山东省菏泽市2025届高三上学期期末考试数学试题

山东省菏泽市2025届高三上学期期末考试数学试题 一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.设集合,,则( ) A. B. C. D. 2.已知命题,,命题,,则( ) A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 3.圆与圆的位置关系为( ) A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 相离 4.已知O为内部一点,,设,,,则( ) A. B. C. D. 5.已知,,则( ) A. B. C. D. 6.已知,分别为抛物线,的焦点,平行于x轴的直线与,分别交于A,B两点,且,则四边形为( ) A. 任意不规则的四边形 B. 直角梯形 C. 等腰梯形 D. 平行四边形 7.设甲:乙:函数在区间上有唯一极值点,则( ) A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8.已知某圆锥的高为h,且该圆锥的顶点和底面圆周上的各点均在半径为R的球O的表面上,则当圆锥的侧面展开图的圆心角与轴截面的顶角之差取得最大值时,( ) A. B. C. D. 二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得2分,有选错的得0分。 9.已知,则( ) A. z有可能为实数 B. z不可能为纯虚数 C. 的最小值为1 D. 若z在复平面内所对应的点在第三象限,则 10.已知函数,的定义域均为R,且,,则下列选项一定正确的是( ) A. 的图象关于直线对称 B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 的图象关于直线对称 11.已知椭圆的左、右焦点分别为,,P是Z上不同于长轴端点的一点,记的外接圆为S,当最大时,为等边三角形,则( ) A. Z的离心率为 B. 若S的圆心在外,则 C. 若,则S的面积为 D. 若,则S的半径为 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.已知递增数列的通项公式为,则m的取值范围为 . 13.已知函数,则 . 14.已知,为曲线上两个不同的点,过A,B分别作的两条切线,若这两条切线交于点且这两条切线的斜率之积为1,则当取得最小值时, . 四、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 15.本小题12分 记为首项为4的数列的前n项和,且是以首项为3,公比为的等比数列. 求 求数列的通项公式; 求数列的前n项和. 16.本小题12分 如图,四棱锥中,是等边三角形,,,,E为PC中点,O为CD中点. 证明:平面平面 若,平面平面ABCD,求PA与平面PBC所成的角的正弦值. 17.本小题12分 如图,平面四边形ABCD中,,,AC平分 若,,求 若, 求 求 18.本小题12分 已知函数 当时,求的单调区间; 当时,求曲线的对称中心; 当时,,求a的取值范围. 19.本小题12分 在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线,,为C上不与左、右顶点重合的两点,记直线AB的斜率为中点为 当直线OM斜率存在时,求用a,b表示 记C在点A处切线的斜率为,在点B处切线的斜率为,证明:,,依次构成等差数列的充要条件为 参考公式:若点在双曲线上,则C在处的切线方程为 答案和解析 1.【答案】B 【解析】解:由题意可得或,故故选 2.【答案】B 【解析】解: 取易得命题p为假命题,故命题为真命题; 数形结合可知指数函数与二次函数在时有一个交点, 故命题q为真命题,命题为假命题, 综上和q都是真命题. 故选 3.【答案】A 【解析】解:由题意可得的半径,的半径,且,,,故两圆相交.故选 4.【答案】D 【解析】解:由题意可得 故选 5.【答案】C 【解析】解:由题意可得, 故 故选 6.【答案】D 【解析】解:设,, 根据题意可知,故,即, 又由抛物线的定义可知,, 当时,, 故,,, 所以, 即四边形是平行四边形. 故选 7.【答案】B 【解析】解:由且,得,显然, 由函数在区间上有唯一极值点,则,解得, 故甲是乙的必要不充分条件. 故选 8.【答案】A 【解析】解:设圆锥的母线长为l,轴截面的顶角为, 侧面展开图的圆心角为,底面圆半径为r,则, 侧面展开图的扇形弧长,即圆锥底面的周长, 因此,, 记,, 则, 因为在上单调递减, 且,, 所以存在唯一的满足,即, 且当时,,则在上单调递增; 当时,,则在上单调递减, 于是是的极大值点,也是最大值点,此时, 则,所以① 在中,②, 联立①②,得③, 如图,在圆锥PAB中,高,轴截面的顶角, 则,, 在中,由勾股定理得, 化简得④, 联立③④,得,化简得 故选 9.【答案】ABD 【解析】解:由题意知, ,其中若z为实数,则,符合题意,故A正确; z不可能纯虚数,故B正确; 当时,取得最小值,且最小值为2,故C错误; 若z在复平面内所对应的点在第三象限,则,解得,故D正确. 故选 10.【答案】AC 【解析】解:因为,, 所以,即, 所以关于直线对称,故A正确; 因为,所以关于对称,即为偶函数.故C正确. 故选 11.【答案】ABD 【解析】解:当点P位于椭圆Z的短轴端点时,最大,若此时为等边三角形, 则,由椭圆的定义知,故椭圆的离心率为,故A正确; 若S的圆心在外,可以先考虑S的圆心在上的情况,此时为直角三角形, 不妨设P在第一象限,则, 故若S的圆心在外,此时小于S的圆心在上的情况, 故,故B正确; 若,则S的半径由正弦定理可知,故S的面积为,故C错误; 设坐标原点为O,则,故,此时P位于Z的短轴端点, 故,故,,故D正确. 故选 12.【答案】 【解析】解:由数列是递增数列,可得, 即, 可转化为对于恒成立, 故 故答案为 13.【答案】 【解析】解:由题意可得 故答案为 14.【答案】 【解析】解:易得, 依题意可知两条切线的方程分别为,, 联立两条切线的方程, 得, , 因为两条切线的斜率之积为1,所以,也即, 代入上式得,, 所以, 当且仅当,即时取得最小值. 故答案为 15.【答案】解:由题意可得,则,则 ,当时,,经检验时,同样成立, 故 由可得,记的前n项和为, 所以① 则② ①-②得,, 则, 故数列的前n项和为 【解析】详细解答和解析过程见【答案】 16.【答案】证明:因为在中,E为PC的中点,O为CD中点,所以,而平面PAD,平面PAD, 所以平面因为,,所以,,所以四边形ABOD是平行四边形, 所以,而平面PAD,平面PAD,所以平面PAD,又,EO,平面EOB, 所以平面平面 如图,连接易得因为平面平面ABCD,平面平面,平面PCD, 所以平面ABCD,又,,所以 故以O为坐标原点,OB,OD,OP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系, 则,,,,所以,,, 设平面PBC的一个法向量为,所以,令,则, 设直线PA与平面PBC所成的角为,则, 故PA与平面PBC所成的角的正弦值为 【解析】详细解答和解析过程见【答案】 17.【答案】解:由题意可知AC平分,因此 则,, 而, 故在中,由余弦定理可得 设,则设,则, 由余弦定理可得,解得, 由于在直角三角形ACD中为锐角,则,,, 故 【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.【答案】解:当时,,, 令,得,, 令,得,, 所以的单调递增区间为,, 单调递减区间为, 当时,,设曲线的对称中心为, 则, 所以解得,所以曲线的对称中心为 当时,在上恒成立,满足题意; 当时,, 当时,,所以在上单调递增,,满足题意; 当,时,令,,所以在上单调递增, 又因为,, 所以存在,使得, 当时,,单调递减,所以,不符合题意. 综上所述:a的取值范围为 【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.【答案】解:显然,存在,显然,又直线OM斜率存在,故, 则A,B不关于y轴对称即直线OM斜率存在,故AB不过坐标原点O,则A,B不关于原点对称, 即由题可知,,故, 由A,B在双曲线上,故,, 两式相减可得, 故,则 先证明充分性:即时,,,依次构成等差数列: 当OM斜率存在时,即,显然不满足,故OM斜率不存在即与y轴重合,则轴,, 由双曲线关于y轴对称可知,,故,,依次构成等差数列. 再证明必要性:即,,依次构成等差数列时, 当AB过原点时,由对称性可知,而AB显然不为C的切线,故,,,不依次构成等差数列, 则AB不过原点,由得, 由题意可知C在处的切线方程为,即,故, 同理可得, 由,,依次构成等差数列,即, 即,由得,即, 化简得, 设直线,且, 则,即, 即,得,此时,且A,B关于y轴对称,故M在y轴上,则 故,,依次构成等差数列的充要条件为 【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页,共1页 学科网(北京)股份有限公司 $$