精品解析：吉林省延边朝鲜族自治州延吉市延边第二中学2024-2025学年高二上学期第二次阶段检测（12月）数学试题

延边第二中学2024—2025学年度第一学期第二次阶段检测 高二年级数学试卷 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个选项正确） 1. 可以表示为（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 两条平行线，间的距离等于（ ） A. B. C. D. 4. 随机变量的分布列如下，且，则（ ） 0 1 2 A. B. C. D. 5. 已知双曲线的渐近线与圆相切，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 6. 某产品只有一等品､二等品，现随机装箱销售，每箱15件.假定任意一箱含二等品件数为的概率分别为.一顾客欲购一箱该产品，开箱随机查看其中1件，若该件产品为一等品，则买下这箱产品，否则退回，则该顾客买下这箱产品的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆：的左焦点为F，右顶点为A，过F且垂直于x轴的直线与C的一个交点为M，过M作椭圆的切线，若切线与直线的倾斜角互补，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 一个箱子中装有大小､形状均相同的8个小球，其中白球5个､黑球3个，现在两次不放回的从箱子中取球，第一次先从箱子中随机取出1个球，第二次再从箱子中随机取出2个球，分别用，表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出黑球”；分别用，表示事件“第二次取出的两球都为黑球”，“第二次取出的两球为一个白球一个黑球”.则下列结论错误的个数是（    ） ① ② ③ ④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知，是椭圆的两个焦点，过且垂直于轴的直线与交于，两点，且，则（   ） A. 椭圆离心率为 B. 周长为6 C. 周长为6 D. 椭圆方程为 10. 已知，则下列结论正确的是（    ） A. B. C. D. 11. 已知抛物线和的焦点分别为，动直线与交于两点，与交于两点，其中，且当过点时，，则下列说法中正确的是 （    ） A. 过点作圆两条切线分别交抛物线于，两点，则直线斜率为 B. 已知点，则的最小值为 C. 若，则的面积是的面积的2倍 D. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，请将答案写在答题纸上） 12. 已知随机变量服从正态分布，若，则_____. 13. 某班举办新年联欢班会，抽奖项目设置了特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、鼓励奖共五种奖项. 甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一张奖票，开奖后发现这5人的奖项都不相同. 甲说：“我不是鼓励奖”；乙说：“我不是特等奖”；丙说：“我的奖没有戊好但是比丁的强”. 根据以上信息，这5人的奖项的所有可能的种数是_____ 14. 一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则下列说法正确的序号是______. ① ② ③ ④ 四、解答题（共5小题，共77分，请写出必要的解答过程） 15. 已知直线，直线，与交于点. 点. （1）求线段的垂直平分线的方程； （2）①求过两点，且圆心在直线上的圆C1的标准方程.②若过点的直线与圆C1相切，求直线的方程. 16. （1）求值: （2）已知，计算：（用数字作答） （3）求不等式：的解集． 17. 运动能让大脑分泌更多多巴胺，提高幸福感.而球类运动不仅能够改善身体素质、提升反应能力，更能够提升人际关系，因此颇受人们喜爱.某高校对开设体育选修课进行调查，从该校大学生中随机抽取容量为100的样本，其中选择球类运动的有24人（其中选择羽毛球的有8人，2名男生，6名女生） （1）若从样本中选一位学生，已知这位学生选择球类运动，那么，他选的是羽毛球的概率是多大? （2）从这8名选择羽毛球的学生中，选出3个人，求其中男生人数X的期望与方差； （3）若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从该校的大学生中，随机选出20位，求选择羽毛球的人数Y的期望和方差. 18. 某校开展了“学党史”知识竞赛活动，竞赛试题由若干选择题和填空题两种题型构成，每位选手共需要回答三个问题.对于每一个问题，若回答错误得0分；若回答正确，填空题得30分，选择题得20分.现设置了两种活动方案供选手选择.方案一：只回答填空题；方案二：先回答填空题，后续选题按如下规则：若上一题回答正确，则下一次选择填空题；若上题回答错误，则下一次选择选择题.已知甲、乙两位同学能正确回答填空题的概率均为，能正确回答选择题的概率均为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. （1）若甲同学采用方案一答题，求甲得分不低于60分的概率； （2）分别列出乙同学选择两种方案得分的分布列，并说明乙同学应该选择何种方案参加比赛更加有利. 19. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率，短轴长为4. （1）求E的标准方程； （2）过点的直线交E于P，Q两点，若以为直径的圆过E的右焦点，求直线的方程； （3）两条不同的直线，的交点为E的左焦点，直线，分别交E于点A，B和点C，D，点G，H分别是线段和的中点，，的斜率分别为，，且，求面积的最大值（O为坐标原点）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延边第二中学2024—2025学年度第一学期第二次阶段检测 高二年级数学试卷 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个选项正确） 1. 可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据排列数的计算公式即可求解. 【详解】， 故选：D 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的标准方程可求解. 【详解】由，可知抛物线的焦点在的正半轴上，又，所以， 所以抛物线的准线方程为. 故选：B. 3. 两条平行线，间的距离等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两平行线间的距离公式求解即可. 【详解】由题意知：，：，即， 因为两直线平行，所以距离为，故A正确. 故选：A. 4. 随机变量的分布列如下，且，则（ ） 0 1 2 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分布列的性质和期望可求，，从而可求方差. 【详解】根据题意可得解得 ． 故选:C． 5. 已知双曲线的渐近线与圆相切，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得渐近线，后由渐近线到圆心距离为1可得答案. 【详解】的渐近线为，圆的圆心为，半径为1. 由对称性，到距离为1，则. 故选：A 6. 某产品只有一等品､二等品，现随机装箱销售，每箱15件.假定任意一箱含二等品件数为的概率分别为.一顾客欲购一箱该产品，开箱随机查看其中1件，若该件产品为一等品，则买下这箱产品，否则退回，则该顾客买下这箱产品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合全概率公式、对立事件概率公式即可求解. 【详解】由全概率公式可知，抽到二等品的概率为， 故所求概率为. 故选：C. 7. 关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆：的左焦点为F，右顶点为A，过F且垂直于x轴的直线与C的一个交点为M，过M作椭圆的切线，若切线与直线的倾斜角互补，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得相应点的坐标，结合题意可得切线与直线的斜率，列式求解即可. 【详解】由题意可知：， 令代入椭圆方程可得，不妨设， 则切线，即， 可知直线的斜率，切线的斜率， 由题意可知：，即. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：由根据题意可得切线，即可得切线斜率. 8. 一个箱子中装有大小､形状均相同的8个小球，其中白球5个､黑球3个，现在两次不放回的从箱子中取球，第一次先从箱子中随机取出1个球，第二次再从箱子中随机取出2个球，分别用，表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出黑球”；分别用，表示事件“第二次取出的两球都为黑球”，“第二次取出的两球为一个白球一个黑球”.则下列结论错误的个数是（    ） ① ② ③ ④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式即可求解. 【详解】由题意可知,,, 则,, 故4个结论均不对， 故选：D 二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知，是椭圆的两个焦点，过且垂直于轴的直线与交于，两点，且，则（   ） A. 椭圆离心率为 B. 周长为6 C. 周长为6 D. 椭圆方程为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据条件可得椭圆方程，即可根据椭圆定义以及离心率的公式求解. 【详解】由题意可设椭圆方程为，则， 当时，则，则， 结合故可得，故椭圆方程为， 离心率为，的周长为，的周长为， 故CD正确，AB错误， 故选：CD 10. 已知，则下列结论正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用赋值法分别令得出系数和判断A,D，令判断B，令判断C. 【详解】对于A:令，则， 令，则，所以，A,D选项正确； 对于B:令，则，B选项正确； 对于C:令，则，C选项错误； 故选：ABD. 11. 已知抛物线和的焦点分别为，动直线与交于两点，与交于两点，其中，且当过点时，，则下列说法中正确的是 （    ） A. 过点作圆两条切线分别交抛物线于，两点，则直线斜率为 B. 已知点，则的最小值为 C. 若，则的面积是的面积的2倍 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】联立方程，根据韦达定理可得，进而根据直线与圆相切，根据点到直线距离公式，结合两点斜率公式即可求解A，根据三点共线，结合焦半径公式即可求解B，根据韦达定理，即可代入化简求解CD. 【详解】当过点时，设方程为， 联立，由于， 结合， 对于A,设过点的切线方程为，则圆心到直线的距离为， 解得， 设，联立直线与的方程可得， 故，故，因此，同理可得， 故，故A正确， 对于B，过作垂直于准线方程，过作垂直于准线方程， 所以，当且仅当三点共线时取等号，故B正确， 对于D，设直线，联立， 故， 联立，故， 因此， 故，因此，正确， 对于C，由可知， 因此，由于，因此， 因此，因此，故的面积是面积的1倍，故C错误， 故选：ABD 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，请将答案写在答题纸上） 12. 已知随机变量服从正态分布，若，则_____. 【答案】0.2## 【解析】 【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解. 【详解】由随机变量服从正态分布，且， . 故答案为： 13. 某班举办新年联欢班会，抽奖项目设置了特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、鼓励奖共五种奖项. 甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一张奖票，开奖后发现这5人的奖项都不相同. 甲说：“我不是鼓励奖”；乙说：“我不是特等奖”；丙说：“我的奖没有戊好但是比丁的强”. 根据以上信息，这5人的奖项的所有可能的种数是_____ 【答案】13 【解析】 【分析】根据分类和分步计数原理即可求解. 【详解】若甲是特等奖，则乙可以是剩余四种中的一种，则丙丁戊情况被唯一确定，此时共有4种情况， 若甲不是特等奖，则甲可以是剩余3种奖中的一种，此时乙也有3种情况，则丙丁戊情况被唯一确定，此时共有种情况， 故总的情况为， 故答案为：13 14. 一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则下列说法正确的序号是______. ① ② ③ ④ 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据，即可利用期望和方差的公式得，，结合二项式定理以及组合数的计算性质，即可结合选项逐一求解. 【详解】小虫向前或向后爬行1个单位的概率为,设次爬行中，有次向前， 则，故 则, 由， 由求导可得，取可得， 因此，故，即，①正确， , ，因此，故②正确， 则， 故，③正确， 由于，故，故④错误， 故选：①②③ 【点睛】方法点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值； （2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列； （3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望 （在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等， 可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）． 四、解答题（共5小题，共77分，请写出必要的解答过程） 15. 已知直线，直线，与交于点. 点. （1）求线段的垂直平分线的方程； （2）①求过两点，且圆心在直线上的圆C1的标准方程.②若过点的直线与圆C1相切，求直线的方程. 【答案】（1） （2）①②或 【解析】 【分析】（1）联立方程可得交点坐标，即可根据垂直以及中点关系，结合点斜式即可求解， （2）联立直线方程可得圆心坐标，即可根据点点距离求解半径得解①，根据直线有无斜率，结合相切即可求解②. 【小问1详解】 ，故， 因为，所以中点坐标为且. 所以的垂直平分线方程为，即. 【小问2详解】 ，故圆心坐标为，半径为. 所以圆的标准方程为. 若直线无斜率，则直线方程为，此时直线与圆相切，符合题意， 当有斜率，设其方程为，则圆心到直线的距离为，解得， 故直线方程为，即， 综上所述：：或 16. （1）求值: （2）已知，计算：（用数字作答） （3）求不等式：的解集． 【答案】（1）；（2）986；（3） 【解析】 【分析】（1）根据排列数的计算公式即可求解， （2）根据组合数的性质即可求解， （3）根据排列的计算公式，代入化简，结合一元二次不等式即可求解. 【详解】（1）； （2）因为，则，解得，经验证符合， 所以． （3）因为，所以， 化简可得， 解得，所以不等式解集为． 17. 运动能让大脑分泌更多多巴胺，提高幸福感.而球类运动不仅能够改善身体素质、提升反应能力，更能够提升人际关系，因此颇受人们喜爱.某高校对开设体育选修课进行调查，从该校大学生中随机抽取容量为100的样本，其中选择球类运动的有24人（其中选择羽毛球的有8人，2名男生，6名女生） （1）若从样本中选一位学生，已知这位学生选择球类运动，那么，他选的是羽毛球的概率是多大? （2）从这8名选择羽毛球的学生中，选出3个人，求其中男生人数X的期望与方差； （3）若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从该校的大学生中，随机选出20位，求选择羽毛球的人数Y的期望和方差. 【答案】（1）； （2），. （3）期望是，方差是. 【解析】 【分析】（1）根据古典概型及条件概率公式计算即可； （2）利用离散型随机变量的分布列、期望、方差公式计算即可； （3）根据二项分布的期望、方差公式计算即可. 【小问1详解】 设“这位大学生选择球类运动”为事件A，则， “这位大学生选择羽毛球”为事件B， 则“这位大学生选择球类，且选择羽毛球”为事件，则， 故所求的概率为：， 所以已知这位大学生选择球类运动，则他选的是羽毛球的概率是； 【小问2详解】 因为选择羽毛球的有8人，其中2名是男生，6名是女生，故从中抽3人， 男生人数X的所有可能取值分别为0，1，2， 其中：； ； . 所以男生人数的分布列为： 0 1 2 所以， ； 【小问3详解】 由已知可得：， 则：， ， 所以选择羽毛球的人数的期望是，方差是. 18. 某校开展了“学党史”知识竞赛活动，竞赛试题由若干选择题和填空题两种题型构成，每位选手共需要回答三个问题.对于每一个问题，若回答错误得0分；若回答正确，填空题得30分，选择题得20分.现设置了两种活动方案供选手选择.方案一：只回答填空题；方案二：先回答填空题，后续选题按如下规则：若上一题回答正确，则下一次选择填空题；若上题回答错误，则下一次选择选择题.已知甲、乙两位同学能正确回答填空题的概率均为，能正确回答选择题的概率均为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. （1）若甲同学采用方案一答题，求甲得分不低于60分的概率； （2）分别列出乙同学选择两种方案得分的分布列，并说明乙同学应该选择何种方案参加比赛更加有利. 【答案】（1） （2）乙同学选择方案二参加比赛更加有利，理由如下： 若采用方案一，则其得分X的可能取值为0，30，60，90，∴；； ；， ∴X的分布列为 X 0 30 60 90 P ∴X的数学期望； 若采用方案二，则其得分Y的可能为取值为0，20，30，50，60，90， ∴；； ；； ；， ∴Y的分布列为 Y 0 20 30 50 60 90 P ∴Y的数学期望， ∵，∴乙同学选择方案二参加比赛更加有利. 【解析】 【分析】（1）根据二项分布的概率公式即可求解， （2）根据二项分布以及相互独立事件的概率乘法公式求解分布列，即可求解两种方案下的期望，比较期望大小即可求解. 【小问1详解】 甲同学采用方案一答题，得分不低于60分的情况为至少答对两道填空题， ∴其概率； 【小问2详解】 略 19. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率，短轴长为4. （1）求E的标准方程； （2）过点的直线交E于P，Q两点，若以为直径的圆过E的右焦点，求直线的方程； （3）两条不同的直线，的交点为E的左焦点，直线，分别交E于点A，B和点C，D，点G，H分别是线段和的中点，，的斜率分别为，，且，求面积的最大值（O为坐标原点）. 【答案】（1） （2）或. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据离心率与短轴长，结合的关系式，建立方程组，可得答案； （2）分直线斜率是否存在进行分析，设出直线方程，联立方程，利用韦达定理与圆的性质，可得答案； （3）设出直线方程，联立方程，利用韦达定理，结合三角形面积公式，可得答案. 【小问1详解】 由题意得，，所以. 因为短轴长为4，所以，解得，所以， 所以E的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知，. 当直线的斜率不存在时，则，， 此时以为直径的圆的圆心为，半径为，而， 则以为直径的圆不经过点，不符合题意，因此直线的斜率必存在. 设直线的方程为，，， 联立，消去y得，， ，且，. 因为以为直径的圆经过点，所以. 所以，即， 所以， 整理得， 即， 化简得，即， 即直线的方程为或. 【小问3详解】 由（1）知，，则直线的方程为，直线的方程为， 设，，，， 联立，消去得，， 由，所以， 所以，， 即，同理可得， 因为，所以，则， 记的中点为，则. 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的面积最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $