2025年九年级中考数学二轮专题复习-二次函数压轴题（相似三角形问题）

2025年中考数学二轮专题复习 二次函数压轴题（相似三角形问题） 一、解答题 1．如图，直线y=x+4交于x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线F1交x轴于另一点B（1，0）． （1）求抛物线F1所表示的二次函数的表达式及顶点Q的坐标； （2）在抛物线上是否存在点P，使△BPC的内心在y轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在写出理由； （3）直线y=kx-6与y轴交于点N,与直线AC的交点为M,当△MNC与△AOC相似时，求点M坐标． 2．如图1，抛物线经过和两点，直线与x轴相交于点C，P是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点D，抛物线与x轴的交点为F，G．    (1)求该抛物线的表达式． (2)当点P的坐标为时，求四边形的面积． (3)如图2，若轴交于点E且点P在直线上方，求的最大值． (4)若以A，P，D为顶点的三角形与相似，请直接写出所有满足条件的点P的坐标． 3．抛物线：交x轴于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴负半轴于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线在第一象限内一点，若，求点P的坐标； (3)如图2，将抛物线向左平移1个单位，得到新的抛物线，直线交抛物线于M，N两点，直线，与抛物线都只有唯一公共点，直线，分别交x轴于S，T两点，若的面积为，求k的值． 4．如图，二次函数（）的图象与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，已知，． (1)求该二次函数的表达式； (2)点M为抛物线对称轴上一动点，是否存在点M使得有最大值，若存在，请直接写出其最大值及此时点M坐标，若不存在，请说明理由． (3)连接，P为第一象限内抛物线上一点，过点P作轴，垂足为D，连接，若与相似，请求出满足条件的P点坐标：若没有满足条件的P点，请说明理由． 5．如图1，已知抛物线与x轴交于点A和点B（A在B的左边），，与y轴交于点．    (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图2，已知点P是第一象限抛物线上的一点，且，求点P的横坐标； (3)如图3，点D为抛物线的顶点，直线交抛物线于点E，F，过点E作y轴的平行线交的延长线于点Q，求的最小值． 6．如图，抛物线与直线分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0），点B的纵坐标为1． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB－MC|的值最大，求出M点的坐标； (3)点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥y轴交y轴于点Q，问：是否存在点P使以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图：已知抛物线与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，抛物线的顶点为点P． (1)拋物线L的对称轴为___________，点C的坐标为___________． (2)若，求抛物线的表达式． 8．如图，抛物线与x轴交于A和B两点（点B位于点A右侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，且，，连接AC，BC． (1)求此抛物线的函数解析式； (2)设抛物线的顶点为点P，请在x轴上找到一个点D，使以点P、B、D为顶点的三角形与相似？ 9．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，点为轴负半轴上一点，于点交轴于点．已知抛物线经过点、、． (1)求抛物线的函数式． (2)连接，点在线段上方的抛物线上，连接、，若和面积满足，求点的坐标． (3)如图，为中点，设为线段上一点（不含端点），连接．一动点从出发，沿线段以每秒个单位的速度运动到，再沿着线段以每秒个单位的速度运动到后停止．若点在整个运动过程中用时最少，请直接写出最少时间和此时点的坐标． 10．如图，已知抛物线过点，． （1）求抛物线的解析式及其顶点的坐标； （2）抛物线与交于点，在抛物线对称轴上找一点，使的值最大，求出点的坐标以及这个最大值； （3）设点是轴上一点，当时，求点的坐标． 11．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A(﹣2，0)、与y轴交于点C(0，4)，过点A的直线y＝x+1与抛物线的另一个交点为B，D是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式并直接写出顶点D的坐标； (2)如图1，点P是线段AB上方抛物线上一动点，求点P运动到什么位置时，△ABP的面积最大，最大面积是多少？ (3)如图2，设直线AB与y轴交于点E．点M是直线AB上的一个动点(不与点A、B重合)，当△MEC与△AOE相似时，请直接写出点M的坐标． 12．下表给出了抛物线：上部分点的坐标： x … 0 1 2 3 … y … 0 2 2 0 … (1)求抛物线L的解析式； (2)如图①，抛物线L与x轴交于B、C两点（点C在点B的右边），与y轴交于点A，点P是抛物线L上一点（不与点A重合），直线将的面积分成两部分，求点P的坐标； (3)如图②，将抛物线L向上平移m（）个单位长度得到抛物线，抛物线与y轴交于点D，过点D作y轴的垂线交抛物线于另一点E，点F为抛物线的对称轴与x轴的交点，M为线段上一点．若与相似，并且符合条件的点M恰好有2个，求m的值． 13．如图，在平面直角坐标系中，将抛物线：平移，使平移后的抛物线经过点，，与y轴的交点为E.    (1)求抛物线的函数解析式； (2)点是抛物线上的动点，设四边形的面积为S，求S与m的函数关系式，并求四边形的面积的最大值； (3)若与平移后的抛物线对称轴交于D点，点M是y轴上一点，点N是抛物线的对称轴上位于点D的上方的一点，当与相似时，请直接写出点M及其对应点N的坐标（每写一组正确的结果得1分，最多得5分）． 14．如图，已知抛物线经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（－9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式． （2）过点P与y轴平行的直线与直线AB，AC分别交于点E，F，当点P在何处时，四边形AECP的面积最大，最大是多少？ （3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于O，A两点，顶点P的坐标为．点B为抛物线上一动点，连接，过点B的直线与抛物线交于另一点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点B的横坐标与纵坐标相等，，且点C位于x轴上方，求点C的坐标； （3）若点B的横坐标为t，，请用含t的代数式表示点C的横坐标，并求出当时，点C的横坐标的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）y=﹣x2﹣x+4，Q（2）（﹣5，﹣16）（3）①② 2．(1) (2) (3) (4)或 3．(1) (2)点P的坐标 (3) 4．(1)二次函数的表达式为； (2)的最大值为，点M坐标为； (3)满足条件的点坐标为． 5．(1) (2) (3)的最小值为6． 6．(1) (2) (3)存在，点P（1，6） 7．(1)直线， (2)或 8．(1) (2)点D的坐标是（0，0）或（，0） 9．(1)抛物线解析式为； (2)点的坐标为或； (3)此时，． 10．（1），C点坐标为（-1，4）；（2）（-1，6），；（3）（-19，0）或（17，0） 11．(1)抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4，顶点D的坐标为(1，)；(2)点P运动到(，)时，△ABP的面积最大，最大面积是；(3)当△MEC与△AOE相似时，点M的坐标为(6，4)或(，)． 12．(1) (2) (3) 13．(1) (2)，四边形的面积的最大值为 (3);;; 14．（1）y＝x2+2x＋1；（2）当P()时，四边形AECP的面积最大值是；（3）存在，点Q的坐标为(-4，1)或(3，1) 15．（1）或；（2）点C的坐标为或；（3）； 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$