7.3 解一元一次不等式 课件 2024-2025学年华东师大版数学七年级下册

解一元一次不等式 华东师大版七年级数学下册 7 复习回顾 不等式的基本性质 1 如果 a ＞ b，那么 a + c ＞ b + c，a－c ＞ b－c 不等式的基本性质 2 如果 a＞b，并且 c＞0，那么 不等式的基本性质 3 如果 a＞b，并且 c＜0，那么 5x > 1200，x + 2 > 5， x < －1 新课探究 1 2 它们有哪些共同特征？ 1. 只含有一个未知数 3. 未知数的次数都是 1 2. 不等式两边都是整式 只含有一个未知数、左右两边都是整式，并且未知数的次数都是 1 的不等式，叫做一元一次不等式. 它与一元一次方程的定义有什么共同点？ 下列各式： ①2x ≠ 1； ②x2 < x + 4； ③y－3  2y－5； ④a + b = 1； ⑤3x2－2x + 1； ⑥－3 > 0； ⑦3x－2  1； ⑧x + > 7. 其中是一元一次不等式的是__________.（填序号） x 1 ①③⑦ 例 1 解不等式： （1）x－7 < 8； （2）3x < 2x－3. 解:（1）不等式的两边都加上 7，不等号的方向不变，所以 x－7 + 7 < 8 + 7， 得 x < 15. 例 1 解不等式： （1）x－7 < 8； （2）3x < 2x－3. （2）不等式的两边都减去 2x（即都加上 －2x），不等号的方向不变，所以 3x－2x < 2x－3－2x 得 x < －3. 这两道小题中不等式的变形与方程的什么变形类似？ 怎样进行不等式的“移项”？ 依据不等式的基本性质 1，将不等式进行变形. 如果 a ＞ b，那么 a + c ＞ b + c，a－c ＞ b－c 例 2 解不等式： （1） x > －3； （2）－2x < 6. 1 2 解（1）不等式的两边都乘以 2，不等号的方向不变，所以 得 x > －6. x×2 > (－3)×2， 1 2 例 2 解不等式： （1） x > －3； （2）－2x < 6. 1 2 得 x > －3. （2）不等式的两边都除以 －2（即都乘以－ ），不等号的方向改变，所以 1 2 －2x×(－ ) > 6×(－ ) ， 1 2 1 2 这两道小题中不等式的变形与方程的什么变形类似？有什么不同？ 概 括 这里的变形，与方程变形中的________________________ 将未知数的系数化为 1 类似，它依据的是什么？ 不等式的基本性质 2 或不等式的基本性质 3. 要注意不等式的两边都乘以（或都除以）的数是正数还是负数，从而确定变形时不等号的方向是否需要改变. 例 3 解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来： （1）2x －1 ＜ 4x + 13； 解：（1）移项，得 2x－4x < 13 + 1. 合并同类项，得 －2x < 14. 两边都除以－2，得 x > －7. 它在数轴上的表示如图所示. －3 －4 －2 －1 0 1 －5 －6 －7 －8 例 3 解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来： （2）2( 5x + 3 )  x－3( 1－2x ). （2）去括号，得 10x + 6  x － 3 + 6x . 移项、合并同类项，得 3x  － 9 . 两边都除以 3，得 x  － 3 . 它在数轴上的表示如图所示. －3 －4 －2 －1 0 1 －5 －6 －7 －8 一元一次不等式与一元一次方程的解法有哪些类似之处？有什么不同？ 一元一次不等式 一元一次方程 不 同 点 依据 解的 个数 解(集)的形式 相 同 点 解法 步骤 不等式的基本性质 等式的基本性质 有无数个解 只有一个解 x < a (x  a)或x > a (x  a) x = a ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为 1（解不等式时，去分母、系数化为 1时，若两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向改变） 例 4 当 x 取何值时，代数式 与 的差大于 1？ x + 4 3 3x － 1 2 解：根据题意，得 x + 4 3 3x － 1 2 － > 1. 去分母，得 2(x + 4)－3(3x－1) > 6 . 去括号，得 2x + 8－9x + 3 > 6 . 移项、合并同类项，得 －7x > －5 . 两边都除以－7，得 x < . 5 7 所以， 当x 取小于 的任何数时，代数式 与 的差大于1. 5 7 x + 4 3 3x － 1 2 概 括 回顾例 3 与例 4 的解答过程，总结一下解一元一次不等式的基本步骤，与你的同伴讨论和交流. 步骤 依据 去分母 不等式的基本性质 2，3 去括号 分配律、去括号法则 移项 不等式的基本性质 1 合并同类项 合并同类项法则 未知数系数化为 1 不等式的基本性质 2，3 练 习 1. 解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来： （1）2x + 1 > 3； （2）2－x < 1； 解： （1）移项，得 2x > 3－1. 合并同类项，得 2x > 2. 两边都除以 2，得 x > 1，如图所示. －1 －2 0 1 2 3 －3 练 习 1. 解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来： （1）2x + 1 > 3； （2）2－x < 1； （2）移项，得 －x < 1－2. 合并同类项，得 －x < －1. 两边都除以 －1，得 x > 1，如图所示. －1 －2 0 1 2 3 －3 （3）2(x + 1) < 3x； （4）3(x + 2)  4(x－1) + 7. 练 习 1. 解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来： （3）去括号，得 2x + 2 < 3x. 移项，得 2x－3x < －2. 合并同类项，得 －x < －2. 两边都除以 －1，得 x > 2，如图所示. －1 －2 0 1 2 3 －3 （3）2(x + 1) < 3x； （4）3(x + 2)  4(x－1) + 7. 练 习 1. 解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来： （4）去括号，得 3x + 6  4x－4 + 7. 移项、合并同类项，得 －x  －3. 两边都除以 －1，得 x  3，如图所示. －1 －2 0 1 2 3 －3 2. 解不等式： > . 2x － 3 3 3x － 2 2 解：去分母，得 2(2x － 3) > 3(3x－2). 去括号，得 4x－6 > 9x－6. 移项、合并同类项，得 －5x > 0. 两边都除以 －5，得 x < 0. 课堂小结 一元一次不等式 特点 解一元一次不等式 1. 含有一个未知数 3. 未知数的次数都是 1 2. 不等式的两边都是整式 去分母； 去括号； 移项； 合并同类项； 系数化 1. 注：系数化为 1 时，两边同时乘除同一个负数时，不等式号方向改变. $$ 一元一次不等式的实际应用 华东师大版七年级数学下册 7 复习回顾 1. 应用一元一次方程解决问题的一般步骤： 审 题 设未知数 找等量关系 列方程 解方程 检验 作答 2. 将下列生活中的不等关系用数学的语言描述： （1）超过 （2）至少 （3）最多 ＞ ≥ ≤ 新课探究 例 5 一个工程队原定在 10 天内至少要挖土 600 m3，前两天一共完成了 120 m3，由于整个工程调整工期，要求提前两天完成挖土任务. 问: 后 6 天内平均每天至少要挖土多少立方米？ ≥ 8 天完成 分析：本题涉及的数量关系是： 前两天挖土量 + 后 6 天挖土量  600 解 设后 6 天内平均每天要挖土 x m3. 根据题意，得 120 + 6x  600， 解得 x  80. 答：后 6 天内平均每天至少要挖土 80 m3. 新课探究 例 5 一个工程队原定在 10 天内至少要挖土 600 m3，前两天一共完成了 120 m3，由于整个工程调整工期，要求提前两天完成挖土任务. 问: 后 6 天内平均每天至少要挖土多少立方米？ 小提示 实际问题 数量关系 一元一次不等式数学模型 题干中不等关系词 厘清 建立 提取 明确 问题 在“科学与艺术”知识竞赛的预选赛中共有 20 道题，对于每一道题，答对得 10 分，答错或不答扣 5 分，总得分不少于 80 分者能通过预选赛.育才中学有 25 名学生通过了预选赛，通过者至少应答对多少道题？有哪些可能的情形？ 分析：本题涉及的数量关系是： 得分 －扣分  80 解 设通过者答对了 x 道题，根据题意列不等式： ， 解不等式，得 . ∵答对（或答错或不答）的题数应是取值范围内的整数， ∴ x可取12，13，14，15，16，17，18，19，20. 所以通过者至少应答对 12 道题，有以上 9 种可能情形. 列不等式解决实际问题时需注意： 1.实际问题中的“节省”“合算”“最多”“最少”“不超过”“超过”等，都是列不等式的关键词.注意所列不等式是否包含等号. 2.列不等式解决实际问题时，要注意题中的限制条件，取解 时必须使实际问题有意义，如人数、次数、物体的个数等为非负整数，长度、面积等为正数. 练 习 1. 求下列不等式的所有正整数解： （1）－4x  －12； （2）3x －11 < 0. 解:（1）两边都除以－4，得 x  3. 所以不等式的所有正整数解是 1、2、3. （2）移项，得 3x < 11. 所以不等式的所有正整数解是 1、2、3. 两边都除以 3，得 x < . 113 练 习 1. 求下列不等式的所有正整数解： （2）3x －11 < 0. （1）－4x  －12； 2. 一次智力测验，有 20 道选择题. 评分标准为：对 1 题给 5 分， 错一题扣 2 分，不答题不给分也不扣分. 小明有 2 道题未答， 则他至少要答对几道题，总分才不会低于 60 分？ 解：设小明要答对 x（x 为自然数）道题. 根据题意，得 5x + 2×0 + (20－x－2)×(－2)  60， 答：小明至少要答对 14 道题，总分才不会低于 60 分. 解得 x  13 . 5 7 3. 人脸识别验票系统（“刷脸”进站）开启了铁路检票服务的新时代. 据统计，“刷脸”进站口平均每通过 3 个人，人工检票口仅通过 1 个人. 若某高铁站开放了 4 个“刷脸”进站口和 1 个人工检票口，某一时间段检票通过的人数不少于 1000，则从人工检票口进入的旅客至少有多少人？ （假设这个时间段各检票口检票没有间断） 解:设从人工检票口进入的旅客有 x 人. 由题意，得 4×3x + x  1000. 解得 x  76 . 因为 x 为正整数，所以 x 的最小值为 77. 答: 从人工检票口进入的旅客至少有 77 人. 12 13 课堂小结 一元一次不等式的应用 实际问题 根据题意列不等式 解一元一次不等式 根据实际问题找出符合条件的解集或整数解 得出解决问题的答案 $$