精品解析：天津市天津中学2024-2025学年高三上学期第二次月考数学试卷

天津中学2024-2025年第一学期高三第二次月考 数学试卷 一. 选择题 (共 9 小题) 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分别验证充分性与必要性即可得到结果. 【详解】由题意可得，“”与“”是等价的，故“”是“”的充分必要条件. 故选:C 3. 若函数是偶函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，化简整理即可求得m的值． 【详解】函数的定义域为，由是偶函数，得， 即，整理得，所以. 故选：A 4. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由指数函数的单调性，及中间量1，即可求解. 【详解】由指数函数的单调性可得：， 同时， 所以， 故选：C 5. 设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】作出满足条件的图，举出反例，排除ABD选项，作出满足条件的图，并证明，得到C选项正确. 【详解】A选项：如图： 在正方体中，，此时与夹角为，A选项错误； B选项：如图： 在正方体中，，此时，B选项错误； D选项：如图： 在正方体中：，此时，D选项错误； C选项：如图： 过作平面，使得，，∵，∴，则， 又∵，∴，∴，C选项正确. 故选：C. 6. 已知函数的最小正周期为，若将其图象沿x轴向右平移个单位，所得图象关于对称，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的图象的对称性，求得实数的最小值，即可求解. 【详解】函数的最小正周期为，所以， 所以， 若将其图象沿轴向右平移个单位，可得图象， 再根据所得图象关于对称，可得， 令，可得实数的最小为， 故选：B. 7. 已知圆，点在直线上，过作圆的两条切线，切点分别为，，以为直径的圆的面积最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意作图，根据相似三角形以及勾股定理，建立所求圆的半径与的等量关系，利用数形结合，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 由圆，则圆心，半径， 因为与圆分别相切于，所以，， 设，，，易知， 易知，则，可得，即， 在中，，则，即， 由图可知，则， 整理可得， 由图易知当垂直于直线时，取得最小值，则， 由函数在上单调递增，则的最小值为， 以为直径的圆的面积，所以面积的最小值为. 故选：C. 8. 设是双曲线的左､右焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，先求得焦点到渐近线的距离为，在直角中，求得，再在中，利用余弦定理求得，结合和离心率的定义，即可求解. 【详解】由双曲线，可得，渐近线方程为， 如图所示，则焦点到渐近线的距离为， 在直角中，可得， 在中，由余弦定理得， 即，所以， 又由，所以，可得， 所以双曲线的离心率为. 故选：A. 9. 在三棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明平面SAC，再根据正弦定理求解外接圆的半径，进而根据外接球的性质确定球心的位置，结合直角三角形中的关系求解球半径得到体积即可 【详解】因为，所以.又，，所以平面SAC.在中，，，所以.又，则外接圆的半径为，取BC，AC的中点D，E，的外心为F，过D作平面ABC的垂线l，过F作平面SAC的垂线交l于点O，即为球心，连接DE，EF，FA，OA，则四边形DEFO为矩形，则，，所以，即三棱锥外接球的半径为，所以三棱锥外接球的体积为. 故选：D 二. 填空题 (共 6 小题) 10. 若复数，则的实部与虚部之积为________. 【答案】 【解析】 【分析】运用复数乘法进行化简计算，再根据实部虚部概念计算即可. 【详解】，则虚部为，实部为，乘积为：. 故答案为：. 11. 展开式的第四项的系数为______. 【答案】 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项公式，令即可写出第四项的系数. 【详解】的展开式的通项为， 令的， 故第四项的系数为：， 故答案为：. 12. 过抛物线上一点作切线与轴交于点，直线被圆截得的弦长为，则点的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求出抛物线的切线方程，再利用点到直线的距离以及弦长即可求解. 【详解】因为，即， 所以， 设点，则切线斜率为， 所以切线方程为，即 令，解得 所以点坐标为， 因为直线被圆截得的弦长为， 所以圆心到直线的距离为 所以，即， 解得（负值已舍）， 所以点坐标为. 故答案为：. 13. 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加，甲选到 的概率为 _____；已知乙选了 活动，他再选择 活动的概率为_____. 【答案】 ①. ##0.6 ②. ##0.5 【解析】 【分析】设事件 表示 “选到 ”，事件 表示 “选到 ”，然后结合条件概率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设事件 表示 “选到 ”，事件 表示 “选到 ”， 则甲从中选 3 个. 甲选到 的概率为 ， 乙选了 活动，他再选择 活动的概率为: 故答案为: . 14. 如图，△是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若，，那么______；点M为线段CE上的动点，则的最小值为______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】由已知条件及、，利用向量数量积的运算律及线段的位置关系求，若，则且，应用向量数量积的运算律有，结合二次函数性质求最值. 【详解】由题设，且，， 所以 ； 由题设，则， 若，则且， 所以， 当时，的最小值为. 故答案为：， 【点睛】关键点点睛：利用图形中的线段关系及向量加法的几何意义，并应用向量数量积的运算律将、作转化. 15. 已知函数有且仅有2个零点，则实数的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据是否有零点，分类讨论，当时，恒成立，根据题意求解即可；当，时，恒成立，不符合题意，当，时，结合二次函数性质讨论得没有实数根，最后计算可得. 【详解】（1）当，即时， 恒成立， 所以， 因为有两个零点， 所以且，解得或（舍）， 所以或； （2）当，即或， 设的两个根为，且， 当时，恒成立，不满足题意， 当，有有两个解， 因为，，所以与在必有一个交点， 当时，与没有交点， 当时，，所以与在必有一个交点 所以要使方程有且只有两个零点， 则无解， 即没有实数根， 即，解得， 因为，所以， 综上实数的取值范围为：. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题得关键在于讨论当时，恒成立，当时，结合二次函数性质，二次项系数越大，开口越小，得出没有实数根，最后计算可得. 三. 解答题 (共 5 小题) 16. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，求的面积； （3）若，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先分析题意，利用正弦定理进行边角互化，进而通过特殊角的余弦值求解即可. （2）通过余弦定理列出方程，求解关键边长，进而求出三角形面积即可. （3）通过正弦定理判断角为锐角，利用二倍角公式结合两角和的正弦公式求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理得：， ， 显然则， 又，故； 【小问2详解】 ， 由余弦定理可得，整理可得， 又，解得， 【小问3详解】 由正弦定理得：，则， ，即，则，故为锐角， ， ， ， 17. 如图，在直三棱柱中，为的中点，点分别在棱和棱上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：取的中点，连接，则， 且，∴且， 则四边形为平行四边形，． 又平面平面， 平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，证明即可； （2）建立空间直角坐标系，向量法求两个平面夹角的余弦值； （3）向量法求点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：直三棱柱中，． 以为原点，以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为，则 即令，则，得到平面的一个法向量． 易知平面的一个法向量为． 设平面与平面的夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 解：，， 点到平面的距离． 18. 已知椭圆：过点，离心率为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且，均不与轴垂直． （1）求椭圆的方程； （2）若，为椭圆的上顶点，求的面积； （3）记直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】（1） （2） （3） 设，，直线的方程为， 联立方程，得， 由，得， 则，， 因为直线，均不与轴垂直，所以，，则且， 所以， 故为定值. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，解出即可得； （2）借助弦长公式计算可得或，再利用点到直线的距离公式计算点到直线的距离后结合面积公式计算即可得； （3）设出直线的方程，与椭圆联立后可得与交点横坐标有关一元二次方程，结合韦达定理表示出并计算即可得. 【小问1详解】 根据题意得到，解得， 故椭圆的方程为； 【小问2详解】 因为，解得或， 当时，直线的方程经过点，不符合题意，舍去； 当时，， 点到直线的距离， 故的面积； 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 19. 已知数列是数列的前项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，且成等比数列. （1）求数列和的通项公式. （2）记，求数列的前项和. （3）记，求. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先根据与的关系得到，再根据等比数列的性质即可得到； （2）利用裂项相消法即可得结果； （3）将分组求和与错位相减法相结合即可得结果. 【小问1详解】 当时，，解得. 当时，， 所以， 即是以首先，公比为的等比数列，即. 因为，成等比数列， 所以，即，解得. 所以. 【小问2详解】 由（1）得 ， 则 【小问3详解】 ， 因为， 设，前项和为， 则， ， . 所以 20. 已知函数. （1）若，求函数在处的切线方程； （2）若恒成立，求的值； （3）求证：对任意正整数（），都有. 【答案】（1） （2） （3）证明：记，则， 当时，,当，故在单调递增，在单调递减，故，当且仅当取等号， 令，则， 所以，由于, 所以，即 【解析】 【分析】（1）求导，即可由点斜式得切线方程， （2）构造函数以及利用导数求解函数的单调性，进而可得最值，即可求解， （3）利用得，即可由放缩法以及裂项求和，结合对数的运算性质即可求解. 【小问1详解】 由得，由得，又， 所以切线方程为，即 【小问2详解】 由恒成立可得恒成立， 记，则， 当时，在恒成立，所以在单调递减，而，故当时，不符合题意，故舍去， 当时，当时，,当，故在单调递增，在单调递减，故， 记当时，，当，所以在单调递减，在单调递增，故，因此，又，所以， 【小问3详解】 略. 【点睛】本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津中学2024-2025年第一学期高三第二次月考 数学试卷 一. 选择题 (共 9 小题) 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若函数是偶函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知函数的最小正周期为，若将其图象沿x轴向右平移个单位，所得图象关于对称，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆，点在直线上，过作圆的两条切线，切点分别为，，以为直径的圆的面积最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 设是双曲线的左､右焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 9. 在三棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 二. 填空题 (共 6 小题) 10. 若复数，则的实部与虚部之积为________. 11. 展开式的第四项的系数为______. 12. 过抛物线上一点作切线与轴交于点，直线被圆截得的弦长为，则点的坐标为__________. 13. 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加，甲选到 的概率为 _____；已知乙选了 活动，他再选择 活动的概率为_____. 14. 如图，△是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若，，那么______；点M为线段CE上的动点，则的最小值为______． 15. 已知函数有且仅有2个零点，则实数的取值范围为_________. 三. 解答题 (共 5 小题) 16. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，求的面积； （3）若，求. 17. 如图，在直三棱柱中，为的中点，点分别在棱和棱上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 已知椭圆：过点，离心率为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且，均不与轴垂直． （1）求椭圆的方程； （2）若，为椭圆的上顶点，求的面积； （3）记直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 19. 已知数列是数列的前项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，且成等比数列. （1）求数列和的通项公式. （2）记，求数列的前项和. （3）记，求. 20. 已知函数. （1）若，求函数在处的切线方程； （2）若恒成立，求的值； （3）求证：对任意正整数（），都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $