第七章 幂的运算 重难点检测卷-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版2024）

第七章 幂的运算 重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共28题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：幂的运算全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏南通·期末）是指大气中直径小于或等于的颗粒物，含有大量有毒、有害物质，也称可入肺颗粒物，将用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）计算：等于（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）若有意义，那么x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．且 5．（22-23七年级下·江苏连云港·期中）如果，那么三数的大小为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）已知，，，则的值为（    ） A．1 B．3 C．729 D．9 7．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）新定义：（均为正整数），例如：．若，，则的值为（　　） A．18 B．24 C．36 D．63 8．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有小球16个、28个、28个，先从甲袋中取出个小球放入乙袋，再从乙袋中取出个小球放入丙袋，最后从丙袋中取出个小球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值等于（    ） A．128 B．64 C．32 D．16 9．（19-20七年级下·江苏南京·期中）观察等式（2a﹣1）a+2＝1，其中a的取值可能是（　　） A．﹣2 B．1或﹣2 C．0或1 D．1或﹣2或0 10．（19-20七年级上·四川德阳·阶段练习）观察等式：；；…已知按一定规律排列的一组数：、、、…、、．若，用含m的式子表示这组数的和是（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习） ． 12．（23-24八年级上·江苏南京·开学考试）比较大小： ．填“>”或“<”） 13．（23-24八年级上·河北沧州·期末）若，，则的值为 ． 14．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）已知，则的值为 ． 15．（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）若，用x的代数式表示y，则 ． 16．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）小明学习了“幂的运算”后做这样一道题：，则整数x的值为 ． 17．（2024七年级下·江苏·专题练习）若，，，则a、b、c之间满足的等量关系成立的是 ①；②；③；④ 18．（22-23七年级下·江苏镇江·阶段练习）现有若干张卡片，分别写有1，，4，，16，，……，小明从中取出三张卡片，要满足三张卡片上的数字乘积为，其中三数之和的最大值记为A，最小值记为B，则的值等于 ． 三、解答题（10小题，共66分） 19．（23-24七年级下·江苏徐州·期末）计算： (1)； (2)． 20．（23-24七年级下·江苏·期中）已知，，，，先计算，再比较a、b、c，d的大小，并用“”号连接起来． 21．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算：． 解：原式． (1)计算： ①； ②； (2)若，请求出n的值． 22．（23-24七年级下·安徽宿州·阶段练习）已知，求整数的值．（提示：分类考虑） 23．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）在数学兴趣小组中，同学们学到了很多有趣的数学知识，其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣． （i）阅读和学习下面的材料： 比较，，的大小． 分析：小刚同学发现55，44，33都是11的倍数，于是把这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法，比较了这三个数的大小，解法如下： 解：，，， ． （ii）阅读和学习下面的材料： 已知，，求的值． 分析：小明同学发现，这些已知的幂和所求的幂的底数都相同，于是逆用同底数幂和幂的乘方公式，完成题目的解答．解法如下： 解：，， ． 学习以上解题思路和方法，然后完成下题： (1)比较，，的大小（用“＜”号连接起来）． (2)计算：． 24．（23-24七年级下·山东济南·期中）“已知，，求的值．”对于这个问题，我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，可得，所以，所以． 请利用这样的思考方法解决下列问题．已知，，求下列代数的值： (1)___________，___________； (2)； (3)． 25．（23-24七年级下·江苏无锡·期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么，例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：_____，_____； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象，，小明给出了如下的证明： 设，则，即， ∴，即， ∴， 请你尝试用这种方法证明下面这个等式： 26．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）若（且），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)已知，求的值． (2)若，求的值． (3)若，，用含的代数式表示． 27．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）材料，一般的，若（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可转化为指数式，根据以上材料，解决下列问题： (1)计算： ， ， ； (2)猜想 （且，，）； (3)已知，求和的值．（且） 28．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设① 则② ②①得，． 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）______； （2）求______； （3）求的和；（请写出计算过程） （4）求的和（其中且）．（请写出计算过程） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 幂的运算 重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共28题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：幂的运算全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂相乘、合并同类项等知识点，掌握同底数幂相乘、底数不变、指数相加成为解题的关键． 根据相同底数幂相乘、合并同类项的知识逐项分析即可解答． 【详解】解：A、，故该选项是错误的，不符合题意； B、，故该选项是错误的，不符合题意； C、，故该选项是正确的，符合题意； D、，故该选项是错误的，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏南通·期末）是指大气中直径小于或等于的颗粒物，含有大量有毒、有害物质，也称可入肺颗粒物，将用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 故选：B． 3．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）计算：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂乘法和积的乘方逆用，逆向运用积的乘方运算和同底数幂乘法法则计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 4．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）若有意义，那么x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了零指数幂和负整数指数幂的意义，根据底数不等于0列式求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴且， ∴或． 故选D． 5．（22-23七年级下·江苏连云港·期中）如果，那么三数的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了零指数幂和负整数指数幂运算，先根据零指数幂，负整数指数幂运算法则，乘方运算法则进行计算，然后再比较大小即可． 【详解】解：， ， ， ∵， ∴， 故选：D． 6．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）已知，，，则的值为（    ） A．1 B．3 C．729 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，幂的乘方的逆运算，同底数幂乘除法计算，先根据幂的乘方计算法则求出，，再由同底数幂乘除法计算法则求出，则． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴，， ∴ ∴， 故选：A． 7．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）新定义：（均为正整数），例如：．若，，则的值为（　　） A．18 B．24 C．36 D．63 【答案】D 【分析】本题主要考查新定义运算，幂的乘方和积的乘方逆运算，根据新运算法则求出，再把变形为，再代入计算即可 【详解】解：∵（均为正整数）， ∴ ∴ ∴， 故选：D 8．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有小球16个、28个、28个，先从甲袋中取出个小球放入乙袋，再从乙袋中取出个小球放入丙袋，最后从丙袋中取出个小球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值等于（    ） A．128 B．64 C．32 D．16 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，求出原来三袋中小球的个数的平均数，即为最终三只袋中小球的个数，进而求出，将相乘即可得出结果． 【详解】解：最终每只袋中小球的个数为：， ∴， ∴， ∴； 故选C． 9．（19-20七年级下·江苏南京·期中）观察等式（2a﹣1）a+2＝1，其中a的取值可能是（　　） A．﹣2 B．1或﹣2 C．0或1 D．1或﹣2或0 【答案】D 【分析】存在3种情况：一种是指数为0，底数不为0；第二种是底数为1，指数为任意值；第三种是底数为－1，指数为偶数，分别求解可得． 【详解】情况一：指数为0，底数不为0 即：a+2=0，2a－1≠0 解得：a=－2 情况二：底数为1，指数为任意值 即：2a－1=1 解得：a=1 情况三：底数为－1，指数为偶数 即：2a－1=－1，解得a=0 代入a+2=2，为偶数，成立 故答案为：D 【点睛】本题考查0指数和底数为±1的指数的特点，本题底数为－1的情况容易遗漏，需要关注． 10．（19-20七年级上·四川德阳·阶段练习）观察等式：；；…已知按一定规律排列的一组数：、、、…、、．若，用含m的式子表示这组数的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数字类规律探索以及幂的乘方，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：．由等式：；；，得出规律：，那么，将规律代入计算即可． 【详解】∵； ； … ∴， ∴ ， ∵ ∴， ∴原式． 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习） ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 12．（23-24八年级上·江苏南京·开学考试）比较大小： ．填“>”或“<”） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，负整数指数幂，先求出，比较即可． 【详解】， ∴ 故答案为：． 13．（23-24八年级上·河北沧州·期末）若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的除法、幂的乘方等知识，逆用同底数幂的除法法则、幂的乘方法则进行解题即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为： 14．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）已知，则的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方的逆用，根据，得到，根据同底数幂的乘法和幂的乘方的逆用，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：16． 15．（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）若，用x的代数式表示y，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算．熟练掌握幂的乘方的逆运算是解题的关键． 根据，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 16．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）小明学习了“幂的运算”后做这样一道题：，则整数x的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了有理数的乘方，零指数幂，根据有理数的乘方，零指数幂分情况讨论：①当底数相同时，；②当底数互为相反数时，；③当指数为0时，；分别进行计算出符合题意的x，即可得；掌握有理数的乘方，零指数幂，分情况讨论是解题的关键． 【详解】解：①当底数相同时， ， ， ②当底数互为相反数时， ， ∵x为整数， ∴不符合题意； ③当指数为0时，且底数不等于0， 解得，， 故答案为：或． 17．（2024七年级下·江苏·专题练习）若，，，则a、b、c之间满足的等量关系成立的是 ①；②；③；④ 【答案】①②③ 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用、同底数幂的乘法，解答本题的关键是熟练掌握“同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加”． ②可根据同底数幂乘法法则判断；①可根据幂的乘方的逆用，同底数幂除法法则判断；③可根据同底数幂乘法的逆用判断． 【详解】解：，, ， ， ，②关系成立； ， ，①关系成立； ， ，③关系成立； 则①②③成立， 故答案为：①②③． 18．（22-23七年级下·江苏镇江·阶段练习）现有若干张卡片，分别写有1，，4，，16，，……，小明从中取出三张卡片，要满足三张卡片上的数字乘积为，其中三数之和的最大值记为A，最小值记为B，则的值等于 ． 【答案】 【分析】由题意知，卡片数字为，，，，，，……，则使三数之和最大的三个数为，，，即，使三数之和最小的三个数为，，，即，然后代入计算求解即可． 【详解】解：由题意知，卡片数字为，，，，，，…… ∵三张卡片上的数字乘积为， ∴使三数之和最大的三个数为，，， ∴， ∴使三数之和最小的三个数为，，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，有理数的加减运算．解题的关键在于确定使三数之和最大的三个数于使三数之和最小的三个数． 三、解答题（10小题，共66分） 19．（23-24七年级下·江苏徐州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方、零指数幂、负整数指数幂、有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据零指数幂法则、负整数指数幂法则、有理数的加减混合运算法则进行解题即可； （2）根据同底数幂的乘除法法则，幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 20．（23-24七年级下·江苏·期中）已知，，，，先计算，再比较a、b、c，d的大小，并用“”号连接起来． 【答案】，，，； 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算及零次幂．根据有理数的乘方运算可进行求解． 【详解】解：∵，，，， ∴． 21．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算：． 解：原式． (1)计算： ①； ②； (2)若，请求出n的值． 【答案】(1)①1；②； (2)4 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则，积的乘方，幂的乘方的运算法则等相关知识，熟记对应法则是解题的关键． （1）①根据积的乘方及幂的乘方的运算法则得到正确结果；②积的乘方及幂的乘方的运算法则即可得到正确结果； （2）利用幂的乘方运算法则的逆用及同底数幂的乘法法则即可得到n的值． 【详解】（1）解：①； ② （2）解：∵ ∴， ∴ ∴， ∴， 解得：． 22．（23-24七年级下·安徽宿州·阶段练习）已知，求整数的值．（提示：分类考虑） 【答案】整数的值为0或 【分析】本题主要考查了有理数的乘方．①当时；②当时；③当，且时，根据题意判断是否符合条件，从而求得的值． 【详解】解：当，即时，， ∴； 当，，即且时，， ∴； 当，即时，， ∴； 综上，整数的值为0或． 23．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）在数学兴趣小组中，同学们学到了很多有趣的数学知识，其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣． （i）阅读和学习下面的材料： 比较，，的大小． 分析：小刚同学发现55，44，33都是11的倍数，于是把这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法，比较了这三个数的大小，解法如下： 解：，，， ． （ii）阅读和学习下面的材料： 已知，，求的值． 分析：小明同学发现，这些已知的幂和所求的幂的底数都相同，于是逆用同底数幂和幂的乘方公式，完成题目的解答．解法如下： 解：，， ． 学习以上解题思路和方法，然后完成下题： (1)比较，，的大小（用“＜”号连接起来）． (2)计算：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法逆用与幂的乘方法则的逆用，读懂材料并逆用这两个法则是关键； （1）发现指数606，404，202都是101的倍数，于是把这三个数都转化为指数为101的幂，然后通过比较底数的方法，即可比较大小； （2）把化为后，再利用幂的乘方及逆用同底数幂的法则、逆用积的乘方即可求解． 【详解】（1）解：依题意，，，， 而， ； （2）解： ． 24．（23-24七年级下·山东济南·期中）“已知，，求的值．”对于这个问题，我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，可得，所以，所以． 请利用这样的思考方法解决下列问题．已知，，求下列代数的值： (1)___________，___________； (2)； (3)． 【答案】(1)36，12 (2)24 (3) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握这些运算法则是解题的关键． （1）逆向运用幂的乘方运算法则计算即可； （2）逆向运用同底数幂的乘法公式计算即可； （3）逆向运用同底数幂的除法公式计算即可． 【详解】（1）解：，， ；； 故答案为：36；12； （2）解：，， ∴； （3）解：，， ∴． 25．（23-24七年级下·江苏无锡·期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么，例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：_____，_____； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象，，小明给出了如下的证明： 设，则，即， ∴，即， ∴， 请你尝试用这种方法证明下面这个等式： 【答案】(1)27，0 (2)见解析 【分析】本题考查了乘方的运算、幂的乘方以及同底数幂的乘法运算，解题的关键是理解题目中定义的运算法则. （1）根据规定的运算规则即可求解； （2）设，，则，，．，即可证得结果． 【详解】（1）根据规定的运算规则：如果，那么． ∵， ∴； ∵， ∴； （2）设，， 则，， ∴． ∴， ∴． 26．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）若（且），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)已知，求的值． (2)若，求的值． (3)若，，用含的代数式表示． 【答案】(1)1 (2)2 (3) 【分析】此题考查了同底数幂相乘、幂的乘方等方面的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算． （1）根据幂的乘方和积的乘方化简，再列方程求解即可； （2）根据同底数幂相乘、幂的乘方和积的乘方化简，再列方程求解即可； （3）将代入化简为即可求解． 【详解】（1）解：， 由题意得， 解得， ∴的值是1； （2） ， 可得， 解得， ∴的值是2； （3）， ， ， 整理，得， ∴用含的代数式表示为：． 27．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）材料，一般的，若（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可转化为指数式，根据以上材料，解决下列问题： (1)计算： ， ， ； (2)猜想 （且，，）； (3)已知，求和的值．（且） 【答案】(1)2；4；6 (2) (3)； 【分析】本题考查同底数幂的乘法，理解题中定义，弄懂对数式与指数式的关系以及相互转化的关系是解答的关键． （1）根据题中定义求解即可； （2）设，，根据题中定义将对数式转化为指数式，利用同底数幂的乘法法则求解即可； （3）利用（2）中结论求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，， 故答案为：2；4；6． （2）解：设，， 则，， ∴，， 即， 故答案为：； （3）解：由（2）知，， ∵， ∴ ． 28．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设① 则② ②①得，． 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）______； （2）求______； （3）求的和；（请写出计算过程） （4）求的和（其中且）．（请写出计算过程） 【答案】（1）221−2；（2）2-；（3）；（4）+ 【分析】（1）根据阅读材料可得：设s＝①，则2s＝22＋23＋…＋220＋221②，②−①即可得结果； （2）设s＝①，s＝②，②−①即可得结果； （3）设s＝①，-2s＝②，②−①即可得结果； （4）设s＝①，as＝②，②−①得as-s=-a-，同理：求得-，进而即可求解． 【详解】解：根据阅读材料可知： （1）设s＝①， 2s＝22＋23＋…＋220＋221②， ②−①得，2s−s＝s＝221−2； 故答案为：221−2； （2）设s＝①， s＝②， ②−①得，s−s＝-s＝-1， ∴s＝2-， 故答案为：2-； （3）设s＝① -2s＝② ②−①得，-2s−s＝-3s＝+2 ∴s＝； （4）设s＝①， as＝②， ②-①得：as-s=-a-， 设m=-a-③， am=-④， ④-③得：am-m=a-， ∴m=， ∴as-s=+， ∴s=+． 【点睛】本题考查了规律型−实数的运算，解决本题的关键是理解阅读材料进行计算． 学科网（北京）股份有限公司 $$