湖南省长沙市雨花区2024-2025学年上学期九年级期末数学试卷

2024-2025学年湖南省长沙市雨花区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.抛物线的顶点坐标是(    ) A. B. C. D. 2.生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 3.如图，四边形ABCD内接于，若，则的大小为(    ) A. B. C. D. 4.如图，将绕点A顺时针旋转 得到，若线段，则(    ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5.下列事件中是必然事件的是(    ) A. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B. 随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数 C. 打开电视机，正在播放广告 D. 从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级 6.关于函数，下列说法中，错误的是(    ) A. 函数的图象分布在二、四象限 B. y的值随x值的增大而增大 C. 函数的图象与坐标轴没有交点 D. 函数的图象关于原点对称 7.如图，D、E分别是边AB，AC上的点，，若，，，则AE的长是    A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8.如图，AB、AC、BD是的切线，切点分别是P、C、若，，则BD的长是(    ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 9.某个事件发生的概率是，这意味着(    ) A. 在一次试验中没有发生，下次肯定发生 B. 在一次事件中已经发生，下次肯定不发生 C. 每次试验中事件发生的可能性是 D. 在两次重复试验中该事件必有一次发生 10.一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，如表是这种幼树移植过程中的一组统计数据： 移植数棵 成活数棵 成活频率 100 87 1000 893 5000 4485 8000 7224 10000 8983 15000 13443 20000 18044 估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是______结果精确到 12.将抛物线向左平移2个单位后，经过点，则______. 13.以原点为中心，把点逆时针旋转得到点N，则点N的坐标为______. 14.如图，圆锥的底面半径，高，则该圆锥的侧面积是______ 15.如图，点M，N在反比例函数的图象上，分别过点M，N作坐标轴的垂线，若，则的值为______. 16.如图是小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知，，且测得米，米，米．那么该古城墙CD的高度是______米． 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题6分 已知抛物线的顶点为，且过点，求该函数的关系式. 18.本小题6分 如图，在中，直径，垂足为E，，，求的半径. 19.本小题6分 如图，在中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点C恰好为AD的中点.指出旋转中心，并求出旋转角的度数和AE的长. 20.本小题8分 在一个不透明的箱子中装有形状、大小均一样的小球，其中红色小球有3个，蓝色小球有1个． 从箱子中任意摸出两个小球，利用树状图或表格求两个小球颜色恰好不同的概率； 将摸出的小球全部放回后，又放入n个蓝色小球，摇晃均匀后任意摸出一个，记下颜色，经过大量反复的实验，发现摸到蓝色小球的概率约为，求n的值． 21.本小题8分 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B分别在y轴和x轴上，且，，反比例函数的图象经过点C， 求反比例函数的解析式； 将正方形ABCD绕点B顺时针旋转，当BC第一次落在x轴上时，点D是否落在反比例函数的图象上？说明你的理由. 22.本小题9分 某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元.经过市场调查发现，该文具的每天销售数量件与销售单价元之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价元 … 12 13 14 … 每天销售数量件 … 36 34 32 … 直接写出y与x之间的函数关系式； 若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？ 设销售这种文具每天获利元，当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 23.本小题9分 如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，于点F，连接OF，且 求证：DF是的切线； 求线段OF的长度. 24.本小题10分 如图，在四边形ABCD中，，AC，BD交于点E，过点E作，分别交AB，CD于点M， 求证：∽； 求证：； 若，，求MN的长． 25.本小题10分 如图1，抛物线与x轴交于点、点在B点左侧，与y轴交于点，点P是抛物线上一个动点，连接PB，PC， 求抛物线的函数表达式； 如图2所示，当点P在直线BC上方运动时，连接AC，求四边形ABPC面积的最大值，并写出此时P点坐标； 若点M是x轴上的一个动点，点P的横坐标为试判断是否存在这样的点M，使得以点B、M、P为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：是抛物线的顶点式， 顶点坐标为 故选： 直接根据顶点式的特点求顶点坐标． 本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为 2.【答案】C  【解析】解：选项图形不是中心对称图形是轴对称图形，不符合题意， B.选项图形是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意， C.选项图形是中心对称图形不是轴对称图形，符合题意， D.选项图形是中心对称图形也是轴对称图形，不符合题意， 故选： 根据中心对称图形定义：把图形沿某点旋转后得到的新图形与原图形重合的图形叫做中心对称图形．轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折，两边完全能够重合的图形叫做轴对称图形，逐个判断即可得到答案． 本题考查中心对称图形和轴对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的定义是解答本题的关键． 3.【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解答此题的关键．运用圆内接四边形对角互补计算即可． 【解答】 解：四边形ABCD内接于，， ， 故选 4.【答案】B  【解析】【分析】      根据旋转的性质可得，，然后判断出是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可得      本题考查了旋转的性质，主要利用了旋转前后对应边相等以及旋转角的定义． 【解答】 解：绕点A顺时针旋转 得到， ，， 是等边三角形， ， ， 故选： 5.【答案】D  【解析】【分析】 根据事件发生的可能性大小判断即可． 本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【解答】 解：A、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件； B、随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数，是随机事件； C、打开电视机，正在播放广告，是随机事件； D、从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级，是必然事件； 故选： 6.【答案】B  【解析】解：函数，， 该函数的图象在第二、四象限，故选项A说法正确，不符合题意； 在每个象限内，y随x的增大而增大，故选项B说法错误，符合题意； 函数的图象与坐标轴没有交点，故选项C说法正确，不符合题意； 函数的图象关于原点对称，故选项D说法正确，不符合题意； 故选： 根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 7.【答案】C  【解析】【分析】 证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【解答】 解：，， ∽， ，即， 解得，， 故选 8.【答案】C  【解析】解：、AP为的切线， ， 、BD为的切线， ， 故选： 由于AB、AC、BD是的切线，则，，求出BP的长即可求出BD的长． 本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键． 9.【答案】C  【解析】【分析】 概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，可能发生也可能不发生． 本题考查了概率的意义．正确理解概率的含义是解决本题的关键． 【解答】 解：某个事件发生的概率是， 根据概率的意义，知该事件在一次试验中可能发生，也可能不发生，每次试验中事件发生的可能性是 故选： 10.【答案】B  【解析】解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不合题意； B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不合题意； D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不合题意． 故选： 先由二次函数的图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致． 本题考查二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质． 11.【答案】  【解析】解：根据表格中的数据，可以估计移植的成活的概率为 故答案为： 根据调查收集数据的过程和方法、近似数的定义解决此题． 本题主要考查了利用频率估计概率，熟练掌握调查统计数据的过程与方法、近似数以及有效数字的定义是解决本题的关键． 12.【答案】  【解析】解：将抛物线向左平移2个单位后得到， 经过点， ， 解得：， 故答案为： 直接利用二次函数的平移规律结合二次函数图象上点的坐标特征即可求得． 此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了坐标与图形变化-旋转，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 画出图示，连OM、ON，作轴于点A，作轴于点B，根据点M 逆时针旋转得到点N，证明出≌，得出，，则可得点N的坐标为 【解答】 解：如图，连OM、ON，作轴于点A，作轴于点B，则， 点M 绕点O逆时针旋转得到点N， ，， ， ， ≌， ，， 则点N的坐标为 故答案为： 14.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了圆锥的侧面积公式求法，正确的记忆圆锥侧面积公式是解决问题的关键．首先根据底面半径，高，求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式求出即可． 【解答】 解：它的底面半径，高 ， 这个圆锥的侧面积是： 故答案为： 15.【答案】4  【解析】解：点M，N在反比例函数的图象上，分别经过M、N两点向x轴、y轴作垂线段， 则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于， 即，， ， ， 故答案为： 欲求，只要求出过M、N两点向x轴、y轴作垂线段求出与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为反比例函数的系数4，然后根据求得即可． 本题主要考查了反比例函数的图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键． 16.【答案】8  【解析】【分析】 本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中反射原理，注意运用相似三角形，是解决本题关键．由光学知识反射角等于入射角不难分析得出，再由得到，得到代入数值即可． 【解答】 解：由题意得：，， ， ， 即， 解得：米 故答案为： 17.【答案】解：抛物线的顶点为， 抛物线解析式可设为， 把代入得， 解得， 抛物线解析式可设为  【解析】设顶点式，然后把B点坐标代入求出a即可． 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 18.【答案】 解：连接OD，设的半径为r，则， 直径弦CD于点E， ，在中， ，，，， ，解得 的半径是  【解析】连接OD，设的半径为r，则，再根据勾股定理求出r的值即可． 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 19.【答案】解：由题意得，旋转中心为点 ，， 旋转角的度数为 由旋转得，，， 点C为AD的中点， ，   【解析】由题意得，，可得旋转角的度数为，旋转中心为点由中点的定义可得，由旋转得，，，进而可得AE的长． 本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 20.【答案】解：列表如下： 红 红 红 蓝 红 红，红 红，红 蓝，红 红 红，红 红，红 蓝，红 红 红，红 红，红 蓝，红 蓝 红，蓝 红，蓝 红，蓝 由表知，共有12种等可能结果，其中两个小球颜色恰好不同的有6种结果， 所以两个小球颜色恰好不同的概率为， 根据题意，得：， 解得， 经检验是分式方程的解， ， 答：n的值为  【解析】此题主要考查了利用树状图求概率及利用频率估计概率，总体数目=部分数目相应百分比；如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率注意本题是不放回实验． 列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式求解即可； 根据概率公式列出关于n的方程，解之即可． 21.【答案】解：连接BD， 四边形ABCD是正方形， ，， ，， ， ， ，， 轴， 点D的坐标为， 反比例函数的图象经过点C， ， 反比例函数的表达式为； 点D的对应点没有落在反比例函数的图象上， 理由如下： 如图所示， 点A，B的坐标分别为，， ，， 又，， 当点C的对应点落在x轴上时，， 由题可知轴，， 点与点C横坐标相同， ， ， 点D的对应点没有落在反比例函数的图象上．  【解析】根据，求出A、B的坐标，易求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得； 根据正方形的边长和A的坐标求得的坐标，进而表示出的坐标，代入反比例函数解析式即可判断． 本题考查了反比例函数的图象和性质、正方形的性质、待定系数法求反比例函数的解析式质以及旋转的性质等知识，确定点坐标是解决问题的关键． 22.【答案】解：设y与x之间的函数关系式为，由所给数据可知： ， 解得：， 故y与x的函数关系式为； 根据题意得： ， 解得：， 又， ， 答：销售单价应为18元． ， 抛物线开口向下， 对称轴为直线， 当时，w随x的增大而增大， 当时，w有最大值， 答：当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元．  【解析】设y与x之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式； 依据利润=单件利润销售量列出方程，解答即可； 根据利润=单件利润销售量列出函数解析式，然后由函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值． 本题考查二次函数的应用，关键是根据利润=单件利润销售量列出函数解析式． 23.【答案】证明：连接OD， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 是的切线； 解：，， 是的中位线， ，， ， ， 由勾股定理得：， 在中，， 线段OF的长为  【解析】连接OD，根据等边三角形及圆性质求出，再由，推出，根据切线的判定推出即可； 由，，可求得AD，AF，AB的长度，再根据中位线性质求出OD的长度，根据勾股定理即可求得OF的长． 本题考查了切线的判定方法，利用勾股定理求线段的长度等知识点，能够求得半径与直线的垂直是证明切线的关键，能够灵活应用“锐角所对的直角边等于斜边的一半”是解决线段长度的关键． 24.【答案】证明：，， ， ∽； 证明：， ， ， ∽，∽， ，， ， ， 点E是MN的中点，， ， ∽，∽， ，， ， ， 结合的结论， ，， ， ， ，   【解析】本题考查相似三角形的判定和性质． 利用相似三角形的判定定理直接证明即可； 利用平行线分线段成比例定理得到，再根据平行证明∽，∽，∽，根据相似三角形的性质求解即可； 结合中的结论，将，代入求解即可． 25.【答案】解：将点、、代入， ，解得， 抛物线的解析式为； 设直线BC的解析式为， ， 解得， 直线BC的解析式为， 过点P作轴交BC于点Q， 设，则， ， ，， 四边形ABPC面积， 点P在直线BC上方， ， 当时，四边形ABPC面积有最大值16，此时； 存在点M，使得以点B、M、P为顶点的三角形是直角三角形，理由如下： 当时，， ， 设， ，，， ①当MP为斜边时，， 解得， 舍； ②当MB为斜边时，， 解得， ； ③当BP为斜边时，， 解得或， 或舍； 综上所述：M点坐标为或  【解析】用待定系数法求函数的解析式即可； 过点P作轴交BC于点Q，设，则，然后求得四边形ABPC面积，当时，四边形ABPC面积有最大值16，此时； 先求出，设，分别求出，，，再由勾股定理分类讨论求出M点坐标即可． 本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$