精品解析：北京市房山区2024-2025学年高二上学期学业水平调研（二）数学试题

房山区2024-2025学年度第一学期学业水平调研（二） 高二数学 本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回. 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知，，如果与为共线向量，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数的图象是抛物线，该抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知空间中直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则（ ） A. B. C. D. 直线与平面不相交 5. 已知直线与直线平行，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 6. 已知圆与直线交于两点，若，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 7. 条件，条件方程表示的曲线是椭圆，则是（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知双曲线的方程为，点，分别在双曲线的左支和右支上，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 庑殿（图1）建筑是古代传统建筑中的最高型制．这种建筑形式常用于宫殿、坛庙一类皇家建筑，是北京中轴线上主要建筑最常采取的形式．如故宫午门、太和殿、乾清宫等，都是庑殿式建筑．庑殿殿顶的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成5根屋脊，又称“四阿殿”或“五脊殿”．图2是根据庑殿顶构造的多面体模型，底面是矩形，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形，且等腰梯形和等腰三角形所在的平面与平面的夹角都相等．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知椭圆的左、右焦点分别是，，若离心率，则称椭圆为“黄金椭圆”.则下列三个命题中正确命题的个数是（ ） ①在黄金椭圆中，； ②在黄金椭圆中，若上顶点、右顶点分别为，，则； ③在黄金椭圆中，以，，，为顶点的菱形的内切圆过焦点，． A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 若复数满足，则_____． 12. 已知双曲线的左、右焦点分别为，则双曲线的离心率为_____；若是双曲线上任意一点，则_____． 13. 直线经过一定点，则点的坐标为________，以点为圆心且过原点的圆的方程为________________. 14. 一只盛水的圆柱形茶杯倾斜后得到椭圆形水面，若水面与底面所成的二面角为，则水面椭圆的离心率为_____． 15. 在空间直角坐标系中，已知点、、，若点在平面内，则一个符合题意的点的坐标为_____． 16. 如图，在边长为的正方体中，是棱上的一个动点，给出下列四个结论： ①三棱锥的体积为定值； ②不存在点，使得平面； ③对每一个点，在棱上总存在一点，使得平面； ④点到的距离的最小值为． 其中正确结论的序号是_____． 三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. 已知抛物线的焦点到准线的距离是. （1）求抛物线的方程和准线方程； （2）若斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，求线段的长． 18. 如图，在长方体，，，点为中点． （1）若平面与棱交于点，求证点为的中点； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，为线段的中点，，． （1）求证：平面； （2）从条件①、条件②这两个条件中任选一个作为已知， 求（i）点到平面的距离； （ii）直线与平面的夹角的正弦值． 条件①：； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 20. 已知椭圆的离心率为，且经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）斜率为的直线与椭圆交于两点（不与重合），直线与轴分别交于两点，求证：是等腰三角形． 21. 对于空间向量，定义：，．且． （1）若，求及； （2）是否存在？若存在，写出一个；若不存在，说明理由； （3）证明：对于任意，必存在，使． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 房山区2024-2025学年度第一学期学业水平调研（二） 高二数学 本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回. 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数运算法则，将复数化简，即可得出其对应点的坐标，从而可得结果. 【详解】因为， 所以其在复平面内对应的点为，位于第三象限； 故选：C 2. 已知，，如果与为共线向量，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量共线的坐标表示可得答案. 【详解】若与为共线向量，则， 解得. 故选：B. 3. 二次函数的图象是抛物线，该抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准方程，可得出其焦点坐标. 【详解】抛物线的标准方程为，则，可得，故其焦点坐标为. 故选：A. 4. 已知空间中直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则（ ） A. B. C. D. 直线与平面不相交 【答案】D 【解析】 【分析】由方向向量与法向量关系可判断直线与平面关系. 【详解】对于AB，因为，则可能与平面平行，也可能在内，因题目条件不足，故AB选项正误无法判断； 对于C，注意到与不共线，则与不垂直，故C错误； 对于D，由AB分析可知，直线与平面不相交，故D正确. 5. 已知直线与直线平行，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，解之即可. 【详解】因为直线与直线平行， 则，解得或. 故选：C. 6. 已知圆与直线交于两点，若，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的方程，得圆心坐标和半径，再由，得到圆心到直线的距离为，结合点到直线距离公式，列出方程求解即可. 【详解】因为圆的圆心为，半径为； 且圆与直线交于两点，， 所以为等腰直角三角形，，则， 因此圆心到直线的距离为， 即，解得或； 故选：C 7. 条件，条件方程表示的曲线是椭圆，则是（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的方程特征即可结合必要不充分条件的定义即可求解. 【详解】方程表示的曲线是椭圆,则需要满足且， 因此不能推出方程表示的曲线是椭圆， 当时方程表示的曲线是椭圆能得到， 故是必要而不充分条件， 故选：B 8. 已知双曲线的方程为，点，分别在双曲线的左支和右支上，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线渐近线的斜率求得直线的斜率的取值范围. 【详解】双曲线的渐近线方程为，斜率为， 依题意，点，分别在双曲线的左支和右支上， 所以直线的斜率的取值范围是. 故选：A 9. 庑殿（图1）建筑是古代传统建筑中的最高型制．这种建筑形式常用于宫殿、坛庙一类皇家建筑，是北京中轴线上主要建筑最常采取的形式．如故宫午门、太和殿、乾清宫等，都是庑殿式建筑．庑殿殿顶的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成5根屋脊，又称“四阿殿”或“五脊殿”．图2是根据庑殿顶构造的多面体模型，底面是矩形，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形，且等腰梯形和等腰三角形所在的平面与平面的夹角都相等．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设点在底面上的射影为，作，，垂足分别为，，设四个侧面与底面的夹角为，即可得到，根据三角形全等得到方程，整理即可. 【详解】如图所示，设点在底面上的射影为，作，，垂足分别为，． 则为侧面与底面的夹角，为侧面与底面的夹角， 设四个侧面与底面的夹角为，则在和中，，    又为公共边，所以，即，整理得． 因为，，则. 故选：C 10. 已知椭圆的左、右焦点分别是，，若离心率，则称椭圆为“黄金椭圆”.则下列三个命题中正确命题的个数是（ ） ①在黄金椭圆中，； ②在黄金椭圆中，若上顶点、右顶点分别为，，则； ③在黄金椭圆中，以，，，为顶点的菱形的内切圆过焦点，． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据黄金椭圆的概念及可判断①，根据条件及勾股定理可判断②，根据条件可求内切圆的半径进而可判断③. 【详解】对①，因为，所以，则 ，故①正确； 对②，因为在中，，由①知，， 所以， 即，故②正确； 对③，由题可知以为顶点的菱形的内切圆是以原点为圆心，设圆心的半径为， 所以， 代入离心率得到，所以圆过焦点，故③正确． 故选：D． 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 若复数满足，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】利用复数的除法可化简得出复数. 【详解】因为，则. 故答案为：. 12. 已知双曲线的左、右焦点分别为，则双曲线的离心率为_____；若是双曲线上任意一点，则_____． 【答案】 ①. ②. 4 【解析】 【分析】根据离心率公式以及双曲线的定义即可求解. 【详解】由题意可得，故， 则， 由于， 故答案为：，4 13. 直线经过一定点，则点的坐标为________，以点为圆心且过原点的圆的方程为________________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】通过分离参数，可求出直线所过定点；求出点到原点的距离，即为所求圆的半径，可求出圆的方程. 【详解】由得，即， 由直线的点斜式方程可知，是斜率为，过定点的直线， 故点的坐标为； （或由解得，即的坐标为） 点到原点的距离， 即以点为圆心且过原点的圆的半径， 故以点为圆心且过原点的圆的方程为：. 故答案为：；. 14. 一只盛水的圆柱形茶杯倾斜后得到椭圆形水面，若水面与底面所成的二面角为，则水面椭圆的离心率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，可得椭圆的长轴与短轴，据此可得答案. 【详解】如图，AC为椭圆长轴，为椭圆短轴， 因水面与底面所成的二面角为，则，则， 则. 故答案为： 15. 在空间直角坐标系中，已知点、、，若点在平面内，则一个符合题意的点的坐标为_____． 【答案】（答案不唯一，只需满足即可） 【解析】 【分析】求出平面的一个法向量的坐标，根据可得出、所满足的关系式，即可得解. 【详解】设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 因为在平面内，则平面，且， ， 故满足条件的一个点的坐标为. 故答案为：（答案不唯一，只需满足即可）. 16. 如图，在边长为的正方体中，是棱上的一个动点，给出下列四个结论： ①三棱锥的体积为定值； ②不存在点，使得平面； ③对每一个点，在棱上总存在一点，使得平面； ④点到的距离的最小值为． 其中正确结论的序号是_____． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】连接，求出三棱锥的体积可判断①；根据与不垂直可判断②；当点与点重合时，与平面相交可判断③；根据得异面直线之间的距离为1可判断④． 【详解】对于①，连接，因为平面， 所以上所有点到平面的距离相等，为， 因为，所以三棱锥的体积 为定值，故正确； 对于②，连接，因为，所以四边形为长方形， 所以与不垂直，故不存在点，使得平面，故正确； 对于③，当点与点重合时，与平面相交，故错误； 对于④，因为平面，平面，所以， 又，异面直线之间的距离为1， 所以当点在棱上运动时，点到的距离的最小值为，故正确． 故答案为：①②④ 【点睛】思路点睛：对于①，根据平面，得出上所有点到平面的距离相等，再求出，可得三棱锥的体积为定值. 三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. 已知抛物线的焦点到准线的距离是. （1）求抛物线的方程和准线方程； （2）若斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，求线段的长． 【答案】（1）， （2）8 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的性质，焦点到准线的距离是，可得解； （2）根据抛物线焦点弦公式求解. 【小问1详解】 焦点到准线的距离是， 抛物线的方程为，即. 准线方程为. 【小问2详解】 由（1）知焦点，直线的方程为， 由 ，消去得， 则， 18. 如图，在长方体，，，点为中点． （1）若平面与棱交于点，求证点为的中点； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）解法一：， 平面平面. 又平面平面，平面平面， . 又，四边形为平行四边形. ， . 又点为中点，点为的中点. 解法二：连结， 在长方体中， 四边形为平行四边形，. 平面，平面， 平面， 又平面，平面平面， . 又点为中点， 点为的中点. （2）. 【解析】 【分析】（1）方法1：由面面平行性质可证：，可得，即可完成证明； 方法2，连结，由可得平面，再由线面平行性质可完成证明； 方法3，建立空间直角坐标系，由向量法可完成证明； （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，即可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为两两互相垂直，以为坐标原点，如图所示建立空间直角坐标系， 则，，， ，. 设平面的法向量为，则 令，得. 平面的法向量为， 设平面与平面夹角为， 所以 . 平面与平面夹角的余弦值为. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，为线段的中点，，． （1）求证：平面； （2）从条件①、条件②这两个条件中任选一个作为已知， 求（i）点到平面的距离； （ii）直线与平面的夹角的正弦值． 条件①：； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） 连接交于点， 是的中点，是中点 . 又平面，平面， 平面. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据线线平行，即可由线面平行的判定求解， （2）不管是选择①还是条件②，都是根据空间垂直关系的转化证明出，进而根据面面垂直的性质得两两垂直，建立空间直角坐标系，求解平面法向量，根据点到线的距离公式求解（i），根据线面角的几何法或者向量法即可求解（ii）. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 选条件①：作为已知， ，，，平面, 平面,平面. , 选条件②：作为已知， 因为等腰三角形中，为线段的中点，所以. 得. 所以，故. 因此不管选①还是②，都得到 平面平面，交线为，，平面, 平面,平面,. 建立如图所示的空间直角坐标系.则, ，. 设平面的法向量为，则 令，则. 是平面的一个法向量. ， 点到平面的距离为. 设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角的正弦值为 解法二：， . . 20. 已知椭圆的离心率为，且经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）斜率为的直线与椭圆交于两点（不与重合），直线与轴分别交于两点，求证：是等腰三角形． 【答案】（1） （2）设直线方程为，代入得， ，设， 所以，得， ， ， 当或坐标为时，，，不合题意； 所以 所以， 是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程组计算求出，即可得解； （2）设直线的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，再证明即可. 【小问1详解】 由题意得 ，又，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：证明是解决本题第二问的关键. 21. 对于空间向量，定义：，．且． （1）若，求及； （2）是否存在？若存在，写出一个；若不存在，说明理由； （3）证明：对于任意，必存在，使． 【答案】（1）0；2 （2） 不存在.理由： 不妨设，所以，相加得， 因为，所以， 因为，所以不存在满足条件的； （3） 设， 假设对，即均不为0． 所以．即， 又因为， 所以． 所以，与矛盾，故假设不正确， 综上，对于任意，必存在，使. 【解析】 【分析】（1）根据定义写出和，即可求解； （2）利用即可求解； （3）利用反证法，假设，然后得出矛盾，即可证明. 【小问1详解】 若，则，所以， 则，， 所以，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问的关键是利用为整数，得到假设不成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $