专题1.1 直线的相交（2个知识点+4种题型）-2024-2025学年七年级数学下册教材课时同步训练（浙教版）

1.1.1 直线的相交（2个知识点4种题型） 课时1 对顶角与邻补角的性质 内容导航 基础练习 知识点01 对顶角及其性质 对顶角及其性质 模型 结论 1.定义：两个角有一个公共顶点，并且两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。 （1）∠1与∠2，∠3与∠4是对顶角； （2）∠1=∠2，∠3=∠4（对顶角相等）。 题型01 对顶角及其性质 1．【2024·七年级上·全国】下面四个图形中，与互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，如果两个角有公共顶点，且角的两边互为反向延长线，那么这两个角互为对顶角，据此求解即可． 【详解】解；根据对顶角的定义可知，四个选项中只有C选项中的与互为对顶角， 故选：C． 2．【2023七年级下·广西期末】如图，直线a、b相交，，则 度． 【答案】140 【难度】0.85 【知识点】对顶角相等 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，掌握对顶角相等成为解题的关键． 先根据对顶角相等和已知条件求得，再根据平角的性质列式计算即可． 【详解】解：∵，（对顶角相等）， ， ． 故答案为：140． 3．【2024·山东·中考真题】如图，直线相交于点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】几何图形中角度计算问题、对顶角相等 【分析】本题考查对顶角的定义，几何中角度的计算，由对顶角相等得到，即可解答． 【详解】解：， ． 故选：B． 4．【2024·七年级上·全国】如图，直线与相交于点与互余，，则 ． 【答案】55 【难度】0.85 【知识点】求一个角的余角、对顶角相等 【分析】本题主要考查对顶角，互余的定义（两角相加等于），理解题意，掌握对顶角的性质，互余的定义是解题的关键． 首先根据对顶角相等得到，然后根据互余的概念求解即可． 【详解】∵， ∴； ∵与互余， ∴． 故答案为：55． 5．【2024·七年级上·江苏】如图，直线、相交于点O，平分，若，则 ． 【答案】/30度 【难度】0.85 【知识点】角平分线的有关计算、对顶角相等 【分析】本题考查了对顶角、角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．根据角平分线的定义可得，再利用，即可解答． 【详解】解：平分， ， ． 故答案为：． 知识点02 邻补角及其性质 邻补角及其性质 模型 结论 1.定义：两个角有一个公共顶点，并且两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。 （1）∠1与∠3，∠1与∠4，∠2与∠3，∠2与∠4是邻补角； （2）∠1+∠3=180°，∠1+∠4=180°，∠2+∠3=180°， ∠2+∠4=180°（邻补角互补）。 题型02 邻补角及其性质 6．【2023·七年级下·广西期中】下列各图中，与互为邻补角的是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】邻补角的定义理解 【分析】本题主要考查了对顶角．根据对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，进行判定即可得出答案． 【详解】解：选项A和C中的图形都没有公共顶点，选项B中虽然有公共顶点，但一个角的两边不是另一个角的两边的反向延长线，故选项A、B和C中的∠1与∠2不互为邻补角； 根据对顶角的定义即可判断D选项中，∠1与∠2互为邻补角． 故选：D． 7．【2024·七年级上·江苏期末】如图，直线相交于点平分，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】角平分线的有关计算、对顶角相等、利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查了邻补角，角平分线的定义，解决本题的关键是要熟练运用角平分线的定义和邻补角的性质进行计算，根据角平分线定义求出，再根据邻补角互补即可求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 8．【2024·上海·期末】如图，点、、在一条直线上，且，如果平分，那么图中 【答案】 【难度】0.85 【知识点】角平分线的有关计算、利用邻补角互补求角度 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角的和差，平角定义， 先根据角平分线的定义求出，即可求出，然后根据得出答案． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 9．【2024·七年级下·重庆期末】如图，与交于点O，平分，平分，若，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、对顶角相等 【分析】本题考查了角平分线，对顶角，角度之间的计算等知识．熟练掌握角平分线，对顶角，角度之间的计算是解题的关键． 由平分，平分，则设，，则，，，可求，，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， 设，，则， ∴，， 解得，，， ∴， 故答案为：． 10．【2024·七年级下·全国】如图①，两条直线a，b相交于一点，有4组不重复的邻补角； 如图②，三条直线a，b，c相交于一点，有12组不重复的邻补角； 如图③，四条直线a，b，c，d相交于一点，有24组不重复的邻补角； 则n条直线相交于一点，有 组不重复的邻补角．    【答案】 【难度】0.85 【知识点】图形类规律探索、邻补角的定义理解 【分析】本题考查的是图形规律探索，结合已知条件及图形总结规律即可． 【详解】解：由①得， 由②可得， 由③可得， 那么n条直线相交于一点，不重复的邻补角共有组， 故答案为：． 中档题 题型03 中档题训练 11．【2024·七年级上·重庆期末】如图，点A，O，B在同一条直线上，，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】角平分线的有关计算、利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查了有关角平分线的计算，邻补角的性质，明确题意，准确得到角与角之间的数量关系是解题的关键．根据，可得，从而得到，再由平分，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：A． 12．【2023·七年级上·江苏期末】如图，直线相交于点O，平分，平分．若的度数为．则 ．（用含α的代数式表示） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、对顶角相等 【分析】本题考查几何图形中的角度计算问题，角平分线的定义，对顶角的性质等，根据对顶角相等可得，根据角平分线的定义可得，，最后根据平角的定义求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 13．【2024·七年级下·山东期中】如图，已知直线相交于点O，为射线，，平分，，则的度数为 ． 【答案】/128度 【难度】0.65 【知识点】角平分线的有关计算、对顶角相等 【分析】本题考查了对顶角相等，角平分线．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 由题意知，，由平分，可得，则，可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：． 14．【2024·七年级下·全国】如图，直线与相交于点，，射线平分，若，则 ． 【答案】/70度 【难度】0.65 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、对顶角相等、利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查了角平分线的定义，对顶角相等，邻补角性质，角度和差，由与是对顶角，则，从而求出，故有，最后根据角平分线的定义和角度和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ 射线平分， ∴， ∴， 故答案为：． 15．【2024·七年级下·重庆】如图，，，分别平分和，交于点O， °． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】角平分线的有关计算、对顶角相等 【分析】此题考查了角平分线和对顶角的性质，根据角平分线定义得到，，则，再利用对顶角相等即可得到答案． 【详解】解：∵分别平分和， ∴， ∴， ∵交于点O， ∴ 故答案为： 16．【2024·七年级下·陕西期末】如图，直线、相交于点O，平分，平分，，则的度数为 【答案】110 【难度】0.65 【知识点】角平分线的有关计算、对顶角相等、利用邻补角互补求角度 【分析】本题主要考查了相交线，角平分线．熟练掌握角平分线定义，邻补角定义，对顶角性质，是解决问题的关键． 根据角平分线的定义得到，根据得到，，由对顶角的性质得到，，根据角平分线的定义得到，即可得到结论． 【详解】∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：110． 综合大题 题型04 综合大题训练 17.【2024·宣化】（1）如图，直线AB，CD相交与点O，∠DOE:∠BOE=4:1，OF平分∠AOD，∠AOC=∠AOF-15°，求∠EOF的度数； （2）两条直线相交所成的四个角中有两个角为(2m-10)°和(110-m)°，求这两个的度数。 【答案】（1）105°；（2）70°，70°或150°，30° 【难度】0.65 【知识点】角平分线的有关计算、对顶角相等、利用邻补角互补求角度 【分析】本题主要考查了相交线，角平分线．熟练掌握角平分线定义，邻补角定义，对顶角性质，是解决问题的关键． 【详解】（1）设=4x，=x， 则， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴. （2）①当这两个角是对顶角时： (2m-10)°=(110-m)°，解得：m=40° ∴(2m-10)°=(110-m)°=70°， ②当这两个角是邻补角时： (2m-10)°+(110-m)°=180°，解得：m=80° ∴(2m-10)°=150°，(110-m)°=30°， 解得：m=80°， 综上所述，这两个角的度数是70°，70°或150°，30°。 18．【2024·七年级下·河南周口】如图，直线和相交于点O，把分成两部分，且，平分． (1)若，求． (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、对顶角相等、利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，（1）利用了对顶角相等，邻补角互补，（2）利用了角平分线的定义，邻补角互补的性质，角的和差． （1）根据对顶角相等，可得的度数，根据，可得，根据邻补角，可得答案； （2）根据角平分线的定义，可得，根据邻补角的关系，可得关于的方程，求出的度数，可得答案． 【详解】（1）由对顶角相等，得， 由把分成两部分且，得， 由邻补角，得； （2） 平分， ． 由邻补角，得， 即， 解得． ∴，， ∴． 19．【2024·七年级下·山东聊城】已知：是直线上的一点，，平分． (1)如图1若．求的度数； (2)在图1中，若，直接写出的度数（用含的代数式表示）； (3)将图1中的绕顶点顺时针转至图2的位置，探究和的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查的是角的计算，熟知角平分线的定义、补角的定义是解答此题的关键． （1）根据垂直的定义求出，根据补角的定义得到，再求出，由角平分线的定义可得，由即可得到答案； （2）同（1）可得出答案； （3）先根据角平分线的定义和补角得到，进一步得到，再由即可得出结论． 【详解】（1）解： ， ， ， ， 平分， ， （2）， ， ， 平分， ， ． （3） 理由是： ，OE平分， ， ， ， ， 即． 20．【2024·七年级上·全国】如图，直线交于点分别在内部，且平分． (1)的对顶角是___________； (2)若，则的度数为___________； (3)若平分，求的度数； (4)若，判断是否平分，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)平分，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、对顶角相等、利用邻补角互补求角度 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，对顶角的性质，几何中角度的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线的定义． （1）根据对顶角的定义即可解答； （2）根据角平分线的定义得出，再根据，求出结果即可； （3）由，得到，根据角平分线的定义得出，根据，求出，根据角平分线的定义得出，根据，求出结果即可； （4）由，利用平角的定义得到，再根据，求出，结合得出结论． 【详解】（1）解：根据题意：的对顶角是； （2）解： 平分， ， ； （3）解： 与为对顶角， ， ，即． 平分， ， ， ， ． 又 平分， ， ； （4）解：平分，理由如下： ， ． ， ， ， ， 平分． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 直线的相交（2个知识点+4种题型+20道题） 课时1 对顶角与邻补角的性质 内容导航 基础练习 知识点01 对顶角及其性质 对顶角及其性质 模型 结论 1.定义：两个角有一个公共顶点，并且两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。 （1）∠1与∠2，∠3与∠4是对顶角； （2）∠1=∠2，∠3=∠4（对顶角相等）。 题型01 对顶角及其性质 1．【2024·七年级上·全国】下面四个图形中，与互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 2．【2023七年级下·广西期末】如图，直线a、b相交，，则 度． 3．【2024·山东·中考真题】如图，直线相交于点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．【2024·七年级上·全国】如图，直线与相交于点与互余，，则 ． 5．【2024·七年级上·江苏】如图，直线、相交于点O，平分，若，则 ． 知识点02 邻补角及其性质 邻补角及其性质 模型 结论 1.定义：两个角有一个公共顶点，并且两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。 （1）∠1与∠3，∠1与∠4，∠2与∠3，∠2与∠4是邻补角； （2）∠1+∠3=180°，∠1+∠4=180°，∠2+∠3=180°， ∠2+∠4=180°（邻补角互补）。 题型02 邻补角及其性质 6．【2023·七年级下·广西期中】下列各图中，与互为邻补角的是（    ） A．B． C． D． 7．【2024·七年级上·江苏期末】如图，直线相交于点平分，则 ． 8．【2024·上海·期末】如图，点、、在一条直线上，且，如果平分，那么图中 9．【2024·七年级下·重庆期末】如图，与交于点O，平分，平分，若，则 ． 10．【2024·七年级下·全国】如图①，两条直线a，b相交于一点，有4组不重复的邻补角； 如图②，三条直线a，b，c相交于一点，有12组不重复的邻补角； 如图③，四条直线a，b，c，d相交于一点，有24组不重复的邻补角； 则n条直线相交于一点，有 组不重复的邻补角．    中档题 题型03 中档题训练 11．【2024·七年级上·重庆期末】如图，点A，O，B在同一条直线上，，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 12．【2023·七年级上·江苏期末】如图，直线相交于点O，平分，平分．若的度数为．则 ．（用含α的代数式表示） 13．【2024·七年级下·山东期中】如图，已知直线相交于点O，为射线，，平分，，则的度数为 ． 14．【2024·七年级下·全国】如图，直线与相交于点，，射线平分，若，则 ． 15．【2024·七年级下·重庆】如图，，，分别平分和，交于点O， °． 16．【2024·七年级下·陕西期末】如图，直线、相交于点O，平分，平分，，则的度数为 综合大题 题型04 综合大题训练 17.【2024·宣化】（1）如图，直线AB，CD相交与点O，∠DOE:∠BOE=4:1，OF平分∠AOD，∠AOC=∠AOF-15°，求∠EOF的度数； （2）两条直线相交所成的四个角中有两个角为(2m-10)°和(110-m)°，求这两个的度数。 18．【2024·七年级下·河南周口】如图，直线和相交于点O，把分成两部分，且，平分． (1)若，求． (2)若，求． 19．【2024·七年级下·山东聊城】已知：是直线上的一点，，平分． (1)如图1若．求的度数； (2)在图1中，若，直接写出的度数（用含的代数式表示）； (3)将图1中的绕顶点顺时针转至图2的位置，探究和的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由． 20．【2024·七年级上·全国】如图，直线交于点分别在内部，且平分． (1)的对顶角是___________； (2)若，则的度数为___________； (3)若平分，求的度数； (4)若，判断是否平分，并说明理由． 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