直线与圆的方程专题训练-2025届高三数学一轮复习

直线与圆的方程专题训练-2025年高考数学一轮复习题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若直线与圆相切，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 2．已知圆C：，直线l：．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆与直线交于两点，若，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 4．点为圆上一点，点为直线上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．过点的直线与圆相交于两点，那么当取得最小值时，直线的方程是（    ） A． B． C． D． 6．已知直线与圆交于两点，则（   ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点，使得，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．某城市积极推进城市建设，打造“宜居城市”，该城市有一个湖的边界是以为圆心的圆，湖上有一座观景桥，湖的一侧有一条直线型公路．已知圆的半径为百米，桥长为4百米，所在直线与直线分别在圆心两侧，如图所示，且夹角的正切值为，圆心到直线的距离为百米．现在需要从直线上选择两点分别修建两条景观路，分别直通两点，即图中的线段．若这两条路不能经过湖面，则路口相隔距离的最小值为（    ）    A．百米 B．百米 C．百米 D．百米 二、多选题 9．已知直线，圆，则（ ） A．经过定点 B．圆与圆：外离 C．当与圆相切时，. D．圆心到直线距离的最大值为 10．已知直线，圆，则（ ） A．经过定点 B．圆与圆：的公切线有4条 C．当与圆相切时， D．圆上点到直线距离的最大值为 11．已知点，分别以点为圆心，以1，2为半径作圆．若直线与圆和圆相切，切点分别为，则（    ） A．若重合，则直线的方程是 B．若不重合，则 C．若直线的斜率存在，则其斜率为 D．若不重合，则四边形的面积为 三、填空题 12．若曲线：与的图象有个交点，则 ． 13．以为直径的两个端点的圆的标准方程是 ． 14．已知圆C：，点，过点作两条相互垂直的直线，，交圆于、两点，交圆于、两点，则的最大值为 . 四、解答题 15．已知圆C经过点，且圆心C是直线与轴的交点. (1)求圆C的方程； (2)若直线l与圆C交于A，B两点，且四边形为菱形，求直线l的方程. 16．已知直线经过直线的交点，且与直线垂直. (1)若圆C的圆心为点，直线l被该圆所截得的弦长为求圆C的标准方程； (2)求过点的圆C的切线方程. 17．已知圆C的圆心C在直线上，且圆C与直线相切于. (1)求圆C的标准方程； (2)已知，其中，若圆C上存在点P，使得，求实数m的取值范围. 18．已知圆，直线． (1)证明直线恒过定点，并求定点的坐标； (2)当时，求直线被圆所截得的弦长． 19．已知函数的图象与直线均过定点. (1)若直线在，轴上的截距相等，求直线的方程； (2)若点是圆：上的动点，点满足，求的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《直线与圆的方程专题训练-2025年高考数学一轮复习题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C A C B D B AD AD 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】根据点到直线的距离等于半径，列出方程即可得答案； 【详解】圆的标准方程为，有，解得或3． 故选：C 2．C 【分析】先求得直线所过定点，然后根据圆的几何性质，利用勾股定理来求得正确答案. 【详解】直线l：，即， 所以直线过定点. 圆的圆心为，半径. 则当时，弦长最小，， 所以弦长的最小值为. 故选：C 3．C 【分析】根据圆的方程，得圆心坐标和半径，再由，得到圆心到直线的距离为，结合点到直线距离公式，列出方程求解即可. 【详解】因为圆的圆心为，半径为； 且圆与直线交于两点，， 所以为等腰直角三角形，，则， 因此圆心到直线的距离为， 即，解得或； 故选：C 4．A 【分析】求出圆心和半径，得到圆心到直线的距离，从而利用得到最小值. 【详解】，故圆心为，半径， 其中到直线的距离为， 则的最小值为. 故选：A 5．C 【分析】首先求出过圆心与点的直线的斜率，当直线与垂直时，取得最小值，则可得直线的斜率，则直线的方程可求． 【详解】由题意得圆的标准方程为，则圆心. 过圆心与点的直线的斜率为. 当直线与垂直时，取得最小值， 故直线的斜率为， 所以直线的方程为， 即， 故选：C． 6．B 【分析】求出圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，再由勾股定理计算可得. 【详解】圆的圆心为，半径， 直线，即， 所以圆心到直线的距离， 所以. 故选：B 7．D 【分析】由可得点轨迹方程，又点在圆上，由两圆有公共点，建立不等式求解的范围即可. 【详解】设，则由，得到､ 整理得到，又点在圆上， 所以与圆有公共点， 又的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径， 所以，解得. 故选：D. 8．B 【分析】建立平面直角坐标系，根据直线与圆的位置关系得出的方程为，结合最小时，应用两点间距离公式计算即可. 【详解】如图，以圆心为原点，平行于的直线为轴，建立平面直角坐标系， 则圆，点，． 所在直线与直线分别在圆心两侧，且夹角的正切值为，则直线斜率为， 设直线，由圆心到直线的距离为百米，得，解得． 因为直线与分别在圆心两侧，所以，故直线的方程为． ，则以为切点的切线方程是，即， 同理，以为切点的切线方程是， 当最小时，由， 由，此时（百米）． 故选：B．    【点睛】 9．AD 【分析】根据方程的形式，联立方程，即可求定点，判断A，根据两圆位置关系判断B；根据相切结合点到直线的距离公式运算判断C；求出圆心到动直线的最大距离即可判断D. 【详解】对于选项A：因为， 令，解得，所以l过定点，故A正确； 对于选项B：圆可化为，可知其圆心为，半径， 圆：的圆心为，半径， 因为，即，可知两圆相交，故B错误； 对于选项C：若与圆相切， 则圆心到直线的距离，解得，故C错误； 对于选项D：当时，圆心到直线距离的最大， 此时最大值为，故D正确. 故选：AD. 10．AD 【分析】根据方程的形式，联立方程，即可求定点，判断A，根据两圆位置关系判断B；根据相切结合点到直线的距离公式运算判断C；求出圆心到动直线的最大距离即可求解判断D. 【详解】对于选项A：因为， 令，解得，所以l过定点，故A正确； 对于选项B：圆可化为，可知其圆心为，半径， 圆：的圆心为，半径， 因为，即， 可知两圆相交，所以圆C与圆的公切线有2条，故B错误； 对于选项C：若与圆相切， 则圆心到直线的距离，解得，故C错误； 对于选项D：因为圆心到直线距离的最大值为， 所以圆上点到直线距离的最大值为，故D正确； 故选：AD. 11．ABD 【分析】先判断两圆的位置关系，可知若重合，则即为，此时直线的方程是，可判断A；若不重合，结合图像由此可判断BCD； 【详解】点，分别以点为圆心，以1，2为半径作圆， 所以，， 对于A，因为，所以圆圆外切，且切点为， 若重合，则即为，此时直线的方程是，故A正确； 对于B，如下图，因为，， 设直线与交于点，所以为的中点， 所以为的中点，，， 所以在中，，故B正确； 对于C，在中，， 故直线的斜率存在，则其斜率为，故C错误； 对于D，若不重合，则四边形的面积为： ，故D正确. 故选：ABD. 12． 【分析】根据题意可知曲线：过坐标原点，从而建立方程，即可求解. 【详解】曲线：表示以为圆心，半径为的圆， 表示直线或， 因为曲线：与的图象有个交点， 如图所示，曲线：过坐标原点， 故，解得. 故答案为：. 13． 【分析】求的中点坐标，求的长度，由此可得圆心坐标和半径，由此可得圆的方程. 【详解】因为， 所以线段的中点坐标为，即， ， 所以以为直径的两个端点的圆的圆心坐标为，半径为， 所以以为直径的两个端点的圆的标准方程是. 故答案为：. 14． 【详解】取的中点，的中点，连接， 则，，又， 所以四边形为矩形， 因为圆的方程为， 所以圆心的坐标为，半径为，又点的坐标为， 所以，， 由已知，， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）求得圆心与半径可求圆的方程； （2）由已知可得AB垂直平分CM，求得，进而求得的中点，可求直线的方程. 【详解】（1）因为圆心C是直线与轴的交点， 所以圆心C的坐标为， 又因为圆C经过，所以圆C的半径为， 所以圆C的方程为. （2）因为四边形CAMB为菱形， 所以AB垂直平分CM， 因为，所以 又因为CM的中点坐标为 所以直线AB的方程为，即. 16．(1) (2)或 【分析】（1）由题意求出两直线的交点，再求出所求直线的斜率，用点斜式写出直线的方程, 根据题意求出圆的半径，由圆心写出圆的标准方程； （2）若切线的斜率存在，设过点的切线方程为，由圆心到切线的距离为，求解；若切线的斜率不存在，则切线的方程为. 【详解】（1）由已知条件得，解得，即, 设直线的斜率为， 因为直线与直线垂直， 所以， 所以由点斜式方程得，即. 设圆的半径为，则圆心到直线的距离为， 则由垂径定理得， 所以圆的标准方程为. （2）由题意， 当切线的斜率存在时， 设过点的切线方程为，即， 则由圆心到切线的距离为得， 即，解得， 所以切线方程为， 当切线的斜率不存在时，切线方程为, 综上所述，切线方程为或. 17．(1) (2) 【分析】（1）根据直线与圆相切先确定过且垂直于的直线也过圆心，再利用两直线交点的计算求出圆心，结合两点距离公式计算半径即可得圆的标准方程； （2）利用圆的性质将问题转化为两圆有交点，结合圆心距计算参数即可. 【详解】（1）因为圆C与直线相切于， 所以过且垂直于的直线过圆心C. 易求得该直线为， 又圆心C在直线上， 所以，即圆心， 半径； 所以圆C的标准方程为； （2）由于，所以P的轨迹是以为直径的圆（除外）， 所以以为直径的圆O为：， 又因为P在圆C上，所以圆C与以为直径的圆有公共点，                      易知圆心距，所以，解得. 18．(1)证明见解析，定点坐标为 (2) 【分析】（1）将直线的方程变形，即可求出直线所过定点的坐标； （2）求出圆心坐标和圆的半径，当时，可求出圆心到直线的距离，利用勾股定理可求得直线截圆所得的弦长. 【详解】（1）直线的方程可化为， 由得得，所以直线恒过定点． （2）圆的标准方程为， 圆心，半径． 当时，直线的方程为，则圆心到直线的距离， 所以直线被圆所截得的弦长为. 19．(1)或； (2) 【分析】（1）对直线在，轴上的截距是否为零进行分类讨论，可得结果； （2）求得点的轨迹方程，再由圆上点到直线距离的最值计算即可. 【详解】（1）因为，所以定点 因为直线在，轴上的截距相等，设截距分别为，， 当时，直线经过原点，设，又经过点， 则有，直线的方程为； 当时，设直线的方程为，代入点，解得， 所以直线的方程为. 综上可得直线的方程为或. （2）设，，由 可得，代入， 得即为点的轨迹方程，如下图所示： 圆心，半径，点在圆外，点到圆心的距离为 ， 所以的最大值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$