2），则的对角线AC的长度为 ．    【答案】 【分析】延长，过点A作于点E，根据七巧板的特点得到，，根据勾股定理求出即可． 【详解】如图所示，延长，过点A作于点E，    根据七巧板的特点可得，，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了七巧板的特点，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握正方形的性质． 7．（23-24七年级下·山东威海·期末）一副三角板如图摆放，点F是边中点，连接．将绕点B旋转．若，则 ． 【答案】或或或 【分析】本题考查平行线的性质，与三角板有关的计算，分4种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：根据题意得， ∵点是边中点， ∴， ∴， 如图， ∵， ∴， ∴； 如图， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图， ∵， ∴， ∴； 如图， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或或或． 故答案为：或或或． 三、解答题 8．（23-24七年级上·山东济宁·期中）数学课上，王老师在黑板上写出了一道题让大家回答，题目如下： 在直线上取A，，三点，使得，；如果是线段的中点，那么线段的长度是多少？ 学生小明读完题后，稍微一想就画出了如图所示图形，并进行了解答： 因为，是线段的中点， 所以______， 因为____________，， 所以______cm． (1)请你帮助小明将其解答过程在横线上补充完整． (2)学生小惠看完小明的解答后，对其产生了质疑，她认为小明对此题的考虑不全面，忽略了一种情况．请你把小明忽略的那种情况画出图形，并模仿（1）中的格式进行解答． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了线段的和差和线段的中点的定义，解题关键是掌握各点之间的位置关系． （1）先计算，再根据线段之间的和差关系进行加减即可； （2）画出图形后利用即可求解． 【详解】（1）解：因为，是线段的中点， 所以， 因为，， 所以cm． （2）解：如图所示： 因为，是线段的中点， 所以， 因为，， 所以cm． 9．（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图，点在直线上，过作射线和，，是的角平分线，已知，求． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，由得，进而根据角平分线的定义得，即可得，再根据即可求解，掌握角平分线的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴． 10．（23-24六年级下·山东烟台·期末）【阅读材料】 在利用平行线的性质解答角的问题时，有时需要添加辅助线来帮助解答．辅助线的添加既可以产生新的条件，又能将题目中的原有条件联系在一起． 例：如图①，，M，N分别为直线上的点，E为之间一点，连接得到．请说明． 解：过点E作． 因为，所以． 因为，所以． 所以． 因为，所以． 【问题解决】 如图，，M，N分别为直线上的点． (1)如图②，E为之间一点，锐角和钝角的角平分线所在的直线交于点F，与交于点G． ①若，，求，的度数； ②若，，求的度数（用含的代数式表示）； (2)如图③，E，F均为之间的点，，请直接写出的度数． 【答案】(1)①；；② (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质，准确做出辅助线是解题关键 （1）如图，过点E作，根据平行线的判定与性质以及三角形内角和结合角平分线定义即可求出结果；过点E作，根据平行线的判定与性质以及三角形内角和结合角平分线定义即可求出结果； （2）过点作，过点F作，根据平行线的判定与性质以及三角形内角和即可求出结果； 【详解】（1）解：①如图，过点E作， ， ， ， ； ∵锐角和钝角的角平分线所在的直线交于点F ， ， ， ， ， ； ②如图，过点E作， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （2）如图，过点作，过点F作， ， ， ，， ， ，， ， 11．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）小莹将两把完全相同的长方形直尺和如图放置，两把直尺的接触点为，的延长线经过点且与相交于点． (1)试说明点在的角平分线上； (2)已知点，在直尺上的刻度读数分别是和，求的长． 【答案】(1)理由见解析； (2)． 【分析】（）作 于点，连接，由四边形和四边形是完全相同的长方形，可知，，则点在的平分线上； （）连接，则平分，所以，而，则，所以； 本题考查了等角对等边，角平分线的判定，平行线的性质等知识，掌握知识点的应用及正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，作于点，连接， ∵四边形和四边形是完全相同的长方形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ， ∴点在的平分线上， （2）解：连接，则平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 12．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）已知：在图图中，，点，点，点与，在同一平面内． (1)探究与表达请直接写出： 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系： 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系； 图中，，，，的数量关系； (2)推导与应用如图，将长方形纸片沿折叠，已知，求的度数． 【答案】(1)； ；；；；； (2)． 【分析】（）根据平行线的判定与性质即可求解； （）利用（）中的结论即可求解； 本题考查了平行线的性质和平行定理推论，熟练掌握知识点的应用及正确添加辅助线是解题的关键． 【详解】（1）如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴； 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图，同理， 同理：； （2）由上可知：， ∵，， ∴． 13．（24-25七年级上·山东淄博·期中）【阅读材料】：为了说明“三角形的内角和是”，小明给出了如图所示的四种作辅助线的方法． 方法①：过的顶点C作； 方法②：点P在的边上，过点P作交于点E，交于点F； 方法③：点P在的内部，过点P作交于点E，F，交于点D，G，交于点M，N； 方法④：点P在的外部，过点P作交于点E，F，交于点D，． 【解答问题】： (1)小明的四种作辅助线的方法中，能说明“三角形的内角和是”的是______；（只填写序号） (2)请从你在（1）中填写的方法里选择一种方法，说明“三角形的内角和是”． 【答案】(1)①②③④ (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明方法． （1）根据辅助线的作法，结合平行线的性质逐个图分析即可； （2）选择方法①，由平行线的性质得，，结合可证． 【详解】（1）解：根据辅助线的作法，结合平行线的性质可知①②③④均能说明“三角形的内角和是”． 故答案为：①②③④； （2）解：选择方法①， 因为 所以，， 所以， 因为， 所以， 所以三角形内角和为． 14．（24-25七年级上·山东青岛·期中）【提出问题】睿睿在学习完平行线的基本模型——猪蹄模型后，想继续研究相关模型的特点，于是他组织数学兴趣小组进行了以下探究：    【分析问题】如图，已知直线，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设，，． 【解决问题】（1）问题一：如图1，当点P在线段EF上运动时，试探索，，之间数量的关系，并给出证明．睿睿回忆猪蹄模型的证明方法：“过点P作……”请你用直尺和铅笔在图1中作出这一辅助线，并帮助睿睿完成证明； 【类比探究】（2）问题二：当点P在线段外运动时，（1）中的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系． ①如图2，当动点P在线段之外且在直线a的上方运动（不与E点重合）时，，，满足什么数量关系？请给出证明； ②请用直尺、铅笔，在图3中画出动点P在线段之外且在直线b的下方运动（不与F点重合）时的图形，并仿照图1，图2，标出图3中的，，，此时，，之间有何数量关系，请直接写出结论，不必说明理由． 【应用拓展】 （3）问题三：如图4所示，请直接写出图4中，，，之间的数量关系，不必说明理由． 【答案】（1），见解析， （2）①不成立，新的结论为   ②不成立，结论为:  （3） 【分析】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键. 过点作利用两直线平行内错角相等得到，根据 得到，再利用两直线平行内错角相等，根据，等量代换即可得证； ①过点作，同理得到，根据，等量代换即可得证； ②过点作，同理得到，根据，等量代换即可得证； （）过点作，点作，得到，，，然后根据等量代换即可． 【详解】（1），理由如下： 过点作，    ， ， ， ， ， ； （2）①不成立，新的结论为 理由为： 过作，   ， ， ， ， ， ； ②不成立，如图③所示， 结论为：； 过作， ， ， ， ， ， ；    （3）， 过点作，点作， 又∵， ∴， ∴，，， 即， ∴．    15．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）如图，已知四边形，点是延长线上一点，连接，交于点，其中； (1)求证：； (2)若平分，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，连接，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用已知条件和对顶角相等得到，即可证明结论； （2）证明，，利用等量代换即可得到结论； （3）证明，则，设，得到，，，利用三角形内角定理列方程求出即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）∵平分， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴； （3）∵ ∴， ∴， 设， ∵， ∴，， 在中， 解得 即 【点睛】此题考查了平行线的判定和性质、三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质、一元一次方程等知识，熟练掌握平行线的判定和性质、三角形内角和定理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 几何图形初步 课标要求 考点 考向 1．通过实物和模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等概念。 2. 会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义。 3. 掌握基本事实:两点确定一条直线。 4. 掌握基本事实:两点之间线段最短。 5. 理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离。 6. 理解角的概念，能比较角的大小;认识度、分、秒等角的度量单位，能进行简单的单位换算，会计算角的和、差。 7. 理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角(或等角)的余角相等、同角(或等角)的补角相等的性质。 8. 理解垂线、垂线段等概念，能用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线。 9. 掌握基本事实:同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 10. 理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离。 11. 识别同位角、内错角、同旁内角。 12. 理解平行线的概念。 13. 掌握平行线基本事实I:过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 14. 掌握平行线基本事实II:两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。探索并证明平行线的判定定理:两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等(或同旁内角互补)，那么这两条直线平行。 15. 掌握平行线的性质定理I:两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。 16. 探索并证明平行线的性质定理II:两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等(或同旁内角互补)。 17. 能用三角板和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。 18. 了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作模型. 几何图形初步 考向一 几何体的展开图 考向二 圆柱中的相关计算 考向三 对顶角 考向四 平行线求角 考点 几何图形初步 ►考向一 几何体的展开图 1.（2024•济宁）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“建”字一面的相对面上的字是（    ） A．人 B．才 C．强 D．国 2.（2024•青岛）如图①，将边长为的正方形纸板沿虚线剪掉边长为的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要 块；如图③，将长、宽、高分别为的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要 块． ►考向二 圆柱中的相关计算 1.（2024•潍坊）（多选）如图，圆柱的底面半径为，高为1，下列关于该圆柱的结论正确的有（    ）    A．体积为 B．母线长为1 C．侧面积为 D．侧面展开图的周长为 ►考向三 对顶角 1.（2024•日照）如图，直线相交于点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． ►考向四 平行线求角 1.（2024•东营）已知，直线，把一块含有角的直角三角板如图放置，，三角板的斜边所在直线交于点，则（   ） A． B． C． D． 2.（2024•济南）如图，已知，是等腰直角三角形，，顶点分别在上，当时， ． 3.（2024•泰安）如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4.（2024•潍坊）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角．顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 5.（2024•淄博）如图，已知，平分．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图，小东制作了一个无盖正方体收纳盒，盒子的前面有一圆形标签，则此收纳盒的展开图是（   ）    A．   B．   C．   D．   2．（22-23七年级下·山东菏泽·期中）下列说法中正确的是（    ） A．若，则平分. B．若，则，，互为补角. C．相等的角是对顶角. D．等角的余角相等. 3．（23-24七年级下·山东临沂·期末）按下列要求画图，只能画出一条直线的是（    ） 过点P画与已知直线l垂直的直线    过点P画与已知直线l相交的直线    过点P画与直线l平行的直线 ①                                  ②                              ③ A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 4．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，将三角尺和三角尺叠放在一起，直角边与完全重合，已知长为，若三角尺沿方向移动，此时测得长是6，则移动距离是（   ） A．2 B． C． D． 二、填空题 5．（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图是有五个正方形组成的平面图形，小军手中还有大小相同，标有不同数字的正方形，现在他想这五个正方形基础上添加一个正方形，拼接后可以折叠成一个正方体，并且要求正方体对面数字之和相等，则他共有 种拼接方法，如果他添加的正方形上的数字是，则 ． 6．（2023·山东烟台·二模）七巧板是古代中国劳动人民的发明，是一种古老的中国传统智力游戏，其历史至少可以追溯到公元前一世纪．小明将一个边长为4的正方形制作成一副如图1所示的七巧板，取出其中的六块，拼成了一个（如图2），则的对角线AC的长度为 ．    7．（23-24七年级下·山东威海·期末）一副三角板如图摆放，点F是边中点，连接．将绕点B旋转．若，则 ． 三、解答题 8．（23-24七年级上·山东济宁·期中）数学课上，王老师在黑板上写出了一道题让大家回答，题目如下： 在直线上取A，，三点，使得，；如果是线段的中点，那么线段的长度是多少？ 学生小明读完题后，稍微一想就画出了如图所示图形，并进行了解答： 因为，是线段的中点， 所以______， 因为____________，， 所以______cm． (1)请你帮助小明将其解答过程在横线上补充完整． (2)学生小惠看完小明的解答后，对其产生了质疑，她认为小明对此题的考虑不全面，忽略了一种情况．请你把小明忽略的那种情况画出图形，并模仿（1）中的格式进行解答． 9．（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图，点在直线上，过作射线和，，是的角平分线，已知，求． 10．（23-24六年级下·山东烟台·期末）【阅读材料】 在利用平行线的性质解答角的问题时，有时需要添加辅助线来帮助解答．辅助线的添加既可以产生新的条件，又能将题目中的原有条件联系在一起． 例：如图①，，M，N分别为直线上的点，E为之间一点，连接得到．请说明． 解：过点E作． 因为，所以． 因为，所以． 所以． 因为，所以． 【问题解决】 如图，，M，N分别为直线上的点． (1)如图②，E为之间一点，锐角和钝角的角平分线所在的直线交于点F，与交于点G． ①若，，求，的度数； ②若，，求的度数（用含的代数式表示）； (2)如图③，E，F均为之间的点，，请直接写出的度数． 11．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）小莹将两把完全相同的长方形直尺和如图放置，两把直尺的接触点为，的延长线经过点且与相交于点． (1)试说明点在的角平分线上； (2)已知点，在直尺上的刻度读数分别是和，求的长． 12．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）已知：在图图中，，点，点，点与，在同一平面内． (1)探究与表达请直接写出： 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系： 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系； 图中，，，，的数量关系； (2)推导与应用如图，将长方形纸片沿折叠，已知，求的度数． 13．（24-25七年级上·山东淄博·期中）【阅读材料】：为了说明“三角形的内角和是”，小明给出了如图所示的四种作辅助线的方法． 方法①：过的顶点C作； 方法②：点P在的边上，过点P作交于点E，交于点F； 方法③：点P在的内部，过点P作交于点E，F，交于点D，G，交于点M，N； 方法④：点P在的外部，过点P作交于点E，F，交于点D，． 【解答问题】： (1)小明的四种作辅助线的方法中，能说明“三角形的内角和是”的是______；（只填写序号） (2)请从你在（1）中填写的方法里选择一种方法，说明“三角形的内角和是”． 14．（24-25七年级上·山东青岛·期中）【提出问题】睿睿在学习完平行线的基本模型——猪蹄模型后，想继续研究相关模型的特点，于是他组织数学兴趣小组进行了以下探究：    【分析问题】如图，已知直线，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设，，． 【解决问题】（1）问题一：如图1，当点P在线段EF上运动时，试探索，，之间数量的关系，并给出证明．睿睿回忆猪蹄模型的证明方法：“过点P作……”请你用直尺和铅笔在图1中作出这一辅助线，并帮助睿睿完成证明； 【类比探究】（2）问题二：当点P在线段外运动时，（1）中的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系． ①如图2，当动点P在线段之外且在直线a的上方运动（不与E点重合）时，，，满足什么数量关系？请给出证明； ②请用直尺、铅笔，在图3中画出动点P在线段之外且在直线b的下方运动（不与F点重合）时的图形，并仿照图1，图2，标出图3中的，，，此时，，之间有何数量关系，请直接写出结论，不必说明理由． 【应用拓展】 （3）问题三：如图4所示，请直接写出图4中，，，之间的数量关系，不必说明理由． 15．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）如图，已知四边形，点是延长线上一点，连接，交于点，其中； (1)求证：； (2)若平分，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，连接，若，，求的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$