6.3 三元一次方程组及其解法课件 2024-2025学年华东师大版数学七年级下册

*三元一次方程组及其解法 华东师大版七年级数学下册 6 复习回顾 1. 解二元一次方程组有哪几种方法？ 消元法 代入消元法 加减消元法 2. 解二元一次方程组的基本思路是什么？ 二元一次方程组 一元一次方程 代入 加减 问题 1 暑假里，某地组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛. 比赛规定：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分. 勇士队在第一轮中赛了 9 场，负了 2 场，共得 17 分. 那么这个队胜了几场？平了几场呢？ x + y = 7， 3x + y = 17. x = 5， y = 2. 在第二轮比赛中，勇士队参加了 10 场比赛，按同样的计分规则，共得 18 分. 已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数各是多少？ 胜了 10 ÷ 2 = 5（场） 方法一 平了 18 － 5×3 = 3（场） 负了 10－5－3 = 2（场） 胜一场：3 分 平一场：1 分 负一场：0 分 方法二 设胜了 x 场，平了 y 场，则负了（x － y）场. 依题意，得 x + y +（x － y）= 10， 3x + y = 18. 解得 x = 5， y = 3. 所以胜了 5 场，平了 3 场，负了 2 场. 如果设勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数分别为 x、y、z，又将怎样呢？ 在第二轮比赛中，勇士队参加了 10 场比赛，按同样的计分规则，共得 18 分. 已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数各是多少？ 在第二轮比赛中，勇士队参加了 10 场比赛，按同样的计分规则，共得 18 分. 已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数各是多少？ x + y + z = 10， ① 3x + y = 18. ② x = y + z. ③ 新课探究 这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系？ x + y + z = 10， ① 3x + y = 18. ② x = y + z. ③ 三元一次方程组：把三个共含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程合在一起，就组成了三元一次方程组. 怎样解三元一次方程组呢？ 能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？ 将③代入①和②，得到 2y + 2z = 10， ④ 4y + 3z = 18. ⑤ 解得 y = 3， z = 2. 将 y = 3，z = 2 代入方程③，可以得到 x = 5. x = 5， y = 3， z = 2 . 所以这个三元一次方程组的解是 x + y + z = 10， ① 3x + y = 18. ② x = y + z. ③ 解三元一次方程组的基本思路是什么？ 通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程. 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 消元 消元 例 1 解方程组： 2x－3y + 4z = 3， ① 3x－2y + z = 7， ② x + 2y－3z = 1. ③ 对于这个方程组，消哪个元比较方便？为什么？ 方程②中，z 的系数为 1，因此可以由②得， z = 7－3x + 2y . ④ 将④分别代入①和③，可以消去 z. 解这个二元一次方程组，得 x = 1， y = －3. 代入④，得 z = 7－3－6 =－2 . 所以原方程组的解是 x = 1， y = －3， z = －2 . 解 由方程②，得 z = 7－3x + 2y . ④ 将④分别代入方程①和③，得 2x － 3y + 4(7－3x + 2y) = 3， x + 2y－3(7－3x + 2y) = 1. 整理，得 －2x + y = – 5， 5x－2y = 11. 能否先消去 x（或 y）？怎么做？比较一下，哪个更简便？ 练 习 1. 解下列方程组： x + y + z = 6， ① 3x－y + 2z = 12， ② x － y－3z = －4. ③ （1） 解 由方程① ，得 y = 6－x －z . ④ 将④分别代入②和③ ，得 4x + 3z = 18， x － z = 1. 解这个二元一次方程组，得 x = 3， z = 2. 代入④，得 y = 6－3－2 =1 . 所以原方程组的解是 x = 3， y = 1， z = 2 . 练 习 1. 解下列方程组： （1） x + y + z = 6， ① 3x－y + 2z = 12， ② x － y－3z = －4. ③ 3x － 2y = 5， y － 5z = －11， 3z －4x = 2. （2） 解 由方程②，得 y = －11 + 5z . ④ 将④分别代入方程①和③，得 3x－10z = – 17， 3z － 4x = 2. ③ ② ① 解这个二元一次方程组，得 x = 1， z = 2. 代入④，得 y = – 11 + 5×2 = – 1 . 所以原方程组的解是 x = 1， y = – 1， z = 2 . 3x － 2y = 5， y － 5z = －11， 3z －4x = 2. （2） ③ ② ① 2. 试用加减消元法解例 1 中的方程组. 2x－3y + 4z = 3， ① 3x－2y + z = 7， ② x + 2y－3z = 1. ③ 解 ② + ③，得 4x－2z = 8 . ①×2 + ③×3，得 7x－z = 9 . 方程组 4x－2z = 8， 7x－z = 9. 解得 x = 1， z = －2. 2. 试用加减消元法解例 1 中的方程组. 2x－3y + 4z = 3， ① 3x－2y + z = 7， ② x + 2y－3z = 1. ③ 把 x = 1，z = －2 代入方程①，得 y = －3 所以原方程组的解是 x = 1， y = －3， z = －2 . 例 2 解方程组： 3x + 4y－3z = 3， ① 2x －3y －2z = 2， ② 5x －3y + 4z = －22. ③ 1. 先消去哪个未知数？为什么？ 2. 选择哪种消元方法得到二元一次方程组？ 解 ③－②，得 x + 2z = －8. ①×3 + ②×4，得 x－z = 1. x + 2z = －8， x－z = 1. 得方程组 解得 x = －2 ， z = －3 . 把 x = －2，z = －3 代入方程②，得 y = 0 . 所以原方程组的解是 x = －2， y = 0， z = －3 . 能否先消去 x（或 y）？怎么做？比较一下，哪个更简便？ 练 习 1. 解下列方程组： x + y － z = 2， ① 4x－2y + 3z + 8 = 0， ② x + 3y－2z －6 = 0. ③ （1） 解 ③－① ，得 2y － z = 4. ①×4 － ②，得 6y－7z = 16. 2y － z = 4， 6y－7z = 16. 得方程组 解得 y = ， z = －1 . 3 2 把 y = ，z = －1 代入方程①，得 x = － . 3 2 1 2 所以原方程组的解是 练 习 1. 解下列方程组： x + y － z = 2， ① 4x－2y + 3z + 8 = 0， ② x + 3y－2z －6 = 0. ③ （1） x = － ， y = ， z = －1 . 1 2 3 2 （2） x 3 y 2 = y 4 z 5 = x + y + z = 60 ③ ② ① 解 ①×6 ，得 2x = 3y. ②×20 ，得 5y = 4z. x = y 3 2 z = y 5 4 把 x = y，z = y 代入方程③，得 y = 16 . 32 5 4 （2） x 3 y 2 = y 4 z 5 = x + y + z = 60 ③ ② ① x = ×16 = 24 3 2 z = ×16 = 20 5 4 所以原方程组的解是 x = 24， y = 16， z = 20 . 2. 已知 y = ax2 + bx + c. 当 x =－2 时，y = 9；当 x = 0 时， y = 3；当 x = 2 时，y = 5. 求 a、b、c 的值. 解 当 x = －2 时，4a－2b + c = 9 当 x = 0 时，c = 3 当 x = 2 时，4a + 2b + c = 5 4a－2b = 6 4a + 2b = 2 a = 1 b = －1 解得 所以 a = 1，b = －1，c = 3. 课堂小结 三元一次方程组 定义 含未知数的项的次数都是 1 含有 3 个未知数 解答思路 化“三元”为“二元” 一共有三个方程 $$